Phân loại một sô bài toán ứng dụng tích phân - sáng kiến kinh nghiệm

www.facebook.com/hocthemtoan

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT CẨM THUỶ 3

-

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài:

Phân loại một số bài tập ứng dụng tích phân chương III – Giải tích lớp 12 nâng cao

Người thực hiện: Ngô Tiến Hoàng Đơn vị : Trường THPT Cẩm Thuỷ 3 Chức vụ : Tổ trưởng chuyên môn

Tổ chuyên môn: Toán - Tin

Phần mở đầu

I Lý do chon đề tài

II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

III Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

IV Phương pháp nghiên cứu

V Cấu trúc của đề tài

Phần nội dung

I Tính diện tích hình phẳng

II Tính thể tích vật thể tròn xoay

Phần kết luận

I Một số kết quả và hạn chế của đề tài

II Một số ý kiến đề xuất

III Triển vọng của đề tài

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài.

Bài toán tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong chương trình Giải Tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản, thực tế và quen thuộc Tuy nhiên các em học sinh thường chưa có sự phân tích và tư duy thực tế dẫn tới mắc sai lầm và đưa ra những lời giải sai, chưa chính xác Việc hệ thống hoá các phương pháp giải, chỉ ra một số sai lầm khi giải toán sẽ cho phép nhìn nhận các bài toán theo một hệ thống nhất quán từ đó giúp các

em học sinh có thể thấy được thuật toán chung cũng như tránh được những sai lầm khi giải các bài toán có liên quan Khắc phục được khó khăn và sửa chữa được các sai lầm đó là rất cần thiết, giúp cho quá trình giải toán được dễ dàng, thuận lợi và đạt hiệu quả cao Đồng thời phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán cũng như các môn học khác Xuất phát từ thực tế trên, tôi mạnh dạn đề xuất một ý kiến nhỏ “Phân loại các bài tập ứng dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12 nâng cao”

II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Với sáng kiến “Phân loại các bài tập ứng dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12 nâng cao” tôi chủ yếu đi vào khai thác một số bài toán về ứng dụng của tính phân để diện tích và thể tích trong chương trình Giải tích THPT lớp 12- nâng cao và các bài toán trong các đề thi đại học trong những năm gần đây nhằm tìm ra hướng giải quyết cho bài toán một cách chính xác, lôgíc

và khoa học

III Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm xây dựng và chỉ ra được một

số sai lầm và một số chú ý giúp cho học sinh cũng như đồng nghiệp giáo viên

có cái nhìn toàn diện hơn về ứng dụng của tích phân trong hình học tránh nhầm lẫn và nhanh chóng giải quyết bài toán Trên cơ sở đó học sinh có thể tự tìm tòi phát hiện các vướng mắc, các cách giải hay trong nhiều bài toán khác

IV Phương pháp nghiên cứu.

1 Nhóm phương pháp nghiên cứu lý thuyết

Nhóm phương pháp lý thuyết bao gồm việc thu thập các tài liệu, sách báo, giáo trình … có liên quan đến nội dung của đề tài Trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, khái quát hoá thành nội dung cần thiết cho đề tài

Căn cứ vào mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài, tôi đẫ thu thập tài liệu

từ nhiều nguồn khác nhau:

+ Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao - Bộ giáo dục và đào tạo

+ Phương pháp giải toán Tích phân nhóm tác giả: Trần Đức Huyên, Trần Chí Trung

+ Phương pháp giải toán Tích phân tác giả: Lê Hồng Đức

+ Phương pháp giải toán Tích phân và Giải tích Tổ hợp tác giả:

Nguyễn Cam

+ Phương pháp mới giải đề tuyển sinh môn Toán tác giả: Trần Phương

…

2 Nhóm phương pháp thực tiễn.

Việc tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể là một nội dung đã được học ở lớp học dưới và rất thực tế, nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đối với các học sinh tư duy về hình học yếu Vì vậy cần thiết phải áp dụng vào trong việc giảng dạy thực tế để đánh giá ưu điểm, nhược điểm của

đề tài từ đó rút ra kết luận và đề xuất các ý kiến nâng cao hiệu quả giáo dục

V Cấu trúc của đề tài.

