Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần...
Trang 1I Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1 f(x) = x2 – 3x + 1x ĐS F(x) = x − x + lnx+C
2
3 3
2 3
2 f(x) = 2 42 3
x
x + ĐS F(x) = C
x
x −3+
3
2 3
3 f(x) = 2
1
x
x−
ĐS F(x) = lnx + 1x + C
4 f(x) = ( 2 21)2
x
x − ĐS F(x) = C
x x
x − 2 +1+
3
3
5 f(x) = x+ 3 x+ 4 x ĐS F(x) = x + x + x +C
5
4 4
3 3
5 3
4 2 3
6 f(x) = 1 32
x
x − ĐS F(x) = 2 x− 3 3 x2 +C
7 f(x) =
x
x 1 ) 2
( − ĐS F(x) = x− 4 x+ lnx+C
8 f(x) = x3−x1 ĐS F(x) = x −x3 +C
2 3 5
9 f(x) = 2 sin 2 2x
ĐS F(x) = x – sinx + C
10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C
11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x+ sin 2x+C
4
1 2
1
12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13 f(x) =
x
2 cos sin
1
ĐS F(x) = tanx - cotx + C
14 f(x) =
x x
x
2
2 cos sin
2 cos
ĐS F(x) = - cotx – tanx + C
15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = − cos 3x+C
3
1
16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = − cos 5x− cosx+C
5 1
17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = e2x −e x +C
2
1
18 f(x) = ex(2 + )
cos 2 x
e−x
ĐS F(x) = 2ex + tanx + C
19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = C
a
a x x
+ +
3 ln
3 ln
2
20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x+ 1 +C
3 1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS f(x) = x2 + x + 3
2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1
3
2x−x3 +
3 f’(x) = 4 x −x và f(4) = 0 ĐS f(x) =
3
40 2 3
−
−x
x x
4 f’(x) = x - 1 + 2 và f(1) = 2 ĐS f(x) = 1 2 3
2
− +
x
Trang 2
6 f’(x) = ax + 2 , f' ( 1 ) = 0 , f ( 1 ) = 4 , f( − 1 ) = 2
x
b
ĐS f(x) =
2
5 1 2
2 + +
x x
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Tính I = ∫f[u(x)].u' (x)dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)⇒dt =u' (x)dx
I = ∫f[u(x)].u' (x)dx =∫f(t)dt
BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 ∫( 5x− 1 )dx 2 ∫( 3−2x) 5
dx
3 ∫ 5 − 2x dx 4
∫ 2x dx−1
5 ∫( 2x2 + 1 ) 7xdx 6 ∫(x3 + 5 ) 4x2dx 7 x2 1 xdx
x
x
5
2
x
x
3 2
2
5
3
10 ∫ x( 1+ x) 2
dx
x
x
∫ln3 12 ∫x e x2 + 1dx
.
