KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1- Nguyên hàm a- Khái niệm: Cho hàm số fx liên tục trên khoảng K... Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s.. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây làm tròn đến hàng đơn vị 17- Gọ
Trang 1B.S Phạm Công Như - 1 -
NGUYÊN HÀM–TÍCH PHÂN–ỨNG DỤNG
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1- Nguyên hàm
a- Khái niệm: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu ∀ x ∈ K : F/(x) = f(x) Nếu hàm số f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì
∀ C ∈ R, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là : F(x) + C Kí hiệu : ∫ f(x)dx=F( )x +C
b- Bảng các nguyên hàm:
∫dx=x+C
) 1 ( 1
1
−
≠ +
+
=
α
α
x
) 0 (
=
x
C e dx
∫ = +
∫ = + (0<a≠1)
lna C
a dx a
x
∫cosxdx=sinx+C
∫sinxdx=−cosx+C
C tgx x cos
dx
C gx cot x
sin
dx
∫du=u+C
) 1 ( 1
1
−
≠ +
+
=
α
α
u
) 0 (
=
u
C e du
∫ = + (0<a≠1)
lna C
a du a
u
∫cosudu=sinu+C
∫sinudu=−cosu+C
C tgu u cos
du
∫
C gu cot u
sin
du
∫
2- Tính chất: ∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫ (x)dx+b∫g(x)dx (Với a,b là các hằng số ≠ 0)
3- Công thức nguyên hàm từng phần: ∫ u( ) ( )x v/ x dx=u( ) ( )x v x −∫ v( ) ( )x u/ x dx
4- Công thức đổi biến số: ∫ f(t)dt= F(t)+C⇒∫ f[u(x)]u'(x)dx= F[u(x)]+C
II TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
1- Khái niệm: Tích phân từ a đến b của hàm số : f(x) là: b f ( x ) dx F ( x ) F ( b ) F ( a )
a
b a
−
=
=
F(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x)
2- Công thức đổi biến số:loại 1: ∫b =∫
a
dt t u t u f dx x f
β α
) ( ' )]
( [ )
( , ( a= u(α), b = u(β) )
và loại 2 : ∫b [ ] ( ) ( ) =∫
a
du u f dx x u x u f
β α
) (
/ ( α = u(a), β = u(b) ) 3- Công thức tích phân từng phần: ∫b ( ) ( ) = ( ) ( ) −∫ ( ) ( )
a
b a
b
x v x u dx x v x
4- Diện tích hình phẳng :
Trang 2a- Hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành, 2 đường thẳng đứng: x = a, x = b : S = ∫b
a dx x
f( ) b- Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a,b], các đường thẳng x = a, x= b : S = ∫b − ( )
a
dx x g x
f( ) 5- Thể tích vật thể :
a- Vật thể do Hình D giới hạn bởi các đường: y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành, 2 đường thẳng x = a, x = b; khi D quay quanh trục hoành: V = b∫ ( )
a dx x
f2 π
b- Vật thể do Hình D giới hạn bởi các đường: x = g(y) liên tục theo biến y trên đoạn [c;d], trục tung, 2 đường thẳng y = c, y = d; khi D quay xung quanh trục tung: V = d∫ ( )
c dy y
g2 π
III BÀI TẬP
1- Tìm nguyên hàm của các hàm số:
x x f x
x e x
d
x c x
b x
a
8 2
5 ) 1
2
1 ) 3
1 5
2 )
9 ) 2
) 1
)
2 3 2
2
3 2
+
− +
− +
−
2- Tìm nguyên hàm của các hàm số:
)
1 3 ) 3
2 )
3 3
2
+ +
−
+
−
− +
x x x d x
c
x x x b x
x a
3- Tìm :
∫
∫
∫
+ +
− +
−
dx x
x d dx
x
x c
dx x
x x b dx
x
x x a
2
2 2 4
2
2
2 3 2
1 )
2 )
1 5 4 ) 3
)
∫
∫
∫
+ +
−
+
−
− +
−
−
−
−
−
dx x x x x x d
dx x x x c
dx x x x x b dx
x x a
3 2
2 2
3
2 1 4 3
3
1 3
2 ) 4
2 )
1 2 )
) 5 (
)
5- Tìm hàm số y = f(x) biết rằng:
)
3
7 2 , 2 )
5 1 , 1 2 )
2 /
/
2 /
/
= +
−
=
=
−
=
=
−
=
= +
=
f x
x x f d f
x x x
f
c
f x x
f b f
x x f
a
6- Tìm hàm số y = f(x) biết rằng:
)
2 1 , 1 )
8 0 , 2 3 )
2 3 /
/
3 3 / 2
/
=
− +
−
=
= +
− +
=
= +
+
=
= +
=
f x
x x f d f
x x x f
c
f x
x x f b f
x x f
a
7- Tìm hàm số f(x) nếu biết f/(x) = ax + 2
x b , f(–1) = 2, f(1) = 4 và f/(1) = 0 8- Tìm hàm số f(x) biết ( ) , ( )1 4, ( )4 9