Phần mở đầu

I Lý do chon đề tài

II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

III Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

IV Phương pháp nghiên cứu

V Cấu trúc của đề tài

Phần nội dung

I Tính diện tích hình phẳng

II Tính thể tích vật thể

Phần kết luận

1 Một số kết quả và hạn chế của đề tài

2 Một số ý kiến đề xuất

3 Triển vọng của đề tài

PHẦN NỘI DUNG

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:

1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong:

Nếu hàm số yf x( )liên tục trên đoạn a b;  thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x( ), trục hoành và hai đường thẳng

,

x a x b  là

( )

b

a

S f x dx (1)

Để khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f(x) ta thường thực hiện:

Cách 1: Sử dụng “định lí về dấu của nhị thức bật nhất”và “định lí về dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f (x)

( Chú ý: Nếu f (x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có:





b

a b

a

dx x f dx x

f

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn a; b để suy ra dấu của f (x)

trên đoạn đó

Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía dưới trục hoành thì

a b

x

)

f

Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành thì

a b

x

)

f

Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi

Khi đó để tính tích phân 

b

a

dx x f

S ( ) ta có thể tính như sau :









b

x

x

x

x

a

b

dx x f dx

x f dx x f dx x f

2

1 1

Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  4 x2, đường thẳng x=3, trục tung và trục hoành

Giải: Đặt f x( ) 4   x2 Ta thấy f x ( ) 0 trên 0; 2 và f x ( ) 0 trên 2;3 Theo công thức (1), diện tích S của hình đang xét là:

3 2 0

4

23

3

 



Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3  4x, trục hoành, đường thẳng x =-3 và đường thẳng x= 4

Giải: Đồ thị hàm số y x 3  4x cắt trục hoành tại 3 điểm x = -2, x = 0, x= 2 Cách 1: Lập bảng xét dấu ta có:

( ) 0

f x  trên  3 ;  2 0 ; 2 và f x ( ) 0trên  2 ; 02 ; 4

Khi đó diện tích S của hình đang xét là:

201

( )

4

dvdt





Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số:

Vẽ đồ thị hàm số: y  4 x2

60 50 40 30 20 10

10 20 30 40

Dựa vào đồ thị ta có:

201

( )

4

dvdt





Cách 3: Đồ thị hàm số y x 3  4x cắt trục hoành tại 3 điểm x = -2, x = 0, x= 2 Khi đó diện tích cần tìm:

201

( )

4

dvdt





Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = e Hình 16

x

f x   = xln x 

GiaoDiem

3 O

1

A

e

Hình 16 Giải

Trục tung có phương trình x = 0

Diện tích S cần tìm là  

e e

xdx x dx x x S

1 1

ln ln

Đặt 









 

2 1 ln

2

x v dx x du xdx

dv

x

u

Do đó

4

1 1

4 2 1

ln 2

1 2 1

ln 2 ln

2 2

2

1

2

1

2 2

1

















S

e e

e

(đvdt)

Nhận xét: Trong ví dụ 1, 2 là hai bài toán vận dụng ở dạng đơn giản, nhớ

công thức nhưng ở bài toán ví dụ 3 nhiều học sinh rất dễ nhầm lẫn ở việc xác định cận lấy tích phân Do đó cách vẽ đồ thị của hàm số để xác định hình cần tính là rất quan trọng.

Ví dụ 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

2 3

2





y , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3

2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng

,

x a x b 

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số yf x y g x( ),  ( )

liên tục trên đoạn a b; và hai đường thẳng x a x b ,  , ta có công thức sau:

dx x g x f S

b

a

 ( ) ( )

Trong công thức trên:

Trường hợp hình 1 ta có công thức khai triển của S:

( ) ( ) ( ( ) ( ))

Sf x  g x dxf x  g x dx nếu f x( ) g x( ),  x a b; 

Trường hợp hình 2 ta có công thức khai triển của S:

( ) ( ) ( ( ) ( ))

Sf x  g x dxg x  f x dx nếu f x( )g x( ), x a b; 

Trường hợp hình 3 ta có công thức khai triển của S:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( trong đó c là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số yf x y g x( ),  ( )

)

