www.facebook.com/toihoctoan
Trang 2VAÁN ẹEÀ 1 : Nguyên hàm
Daùng 1 : Xác định nguyên hàm bằng phơng pháp phân
tích
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
f(x)
; 2 3
)
(
2 2
3
+
+ +
=
−
=
x
x x x
x
f
2)
6
2 )
(
; 1 3 2
2 4
−
−
=
− +
=
x x x f x
x x
3)
9 4
1 9 4 ) (
; 2
1
3
−
−
=
−
−
=
x
x x x f x
x
Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1) f(x)=3 x x4 x; f(x)= x4 +x− 4 +2
2)
3 4
1 )
( ; 1 2 2
1 )
(
+
− +
= +
−
=
x x x
f x x x
f
Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1) f(x)=(32x +2x)2; f(x) =22x.33x.44x
x x x
e
x
f
10
5 2 f(x)
; )
(
1 1 2
=
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)
) 1 (
; ) 1
2 10
∫
x
x dx
x
x
2)
3 1
; 5
2
x
dx x dx
x x
Bài 5: (ĐHQG HN Khối D 1995)
Cho hàm số
2 3
3 3 3
3
2
+
−
+ +
=
x x
x x y
1) Xác định a,b,c để
) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( − 2 + − + −
=
x
c x
b x
a y
2) Tìm họ nguyên hàm của y
Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
cos sin
f(x)
; cos
)
cot f(x)
; sin cos
)
3)
x x
x x
sin
1 f(x)
; sin cos
8
)
4)
x x
x x
x x
sin cos
2 cos f(x)
; sin cos
1 )
5)
2 3 x
x f(x)
; 2 sin 3
cos sin
)
+ +
= +
+
=
x x
x x
x
f
) 1 x (x
1 f(x)
;
1 )
(
+ +
= +
=
x x
x
f
7)
) x.e x.(1
1 x f(x)
; 1
1 )
+
+
=
−
e x
f
Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau (Không có
hàm ngợc )
1)
2
2 2 2
3 2
x
13 f(x)
; 2 3
)
(
x e x x x x
x
x
−
=
2)
2 2
x -1
1 1 f(x)
; 3 )
x
x x
−
=
1 x
2 )
(
; x 1
1 )
(
2 − +
= +
+
=
x
x x
f x
x f
Daùng 2 : Xác định nguyên hàm bằ ng ph ơng pháp
đổi biến số
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
1)
∫
−
=
3 2 3 2
)
1 2 ( B
; ) 4
3
x x x x
dx x x
dx x A
2)
dx x
x x
x dx
x
x
+
−
) 2 3 (
3 B
; 1
1
2 4
2 4
2
x x
x dx
x x
+
) 1 (
1 B
; ) 1 (
1
4
4 2
6
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
x x
xdx
1 1 1
2 2
+ + +
=
2)
x x
dx e
dx A
1 ) 1 ( 1 B
;
+
=
+
=
6 5 B
; 1 2
x x
dx x
x
dx A
4)
−
−
=
2
3
3 ; B 1 )
2 ).(
1
dx x x
x
dx A
5)
∫
+ + +
=
1 1
B
; 2 2 )
1
dx x
x x
dx A
+ +
+ +
=
1
2 B
; 1 )
4 3 (
) 1 8 6 (
2 2
2 2
3
x
dx x
x x
dx x x A
1 B
; dx 1
2
3 2 3
x x
dx x
x A
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)
∫
+
−
x
x x x
x x
dx A
sin 2
cos sin cos
B
; 1 cos sin
2 2 2)
∫
−
x x
x x
dx
cos sin
1 B
; sin 2 2 sin
3)
∫
x x
x x
x
dx A
1 sin cos
sin B
; cos
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
x
x dx
x x
A
2 B
; ) 5 1 (
2 10
2 3
Trang 32) ∫ =∫ +
−
x
dx dx
x
dx A
3 2 3
4
(
1
x B
; 1
2
5 6
=
x
dx x
dx x A
2
x
2
2
=
x
dx A
Bài 5: Tính các tích phân bất định sau
1) A=∫x2 a+x.dx
x
x
1
1 B
+
x
x x
dx x x
2 2
3
cos
sin B
; cos 1
cos sin
e e dx
x x
B
; sin cos
4) A = ∫ x + x dx = ∫ ex − e−x dx
x
4
1 B
; ).
