TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1... TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: 1... TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 1.
Trang 1TÍCH PHÂN
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
1
3
0
( x x 1) dx
1
e
x x
2
3 1
2
x dx
2 1
1
x dx
4
2
3
(2sin x 3 cosx x dx )
1 0
( ex x dx )
6
1 3 0
( x x x dx )
7
2 1
( x 1)( x x 1) dx
8
2
3
1 (3sin x 2 cosx ) dx
x
1
2 0
( ex x 1) dx
2
1
( x x x x dx )
2 1
( x 1)( x x 1) dx
12
3
3 1
x 1 dx ( ).
2
2 2 -1
x.dx
x
14
2
e
1
7x 2 x 5 dx x
x 2 5
2
dx
x 2
16
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln
3 6
x dx x
cos sin
18 4
2 0
tgx dx x
cos
19
0
e e
e e dx
20
0
e dx
e e
.
21
2
2
1
dx
4x 8x
22
3
0
dx
e e
ln .
0
dx
1 sin x
24
1 1
2 ( x x dx 25
2
0
3 )
3
2 2
( x x dx 26
2 2
) 3 (x dx
x 27
4
3
2 4) (x dx 28 dx
x x
2 1
3 2
1 1
29
2
1
3
dx
x
x
x
30
e
e
x dx
1
1
31
16 1
.dx
x 32 dx
x
x x
e
2
1
7 5 2
x
x
8
1 4
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1
2
3
sin xcos xdx
2
2
3
sin xcos xdx
3 2
0
sin
1 3
x dx cosx
3
4 0
tgxdx
4
4
6
cot gxdx
5 6
0
1 4sin xcosxdx
1 2 0
1
x x dx
7
1
2 0
1
x x dx
8
1
3 2 0
1
x x dx
9
3
x
dx
x
10
1
0
1
x x dx
11
2 3 1
1
1 dx
x x
12
1 2 0
1
1 x dx
13
1 2 1
1
14
1
2
0
1
1 dx
x
15
1
2 2 0
1 (1 3 ) x dx
16
2 sin 4
x
e cosxdx
17
2
4
sin
cosx
18 2
1 2 0
x
e xdx
19
2
3
sin xcos xdx
20
2 sin 4
x
e cosxdx
21
2
4
sin
cosx
22 2
1 2 0
x
e xdx
23
2
3
sin xcos xdx
Trang 224
2
3
sin xcos xdx
25 2
0
sin
1 3
x dx cosx
26
4 0
tgxdx
27
4
6
cot gxdx
28 6
0
1 4sin xcosxdx
1 2 0
1
x x dx
30
1
2 0
1
x x dx
31
1
3 2 0
1
x x dx
32
3
x
dx
x
33
1
0
1
x x dx
34
2 3 1
1
1 dx
x x
1
1 ln
e
x dx x
36
1
sin(ln )
e
x dx x
37
1
1 3ln ln
e
x x dx x
38
2ln 1 1
ee x
dx x
39
2
2
1 ln ln
e
e
x dx
x x
40
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx cos x
41
2
x
dx x
42
1
x dx
x
43
1 0
1
x x dx
44
1 0
1
x x
45
1 0
1
x x
46
3
1
1
x
dx
x
46
1
1 ln
e
x dx x
47
1
sin(ln )
e
x dx x
48
1
1 3ln ln
e
x x dx x
49
2ln 1 1
e x e dx x
50
21 ln2
ln
e
e
x
dx
x x
51
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx cos x
52
1
0
5
x x dx 53
2
4 0
54
4
2 0
4 x dx
4
2 0
4 x dx
56
1
2
0 1
dx x
57 e x dx
0 1
3
1
0
dx
e x
59
1
3
0
(2x 1)
60
1 0
x dx 2x 1
61
1 0
x 1 xdx
62
1 2 0
4x 11 dx
63
1 2 0
2x 5 dx
64
2
0
x 2x 1
65.6 6 6
0
(sin x cos x)dx
3 2 0
4sin x dx
1 cosx
4 2 0
1 sin2xdx cos x
68.
2
4
0
cos 2xdx
69
2
6
1 sin 2x cos2xdx sin x cosx
1 x 0
1 dx
e 1
71 4(cos x sin x ) dx
0
4 4
72
4
01 2 sin 2
2
cos
dx x
x 73
2
02 cos 3 1
3 sin
dx x
x 74
2
05 2 sin cos
dx x
x 75.