13.∫sin 4 x cos xdx 14 ∫ dx
x
x
5
cos
sin
15 ∫cotgxdx 16 ∫costgxdx2 x
17.∫sindx x 18 ∫cosdx x 19 ∫tgxdx 20 ∫ dx
x
e x
21.∫ x −3
x
e
dx
e
22 ∫ dx
x
e tgx
2
cos 23 ∫ 1 −x 2 dx 24 ∫ 4−x2
dx
25.∫x2 1 −x2 dx 26 ∫1 x+ 2
dx
2
dx x
28
∫x2 +x+1
dx
29.∫cos 3xsin 2 xdx 30 ∫x x− 1 dx 31 ∫e x +1
dx
dx
x
x3 2 1
2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫u(x).v' (x)dx=u(x).v(x) −∫v(x).u' (x)dx
Hay
∫udv =uv−∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 ∫x sin. xdx 2 ∫x cos xdx 3 ∫(x2 + 5 ) sinxdx
4
∫(x2 + 2x+ 3 ) cosxdx
5 ∫xsin 2xdx 6 ∫xcos 2xdx 7 ∫x.e x dx 8 ∫lnxdx
9 ∫x ln xdx 10.∫ln 2 x dx 11.∫lnxdx x 12.∫e x dx
x
x
2
cos 14.∫xtg2xdx
15.∫sin x dx 16.∫ln(x2 + 1 )dx
17.∫e x cosxdx 18.∫x3e x2dx 19.∫xln( 1 +x2 )dx
20.∫2x xdx
21.∫x lg xdx 22.∫2xln( 1 +x)dx 23.∫ + dx
x
x
2
) 1 ln(
24.∫x2 cos 2xdx
Trang 3TÍCH PHÂN
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
1
3
0
(x + +x 1)dx
2 1
1 1
e
3
1
2
x− dx
2
1
1
x+ dx
∫
4
2
3
(2sinx 3cosx x dx)
π
π
1
0
(e x+x dx)
1 3 0
(x +x x dx)
2
1
( x+ 1)(x− x+ 1)dx
8
2
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
π
π
1
2 0
(e x+ +x 1)dx
2
1
(x +x x+ x dx)
∫ 11.
2
1
( x− 1)(x+ x+ 1)dx
3 3 1
−
+
2
2 2 -1
x.dx
x +
2 e 1
x
∫
15
x 2
5
2
dx
2 2 1
x 1 dx
ln
+ +
3 6
x dx x
cos sin
π
π
2 0
tgx dx x
cos
π
∫
19
0
−
−
−
+
0
e dx
−
+
2
2 1
dx 4x +8x
3
0
dx
ln
−
+
∫
23 2
0
dx
1 sinx
π
+
−
+ + 1
1
2 1 ) 2
0
3
2 2
∫
−
−
2
2
)
3
(x dx
x 27 ∫
−
− 4
3
2 4 )
x x
2
1
3 2
1 1
29 ∫2 −
1 3
2 2
dx x
x x
30 ∫e
e
x dx
1
1
x
x x
e
2 1
7 5 2
dx x
x
∫8 −
1 33 2
1
4
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
2
2 3
3
sin xcos xdx
π π
0
sin
1 3
x dx cosx
π +
∫ 4 4
0
tgxdx
π
∫
4
4
6
cot gxdx
π
π
0
1 4sin xcosxdx
π +
1 2 0
1
x x + dx
∫ 7
1
2 0
1
x −x dx
∫
8
1
3 2
0
1
1 2 3
x dx
x +
1
0
1
2 3 1
1
1dx
∫
12
1
1
dx
∫ 13.
1
1
dx
1
1
dx
∫ 15
1
1
dx
∫
Trang 416
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
2
4
sin
cosx
π π
∫ 18 2 3 2
3
sin xcos xdx
π π
1 2 0
x
e + xdx
∫
20
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
2
4
sin
cosx
π π
1 2 0
x
e + xdx
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
24
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
0
sin
1 3
x dx cosx
π +
0
tgxdx
π
∫ 27
4
6
cot gxdx
π π
28 6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
1 2 0
1
1
2 0
1
x −x dx
∫ 31
1
3 2 0
1
∫
32
1 2
3
x
dx
x +
1
0
1
2 3 1
1
1dx
1
1 ln
e
x dx x
+
∫
36
1
sin(ln )
e
x
dx x
1
1 3ln ln
e
dx x
+
2ln 1
1
e e x
dx x
+
∫ 39
2 2
1 ln ln
e
e
x dx
+
40
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
2
1 1 1
x dx x
1
0 2 1
x dx
x+
1
0
1
x x+ dx
∫
44
1
0
1
∫ 45
1
0
1
3
1
1
x dx x
+
1
1 ln
e
x dx x
+
∫
47
1
sin(ln )
e
x
dx x
∫ 48
1
1 3ln ln
e
dx x
+
∫ 49
2ln 1
1
e dx x
+
∫ 50.