14
15
f
9- Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác sau:
Trang 3B.S Phạm Công Như - 3 -
a) (2tgx + cotgx)2, b)
x
2
cos sin
1 c) 3
2 sin2 x
10- Tìm nguyên hàm của các hàm số bằng phương pháp đổi biến:
a) (5x + 3)5 b) sin4xcosx c)
1
+
x x
e e
11- Tìm nguyên hàm của các hàm số:
6 3
4 9 ) 2 5 ) 3
7
)
5 3 ) 1
4
)
−
+
−
+
−
x e
x d x c
x b x
a
12- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
x c x
x b x
x
4
3
cos
sin ) 1
cos 2 sin ) 5
6
+
13- Tìm nguyên hàm các hàm số bằng phương pháp đổi biến số
∫
∫
∫
− +
+ +
+ +
dx x x
x d
x
xdx c
dx x
x b dx x x a
5 4
4 2 ) 9
3
)
1
3 )
1 2
)
2 4
2
3 2 2
14- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số:
dx xe d
x x
dx
c
e
dx e b dx
x
e
a
x x
x tgx
∫
∫
∫
∫
+
−
−
+
4
2
2
2 ) ln
)
1
) cos
)
15- Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N(t) Biết rằng ( )
t t
N
5 , 0 1
4000
/
+
= , và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu?
16- Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc /( ) ( / 2)
1
3
s m t t
v
+
= Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây ( làm tròn đến hàng đơn vị)
17- Gọi h(t) (cm) là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây Biết rằng h/(t) = 3 8
5
1
+
t và lúc đầu không có nước Tìm mức nước ở bần sau khi bơm được 6 giây ( chính xác đến 0,01cm) 18- Tìm nguyên hàm của các hàm số:
3 sin ) ln
)
ln ) )
x x d x
x
c
x x b xe
a −x
19- Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
∫
∫
∫
xdx x
d dx
x x
c
xdx x
b dx
e x
3 cos )
2 ln )
2 cos 3 ) )
2 3
2 2
20- Giả sử sau khi áp dung công thức tính nguyên hàm từng phần ta có : ∫ f(x)dx = aG(x) – b∫ f(x)dx Chứng minh rằng : ( ) ( ) C
b
x aG dx x
+
=
21- Sử dụng kết quả bài 20 để tìm:
a) ∫ excosxdx b) ∫ exsinxdx c) ∫ ex sin2xdx
22- Tìm nguyên hàm các hàm số:
a) x3sinx b) sin(lnx)
23- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
Trang 4( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
− +
− +
−
−
+
−
−
+ +
−
−
dx x
x o
x
dx n
dx x x
x m
x
xdx l
dx x
x k
dx j
dx x x
x x i
e e
dx h
x
xdx g
x
xdx f
dx x x
e x
x
dx d
dx x
x c
dx xe b dx
x x
a
x x
x x x
2
3 2
2 2
2
2 2
2 2
2
cos
sin ) 1
) 3
2
4 )
sin
) cos
sin ln ) 3
2
)
cos sin
sin cos ) )
cos
sin
)
ln ) 1
1 sin ) 1
)
1 ) )
1
24- Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
+
dx x
x f
x x
dx e
xdx x
d
xdx x
c x
dx b
xdx a
cos 1
sin 1 ) sin
cos ) cos
sin
)
cos sin ) sin
) sin
)
2 4
4
4 3 3
4
25- Đặt: In = ∫ xnexdx ( n ∈ N*)
a) Chứng minh rằng : In = xnex – nIn-1
b) Tìm: I1, I2 , I3
26- Đặt In = ∫ sinnxdx ( n ∈ N*)
a) Chứng minh rằng : n = −sinn−1 .cos + −1I n−2
n
n n
x x I
b) Tìm I3
27- Tính các tích phân sau:
∫
∫
∫
−
−
−
−
+ +
+
0
2 5
2
4
1
0 2 4
2
2
) 4
3
)
1
3 )
1 )
dx e x d dx
x
c
dx x e b dx
x x
a
x x
28- Tính các tích phân sau:
∫
∫
∫
∫
+
−
−
+
−
3
1
2 3 4
1
2
1
0 3 2
0 2
1
4 2
) 1
)
1 )
) 3
)
dx x
x x x e dx
x d
dx x x c dx
x x x b dx
x x
a
29- Tính các tích phân :
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−
−
− +
1
1
2 1 1
0
1
1 2
1 2 1
0
) 1
)
)
4 ) 1
)
dx e e dx
e
d
dx e e c dx
e b dx
e
a
x x
x x x
x
30- Giả sử :
a) ∫ ( ) 3
3
0
=
dx x
∫ f z dz Tính ∫4 ( )
3 f t dt
b) ∫ ( ) 5
1
1
=
−
dt xt
∫− f r dr Tính ∫3 ( )
1 f u du
Trang 5B.S Phạm Công Như - 5 -
31- Giả sử M và m theo thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] Chứng minh rằng : m(b a) f( )x dx M(b a)