0
2
2
2
x
x
x
76
1
dx
77 2 3 2
0
cos xsin xdx
2 5 0
cos xdx
79. 4
2
0
sin 4x dx
1 cos x
80
1
0
x 1 x dx
81 2 2 3
0
sin 2x(1 sin x) dx
4 4 0
1 dx cos x
83
e 1
1 ln xdx x
84 4
0
1 dx cosx
Trang 385
1
1 ln xdx
x
86
1
0
x (1 x ) dx
87 6
2 0
6 5sin x sin x
0
tg x dx cos2x
89 4
0
3 sin 2
x x dx
x
90
2
0 cos2 4 sin2
2 sin
dx x x
x 91
5 ln 3
ln ex 2 e x 3
dx
92
2
0( 2 sin )2
2 sin
dx x x
93 3
4
2
sin
)
ln(
dx x
tgx
94
4 0
8 ) 1
(
dx x
tg 95
2
4 1 sin 2
cos sin
dx x
x x
96
2
0 1 3 cos
sin 2
sin
dx x
x
97
2
0 1 cos
cos
2
sin
dx x
x
x 98
2 0 sin cos ) cos (
xdx x
e x 99
2
11 x 1 dx
x
100
e
dx x
x x
1
ln
ln
3
1
101
4
0
2 2 sin
1
sin
2
1
dx x
x 102 1 2
0
1 x dx
103
1 2 0
1 dx
1 x
104
1
2 0
4 x
105
1 2 0
x x 1
106
1
0
x x 1
107 2
0
1
1 cos x sin x dx
2 2 2
2 0
1 x
109
2
1
110
2
3
2
2
101
2 1
9 3x dx x
112
1
5 0
1 (1 x dx )
x
113
2 2 2 3
1
1 dx
x x
0
cos
7 cos2
x dx x
115
6
0
1
x
116 2
0
cos
1 cos
x dx x
117
0
1x2 2x 2
dx
118
1
01 1 3 x
dx
119
2
1
dx x
x
x 120. 8
2 3
1
1 dx
x x
121
0 1
x dx x
122
3
0
1
x x dx
123
ln2
x
0
e 2
124
7 3 3 0
1
x
125
2
2 3 0
1
x x dx
126
3 2
5 x x2 4
dx
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
x d u x v x v x u x dx
Bài tập
1
3
3
1
ln
e
x
dx
x
2
1 ln
e
x xdx
3
1
2 0
x x dx
1 ln
e
x xdx
5
3 3 1
ln
e x dx x
6
1 ln
e
x xdx
7
1
2
0
x x dx
1 ln
e
x xdx
0 ( x c osx)s inx dx
1
e
x xdx x
Trang 411
2
2
1
ln( x x dx )
3
2
4
tan
x xdx
13
2 5 1
ln x
dx x
14
2
0
cos
x xdx
15
1
0
x
xe dx
Tính các tích phân sau
1)
1
0
3
.e dx
x x
2)
2 0
cos ) 1 (
xdx
x 3)
6 0
3 sin ) 2 (
xdx
x 4)
2 0
2 sin
xdx
x 5)
e
xdx
x
1
ln
6)
e
dx x x
1
2).ln
1
( 7)
3 1
ln
4x x dx 8)
1
0
2)
3 ln(
2 1
2 1) (x e x dx 10)
0
cos
x dx
x 11)
2 0
2.cos
dx x
x 12)
2 0
2 2 ).sin (
dx x x
x 13)
2 5 1
ln xdx x
0
x cos xdx
15)
1
x 0
e sin xdx
16)
2
0
sin xdx
17)
e 2 1
x ln xdx
18) 3
2 0
x sin xdx cos x
0
xsin x cos xdx
0
x(2 cos x 1)dx
21)
2 2 1
ln(1 x)dx x
22)
1
2 2x 0
(x 1) e dx
23)
e
2
1
(x ln x) dx
24) 2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
ln
e
e
x dx
x
26)
1 2 0
xtg xdx
27)
1 0
2 ) 2
28)
1
0
2) 1
x 29)
e
dx x
x
1
ln
30)
2 0
3 ) sin cos
(
xdx x
2 0
) 1 ln(
) 7 2
32)
3
2
ln( x x dx
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1
5
3
2 3 2
1
2
dx x
x
x
2
b a
dx b x a
x )( ) (
1
3 1
0
3
1
1
dx x
x x
x
x x
1
0 2
3
1
1
5 1
0
3
2
) 1 3
x
6
1
0
2
2( 3)
)
2
(
x
x 7
2 1
2008
2008
) 1
(
1
dx x
x
x
8
0 1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
9
3 2
2 2
4
) 1
x
10
1
0
2
3
2
)
1
( x dx
x
n
n
11
2 1
2 4
2
) 2 3 (
3
dx x
x x
x
12
2 1
4) 1 (
1
dx x
2
0
2
4
1
dx
x 14.