2 1 ln 2
ln
e
e
x dx
+
51
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
1
2 3 0
5
x x + dx
0 sin x 1 cosxdx
π
+
+
3 2
5 x x2 4
dx
54
4
2 0
4 x dx −
4
2 0
4 x dx −
1
2
0 1
dx x
+
∫
− +
0
1
3
2
58 ∫1 −
0
dx
e x
59
1
3 0
x dx (2x 1) +
∫ 60
1
0
x dx 2x 1 +
1
0
x 1 xdx −
62
1
2
0
4x 11 dx
x 5x 6
+
1 2 0
2x 5 dx
x 4x 4
−
2 0
x + 2x 1 +
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫
0
4sin x dx
1 cosx
π
+
0
1 sin 2xdx cos x
π +
0
cos 2xdx
π
2
6
1 sin 2x cos2xdx sin x cosx
π π
+
∫
70
1
x
0
1 dx
e 1 +
0
4 4
π
72
∫ +
4
0 1 2 sin 2
2 cos
π
dx x
x 73 ∫2 +
0 2 cos 3 1
3 sin
π
dx x x
74
∫ −
2
05 2sin
cos
π
dx x
0 2 2
2 2
2 3
x
dx
−
+
1 2
dx
0
cos xsin xdx
π
∫
Trang 578.2 5
0
cos xdx
π
0
sin 4x dx
1 cos x
π +
1
0
x 1 x dx −
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+
82 4 4
0
1 dx
cos x
π
e
1
1 ln xdx x
+
0
1 dx cosx
π
1
1 ln xdx x
+
86
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx −
0
6 5sin x sin x
π
3 4
0
tg x dx cos2x
0
cos sin
3 sin2
x
π
+ +
90 ∫
+
2
0 cos2 4 sin2
2 sin
π
dx x x
5 ln 3
ln e x 2e x 3
dx
92.∫ +20 ( 2 sin )2
2 sin
π
dx x
x 93.∫3
4
2 sin
) ln(
π
x
tgx
94 ∫ −4
0
8 ) 1
(
π
dx x
+
−
2
4 1 sin2
cos sin
π
x
x x
96.∫
+
+
2
0 1 3 cos
sin 2 sin
π
dx x
x
x 97
2
0 1 cos
cos
2
sin
π
dx x
x
x 98 ∫2 +
0 sin cos ) cos (
π
xdx x
− +
2
1 1 x 1dx
x
100
x
x x
1
ln
ln
3
∫ +−
4 0
2 2 sin 1
sin 2 1
π
dx x x
102
1
2
0
1 x dx −
1 2 0
1 dx
1 x +
1
2 0
1 dx
4 x −
1 2 0
1 dx
x − + x 1
∫
106
1
4 2
0
x + + x 1
0
1
1 cosx sinx dx
π
2 2 2
2 0
x dx
1 x −
2
1
x 4 x dx −
∫
110
2
3
2
2
1 dx
x x 1 −
2 1
9 3x dx x
+
1
5 0
1 (1 x dx)
x
− +
2 2 2 3
1
1dx
∫
114 2
0
cos
7 cos2
x
π
+
1 4 6 0
1
1 x dx x
+ +
0
cos
1 cos
x
π +
−
0
1x2 2x 2
dx
118 ∫
+ +
1
0 1 1 3x
dx
1
dx x
x
8 2 3
1
1dx
7 3
3 2
0 1
x
+
∫ 122
3
0
1
ln2 x 0
1 dx
e + 2
7
3
3
0
1
3 1
x
+
+
2
2 3 0
1
∫
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
Trang 6@ Dạng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