Một cách thức chung người ta thường thực hiện các bước sau:

Bước1: Nếu hai đường x a x b ,  đề bài cho thiếu một hoặc cả

hai thì giải phương trình f x  g x  để tìm

Bước 2: Áp dụng công thức (2)

Bước 3: Rút gọn biểu thức f x( ) g x( ), sau đó xét dấu của hiệu

này

Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàn số

y x  x y x  và hai đường thẳng x =-1, x= 3

Giải: Trước hết ta tìm hoành độ giao điểm các đồ thị của hai hàm số đã cho

Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x2 x 2  x 2 x2,x2

Khi đó ta có :

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 1 , y = x + 5

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

2

2

t 3

= ³

ï é - = + ï

=

ï ê - =

-ïî ë

Bảng xét dấu

x 0 1 3

2

x - 1 – 0 +

S = 2 ò - x - x - 4 dx +ò x - x - 6 dx

= çç - - ÷÷ +çç - - ÷÷ =

Vậy S 73

3

= (đvdt)

Ví dụ 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x , y 3 = 4x

Giải

Ta có, phương trình hoành độ giao điểm: x3= 4xÛ x= - Ú = Ú =2 x 0 x 2

0 2

Vậy diện tích cần tìm S = 8 (đvdt)

7 34

( )

3 3

Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đồ thị các hàm số:

2

4 3 , 3

yx  x y x 

Giải: Trước hết ta vẽ các đồ thị hai hàm số trên một hệ trục:

Từ hình vẽ ta suy ra hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình:

x  x   x x x

Khi đó :

109 (( 3) ( 4 3)) (( 3) ( 4 3)) (( 3) ( 4 3))

6

(đvdt)

Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

4 ,

4 4 2

Giải: Ta có: 4 2 2 2 1,( 0)

4 16 4

y     y Do đó đồ thị là nửa phía trên của

Elip 2 2 1

16 4

  Từ đó ta có đồ thị hai hàm số trên hệ trục:

Hoành độ của hai giao điểm A, B là nghiệm phương trình:

4 4 2

x

2 2 2 2

2 2

2 2

4

3





Chú ý: ở các bài tập này học sinh có thể gặp lúng túng khi xác định các cận lấy tích phân Lưu ý học sinh khi các bài toán có thể vẽ được đồ thị, không quá rắc rối và khó khăn (có thể vẽ phác họa) thì việc vẽ hình sẽ giúp nhận diện được hình cần tính một cách dễ dàng.

Trong trường hợp việc vẽ hình khó thực hiện, chưa xác định được dấu của biểu thức f x( )  g x( )thì nên sử dụng công thức tính bằng cách khử dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong (1 x)

y e x và ( 1)

y e x

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số:

(1 e x x)   (1 e x)  x 0,x 1

Khi đó diện tích cần tìm:

(1 ) (1 x) ( x

S e x e x dxx e e dx

Khi 0<x<1 thì ta có 0,( x) 0

x e e  nên:

2

Sx e e dx e xdx   xe dx 

Vậy diện tích cần tìm: S = 1

2

e

 (đvdt)

II Thể tích vật thể tròn xoay:

Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b , trong đó ( a < b)

Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay

Thể tích của vật thể này được tính theo công thức :

 f x  dx V

b

a

2

) (





Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 – 2x, y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục hoành Ox

Giải: Theo công thức (2), ta có:

0

V  x  x dx x  x  x dx  x    (đvtt)

Ví dụ 2: Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x 2 + y 2 = R 2 quay quanh Ox

Giải:

Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x 2 = R 2 Û x = ± R

Phương trình (C) : x 2 + y 2 = R 2 Û y 2 = R 2 - x 2

Theo công thức tính thể tích, ta có

R

-R

2

0

2 R x

ç

= pççè - ÷÷ø =

Vậy thể tích cần tim V 4 R3

3

p

= (đvtt)

Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y x x y ln ,  0,x e

Giải:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y x x y ln ,  0

x x  x ( do x>0)

Khi đó thể tích vật thể cầm tìm:

1

ln

e

Đặt

2

2

3

2ln ln

1 3

xdx du







 







2

e

x

Vậy thể tích cần tìm (5 3 2)