b
a
−
≤
≤
32- a) Dùng bài 29 đánh giá các tích phân:
∫
∫
+
= +
5 , 0 2
5 , 0
0 2 1
0 2
1
; 1
,
dx K
x
dx J
x
dx I
b) Từ công thức I = J + K, hãy đưa ra một đánh giá chính xác hơn cho I
33- Tính tích phân: e∫
e
dx x
1
ln
34- Một vật chuyển động với vận tốc : v( )t sin( )( )t m/s
2
1
π
π
π +
= Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây ( chính xác đến 0,01 m)
35- Một vật chuyển động với vận tốc : ( ) (m s)
t
t t
3
4 2
, 1 2
+
+ +
= Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 4 giây ( chính xác đến 0,01 m)
36- Tính các tích phân sau:
∫
∫
0 2
0
)
x x
dx c
dx x b
dx x a
π
37- Tính các tích phân sau:
∫
∫
∫
∫
∫
− +
+ +
+
−
−
12
10 2 1
0
3
2
1
1 2 2
1 5
4
2
2
1 2 ) 1
2
)
1
2 ) 2
1
3 ) 1
)
dx x x
x e
x
dx x
d
x
xdx c
dx x b
dx x x
a
38- Tính các tích phân:
∫
+ +
3
4 0
12
0 2 2
cos
)
π
π
π π
π
π
x
dx d dx x c
x tg x
dx b
dx x
x a
39- Tính các tích phân:
∫
−
2
0 1
1
4 2
1
2
cos 1 ) 2
3 ) 3
)
π
x
dx c
dx x
b dx
x x
a
40- a) Cho a > 0 Chứng minh rằng: (r k)
a a x
dx
−
= +
∫ 2 2 1
β α
, trong đó r và k là các số thực thỏa mãn :
a
tgk a
;
b) Tính : ∫2 +
02 cos
π
x dx
41- Chứng minh rằng hàm số : ( )=∫x +
t
tdt x
f
1
x ∈ R là một hàm số chẵn 42- Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [–a;a], Chứng minh rằng :
Trang 6( ) ( )
∫
2
0
lẻ hàm là f khi
chẵn hàm là f khi
a a
a
dx x f dx
x
−
+ +
2
2
2
1
43- Tính các tích phân sau:
∫
∫
∫
∫
1
0 1
2
1
0
2 0
3 2
0
) ln
)
1 ln ) sin
) cos
1 2
)
dx xe e xdx
x
d
dx x x c xdx
x b xdx
x
a
x e
π π
44- Tính các tích phân sau:
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
+ +
+ +
−
−
−
−
π
0
2 2
1 4
2 1
9
1 3 2
ln
0 2
1
5
cos 1
sin )
1 ) 1
1 2 )
1 ) 1
) 1
)
x
xdx x f dx
x
x e
dx x x
x d
dx x x c dx
e b dx
x x
45- Đặt: =∫2
0
sin
π xdx
I n n Chứng minh rằng : n = −1I n−2
n
n
I Từ đó tính I5,
46- Đặt: =∫2
0
cos
π xdx
I n n Chứng minh rằng : n = −1I n−2
n
n
I Từ đó tính I6, I7 47- a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : y = sinx, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2π
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : y = 2 – x, y = x2, trục hoành trong miền x
≥ 0
48- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : y = x3 – 3x2 + 2x, trục hoành trục tung và đường thẳng x = 3
49- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số :
a) y = x3 , trục hoành và đường thẳng x = 2
b) y = 4 – x2 và trục hoành
c) y = x3 – 4x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = –2
d) y = x3 – 4x, trục hoành, trục tung, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = 4
e) y = x – x và trục hoành
50- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số :
a) y = ex + 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1
b) y = e2x – 1, trục hoành, đường thẳng x = 1 và đường thẳng x = 2
c) y = ex – e –x, trục hoành, đường thẳng x = –1 và đường thẳng x = 1
51- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số :
a) y =
1
2
+
x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 4 b) y =
x
−
2
3 , trục hoành, đường thẳng x = –1 và đường thẳng x = 1 52- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số :
a) y =
x
x+1 , trục hoành, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = –1
Trang 7B.S Phạm Công Như - 7 -
b) y = 1 12
x
− , trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 1 c) y = 1 12
x
− , đường thẳng y =
2
1 và đường thẳng y = –
2
1 53- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong: y2 = 4ax (a > 0) và đường thẳng x = a bằng ka2 Tìm k
54- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số:
1
2
−
=
x
y , trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x= 3 b) Đồ thị hàm số
1
2
−
=
x
y , đường thẳng y = 2 và dtang y = 8 55- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số :
a) y = x2 + 2 , đồ thị hàm số : y = x, và2 đường thẳng x = 0, x = 2
b) y = 2 – x2 , đồ thị hàm số : y = x và 2 đường thẳng x = 0, x = 1
c) y = 2 – x2, đồ thị hàm số : y = x
d) y = x , đồ thị hàm số y = 6 – x và trục hoành
56- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số :
a) y = x2 + 4 va ø y = 7 – 2x2
b) x – y2 = 0 và: x + 2y2 = 3
c) x = y3 – y2 và x = 2y
57- Tính thể tích phần vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x = 0, x = 3, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có 2 kích thước là x và 2 9−x2
58- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số y = x(4–x) và trục hoành
b) Đồ thị hàm số y = ex , trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x = 3
c) Đồ thị hàm số: y =
x
1 , trục hoành và 2 đường thẳng x = 1, x = 2
d) Đồ thị hàm số y = x , trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x= 2
59- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số y = x2 , trục tung và 2 đường thẳng y = 0, y = 4
b) Đồ thị hàm số y = x3 , trục tung và 2 đường thẳng y = 1, y = 2
c) Đồ thị hàm số: y = lnx , trục tung và 2 đường thẳng y = 1, y = 0
d) Đồ thị hàm số y = 3 – x2, trục tung và đường thẳng y = 1
60- Tính đạo hàm các hàm số sau:
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
2
0 1
2
sin
1 2 0
cos )
( ) sin
)
(
)
3 ) ( ) cos
)
(
)
x x
x x
dt t x
G d dt
t x
G
c
dt t x
G b tdt
x
G
a
61- Tính các tích phân sau:
Trang 8( ) ( )
( )
∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
2
2
4 1
8
1
2 3 3 2 3
1
4
1
2 1
0
2
) 3 cos(
3 sin 15 ) 1
)
1 ) 5
sin
)
π
π
π
dx x x
d dx
x x
c
du u
u b
dt t a
62- Tìm f(4) biết rằng :
a) x f( )t dt xcos( )π x
2
x x dt t
0
63- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) parabol: y2 = 2x , tiếp tuyến của nó tại điểm A(2,2) và trục hoành
b) parabol :y = x2 – 4x + 5 và tiếp tuyến của nó kẻ từ điểm M(
2
5 ;–1)
c) đồ thị hàm số : y =
2
1 2
−
+
−
x
x
x , tiệm cận xiên của nó và 2 đường thẳng x = 0, x= 1 64- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số :
a) y = x2– 4 và y =
2
1 x2 + 4 b) x + y4 = 2 , 3
2
y
x= vàtrục hoành c) x = y2 , x + 2y2 = 3 và trục hoành
65- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) y = 2x – x2 và y = 0
b) y = lnx, y = 0 , x = 2
c) y = sinxcosx, y = 0, x = 0 x =
x
π
66- Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) x =
1
2
2 +
y y , y = 0, y = 1
b) y = 2x – x2 , y = 0, x = 2
c) Đường tròn tâm I(2,0) , bán kính R = 1
67- Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt trụ sau: x2 + y2 = a2 và: x2 + z2 = a2
68- Cho hàm số: y =
x x
−
1 , 0 < x ≤ 1
a) Tính diện tích hình phẳng A giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hoành và đường thẳng x =
2
1 b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành
c) Chứng minh rằng : 2
1
1
y
x
+
= , và từ câu a) suy ra giá trị của ∫1 +
01 y2 dy