– Nắm vững phép tính vi phân... Chứng minh một cơng thức truy hồi cho trước.
Trang 1LỚP HỌC BỒI DƯỠNG MÔN TOÁN THẦY NAM
16
BÀI TẬP TÍCH PHÂN
Biên Soạn: Thầy Nam
ĐT: 0981 929 363
Trang 2NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363
1
BÀI TẬP TÍCH PHÂN VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:
a
f x dx F b F a
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm
– Nắm vững phép tính vi phân
Bài 1 Tính các tích phân sau:
1
3
) 1 2
2
1
1 3 2
)
3
x
x x c) 2
1 2
1
dx x x
d)
2
2
1 x dx2
x
1
2 2
2 4
4
dx x
x
2 1
e
x x
g)
2
1
( x 1)(x x1)dx
2
2 3 1
(x x x x dx)
4
1
4 3
4
x
k)
2 2
3
1
2
x
2
1
x
8
3 2 1
1 4
3
x
Bài 2 Tính các tích phân sau:
a)
2
1
1
x dx
5 2
dx
x 2 x2
2
2 3 1
(x x x x dx)
d) 2
0 2
1xdx dx
x
2 2
0 3 3
3 1
x
0x x 9dx
Bài 3 Tính các tích phân sau:
0
) 6 2
2 3
(2sinx3cosx x dx )
0
Trang 3NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363
2
d)
4
2 0
tan
cos
x dx x
3 2 4
3tan x dx
f)
4
2 6
(2cot x5)dx
g)
2
dx
x
h)
2 0
1 cos
x
i)
2 2 2 0
k)
3 2
6
(tanx cot )x dx
2 2
4
4
x dx x
4 4 0
cos x dx
Bài 4 Tính các tích phân sau:
a)
1
0
dx
2 2 1
ln
2 1 0
4 2
x x
e dx e
d) ln2
0 1
x x
e dx
e
1 e x(1 e x)dx
x
02
x x
e dx
0 e xsinxdx
h) 4 1
x
e dx x
1 ln
x
k) 1
ln
x
0
x
xe dx
1 0
1
1e x dx
VẤN ĐỀ 2: Tính các tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Giả sử ta cần tính b ( )
a
g x dx
Nếu viết được g(x) dưới dạng: g x( ) f u x u x ( ) '( ) thì ( )
( )
b
g x dx f u du
Dạng 2: Giả sử ta cần tính f x dx( )
Đặt x = x(t) (t K) và a, b K thoả mãn = x(a), = x(b)
f x dx f x t x t dt g t dt
g t( ) f x t x t ( ) '( )
Trang 4NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363
3
Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
Bài 1 Tính các tích phân sau: (đổi biến số dạng 1):
0
19
) 1
0
3 2 3
) 1
x
0 2 5
1dx
x x
xdx
e)
1
2 0
1
x x dx
1
3 2 0
1
x x dx
5
2
4
x
x
dx
0
2
3 5
1
2
dx x
x x
i)
ln2
0 1
x x
e dx e
k)
ln3
3
0 1
x x
e dx
e
ln 2
x
x x
1
ln ln 3 1
0 cos2 4sin2
2 sin
dx x x
x
o) 2
0
2 3
sin 1
sin cos
dx x
x x
0
2 2
cos sin
2
2 sin
dx x x
x
f(x) cĩ chứa Cách đổi biến
Hoặc
Hoặc
Hoặc
Trang 5NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363
4
Bài 2 Tính các tích phân sau: (đổi biến số dạng 2):
1
0 1 x2
dx
2
dx x
2
1
2 2
d) 3
0
2
3
x
dx
0
2 2
) 2 )(
1
dx
0
2 4
1
x x xdx
g)
0
2
1 2 2
dx
1 3
2
1
dx x
x
i)
1
0
5 2
dx
k)
2
3
2
2 1
dx
x x
2 2 2
2
0 1
x dx x
2
2 0
2
x x x dx
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp từng phần
Bài 1 Tính các tích phân sau:
a) 4
0
2
sin
xdx
0
2
cos ) sin (
xdx x
0
2
cos xdx
x
2
4
0
cos
