Sáng kiến kinh nghiệm về một số phương pháp giải toán nguyên hàm tích phân

sáng kiến kinh nghiệm

A Đặt vấn đề

I Lời mở đầu.

Để bồi dỡng năng lực t duy độc lập ,t duy tích cực và t duy sáng tạo của học sinh, trớc tiên phải trang bị cho các em có nền kiến thức cơ bản phổ thông vững chắc, có khả năng giải các dạng bài tập Muốn vậy, ngời giáo viên phải vận dụng các phơng pháp khác nhau, hớng các em vào một môi trờng hoạt động tích cực, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh Ngời thầy giáo phải giúp học sinh xem xét một bài toán dới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tởng, kết nối giữa dữ kiện và yêu cầu của bài toán, giữa bài toán cha biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách giảI, biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng trờng hợp riêng lẻ để đem đến cái chung nhất mang tính chân lý Từ đó học sinh vận dụng các phơng pháp toán học để giải quyết các bài toán đặt ra

Với lý do đó tôi chọn đề tài “MỘT SỐ Phơng pháp giải toán

nguyên hàm – tích phân tích phân “

II Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu.

1)Thực trạng:

Trong chơng trình Giải tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân chiếm một phần rất quan trọng Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm, tích phân cha nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, cha có nhiều phơng pháp Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một hớng nhất định nào đó Do

đó các bài toán về nguyên hàm, tích phân cha khai thác hết đợc và cha phát huy đợc tính sáng tạo, khám phá của học sinh

Tôi nhận thấy việc khai thác các phơng pháp giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân để học sinh có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều cách giải khác nhau là một điều rất quan trọng

2)Kết quả:

Khi tôi đợc phân cônggiảng dạy lớp 12, tôi nhận thấy kiến thức

về giải tích của học sinh lớp tôi giảng dậy đợc phân công còn hạn chế: các bài toán về nguyên hàm, tích phân còn ít nên việc vận dụng các phơng pháp giải của học sinh còn chậm và đang còn bế tắc trong cách định hình phơng pháp giải

Do vậy tôi đã dần hình thành các phơng pháp giải, phát triển từ bài toán cơ bản đến những bài toán ở mức độ khó hơn Để công việc giảng dạy đợc tốt

Giáo viên Phan Tuấn Anh Trờng THPT Phù Cừ 1

hơn, tôi đã mạnh dạn cải tiến nội dung, phơng pháp, khai thác cấu trúc logic của bài toán, tìm ra nhiều phơng pháp giải cho bài toán, phát triển bài toàn dới nhiều hình thức khác nhau

B GiảI quyết vấn đề.

I các Giải pháp thực hiện

1. Các yêu cầu cơ bản về giải toán nguyên hàm – tích phân. tích phân.

I.1 Học sinh nắm vững các định nghĩa nguyên hàm – tích phân tích phân, các tính chất cơ

bản và các phơng pháp chủ yếu để tính nguyên hàm và tích phân

I.2 Học sinh có kĩ năng giải toán nguyên hàm và tích phân bằng nhiều phơng

pháp khác nhau, nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân để trong một sốtrờng hợp ta có thể tính các tích phân bằng một phơng pháp đơn giản hơn

I.3 Học sinh đợc phát triển về t duy thuật giải trong quá trình tính nguyên hàm,

tích phân theo những quy trình xác định, đợc rèn luyện về tính linh hoạt , khả năng sáng tạo trong quá trình giải toán

Trong chơng trình môn toán trờng phổ thông trung học, nội dung kiến thức

mà học sinh học về nguyên hàm và tích phân ở lớp 12 gồm các vấn đề sau

đây:

- Định nghĩa nguyên hàm Các tính chất của nguyên hàm Bảng các nguyên hàm cơ bản

- Định nghĩa tích phân Các tính chất của tích phân Các phơng pháp tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích

2 Các phơng pháp xác định nguyên hàm – tích phân. tích phân

1.1. Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số:















0 1

0 )

x khi x

x

x khi e x F

x

là một nguyên hàm của hàm số:

( )

x

e khi x

f x





trên R

Giải:

Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta xét hai trờng hợp sau:

- Với x  0, ta có: '( ) 0

x

e khi x

F x

x khi x



  f x F x/  với x 0

- Với x = 0, ta có:

Giáo viên Phan Tuấn Anh Trờng THPT Phù Cừ 2

0

0 ( ) (0)

0

x

F







 Nhận xét rằng F’(0-) = F’(0+) = 1  F’(0) = 1 mà f  0   1 f  0 F/ 0

có nghĩa là hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 0

'( ) ( )

x

e khi x

F x f x



Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.