1
0
4
1 x dx
x
x
x
2
0
2 2 2
1
16 1
0
3
2) 1 ( x dx
x
17
4 2
2
3 2
1
dx x x
3 2 3
2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
19
2 1
4
2
1
1
dx x x
20
1
0
3
1
1 dx
x 21
1
0
6
4 5 6
1
2dx
x
x x x
22
1
0 2 4
1
x
x
23
1 0 6
4
1
1
dx x x
24
1
2
x
dx
x x
1
dx
x x
26
3
1
2
dx x
x
27 dx
x
x
1
0
3 1 2 2
Trang 528
0
1
1 2 1
2
2
dx x
x
x
x
x
2
0
1 2
1 3
30 dx
x
x x
1
0
2
3
3 2
31
dx x x
x
x
0
1
2
1 2 1
1
x
x x
1
0
2
1 1
2 2
33
1
0
2 4x 3
x dx
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1 2 x 4xdx
0
2 cos
sin
2
2 0
3
2 cos sin
xdx
x 3 x x dx
2 0
5
4 cos sin
4
2 0
3
3 cos ) (sin
dx x
5
2
0
4
(sin
2
cos
dx x x
x 6
2 0
2
sin 2 (
dx x x
x
2
3
sin
1
dx
x
8
2
0
4 4 10
(sin
dx x x x
2
0 2 cos
x
2
02 sin 1
dx
2
0
2
3
cos
1
sin
dx
x
x
12
3
6
4 cos
sin
dx
13
4 0
2
2 2sin cos cos sin
x x
x x
2
01 cos cos
dx x x
15
2
0 2 cos
cos
dx x
x 16
2
0 2 sin sin
dx x
x 17
2 0
3
cos 1 cos
dx x
x 18
2
1
dx x
2
3
2
)
cos
1
(
cos
xdx
20
2
2
3 cos 2
sin
1 cos sin
dx x x
x x
21
4 0 3
xdx
4
6
3
cot
23
3
4 4
xdx
4
01 1
dx tgx
25
4
4 cos(
cos
x x
dx
26
2
0 4sin 5cos 5
6 cos 7 sin
dx x x
x
2
0
sin
1 x dx 28
4
0 2sin 3cos 13
x x
dx
29
4
0
4
3
cos
1
sin
4
dx x
2
2 sin 2 cos 1
dx x x
x
2
01 cos
3 sin
dx x
x 32
2
4
sin 2
sin
dx
33
4 sin3
x
Trang 634
2
0
3
2 ) sin 1
(
2
sin
dx x
0
sin cosx x dx36
3
4
3
sin
sin sin
dx xtgx
x x
37
2
01 sin cos
x x
dx
38
2
0 2sin 1
x
2
4
5
3 sin cos
xdx
4 0
2
cos 1
4 sin
x
2
05sin 3
x
6
6
4 cos sin
dx
43
3
6 sin(
sin
dx
44
3
4 cos(
sin
x x
dx
45
3
4 6
2
cos sin
xdx
46
dx x
6
(
3
6
47
3
0
3
) cos (sin
sin
4
x x
xdx 48
0
2
2
) sin 2 (
2 sin
x
49
2 0
3
sin
dx
x 50
2 0
2cos
xdx
2
0
1 2
2
sin
dx e
x
2
01 cos
sin
1
53
4
6
2 cot
4 sin 3 sin
dx x g tgx
x x
54
2 0
sin
2 sin
x x
2
1
)
cos(lnx dx
56
3
6
2
cos
) ln(sin
dx x
x
57 x x dx
2 0
2
cos ) 1 2 (
58
0
2
cos sinx xdx
4 0 2
xdx xtg 60.