ln 1 (
Daùng 3 : Xác định nguyên hàm bằng ph ơng pháp tích
phân từng phần
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)
x x
x x
x
f( ) ln ; f(x) ln ; f(x) x2sin2
2
=
=
=
2) f(x)=(x+1)2.cos2x ; f(x)=(x2 +1)e2x + 1 ;
3) f(x) =e2x.sinx ; f(x)=e-2x.cos3x
4) f(x)=(cotg2x+cotgx+1)e−x ;
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1) A=∫x.cos x.dx; B=∫e ax.sin(bx).dx
2) A=∫e2x.cos2 x.dx; B=∫x n.lnx.dx
3) A=∫x2.e3x.dx; B=∫x2.sin(3x).dx
+
x
dx e x
) 2 (
2 2
x
dx e x dx
x
x A
x
cos 1
) sin 1 ( B
; sin
) ln(sin
2
6) A=∫ x.cos x.dx; B=∫e ax.sin(bx).dx
∫ + − +
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
x
x x
dx
cos B
;
+
−
x
x dx
x
x x
sin
cos B
; 1
1 ln
2
x
dx
x
A ; B ln( 1 ).
sin
2
Daùng 4 : Nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ
Bài1:(ĐHNT HN 1998)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
x x
x x
f
a
−
−
= 34 2
)
(
x x x f b
−
= 31
) ( )
Bài2: (ĐHQG HN 1999)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
2 ) 1 (
1 )
(
+
=
x x x
Bài 3: (ĐHQG HN 1995) Cho hàm số
2 3
3 3 3
3
2
+
−
+ +
=
x x
x x y
1) Xác định các hằng số a,b,c để
) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( − 2 + − + −
=
x
c x
b x
a y
2) Tìm họ nguyên hàm của họ y
Bài 4(ĐHQG HN 2000)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1002 2
2001 ) 1 ( ) (
+
=
x
x x
Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)
2 2
1 )
(
; 1 2 3
1 )
− +
=
−
−
=
x x x f x
x x f
2)
) 2 2 (
1 )
(
; ) 1 2 3 (
1 )
− +
=
−
−
=
x x x f x
x x f
3)
) 5 4 (
13 7 )
(
; ) 5 4 (
13 7 )
−
−
−
=
−
−
−
=
x x
x x
f x
x
x x
f
4)
1
1 f(x)
: 2
3 2 )
2
−
+
=
−
− +
=
x
x x
x x x f
1) x(x
1 f(x)
; 1 2 )
+
= +
−
=
x x
x x
f
Bài 6: Tính các tích phân bất định sau
−
−
x x
x x
x
dx x
2 3 B
; 1 2
.
3 2
4
−
−
x
x x
x
dx x
1 B
; 2
.
8
5 3
6 5
+
−
x
x x
x
dx x
) 10 (
B
; ) 1 (
)
1 (
2 10
4 7
7
Bài 7: Tính các tích phân bất định sau
+
−
+
x
x x
x x
dx x
) 1 ( B
; 6 5
)
1 (
100
3 2
3 3
∫
+ + + +
−
x x x
x x x
x x x
dx x
2 5 4
4 B
; 1
).
1 (
2 3
2 2
3 4 2
Daùng 5 : Nguyên hàm của các hàm số L ợng giác
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1) (ĐHVH 2000)
2 sin )
x
2) f(x)=tg5x; f(x)=cotg6x; 3)
; sin cos ) (
; 8 sin cos )
4)
x x
x x
f
x x
x x
f
3 cos 2 cos cos ) (
; 4 sin 2 cos cos ) (
=
=
Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1)
∫
+
+
=
x x
dx x x x
x
dx x A
cos sin
sin cos B
; ) cos 1 ( sin
) sin 1 (
Trang 4∫
+ +
=
x x
dx x x
x
dx
A
2 cos sin
10 13
cos B
; 1 cos
sin
3)
∫
∫
−
−
=
− +
=
x x
x x
dx
x x
x
dx A
2 2
2 2
cos 5 cos sin 8 sin
3
B
; cos 2
sin sin
+
=
x x
dx x x
dx x
cos sin
2 cos B
; 1 sin
2 sin
x x
dx x
x
dx
cos sin B
; cos sin
+
−
=
x
dx x
x
dx x x
cos B
; cos 2 sin
) cos (sin
1 cos 2
).