1.2 Xác định nguyên hàm bằng phơng pháp phân tích.

Phơng pháp tích phân thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dới dấu tích phân thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận đợc từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết

Phơng pháp chung:

B

ớc 1: Biến đổi f(x) về dạng:

f(x) = 



n

i i

i f x

1

) (

 với fi(x) có nguyên hàm trong bảng công thức và i là các hằng số

B

ớc 2: Khi đó:









n

i

i i i

n

i

dx x f

1 1

) ( )

( )

Ví dụ 2: Tính tích phân :   x

e

dx I

Giải: Sử dụng đồng nhất thức:

1 = (1 + ex) – tích phân ex

Ta đợc:

= x - ln(1 + ex) + C

1.3 Xác định nguyên hàm bằng phơng pháp đổi biến số

- Phơng pháp đổi biến số đợc sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân.

Phơng pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

Định lý 1:

b Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm thì:

f(u)du = F(u) + C

Giáo viên Phan Tuấn Anh Trờng THPT Phù Cừ 3

c Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = (t) trong đó (t) cùng với đạo hàm ’(t) là những hàm số liên tục, ta đợc:

f(x)dx = f[(t)].’(t)dt

- Phơng pháp đổi biến số để tính tích phân xác định cũng có hai dạng cơ bản dựa trên định lý sau:

Định lý 2:

a Nếu f(x)dx = F(x) + C và u = (x) là hàm số có đạo hàm trong đoạn [a,b] thì:

) (

) (

) ( ) (

) ( )

(

b

a

b

a

u F du u f







b Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x = (t) xác định và liên tục trên đoạn [, ] và thoả mãn các điều kiện sau: (i) Tồn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn [, ]

(ii) () = a và ( ) = b

(iii) Khi đó:    

b

a

dt t t f dx x f







 ( ) ' ( ) )

(

Tuy nhiên cái khó của phơng pháp này là cách chọn hàm x = (t) hay u = (x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể

Lu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:

2 2 2

a  b x

sin ,

cos , 0

a

b a

b













2 2 2

t a  b x

2

2 a

x 



























 





2 , , 0 , cos

0 , 2

, 2

, sin









t t

t

a x

t t

t

a x

x a

x a

x

a

x

a









x ab x x= a + (b – tích phân a)sin2t

Hàm f(x) =

xaxb

1 t = xa xb

Hàm f(x) =

*

2 2 2

1

; n N

2 2

a

b

 

Giáo viên Phan Tuấn Anh Trờng THPT Phù Cừ 4

VÝ dô 1: TÝnh nguyªn hµm : 





1

2

x x

dx

Gi¶i: §æi biÕn §Æt t x2  1  t2 x2  1  tdtxdx

Ta cã:

1

2 2



VÝ dô 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n: 





8

dx I

Gi¶i:

§Æt:

2

2

1

1

x xdx tdt

x



dt t t

tdt x

x

tdt x

x

dx

































1 1

1 2

1 1 1

1

2

3 3

3

2

t



***S©u ®©y chóng ta ®i vµo tõng d¹ng cô thÓ

*Tr ường hợp I Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa a2  b x2 2

ta có thể tìm cách giải theo một trong hai hướng sau:

- Hướng thứ nhất : Đặt sin ; ;

2 2

a

b

 

  dx acost ;dt

b

2 2 2

a  b x = a cost

-Hướng thứ hai Đặt t = a2  b x2 2

VÝ dô 3: TÝnh c¸c tÝch ph©n:

1

0

4 3

I x  x dx

Lêi gi¶i:

§Æt

2 2

3

 



Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh Trêng THPT Phï Cõ 5

Khi đó:  

3

0

1 sin 4





*Tr ường hợp II:

Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn cú dạng f(x) = 

*

2 2 2

1

; n N

a b x 

thỡ ta đặt tan ; ;

2 2

a

b

 

Ví dụ 4: Tính các tích phân:

1

2 2

0 1 3

dx I

x







Lời giải:

Đặt x = 1

2 2

3 t t

 

  

  ; 1 + 3x2 = 1 + tan2t

X = 0 thỡ t = 0 ; X = 1 thỡ t =

3



Ta cú:

1

2 2

0 1 3

dx I

x





2 0

1

1 tan 3

dx t





3 2 0

1 cos 3



0

3

3 0









*Tr ường hợp III Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn cú dạng a e. xb

Ta cú thể đặt t = a e. xb

Ví dụ 5: Tính các tích phân:

ln12

ln 4

3

x

I  e  dx

L ờ i giải :