β α
∫ Đặt
cos
∫
@ Dạng 2: f x( ) ln( )ax dx
β α
( )
( )
dx du
=
=
@ Dạng 3: sin
∫ ax ax
cosax
β α
Đặt
cos
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1 2
2
0 ( 1)
x
x e
dx
x+
∫ đặt
2
2
( 1)
x
u x e
dx dv
x
=
=
b/
3 8
4 3
2 ( 1)
x dx
x −
∫ đặt
5 3
4 3
( 1)
u x
x dx dv
x
=
=
c/
1 2
1
+ −
Tính I 1
1 2
0 1
dx x
= +
∫ bằng phương pháp đổi biến số
Tính I 2 =
1 2
2 2
0 (1 )
x dx x
+
∫ bằng phương pháp từng phần : đặt
2 2
(1 )
u x
x
x
=
=
Bài tập
1
3
3
1
ln
e
x
dx
x
1
ln
e
x xdx
1
2 0
ln( 1)
x x + dx
1
ln
e
x xdx
∫
5
3
3
1
ln
e
x
dx
x
1
ln
e
x xdx
∫ 7
1
2 0
ln( 1)
x x + dx
1
ln
e
x xdx
∫
9 2
0
(x cosx)sinxdx
π
+
1
1 ( ) ln
e
x
+
∫ 11
2 2 1
ln(x +x dx)
3
2 4
tan
π
π
∫
13
2
5
1
ln x
dx
x
2
0
cos
x xdx
π
1
0
x
xe dx
2
0
cos
x
e xdx
π
∫
Tính các tích phân sau
Trang 71) ∫1
0
3
x x
2) ∫2 −
0
cos ) 1 (
π
xdx
x 3) ∫6 −
0
3 sin ) 2 (
π
xdx
∫2
0
2
sin
.
π
xdx
x
5) ∫e x xdx
1
e
dx x x
1
2 ) ln 1
1
ln
4x x dx 8)∫1 +
0
2 ) 3
ln(
x
9) ∫2 +
1
2 1 ) .
(x e x dx 10) π∫
0
cos
0
2 cos
π
dx x
∫2 +
0
2 2 ) sin
(
π
dx x x
x
13)
2
5
1
ln xdx
x
0
x cos xdx
π
1 x 0
e sin xdx
∫ 16)
2 0
sin xdx
π
∫
17)
e
2
1
x ln xdx
2 0
x sin xdx cos x
π +
0
xsin x cos xdx
π
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
21)
2
2
1
ln(1 x)dx
x
+
1
2 2x 0
(x 1) e dx +
e
2 1
(x ln x) dx
∫ 24)2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+
∫
1
ln
( 1)
e
e
x dx
x+
1 2 0
xtg xdx
0
2 ) 2 (x e x dx
28)
1
0
2)
1
ln( x dx
x 29) ∫e dx
x
x
1
ln
30)∫ +2
0
3 )sin cos
(
π
xdx x
2
0
) 1 ln(
)
7
2
2
ln(x x dx
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1 ∫5 − −+
3
1
2
dx x
x
x
2. ∫b + +
a
dx b x a
(
1
3 ∫1 ++ +
0
3
1
1
dx x
x x
x
x x
∫1 +++
0 2
3
1 1
5 ∫1 +
0
3
2
)
1
3
x
6 ∫1 + +
0
2
2 ( 3 ) )
2 (
x
1
2008 2008
) 1
(
1
dx x
x
x
8.∫
+ +
− 0
1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
9 ∫3 −
2
2
2
4
)
1
x
10 ∫1 + −
0
2
3 2
) 1
x
n
n
11 ∫2 + − +
1
2 4
2
) 2 3 (
3
dx x
x x
x
12 ∫2 +
1
4 ) 1 (