sin (sin
B
; sin
cos
2
3 3
4
x
dx x x
x
dx x A
+
−
=
1 2 sin B
; 2 sin 1
).
sin (cos
x
dx x
dx x x
A
(ĐH NT TPHCM 2000)
Daùng 6 : Nguyên hàm của các hàm số Vô tỉ
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
1 2
B
;
2 4
3 4
3
x x
dx x dx
x x
A
2)
∫
+ + +
=
1 1
) 1 (
B
;
2
dx x x x x
x
x
dx
A
+ +
+
=
3 2
)
5 4
(
x
dx x
x
dx x
A
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)
∫
−
−
=
2
2; B ( 1) 3 2 1
)
1
dx x
x
dx
A
2)
∫
∫
+
− +
=
− + +
=
1 2 ) 1 2
(
B
; 3 2 1 2
dx
x x
dx A
Bài 3(ĐHY HN 1999)
x
dx
) 3 ln(
3
2
hàm F(x) =∫ x2 + 3 dx
Bài 4(HVBCVT TPHCM 1999) Tìm họ nguyên hàm của
1 )
(
+
=
x
x x
F
Bài 5:(ĐH KTQD HN 1999) Tìm họ nguyên hàm của hàm
số
1 2 1 2
1 )
(
− + + +
=
x x
tgx x F
Bài 6(ĐHY Thái Bình 2000) Tính tích phân
=
1
x
dx I
Daùng 7 : Nguyên hàm của các hàm số Siêu việt
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1) F(x)=(x2 +3x+2).e x
4 cos(
2 )
3) F(x)=(32x +2x)2; F(x)=22x.33x.4x
e e e
x
−
=
F(x) : )
(
x x
x
e
e x F
10
5 2 F(x) :
1 )
(
1 1 x 5
2 − + = + − −
=
x 2
F(x) : 1
)
1 (
) (
x x
e x x x F
x
= +
+ +
=
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1) A=∫e ax.sin(bx).dx; B=∫e2x.sin2 x.dx
2) A=∫x n.lnx.dx; B=∫x2.e3x dx
3) A=∫sin(lnx).dx; B=∫x2.ln(2x+1).dx
4) (2 3 5 2 2 4) 2 ;
∫ + − +
e
dx e x
dx x A
1
2 B
; sin
) ln(sin
2
+
+
=
x
dx x x
dx e x A
x
2
cos
) ln(cos B
; cos 1
).
sin 1 (
1
1 ln 1
1
2
x
x x
A
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
+
=
1
) 1 ln(
B
;
2
x
dx x
x x e
dx A
x
+
x x
dx x
1 ln
VAÁN ẹEÀ 2 : TÍCH PHAÂN
Daùng 1 : Tính tích phân bằng ph ơng pháp phân tích
Bài 1: Tính các tích phân
=
3
1
2
1 -2 3
2 x
x.dx B
; ).
1
A
2
1
5
dx B
; 5 2 7
e
x
dx x
x x
A
3) = ∫2 + +
1
2 ; ln
).
1 (
x x x
dx x
6 3
3
; sin
cos
π
dx x B
−
+
−
=
0
4
0
2 ; B dx;
cos
.