3 2 4
tan
x xdx
f) 1 0
2
) 2
g) ln2xe x dx
0
e
1
2
2
)
k) 2
0
3
5 sin
xdx
0
cos
2 sin
xdx
1
3
ln
e
1
2
3
e
dx x
x
1 2
ln
0
1
3 2
Trang 6NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363
5
VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số cĩ chứa giá trị tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) cĩ chứ GTTĐ, ta cần xét dấu của f(x) rồi sử dụng cơng thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ
Bài 1 Tính các tích phân sau:
a) 2
0
2 dx
0
2
dx x
0
2
3 2
d)
3
2
3
1
5 2
3 0
2x 4dx
g)
4
2
1
x x dx
0
2 3
4
1 1
4 x dx
Bài 2 Tính các tích phân sau:
a) 2
0
2 cos
0
1 sin2 x dx
2 2
sin x dx
2 0
1 cos xdx
0
g)
3
2 2 6
tan xcot x2dx
h)
3
3 2
i)
2 0
1 sin xdx
VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Bài 1 Tính các tích phân sau:
a) 3
1
3
x
x
dx
0 2
6
5x
x
dx
0 2 3
1
2x
x
dx x
d)
1
0
3
2
x
3
2
9 2
dx x
1 2
) 1
x dx
Trang 7NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363
6
2 x (x 1)
dx
1
0 2
6 5
11 4
x x
dx x
i)
1 3 0
1 1
x
k)
0 3 2
2 1
3 2 3 2
1 2
3
0(3 1)
x
Bài 2 Tính các tích phân sau:
0
2
2
2x
x
dx
3
0 2 2
1
2 3
dx x
x
0
2
2 3
4
9 4 2
dx x
x x x
d)
1
2 2 0
1 (x2) (x3) dx
1 3 2 0
1 1
x
1 4
01 x dx x
g)
2
4 1
1
x x
2 2008
2008 1
1
3 4
2 2
2( 1)
x
k)
2
2
0
1
4x dx
2 2 4 1
1
x
1 4 2 0
2
x
VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vơ tỉ
Bài 1 Tính các tích phân sau:
2
2
0
2
1dx
x
3
1
dx x
x
x
dx
x
6
22 1 4 1
dx
x x
4
1
dx x
x
g)
10
5 2 1
dx
x x
0
2
3 4
dx x x
k) 3
7
0
1
dx x
x
2 3
2
5 4
dx
x x
3 5 3
2
0 1
x
n)
2
2
0
1
x
2 3 2
2 1
dx
x x
2 3
1 1
dx
x x
Trang 8NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363
7
Bài 2 Tính các tích phân sau:
a)
1
2 2
0
1
x x dx
3 2
2 2 1
1 1
1
2 3
0 (1 )
dx x
d)
2
2
1
2008
3
3 2 0
10
1
2 0
1 x dx
g)
1
2
11 1
dx
2 2
1 2008
dx
x
1 3
2
0 1
x dx
x x
k)
2
2
2 3
0 (1 )
dx x
2 2 2
2
0 1
x dx x
5 4
2 1
12x4x 8dx
Bài 3 Tính các tích phân sau:
a)
2
0
cos
7 cos2
xdx x
2 2 0
sinx cosxcos xdx
c)
2
2 0
cos
2 cos
xdx x
0
1 cos xsin cosx xdx
e)
2 0
1 3cos
x x dx x
3 0
cos
2 cos2
xdx x
g)
2
2 0
cos
1 cos
xdx x
3
2 4
tan cos 1 cos
x dx
2 0
1 3cos
x x dx x
Bài 4 Tính các tích phân sau:
a)
ln3
0 x 1
dx
e
ln2 2
0 1
x x
e dx
e
1
1 3ln ln
e
x x dx x
d)
ln3 2
ln2
ln
x dx
0
2 3 1
ln2
3
0 ( 1)
x x
e dx
e
g)
ln3
0 ( 1) 1
x
e dx
e e
1 0
x
e e
ln2 0
1
x
e dx
Trang 9NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363
8
VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Bài 1 Tính các tích phân sau:
a) 4
0
cos 2
sin
xdx
0
tan
01 3cos sin
dx x x
d) 2
0
3
sin
0
2
0
2
3
g)
2 2 4
0
h) 2
0
3 2
cos sin