1
dx x x
13.∫2 +
0
2
4
0 4
x
x x
0
1
16
∫1 +
0
3
2 )
1
x
17.∫4 − +
2
2
3 2
1
dx x x
x 18 ∫3 −+ ++
2 3 2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
19 ∫2 +−
1
4 2
1
1
dx x
x
20 ∫1 +
0 3
1
x
Trang 821.∫1 + ++ +
0
6
4 5
6
1
2dx
x
x x
0
2
4
1
x
x 23 ∫1 ++
0 6
4
1
1
dx x
x
24
2 0
x
dx
+
∫
25
1
2
dx
x + + x
2dx
x
x
x
x
+
− 1
0
3 1
2 2
28
∫
−
−
−
0
1
1 2
1
2
2
dx x
x
x
x
x
+
−
2
0
1 2
1
3
x
x x
∫1 ++ +
0
2
3
3 2
x
x x
∫
− − − +
+ + 0
1
2
1 2 1 1
x
x x
∫ − +
+
− +
1
0
2
1 1
2 2
0
2 4x 3
x dx
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1 2 x 4xdx
0
2 cos
sin
∫
π
2. ∫2
0
3
2 cos sin
π
xdx
0
5
4 cos sin
π
4 ∫2 + 0
3
3 cos ) (sin
π
dx x
0
4
4 cos ) (sin
2
cos
π
dx x x
0
2
2 sin cos cos ) sin
2 (
π
dx x x
x
3
sin 1 π
π
dx x
0
4 4 10
10 cos cos sin )
(sin
π
dx x x x
0 2 cos
π
x
0 2 sin 1
π
dx x
11 ∫2 +
0
2
3
cos
1
sin
π
dx x
x 12 ∫3
6
4 cos sin
π
dx
0
2
2 2 sin cos cos sin
π
x x
x x
0 1 cos cos
π
dx x x
15 ∫2 −
0 2 cos
cos
π
dx x
x 16 ∫2 +
0 2 sin sin
π
dx x
0
3
cos 1 cos
π
dx x
0 sin cos 1
1
π
dx x x
19 ∫2 −
3
2
) cos
1
(
cos
π
xdx
20 ∫
+
− 2
2
3 cos 2 sin
1 cos sin
π π
dx x x
x x
21 ∫4
0 3
π
xdx
6
3
cot π
π
23 ∫3
4
4
π
π
xdx
0 1 1
π
dx
+
4
4 cos(
cos
π
π
x x
dx
26
∫2 ++ ++
0 4 sin 5 cos 5
6 cos
7
sin
π
dx x x
x x
27 ∫π +
2
0
sin
0 2 sin 3 cos 13
π
x x
dx 29 ∫4 +
0
4 3
cos 1
sin 4
π
dx x
x 30 ∫2 + ++
0 sin cos
2 sin 2 cos 1
π
dx x x
x x
31 ∫2 +
0 1 cos
3
sin
π
dx x
x 32 ∫2sin2 −sin
π
dx
33 ∫4
0 2 3
cos sin
π
dx x
0
3
2 ) sin 1 ( 2 sin
π
dx x x
Trang 935 ∫π
0
sin
4
3
3 3
sin
sin sin
π π
dx xtgx
x x
37 ∫2 + +
0 1 sin cos
π
x x
dx 38 ∫2 +
0 2 sin 1
π
x dx
39 ∫2
4
5
3 sin
cos
π
π
xdx
x 40 ∫4 +
0
2
cos 1
4 sin
π
x
0 5 sin 3
π
x
dx 2. ∫6
6
4 cos sin
π
dx
43 ∫
+ 3
6 sin(
sin
π
dx
44. ∫
+ 3
4 cos(
sin
π
x x
dx
45 ∫3
4 6
2
cos sin π
xdx
46
dx x
6
(
3
6
π
π
π
47 ∫3 +
0
3
) cos (sin
sin
4
π
x x
xdx 48 ∫
0
2
2
) sin 2 (
2 sin
x
49 ∫2
0
3
sin
π
dx
0
2 cos
π
xdx x
51 ∫2 +
0
1 2
.