x x
x x
e e
e e x
dx tgx A
π
Trang 55) ∫ =∫ +
+
=
−
2
1
0
; 8 4 B
;
x x
dx e
e
dx e
A
x x
x
+
0
3
ln
0
; sin 1 B
;
π
x
dx e
e
dx
+
4 4 1
2
1 2
; sin B
; 1
π
dx x
x
dx
A
8)
∫
=
−
= +
1
3
0
2
3 t
; 4 9
6 B
; cos 3 sin
x x
x
x dx x
x
dx
A
π
Bài 2: Tính các tích phân
−
−
=
= 2
4
2
0
4 ( cos sin B
; 3 sin 5
cos
π
π
π
π
dx x
x dx
x x
A
Bài 3: Tính các tích phân
−
+
−
=
−
= 3
3
4
1
B
;
x
A
Bài 4: (ĐH QGHN Khối B 1998) Tìm các hằng số A,B
B x A
x
F( ) = sin(π )+ thoả mãn F(1) = 2 và
0
4 )
(x dx
F
Bài 5: Cho F(x)=a.sin2x−b.cos2x xác định a,b
a
Bài 6: (ĐHSP Vinh 1999)
−
−
0
4
0
2
5
10 3 (
x
x x
Bài 7: (ĐHBKHN 1994)Tìm a,b để ( ) = 2 + + 2
x
b x
a x
thoả mãn
−
2 1 ,(x ) 4 va F(x).dx 2 - 3.ln2
F
Bài 8: Cho F(x)=a.sin2x+b xác định a,b biết
( )= 2∫π =
0 , 0 4 va F(x).dx 3
F
Daùng 2 Tính tích phân bằng ph ơng pháp đổi biến số
Bài 1: Tính các tích phân sau
1) (ĐHNN1 HN 1999) =∫1 −
0
19 ; ) 1
x A
2) (ĐHSP Quy Nhơn)
=1
0
10
2) ; 3
2 1 )(
3
1
I
3) (ĐHTM 1995) =∫1 +
0 2
5 ;
1 dx
x
x I
4) =∫a +
x a
dx I
0
2 2
) (
5) (ĐHKT HN 1997) =∫1 −
0
6 3
5(1 x ) dx ;
x I
6) (ĐH TCKTHN 2000) =∫1 + +
0
2
x x
dx x I
Bài 2: : Tính các tích phân sau
4 B
; 1
1
2 1
−
x
x dx
x
x A
1 B
;
1
2 2 2
2
∫
∫
=
−
=
x x
dx dx
x
x A
3) 1 (DHTM-1995)
1
0
= x x dx A
1
2
2
∫
−
−
A
5) (1 ) (DHYHP2000)
1
0
3 2
A
1
3
x x
dx A
7) (ĐHGTVT HN 1996) = ∫3 +
0
2
5 1 x dx;
x A
Bài 3: Tính các tích phân sau
3
0
4
B
; sin 2
x
dx x tg dx
x A
π
2)
∫
+ +
6 2 2
B
; 1 cos sin
π
π
π
x x x
dx tgx x
x
dx A
3) (ĐHQGTPHCM 1998) = ∫2 +
0
4
sin 1
2 sin
π
x
dx x I
4) (CĐHQ TPHCM 1999) = ∫2 − −
0
2
cos sin
7 11
cos
π
x x
dx x I
5) (HVKTQS 1996) = ∫2 −
3
3
3
cot sin
sin sin
π
π
dx gx x
x x
I
6) (ĐH Y Dợc TPHCM 1995) =∫π +
0
2 cos 4 9
sin
x
dx x x I
7) (HVBCVT HN 1998) = ∫2 +
0
2
3
cos 1
cos sin
π
x
dx x x
I
Trang 68) (C§SP TPHCM 1997) = ∫6 − +
0
2
sin sin 5 6
cos
π
x x
dx x I
9) (HVNH HN 1998) =π∫
0
2 cos sin
x I
Bµi 4: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
0
2 1
2
2 ln 4
1 ;
2
ln
x
x x
B x
dx x A
e
2) (§H C§oµn 1999) =ln∫2 +
0 e x 1
dx I
3) (§H Y HN 1999) =∫1 +
0
2x e x e
dx I
0 2x
2x 1
0
3 3 e
3 e B
;
e
e dx
e
x x
Dạng 3 : : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau (Tham kh¶o)
**§ỉi biÕn d¹ng luü thõa c¬ b¶n***
1
1
0 3 3
+
x
x
A
2)
1 B
; 1
1
1 2 1
0
3
∫
∫
=
−
x x
x dx
x x
A
1 B
; 2
1
0 6
2 2
1
2 4 6
∫
x
x dx
x x A
4
1
4
+
x
e x
x
dx
A
x
**§ỉi biÕn hµm lỵng gi¸c c¬ b¶n***
0 4
6
cos 3 1
sin B
; cot
π π
π
dx x
x dx
gx A
6)
∫
+
= +
0 cos 6
0 1 4 sin cos . ; B . cos 2