0
2
2 sin xdx
e x
61
2
0
3 sin2 sin cos
xdx x
e x 62
4 0
) 1
ln(
dx
4 0
2
) cos 2 (sin
x x
dx 64.
2
0
2 ) cos 2
)(
sin
1
(
cos ) sin
1
(
dx x x
x x
65
2
2
sin 2 sin 7
x xdx
66
2
0
cos (sin cos )
67
0
4sin
1 cos
x
68
2
2
3 cos
5
cos
xdx
2
2
2 sin 7 sin
xdx
x 70
4 0
cos 2 sin
xdx
x 71
4 0
2
sin
xdx
Trang 71
3
2
5 x x2 4
dx
2
2
3
2 x x2 1
dx
3
2 1
2
1(2x 3) 4x2 12x 5
dx
4
2
1 x x3 1
dx
5
2
1
2 2008dx
x
6
2
1 x2 2008
dx
7
1
0
2
2 1 x dx
x 8
1
0
3
2) 1 ( x dx 9
3
1 2 2
2
1
1
dx x
x
x
10
2 2
1
dx x x
11
1
0 (1 x2)3
dx
12
2 2
0 (1 x2)3
dx 13
1
0
2
1 x dx 14
2 2
2
1 x
dx
x 15
2
0 7 cos2 cos
x xdx
16
2
0
2
cos cos
sin
dx x x
2
0 2 cos2 cos
x
2
0 1 3cos
sin 2 sin
dx x
x
7
3
1 x
dx x
20
3
0
2
3 10 x dx
x 21
1
0 2x 1
xdx
22
1
0 2
3
1
x x
dx x
23
7
dx
24
dx x
x
1
0
8
15 1 3
25
2
0
5
6 1 cos3 sin cos
xdx x
3 ln
0 e x 1
dx 27
1
11 x x2 1
2 ln
0
2
1
x x
e
dx e
29
1
4
5
2 8 4
12x x dx 30.
e
dx x
x x
1
ln ln 3 1
31
3
0 2
3 5
1 x dx
x x
32 x x x dx
4
0
2
3 2
33
0
1
3
3 ln 2 ln
2
1 ln
ln
dx x x
x
35
3 0
2
2
cos
3 2 cos
2 cos
dx x
tgx x
x
36
2 ln
0 ( x 1)3
x
e
dx e
37
3
0 2 cos2
cos
x
2
0 1 cos2 cos
x
xdx 39 dx
x
x
7
0 3 3
2
40
a
dx a x
2
0
2 2
VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1
3
3
2 1dx
x 2
2
0
2 4x 3dx
x 3.
1
0
dx m x
2
2
sin
dx
dx
x
sin
1
3
6
2
dx x g x
4 3
4
2 sin
dx
x 8
2
0
cos
1 x dx 9
5 2
) 2 2
(x x dx 10
3
0
4
2x dx
Trang 811
3
2
3
cos cos
cos
dx x x
4 2 1
5 3
( x 2 x 2 )dx
2
2
2
1
2
1
x
15
3
x
0
0
1 cos2xdx
2 0
1 sin xdx
18 x x dx
2 0
2
VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HèNH PHẲNG
Vớ dụ 1 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Vớ dụ 2 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Bài 1 : Cho (p) : y = x2+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trên
có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía dới 0x bằng nhau
Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi
0 1
3
y
x o
x x
y
Có hai phần diện tích bằng nhau
Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần
Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
4 2
4 2 2
1 1
3 2
a ax a
y
a a ax x
y
Tìm a để diện tích lớn nhất
Bài 6: Tớnh diện tớch của cỏc hỡnh phẳng sau:
1) (H1):
2
2
x
4 x
y
4 2
2) (H2) :
2
y x 3
3) (H3):
3x 1 y
x 1
y 0
x 0
4) (H4):
2 2
y x
5) (H5): y x 2
y 2 x
6) (H6):
2
x y 3 0
7) (H7):
ln x y
2 x
y 0
x e
x 1
8) (H8) :
2 2
9) (H9):
y x
10) (H10):
2
x y 0
11)
)
(
2 :
) (
: ) (
Ox
x y
d
x y
C
12)
1 :
)
(
2 :
)
(
:
)
(
x d
e y
13)
1 1 2
2
x
y
x y
14)
0 3 4
2
2
y x
x y
15)
0
0 2
y
y x
x y
16
2 2
1
1
2
x y
x
y
17
3 , 0 , 2
2
y y x y x y
18)
e x e x