2
sin
π
dx e
x
x x
∫2 ++
0 1 cos
sin 1
π
53 ∫4 +
6
2 cot
4 sin 3 sin
π π
dx x g tgx
x x
54
0
2 5 sin 6
sin
2
sin
π
x x
xdx
55 ∫2
1
) cos(lnx dx 56 ∫3
6
2
cos
) ln(sin
π π
dx x
x
57 ∫2 x− x dx 0
2
cos ) 1 2 (
π
58
∫
π
0
2
cos
x
59 ∫4
0
2
π
xdx
0
2
e x
61 ∫2
0
3 sin2 sin cos
π
xdx x
∫4 +
0
)
1
ln(
π
dx
tgx
63 ∫4 +
0
2
) cos 2 (sin
π
x x
0
2 ) cos 2 )(
sin 1 (
cos ) sin 1 (
π
dx x x
x
2
2
sin 2 sin 7
π
π
66
2
0
π
67
0
4sin
dx x
π
68. ∫
−
2
2
3 cos 5 cos π
π
xdx
Trang 1069 ∫
−
2
2
2 sin
7
sin
π
π
xdx
0
cos 2 sin
π
xdx
∫4
0
2
sin
π
xdx
V TÍCH PHÂN HÀM Vễ TỶ:
∫b
a
dx x f x
+) R(x,
x a
x a
+
− ) Đặt x = a cos2t, t ]
2
; 0
∈ +) R(x, a2 −x2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t
+) R(x, n
d cx
b ax
+
+ ) Đặt t = n
d cx
b ax
+ +
+) R(x, f(x)) = (ax+b) αx2 +βx+γ
1
Với (αx2 + βx+ γ)’ = k(ax+b) Khi đó đặt t = αx2 + βx+ γ, hoặc đặt t =
b
ax+
1
+) R(x, a2 +x2 ) Đặt x = a tgt , t ]
2
; 2
∈
+) R(x, x2 −a2 ) Đặt x =
x
a
cos , t }
2 {
\]
;0 [ π π
∈ +) R(n 1 n 2 n i )
x; x; ; x Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni)
Đặt x = tk
Bài tập vận dụng
1 2∫3 +
5 x x2 4
dx
3
2 x x2 1
dx
3 ∫
2 1
2
1 ( 2x 3 ) 4x2 12x 5
dx
4 ∫2 +
1 x x3 1
dx
5 ∫2 +
1
2 2008dx
1 x2 2008
dx
7 ∫1 + 0
2
2 1 x dx
0
3
2 ) 1
9 ∫3 ++
1 2 2
2
1
1
dx x
x
x
10 ∫2 +−
2
0 1
1
dx x
x 11 ∫1 +
0 ( 1 x2)3
dx
12 ∫2 −
2
0 ( 1 x2)3
dx
13 ∫1 +
0
2
2
2
1 x
dx
0 7 cos 2 cos
π
x
0
2
cos cos
sin
π
dx x x
x
17 ∫2 +
0 2 cos2
cos
π
x
xdx 18 ∫2 + +
0 1 3 cos
sin 2 sin
π
dx x
x
x 19 ∫073 + 2
3
1 x
dx x
20 ∫3 − 0
2
3 10 x dx x
Trang 1121 ∫1 +
0 2x 1
xdx
22 ∫1 + +
3
1
x x
dx x
23 ∫7 + +
2 2x 1 1
dx
24
dx x
x
0
8
15 1 3
25 ∫2 −
0
5
6 1 cos 3 sin cos
π
xdx x
0 e x 1
dx
27 ∫
1
1 1 x x2 1
dx
28 ln∫2 +
0
2
1
x x
e
dx e
4
5
2 8 4
x
x x
1
ln ln 3 1
31 ∫4 x − x +x dx
0
2
∫3 ++
3
5
x
x
33 −∫0 + +
1
3
2 ln
2
1 ln
ln
dx x x
x
35
∫30 +2
2
cos
3 2 cos
2 cos
π
dx x
tgx x
x
36 ln∫2 +
0 ( x 1 )3
x
e
dx e
37 ∫3 +
0 2 cos 2
cos
π
x
xdx 38 ∫2 +
0 1 cos2 cos
π
x
x
x
∫7 ++
0 3 3
2
40
∫a x +a dx
2
0
2
2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
−
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)] ( ) ( [ )
(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- ;32
2
3 π π ] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x
2 cos 2
2 − ,
Tính: ∫
−
2 3
2 3
) ( π
π
dx x f
+) Tính −∫11 ++ 2
4
1
sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: ∫