π π
π x dx
e dx
x
+
−
0
3 4
0
sin sin
B
; cos sin
cos sin
π π
dx x x
dx x x
x x
A
0 3
3 4
3
6
2
cos
sin B
; cos
sin
π π
π
dx x
x dx
x
x A
−
+
6 4
3 6
0
2
2
sin
cos B
; 1
1
π
π
π
dx x
x dx
x tg
x tg A
+
−
0
2 4
2 sin B
; 2 sin 2
cos sin
π π
dx x
x dx
x
x x
A
**§ỉi biÕn hµm mị logarit c¬ b¶n***
x x
dx dx
x
x A
ln 1 12)
∫
+
=
−
e e
dx x x
x x
dx A
1
2
ln 1 ) (ln B
; ) ln 1 ( cos 4
1
+
2 ln
1
dx e
dx A
1
0
3 ln
0
B
;
x x
x x
x
e e
dx e e
e
dx A
**Bµi tËp tỉng hỵp ** * *
+
+
5 ln
) 1 (
x x
x e
x
e e
dx e xe
x
dx x A
1
1 ln 1
1
2 1
0 2
−
+
−
x
x x
A
17)
∫
3
6
2
sin cos
4 cos B
; cos sin
π π
dx dx
x x
dx A
Dạng 4 : Ýnh tÝch ph©n b»ng ph ¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn
Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
0 2 3
0
cos B
; cos
π π
dx x x
dx x x A
0 3
4
2 ; B cos 3 sin
.
π π
π
dx x e
x
dx x
π
e A
0 0
2
4) A= ∫x e−x dx =∫e x dx
1 3 2
ln
0
ln B
;
0
2 0
2 ; B ln( 1)
ln
x A e
1
2 1
2 ; B ln )
ln 1
x
x dx
x A
e
ln
1 ln
1 2
2
=e
e
dx x x A
8) A = ∫ e xdx = ∫e − x dx
1
2 4
4 1
) ln 1 ( B
;
9)
∫
0 1
2 1 ) ln ; B sin cos (
π
xdx x
x dx
x x
x A
e
Trang 710) = ∫ + + = ∫
2
4
2 3
0
2) ; B cos ( ) 1
ln(
π
π
dx x dx
x x
A
3
4
sin B
; sin
π
π
dx x
x x
dx x A
=
=
e e
e
dx x
x dx
x
x A
1
2
ln B
; ) ln(ln
2
Bài 2: ( Một số đề thi ) Tính tích phân sau:
1) (ĐHBKTPHCM 1995) = ∫2
0
2 cos
π
dx x x
I
2) (ĐHQG TPHCM 2000) =∫
1
0
2( )
sin x dx e
3) (CĐKS 2000) = ∫ +
e
dx x x
I
1
ln ).
2 2 (
4) (ĐHSPHN2 1997) = ∫4
0
2 sin 5
π
dx x e
5) (ĐHTL 1996) = ∫2
0
2 cos
π
dx x e
6) (ĐH AN 1996) =∫π
0
2.sinx.dx x
I
Daùng 5 : Một số dạng tích phân đặc biệt
Bài 1: Tính các tích phân sau
−
−
=
1
3
5cos2x.dx; B x e 2.dx
x
π
−
+
−
2
3 2
1
2
1
cos 1
sin B
; 1
1 ln
π
π
dx x
x dx
x
x x
A
Bài 2: Tính các tích phân sau
1)
∫
+
0
2004 2004
2004 2
0
sin cos
cos B
; sin
1
2
sin
π π
dx x x
x dx
x
x
A
+
0
2 0
cos 1
sin B
; cos 3
sin
dx x
x x dx
x
x x
A
1 3
sin2
∫
= π
π x
dx x A
Bài 3: Tính các tích phân sau
1) =3∫π
0
; 5 cos 3 sin 2 sin
A
0 0
3 ; B sin(sin )
sin
3)
∫
∫
−
−
+
− +
−
=
4
4
3 5 7 2
1
2 1
9 2
cos
) 1 (
; sin A
π
dx x x x x B
dx x x
Bài 4: (Một số đề thi )
1) (ĐHPCCC 2000) Tính =−∫1 +−
1
2 2 1
1
dx
x
2) (ĐHGT 2000 )Tính ∫
− −
+
= 2
2
2 sin 4 cos
π
π
dx x
x x
I
3) (ĐHQG HN 1994) Tính =π∫
0
3 sin x dx x
I
4) (ĐHNT TPHCM 1994)Tính =−∫π +
π
dx
x
1 3 sin2
5) (HVBCVTHN 1999)Tính ∫
− +
=
1
1
4
2
x
6) (ĐH Huế 1997) Cho hàm số
=
≤
≤
=
2 neu x )0 (
2 x 0 neu )
( ) (
π
π
f
tgx
f x g
a) CMR g(x) liên tục trên 0;2
π
b) CMR : ∫4 = ∫
0
2
4
).