xdx
2 4 5 0
k)
2
3 3
0
(sin xcos )x dx
3 2 0
cos cos x dx1
x
0 1 cos
cos 2 sin
dx x
x x
n)
4
3
0
tan xdx
o)
3 4 4
tan xdx
3
3 4
sin cos
dx
x x
q)
3 2
2 0
sin
x
3 2 0
cos
x
s)
/3 4
dx
Bài 2 Tính các tích phân sau:
a) 2
0
5 3
cos sin cos
1
xdx x
6
cos sin
2 cos 2
sin 1
dx x x
x x
x x
x
4
2
cos 1 cos tan
d)
2
4 4 0
cos2 (sinx xcos )x dx
0
sin
) cos (tan
dx x e
0
3 2
2 sin sin
1
g)
3
0
sin ln(cos )x x dx
3 4
2 2 5 0
sin
x dx
3
2 2 3
1
Trang 10NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363
9
Bài 3 Tính các tích phân sau:
a)
2
3
1
sinx dx
b)
2
dx x
2 0
1
2 sin x dx
d)
2
0
cos
x
2 0
cos
x
f)
2 0
sin
2 sinx dx x
g)
2
0
1 sinxcosx1dx
2 2
x x dx
i)
4
4
dx
k)
2
2 0
(1 sin )cos
(1 sin )(2 cos )
x x dx
l)
3
4
dx
x x
3
6
dx
x x
Bài 4 Tính các tích phân sau:
0
cos ) 1 2
(
xdx
01 cos2
x
xdx
0 2
cos
dx x x
d)
2
3
0
sin xdx
e)
2 2 0
cos
x xdx
f)
2 2 1 0
sin2 x e x dx
g)
2
1
cos(ln )x dx
3 2 6
ln(sin )
x
i)
2 2 0
(2x1)cos xdx
0
sin
x
4 2 0
tan
x xdx
0
sin cos
2
sin 3
0
sin cos
x
e x xdx
4 0
ln(1 tan ) x dx
p) 4
0 4
cos
x dx
Trang 11NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363
10
VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân của các hàm số Mũ và Lơgarit
Bài 1 Tính các tích phân sau:
a) 1
01 x
x
e
dx
e
0 e x 5
dx
1 0
1 4
e
d) ln8
3
dx e
e
x
x
3 ln
2
e x x f) ln2
0 1
1
dx e
e
x x
g)
2
1
1
1ex dx
2 2
0 1
x x
e
1
0 1
x x
e
1
ln
1 2
0 1
x x
e
ln3 0
1 1
e
Bài 2 Tính các tích phân sau:
a) 2
0
sin
xdx
0
2
dx
0
dx
xe x
0
cos ) cos (
xdx x
0
1
2 1
1 ln
x
g)
2
e
e
x
e
dx x x
x
x
1
2
ln 1 ln
ln
i)
3
2
ln(ln )
e e
x dx x
k)
2
2
1
ln xdx
x
3 2 6
ln(sin ) cos
x dx x
m)
1 0
1
x
Trang 12NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363
11
VẤN ĐỀ 9: Thiết lập cơng thức truy hồi
Giả sử cần tính tích phân: n b ( , )
a
I f x n dx (n N) phụ thuộc vào số nguyên dương n Ta thường gặp một số yêu cầu sau:
Thiết lập biểu thức truy hồi, tức là biểu diễn I n theo các I n-k (1 k n)
Chứng minh một cơng thức truy hồi cho trước
Tính một giá trị
0
n
I cụ thể nào đĩ
Bài 1 Lập cơng thức truy hồi cho các tích phân sau:
a)
2
0
sinn
n
I xdx
Đặt:
1
sin sin
n
b)
2
0
cosn
n
I xdx
cos
n
c)
4
0
tann
n
I xdx
Phân tích: tann xtann2xtan2x 1 tan n2x
d)
2
0
cos
n n
I x x dx
Đặt
cos
n
u x
2
0
sin
n n
J x x dx
Đặt
sin
n
u x
e)
1
0
n x
n
n x
u x
dv e dx
f)
1
ln
e
n n
I x dx Đặt u lnn x
dv dx
Trang 13NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363
12
g)
1
2 0
n
sin
n
h)
1
2
0(1 )
I
x
2 2
2 2 2
Tính
1 2 2
0(1 )
x
2
u x
x
x
i)
1
0
n n
I x x dx Đặt
n
u x
dv x dx
k)
4
0 cos
x
x
1 cosn
t
x