y x y
, 1
0 ,
ln
19
cos 1
; sin
1
2
2 x y x
y
20): y = 4x – x2 ; (p) và tiếp tuyến của (p) đi qua M(5/6,6)
Trang 921)
11 4
4 2
x y
x
15 3
3 4
2
x y
x x
e x
y
x y
x y
0
1
24)
5 / /
/ 1 / 2
x y x y
25)
x y
x y
2
3
26)
0
2 / /
3 2
y
x x
y
27)
x y
x y
4 2
2
1
5 4
2 2
2
y
x x
y
x x
y
29)
7 / 1 /
2 2
x y
x y
30)
1
; 2 0
3
x x
x
y
31)
x x
x x
y
; 0
cos 2 sin
32)
0
2 3
y
x x
y
33)
2 2
2
x
y
x x
y
34)
4
; 0
6 3
2 2
2 2
x x
x x
y
x x
y
35)
2
6
y
36)
2
1 2
2 2 2
y
x x
y
x y
37)
2
/ 2 3 / 2
y
x x
y
38)
1
/ 6 5 / 2
x
y
x x
y
39)
2
/
x y
x x
y
40)
3
/ 3 4 / 2
y
x x
y
41)
1
x
e y
e y
x ẽ
42)
1
; 0
6 2 2
x x
x x
x y
43)
/ /
/ sin/
x y
x y
44)
8
4 4
2
2
2
y
x x
y
x
y
45)
0
0 1 2
2
2
2
y
y x
x y
46)
0
)
2 2
a
x a x y
47)
y x
x
y
sin
) 1
48)
2
/ 1 /
2
x
x
2
/ 1 / 2
x
y
x 32)
0
sin
) 1 ( 2
x
x y
y x
33)
2 4
4 4
2 2
x y
x y
34)
0
; 1 2
; 0
4 y x x y
x x
35)
x y
x
3
;
0
5 2
36)
16 6
2 2 2
y x x y
37)
x y
x y
x y
27
2 2
38)
x y
x y
4
) 4 (
2
3 2
39)
1 0 ,
10
1
/
lo g
/
x x
x y
40)
2 2
x ay
y ax
(a>0) 41)
x
x x y
x y
0
sin 2 42)
2 2
2
) 1 ( 8 27 2
x y x y
43)
x2/25+y2/9 = 1 và hai tiếp tuyến đi qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất
45)
0
3 4
2 2 3
y
x x
x
y
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRềN XOAY Cụng thức:
V b f x dx
a
2 ) (
V b f y dy
a
2 ) (
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi cỏc đường : y x;y 2 x;y 0
Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2) 2 và y = 4
Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh:
a) Trục Ox b) Trục Oy
) ( :
) ( C y f x
b
a
x
y
O
b
a
x
y
0
x
O
) ( : ) ( C x f y
b
y a
y
Trang 10Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
2
21 ;
x
x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 21. 2
x e
x ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln( 1 x3 ) ; y = 0 ; x = 1
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
1)
4
) 2
y
x
y
quay quanh trôc 0x; 2)
4
4
2
y
x y x
y quay quanh trôc 0x;
3)
1 , 0
,
0
1
1
2
x x
y
x
y
quay quanh trôc 0x; 4)
0
y
x x y
quay quanh trôc 0x;
5)
e x
x
x x
y
; 1
ln
quay quanh trôc 0x; 6) (D)
1
10 3
) 0 (
2
y
x y
x x
y
quay quanh trôc 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2
7)
x y
x
quay quanh trôc 0x; 8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
9) MiÒn trong (E): 1
4 9
2 2
y
x
quay quanh trôc 0x; 10)
1 0
; ,
x xe
quay quanh trôc 0x;
11)
x
x x
y
; 2
0
si n
quay quanh trôc 0x; 12)
x y
x y
3 10
2
quay quanh trôc 0x;
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc 0x;
14)
2
; 0 4 4
x x
x
y quay quanh trôc 0x; 15)
0
; 0
1
y x
x y
quay quanh trôc 0x