( ).
(
π
dx x g dx x g
Daùng 6 : Tích phân các hàm số hữu tỉ
Bài 1: : Tính các tích phân sau
2 3 B
; ) 1 (
1 2 3
2
9
2
∫
∫
=
−
=
x x
dx x
dx x A
) 1 ( B
; 1
2 2
2
10
3 2
1
3
2
∫
+
− +
=
x
dx x x
dx x x A
3)
) 1 ( ) 3 ( B
; 6
5
).
1 16 10
2 (
1
0
2 2
1
1
2
2 3
∫
∫
+ +
=
+
−
− +
−
=
−
x x
dx
x x
dx x
x x
A
2 3
) 4 7 ( B ; 6 5
).
6 3
1 3 1
1
2 3
2 3
∫
∫
−
−
= +
−
+ +
−
=
x x
dx x x
x x
dx x
x x A
3 4 B
; 2
2
1
2 4 2
1
2
+ +
=
x x
dx x
x x
dx A
) 4 (
B
; )
1 4
0
2 8
3 2
1
3 4
2 3
∫
+
−
−
−
=
x
dx x x
x
dx x x x A
Trang 87)
) 1 (
).
1 ( B
; ) 1 (
3
1 4
4 2
1
2
+
=
x x
dx x x
x
dx A
−
−
0
2 2
2 4
3
3 6
5
; ) 1 )(
2 (
13 2 2 B
; 2 3
3
dx x
x
x x x
x
dx x A
Bài 2: (Một số đề thi)
1) (CĐSP HN 2000): = ∫3 ++
0
2
2 1
2
x
x I
2) (ĐHNL TPHCM 1995) =∫1 + +
0
x
dx I
3) (ĐHKT TPHCM 1994) =∫1 +
0
3 ) 2 1
x I
4) (ĐHNT HN 2000) =∫1 + ++ + +
0
2
2 3
9 2
)
1 10 2
(
x x
dx x x
x I
5) (ĐHSP TPHCM 2000) =∫1 ++ +
0
)
11 4 (
x x
dx x
I
6) (ĐHXD HN 2000) =∫1 +
0
3
x
dx I
7) (ĐH MĐC 1995 ) =∫1 + +
0
2
x
dx I
8) (ĐHQG HN 1995) Xác định các hằng số A,B,C để
2 1
) 1 ( 2 3
3 3
3
2 3
2
+
+
−
+
−
= +
−
+
+
x
C x
B x
A x
x
x
x
Tính
dx x
x
x x
2 3
3 3 3
3
2
∫ − + + +
=
9) (ĐHTM 1995) =∫1 +
0 2 5 1
x
dx x I
10) (ĐH Thái Nguyên 1997)
x x
dx x
+
−
= ∫ HD : t x 1
1
).
1
(
2
1
4 2
11) Xác định các hằng số A,B để
1 )
1 ( )
1
(
2
2
+
+
x
B x
A x
x
Tính
dx x
x
) 1 (
) 2 (
3
2
2
∫ + +
=
) 1 ( ) 1 ( ) (
+
−
=
x x
x x
f
a)Định các hệ số A,B,C,D,E sao cho
−
= +
−
+ +
=
1 1
) 2 )(
1 ( )
2
x
dx E x
dx D x
x
C Bx Ax dx
x
f
b)Tính ∫3
2
) ( x dx
f
Daùng 7 : Tích phân các hàm số l ợng giác
Bài 1: Tính các tích phân sau
1)
∫
+ +
6 2 2
B
; cos sin
1
π
π
π
x x x
dx tgx x
x
dx A
6
3
0
4
) sin cos
( B
; 2 cos
π
π
dx x x
x
dx x tg A
x
dx x x
A ; B sin cos 2
cos 1
) sin
0 2 4
+
+
=
π π
sin 1
cos
2
0
2
∫ +
=
π
x
dx x x A
Bài 2: (Một số đề thi)
1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính :
+
0 4 2
0
2 sin J
va
; sin 1
2 sin
π π
x
dx x x
dx x I
2) (ĐHSP TPHCM 1995) Cho
x x
x x
f
cos sin
sin )
(
+
=
+
− +
=
x x
x x B A x f
sin cos
sin cos )
(
b) Tính = ∫3
0
).
(
π
dx x f I
3) (ĐHGTVT TPHCM 1999)
+
2
0
4 4
4 2
0
4 4
4
sin cos
sin sin
cos
cos
π π
x x
dx x x
x
dx x
b) Tính = ∫2 +
0
4 4
4
sin cos
cos
π
x x
dx x I
4) (ĐH Công Đoàn 1999): Tính = ∫2 +
01 sin 2
π
x
dx I
5) (HVKTQS 1996):Tính
= 2
3
3
3
cot sin
sin sin
π
π
dx gx x
x x
I
6) (ĐHTS 1999) Tính :
=2
0
2 ) cos 1 (
cos sin
π
dx x x
x I
7) (ĐHTM HN 1995) Tính = ∫4
0 4
cos
π
x dx I
Trang 98) (HVKTQS 1999):Tính = ∫4 +
0
4
3
cos 1
sin 4
π
x
dx x I
9) (ĐHNN1 HN Khối B 1998) = ∫2 +
0 1 cos
2 cos
π
x
dx x I
10) (ĐHQGHN Khối A 1997) = ∫2 +
0
2
3
cos 1
sin
π
x
dx x I
11) (ĐHQG TPHCM Khối A 2000) Tính :
∫
= 4
0
4 .
sin
π
dx x I
12) (ĐHTL 1997) Tính: I 1 cos2x.dx
0
=π
13) (ĐHGT TPHCM 2000) Tính = ∫3
6 6
2
cos
sin
π
dx x I
14) (ĐHNN1 HN 1998) Tính
= 2
6
cos sin
2 cos 2
sin
1
π
π
dx x x
x x
I
15) (ĐHT HN 1999) Tính = ∫3
4
2 sin
π
dx I
16) (ĐHNT HN 1994b) Tính =2∫π +
0
sin
1 x dx I
17) (ĐHQG TPHCM 1998) = ∫2
0
2
3 sin cos
π
dx x x I
18) (HVNH TPHCM 2000) = ∫4 +
0
2
cos 1
4 sin
π
x
dx x I
19) (ĐHLN 2000) = ∫2 + +
0
2
2 4 cos sin
3
) cos 4 sin 3 (
π
x x
dx x x
I
20) (ĐHMĐC 2000) ∫
+
= 3
6sin . sin 6
π
dx I
21) (ĐHBK HN 1999)
) sin 2 (
2 sin )
(
x
x x
h
+
=
a) Tìm A,B để
x
x B x
x A x
h
sin 2
cos ) sin 2 (
cos )
+
+ +
=
b) Tính ∫
−
= 0
2
).
(
π
dx x h I
22) (ĐHBK HN 1998)
= 2
0
4
4 sin ).
.(cos 2 cos
π
dx x x
x I
23) (ĐHTM HN 2000) = ∫2 +
0
3
) cos (sin
sin 4
π
x x
dx x I
24) (HVKTMM 1999) = ∫3
6
4 cos sin
π
dx I
25) (ĐHTCKT HN 1996) = ∫2 + + + +
0
5 cos 3 sin 4
6 cos 7 sin
π
dx x x
x x
I
26) (ĐHBKHN 1996) = ∫2
0
2 cos
π
dx x x
I
27) (ĐHCĐ 1999) = ∫2 −
0
2 cos ).