27

V  e  (đvtt)

Ví dụ 4: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox

x

y  ln , y = 0 , x = 1 , x = e

Giải: Theo công thức tính thể tích, ta có:

dx x dx

x

V

e e





1

2 1

)

Do đó







e e

e

xdx e

e dx x

e x x

e uv xdx

1

2 2

1 2

e

1 1

1 ln vdu

1 ln

I

e 2







e

xdx

I

1

ln









dx x du dx

dv

x

1 ) 1 ( 1

) ( 1 ln ln 1

) ln ( ln

1 1



















I

e e

Vậy Thể tich cần tìm V x dx x dx

e e





1

2 1

)

Chú ý: Trong trường hợp hình phẳng được giới hạn hai đường cong

y = f(x), y = g(x)khi đó thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức sau:

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f(x), y = g(x), x = a và x=b (a<b, f(x)³ 0,g(x)³ 0 x" Î éëa; b )ùû

quay quanh trục Ox là b 2 2

a

Ví dụ 1: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hai hàm số:

Thể tích cần tìm:

((4 ) ( 2) ) 12 (1 ) 16

Vậy V=16  ( đvtt)

Ví dụ 2: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2,

2

y = x quay quanh Ox

Giải:

Hoành độ giao điểm 4

x 1

ï =

V = pò x - x dx = p ò x - x dx

0

1x 1x 3

p

Vậy thể tích cần tìm V 3

10 p

= (đvtt)

PHẦN KẾT LUẬN

I Một số kết quả và hạn chế của đề tài

- Trong thực tế giảng dạy khi áp dụng ở các lớp khối 12 trường THPT Cẩm Thuỷ 3 đã thu được các kết quả khả quan, nó không chỉ giúp cho học sinh nắm vững hơn về kiến thức tích phân, diện tích, thể tích các hình, tránh được các sai lầm trong việc giải toán, ngoài ra học sinh còn phát hiện, tìm tòi các cách giải hay trong việc giải các bài toán trong sách giáo khoa và các sách bài tập

- Bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn còn một số hạn chế đó là: + Đề tài mới chỉ nêu được một số lưu ý, phân loại một số bài toán ứng dụng

+ Việc triển khai dạy về ứng dụng tích phân để tính diện tích các hình và thể tích vật thể trong chương trình hạn chế cần ôn tập và bồi dưỡng thêm trong các giờ học ngoại khoá

II Ý kiến đề xuất của đề tài.

Đề nghị Tổ bộ môn trong các buổi sinh hoạt tổ chuyên môn thảo luận góp ý, xây dựng để đề tài có thể triển khai thực hiện tới tất cả các thành viên của tổ

III Triển vọng của đề tài.

Do thời gian hạn chế nên đề tài mới chỉ dừng lại ở phạm vi phân loại một số bài tập nhỏ, Trong thời gian tới nếu được sự giúp đỡ góp ý của đồng nghiệp thì đề tài sẽ phát triển theo hướng sau:

+ Mở rộng phạm vi áp dụng bằng nhiều phương pháp giải khác nhau, việc áp dụng tích phân ở những bài toán phức tạp hơn

Tài liệu Tham khảo

 Nguyễn Cam, Phương pháp giải toán Tích Phân và Giải tích Tổ hợp, Nhà xuất bản Trẻ, 2008

 Lê Hồng Đức, Phương pháp giải toán Tích phân, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội, 2005

 Trần Đức Huyên, Phương pháp giải toán Tích phân, Nhà xuất bản Giáo dục, 2008

 Trần Phương, Phương pháp mới giải đề thi tuyển sinh môn Toán, Nhà xuất bản giáo dục, 1995

 Doãn Minh Cương, Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội, 2004

MỤC LỤC

Nội dung Trang

Phần mở đầu

I Lý do chọn đề tài

II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

III Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

IV Phương pháp nghiên cứu

1 1 1 3 4

5 11

15 15 15

V Cấu trúc của đề tài

Phần nội dung

I Tính diện tích hình phẳng

II Tính thể tích vật thể tròn xoay

Phần kết luận

I Một số kết quả và hạn chế của đề tài

II Một số ý kiến đề xuất

III Triển vọng của đề tài