Đặt : 2

2

3

x

tdt tdt



x ln 4 thỡ t = 1 ; x ln12 thỡ t = 3

Giáo viên Phan Tuấn Anh Trờng THPT Phù Cừ 6

Vậy

ln12

ln 4

3

x

I   e  dx

1

 

Tính

3

1 2

1 3

dt I

t





Đặt : 3 tan ; ; 3 1 tan 2 

2 2

t u u     dt  u du

t2   3 3 1 tan  2u với 1

6

t  u ; 3

3

t  u

3

1 2

1 3

dt

I

t





2

3 2

6

u

u











3 4 3

I   

*Tr ường hợp IV

Nếu hàm số f x dưới dấu tích phân là hàm số chẵn thì ta có:

   

0

a

I f x dx f x dx



   (a>0)

Biến đổi I về dạng:      

0

0

I f x dx f x dx f x dx

Xét tích phân  

0

.

a

J f x dx



 Đặt : x t dxdt

Đổi cận xa t a x ;   0 t 0

Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn  f(-t) = f(t)

0

a

J f t dtf t dtf x dx (2)

Thay (2) vào (1) ta được    

0

a

I f x dx f x dx



VÝ dụ 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n:

1 2

1 1

dx I

x









L ờ i giải :

Hàm số dưới dấu tích phân :   1 2

1

f x

x



 là hàm số chẵn

Ta có

1 2

1 1

dx I

x







1 2 0

2 1

dx x



Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh Trêng THPT Phï Cõ 7

Đặt : tan ; ; 1 tan 2 

2 2

x t t     dx  t dt

Đổi cận 1 ; 0 0

4

x  t x  t

Vậy

1 2

1 1

dx I

x







 =

1 2 0

2 1

dx x



0

2

4 2

1 tan

t

dt dt t t









*Tr ường hợp V

Nếu hàm số f x dưới dấu tớch phõn là hàm số lẻ thỡ ta cú :   0.

a

a

I f x dx



  (a>0)

Ví dụ 7: Tính các tích phân:

3 2

2 3

sin 2 1

x









L ờ i giải :

NX : h m àm số dới dấu tích phân  

2 2

sin 2 1

f x

x



 xác định trên [ - 3 ; 3 ]   x  3;3 ta có :    

sin( 2 ) sin 2

f x

    f x  Vậy f x  lẻ trờn [ - 3 ; 3 ] Do đú

3 2

2 3

sin 2 1

x







*Tr ường hợp VI :

Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn f x  l hàm số liênàm

tục, tuần hoàn với chu kỳ T thì:    

0

a

f x dx f x





f x dx f x dx f x dx f x dx





3  

T

a T

I f x dx



  Đặt t x T  dx dt

Đổi cận: x a T   t a x T ;   t 0

0 3

I f x dx f t T dt f t dt f x dx



Giáo viên Phan Tuấn Anh Trờng THPT Phù Cừ 8

Thay (2) vào (1), ta đợc :    

0

a

f x dx f x





  (đpcm) áp dụng:

Ví dụ 8: Tính các tích phân:

200

0

1 cos



(đề thi học sinh giỏi toan cấp tỉnh lớp - 12 – tích phân 2006 -2007)

L ờ i giải :

xét hàm số   1 cos cos 2 2 cos

f(x) tuần hoàn với chu kì là 2 

Thật vậy :   2 cos

2

x

f x  có TXĐ: D = R

 x R thì x 2   R

 2  2 cos 2 2 cos

f x     

Giả sử  T 0 :T  2  mà f x T   f x   Rx

2 cos 2 cos

x R



Cho x = 0 đợc : cos cos 0 1.

2

T

k T k

Mà t > 0 k z  T  2  điều này mâu thuẫn vói giả thiết T  2 

Dođó

o

0

100 2 2sin 2sin 200 2

x  x 



Ví dụ 9: Tính các tích phân:    

2

2009 2011 0

tan 2 sin12





L ờ i giải :

Giáo viên Phan Tuấn Anh Trờng THPT Phù Cừ 9

Ta dễ thấy hàm số : f x   tan 2x2009sin12x2011 tuần hoàn

với chu kì là

2

 nên ta cú

0

 

Do f x  là hàm số lẻ trên ;

4 4

 



  nên  

4

4

0

f x dx









1.4 Tính tích phân bằng phơng pháp tích phân từng phần:

Phơng pháp tích phân từng phần đợc sử dụng rất thông dụng trong quá trình xác định nguyên hàm của hàm số Phơng pháp này cụ thể nh sau: Cho u, v là các hàm số có đạo hàm liên tục thì:

udv = uv - vdu

Còn đối với tích phân xác định, ta có:

   

b

a

b

a

b

uv udv

Dựa vào công thức tính tích phân từng phần,để tính tích phân I=f(x)dx ta tiến hành theo các bớc sau:

- Bớc 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:

I = f(x)dx = f1(x).f2(x)dx

- Bớc 2: Đặt: u = f1(x), dv= f2(x)dx  du,v

- Bớc 3: I = uv - vdu.

Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phơng pháp tích phân từng phần để tính nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:

- Lựa chọn phép đặt dv sao cho v đợc xác định một cách dễ dàng

- Tích phân vdu đợc xác định một cách dễ dàng hơn so với I

Ta dùng P(x) để chỉ cho một đa thức

- Khi gặp các tích phân có dạng:

P(x)axdx, P(x)sinxdx, P(x)cosxdx

nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x)

- Khi gặp các tích phân có dạng:

P(x)logaxdx

nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x)

Giáo viên Phan Tuấn Anh Trờng THPT Phù Cừ 10

- Khi gặp các tích phân có dạng:

eaxsinbxdx, eaxcosbxbx

nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = eax

Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của

ph-ơng pháp này:

1

) 1 ln(

2

2

dx x

x x x









1 )

1 ln(

2

x

x x

x









Đặt:  







































1

1 1 1 1

1 ln

2

2 2 2

2

x v

x dx dx x x x du dx x dv x x u

Khi đó:

I  x2  1 ln x x2  1  dx  x2  1 lnx x2  1  x C

***Sau đõy chỳng ta đi vào từng dạng cụ thể:

*Tr ường hợp I:

Nếu hàm số dưới dấu tớch phõn cú dạng f x g x   .

trong đú g x  là một hàm đa thức cũn f x  là một hàm số lượng giỏc thỡ

cỏch giải chung là đặt  

 

 

 

/

u g x du g x dx

dv f x dx v f x dx





Ví dụ 11: Tính tích phân: 2

0

sin cos 2





L ờ i giải :  

2

0

1 sin 3 2

I x x sinx dx



2 2

1

3

dx

u







0

x



*Tr ường hợp II:

Giáo viên Phan Tuấn Anh Trờng THPT Phù Cừ 11

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng f e x .g x  trong

đó g x  là một hàm đa thức thì ta có cách giải chung là

đặt :  

 

 

 

/

dv f e dx v f e dx





VÝ dô 11: TÝnh tÝch ph©n: 1 2 

0

1 x

I x  x e dx

L ờ i giải :

u x x

dv e dx v e

   



2

1

1

0

I  x  x e   x e dx e   x e dx e  I

1

1

0

2 1 x

I  x e dx Đặt: 1 1

dv e dx v e



 

1 1

0

I  x e  e dx e  e  e  e  e

Vậy : I = 2e-2

*Tr ường hợp III:

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng g x ln f x  . Trong đó g x  là một hàm đa thức hoạc là một hàm số lượng giác thì ta

có cách giải chung là đặt    

 

 

 

 

/

f x

dv g x dx

v g x dx









VÝ dô 11: TÝnh tÝch ph©n:  

1

2 0

ln 1 2

x

x







L ờ i giải :

Đặt:

ln 1

1 1 2

2

dx

x dx

dv

v x

x









Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh Trêng THPT Phï Cõ 12

 

1

1 0

1

0

dx

Tính :

1

1

0

I



Vậy 1ln 2 ln4

I  

*** Để củng cố cho hai phương đổi biến số và tích phân từng phần hay được sử dụng để tính tích phân ta đi làm một số ví dụ sau.

VÝ dô 11: TÝnh tÝch ph©n: 2sinx 2 2

a

a



   ( a > 0 )

L ờ i giải :

2 2 2 2

1 2

sin x

a

a



Tính : 2

1 sin x

a

a



 Đặt : f x  x2sinx xác đinh   x  a a; 

  x  a a;  thì f x  x2sin x x2 sinx=-f x 

 f x x2sinx là hàm số lẻ trên a a; 

 1 2sin x

a

a



Tính : 2 2 2

2

a

a

I x a x dx



  Đặt: g x  x2 a2  x2 với   x  a a;  thì

g x  x a  x x a  x g x  g x  là hàm số chẵn trên a a; 

2

0

2

a

I x a x dx x a x dx



2 2

t   

§æi cËn: 0 0;

2

x  t x a  t

2

a

Gi¸o viªn Phan TuÊn Anh Trêng THPT Phï Cõ 13