1 2 (
π
dx x x
I
28) (HVNH TPHCM 2000) = ∫3 +
0
2
cos
).
sin (
π
x
dx x x
I
Daùng 8 : Tích phân các hàm số vô tỉ
Bài 1: (Một số bài tập cơ bản) Tính các tích phân sau :
1)
∫
= x x dx a x a x dx a A
2
0
2 1
0
8
2)
∫
+
=
−
1 0
2 2
) 1 ( B
;
x x
dx dx
x a x A a
+ +
=
−
2 1
0
1 2 1; B (x 1)(x 2)
dx x
x
dx A
=
−
=
0
1 1
2
2
2 4
B
; 1
x x
dx x
dx x A
+
0 2 2
1 B
; 1
x
dx A
+
7
0 3
1
0 4 3 1 ; B 2 x 1
dx x
dx x A
−
=−
−
3
0 2
3
) 2 1 ( (*)B
;
dx x
x x
dx A
1 1
1 (*)
0
1 3
∫
+
=
x
dx x
x A
Trang 10***đổi biến lợng giác ****
−
+ +
=
−
1 2 1
0
A
2
2 2
1
2
1 B
;
x
x dx
x
x
A
Bài 2: (Một số đề thi )
1) (HVNH THCM 2000) =∫1 + +
3 1
x x
dx x I
2) (ĐH BKHN 1995) = ∫2 −
3
2 x x2 1
dx I
3) (HVKTQS 1998) ∫
= 1
dx I
4) (ĐHAN 1999) = ∫4 +
7x x2 9
dx I
5) (ĐHQG HN 1998) =∫1 +
0
2
3 1 x dx x
I
6) (ĐHSP2 HN 2000) =∫2 +
1 x x3 1
dx I
7) (ĐHXD HN 1996) =∫1 −+
0
2 1
)
1 (
x
dx x
I
8) (ĐHTM 1997) = ∫7 +
0 3 2
3
1
.
x
dx x I
9) (ĐHQG TPHCM 1998) =∫ +
1
x
dx x I
Daùng 9 : Tích phân các hàm số siêu việt
Bài 1: (Một số bài cơ bản)
1) (ĐHCĐ 2000) =∫ +
1
0
2x 3
e
dx I
2) (ĐHY HN 1998) =∫1 +
0
2x e x e
dx I
3) (HVQY 1997) = ∫ +
3 ln
0 e x 1
dx I
4) (ĐHAN 1997) =∫2
0
2 e dx x
5) (ĐHKT HN 1999 ) =∫2
0
3 sin2 sin cos
π
dx x x
e
6) (ĐHQG TPHCM 1996) =∫1 −− +
x e
dx e I
7) (ĐHBK HN 2000) =ln∫2 +
0
2 1
x
x e
dx e I
Bài 2: (Một số đề thi )
1) (HVQY 1997) = ∫2 −
0
2.
x I
x
2) (ĐHQG HN 1998 ) =∫1 +
0 e x 1
dx I
3) (PVBC&TT 1999) =∫e + dx
x
x x
I
0
ln 2 ln
4) (ĐHNN1 HN 1998) =∫e + x x+
e
dx e I
0 2
2 1
) 1 (
5) (ĐHTM 1997) =ln∫2 − +
) 1 (
x
x e
dx e I
6) (ĐHTM 1998) =ln∫2 +
5
x e
dx I
Bài 9 Tích phân các hàm số chứa giá trị tuyệt đối
Bài 1: (Một số bài tập cơ bản)
2
0 2 2
0
3 2 B
;
x A
1
1
2
∫
−
−
−
I
− − − − +
=5 5
3 1
4
3
x
0
2
∫
=
−
3
0
2 3 2
2
2 1 2 ; B 4 4 ;
x x
Bài 2: Tính tích phân sau :
3
8
; cot
I
π
π
dx tgx gx
0
3
3 sin3 cos ; sin
3 cos
π 4
3
3 sin 3 sin ; cos
3 cos
Bài 3: (Một số đề thi)
1) (ĐHL 1995) =2∫π +
0
; sin 1
2) (ĐHTL 2000) =∫3 − +
0
2
Bài 10 Tính tích phân bằng tích phân phụ trợ
Bài 1: (Một số bài cơ bản)
+
0
4
cos B
cos sin
sin
π π
x x
xdx x
x xdx A