−
a a
dx x
f ( ) = 0
Ví dụ: Tính: −∫1 + +
1
2 ) 1
−
+ + 2
2
2 ) 1 ln(
cos
π π
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫
−
a a
dx x
f ( ) = 2∫a f x dx
0
) (
Ví dụ: Tính ∫
1
1
2
4 x 1
x
dx
2 2
cos
4 sin
−
+
−
dx x
π
π
Trang 12Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫ =∫
+
−
a a
a
x dx f x dx b
x f
0
) ( 1
) (
(1
≠ b>0, ∀a)
Ví dụ: Tính: ∫
+ 3
3
2
2 1
1
dx
x
2
2
1
5 cos 3 sin sin π
π
dx e
x x x
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2
π], thì
∫
0
2
0
) (cos )
(sin
π π
dx x f
x f
Ví dụ: Tính ∫2 +
0
2009 2009
2009
cos sin
sin
π
dx x x
x
0 sin cos
sin
π
dx x x
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: ∫π = π∫π
0 0
) (sin 2
)
xf
Ví dụ: Tính ∫π +
0 1 sinx dx
x
π
0 2 cos
sin
dx x
x x
a
b a
dx x f dx x b a
f( ) ( ) ⇒ ∫b f b−x dx =∫b f x dx
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính ∫π +
0
2
cos 1
x
x x
0
) 1 ln(
4 sin
π
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
a∫+T =∫T
a
dx x f dx x f
0
) ( )
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính 2008∫π −
0
2 cos
Các bài tập áp dụng:
1 −∫1 +−
1
2
2
1
1
dx
x
−
+
− +
− 4
4
4
3 5 7
cos
1
π π
dx x
x x x x
3 ∫
1
1
2 ) 1 )(
1
dx x
4 ∫
+
2
2
2
sin
4
cos
π
π
dx x
x x
5 ∫
− 2
1
2 1
) 1
1 ln(
2
x
x
2
0
7 ∫
2
2
5
cos
1
sin
π
π
dx x
x
cot
= +
+
e
tga
e
x x
dx x
xdx
(tana>0)
VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1 ∫
−
−
3
3
2 1dx
0
2 4x 3dx
0
dx m x
∫
−
2
2
sin
π
π
dx
x
Trang 135 −∫π −
π
dx x
sin
6
2
π π
dx x g x
3
4
2 sin π
π
dx
0
cos
9 ∫
−
−
−
+
5
2
) 2 2
0
4
11 ∫
−
− 3
2
3
cos cos
cos π
π
dx x x
x
12
4
2
1
x 3x 2dx
−
5
3
( x 2 x 2 )dx
− + − −
2 2 2 1
2
1
x
5
3
x
0
2 − 4dx
0
1 cos2xdx
π +
2
0
1 sin xdx
π +
∫ 18 ∫2 x −x dx
0
2
VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HèNH PHẲNG
Vớ dụ 1 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2π
Vớ dụ 2 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2π
Bài 1 : Cho (p) : y = x2+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía dới 0x bằng nhau
Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi
=
≤
≤
−
=
0 1
3
y
x o
x x y
Có hai phần diện tích bằng nhau
Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần
Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
+
−
=
+
+ +
=
4 2 4
2 2
1
1
3 2
a
ax a y
a
a ax x y
Tìm a để diện tích
lớn nhất
Bài 6: Tớnh diện tớch của cỏc hỡnh phẳng sau:
