Bai giang PP tich phan ham huu ti

www.facebook.com/toihoctoan

I) Các dạng tích phân:

ln

ax b





k

dx

ax b adx ax b





Dạng II: I = 2 dx ( a 0)









+ Nếu > 0: 2

ax bx c a x x x x a x x x x x x

x x

a x x x x x x a x x a x x x x





0

b x

ax bx c a x x a



ax bx c a x x a x x





+ Nếu < 0: I = 1 2 2

( )

dx

a x m n



  

 ; ta đổi biến số: x m n  tant

Dạng III: I = 2mx n

dx







 



ax bx c

mx n

ax bx c ax bx c ax bx c

 





dx

ax bx c



   thuộc dạng II.

Ta có:

2

2 2

ax bx c ln

A dx A ax bx c

ax bx c









 

 



II) Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính tích phân 2

1 0

4 9

5 6

x

x x





 



Giải:

2

= 3ln2 ln 2

3 .

Ví dụ 2: Tính tích phân 2

1 0

6 9

4 4

x

x x





 



Giải:

1 1

0

0

= 3ln 2 3

2

  .

Ví dụ 3: Tính tích phân

2 3 3

2

1 ( 1)

x x

x

 





Giải:

2

3

   

3 3

3 2

( 1) 3 ( 1) ( 1) ( 1) ln 1 3. 1 1 1 ln 2 15

8

d x d x

x d x x



►Chú ý: Có thể đổi biến số t = x -1

Ví dụ 4: Tính tích phân

3 2 2 2

0

8 2 4

x x x

x

  







Giải:

1

2 0

 Tính 1 2

2 0

2 1 4

x

x







/4 /4



8ln 2 2 4ln 2 2 

Ví dụ 5: Tính tích phân

2 2 1 1

2 2

2 5

x x

x x



 



 



Giải:

4

2

1 1

d x x

x x



 

 



1

dx L

x





 

Đặt 1 2 tan 2(1 tan ) ;2 1 0; 1

4

x  t dx  t dt khi x  t x  t

/4

1

0

/4 0

2 2ln



Ví dụ 6: Tính tích phân 2

2 1

2 1

2 2

x

x x





 



Giải:

2

(2 2) 1 ( 2 2)

1

ln x  2x2 4 ln 24

2

dx dx

x  

 bằng cách đổi biến số x1 tan t ta được kết quả :

2 2

dx

dx x





 



Ví dụ 7: Tính tích phân 2 2

2 1

1 ( 4)

x x







Giải:

 

1 1 ar tan1 1 1 ar tan1

Ví dụ 8: Tính tích phân

1 2 0

(3 1)

6 9

x dx I

x x





 



6 9 ( 3) ( 3) 3 ( 3)

 

1

1

0

dx dx

Ví dụ 9: Tính tích phân

3 2 1

x dx I

x x







2 5 2 5 ( 1) 2

x x x x x

3 2

1

I x x

Đổi biến số: x1 2 tan t dx2(1 tan ) 2t dt

Khi x 1 t0; Khi 3

4

x  t

2

2

t dt

t





Ví dụ 10: Tính tích phân

1

0 ( 1)(2 1)

xdx I





Giải: Ta có: (x 1)(2x x 1)(2(x x1)(21) ( x x1)1) x11 2 x1 1

ln 1 ln 2 1 ln 2 ln 3

dx dx

Ví dụ 11: Tính tích phân

1

xdx I

x x



 Nhận xét:

xdx

Giải: Đổi biến số: t x 2 dt2xdx

2



Ví dụ 12: Tính tích phân

1 5

6 3

x dx I

x x



 



Giải:

1 3 2

6 3 0

1 3

x x dx I

x x



 

 Đổi biến số: t x 3 dt3x dx2

Khi x 0 t0; Khi x 1 t1

2

tdt t

ln 2 ln 1 (0 ln 2) (ln 2 0) ln 2

Ví dụ 13: Tính tích phân 3

2

dx I

x x







Giải:

( 1) ( 1)



2 2

3

( 1) ( 1)



2 1



 

Ví dụ 14: Tính tích phân

3 8 1

x dx J

x







Giải:

Đặt tx4 dt4x dx khi x3  0 t0;x 1 t1

2

1

0

t

t





Ví dụ 15: Tính tích phân

2 4 2 1

1 1

x

K dx x









2 4

2 2

1

1

2

x



 

1

t x dt dx

     

2

khi x  t x  t

5/2

2

0 2

dt

K

t





 Tương tự cách giải 3b) ta có: K

5/2

2

34

t t



Ví dụ 16: Tính tích phân 4 2 2

3

1

1 1

x

x x





 



Giải:

2

4 2

3

1

1

1

x

x x





 



2 2

2

x dx x dx

Đặt t x 1 dt 1 12 dx

     

3

khi x  t x  t

2/ 3

dt

L

t





 Với cách đặt t 3 tanu L 33arctan23

▼Chú ý: Dạng tổng quát của tích phân ở ví dụ 15 và 16 là: 









a bx x

a x

2 2 4 2

Ví dụ 17: Tính tích phân 2 2

1

dx J

x







Giải:

1 2

( 1)

 

1

dx J

x





4

x t J 

1 0

( 1)

xdx

J x

x





1 1

u x du dx

xdx







0

1 0

J



4 8

J  

III) Bài tập rèn luyện

Tính các tích phân sau:

1) 







1

0 2 3 2

)

2

2

(

x

x

dx

x

2) 



3

1 x 4 x( 2 1)

dx

3) 



1

0( 1)4

3

x

dx x

4) 





2

0 2 4

1

dx

x

x

5) 



1

0( 1)3

2

x

dx x

6) 



3

2x 2 x( 1)

dx

7) 







 1

0( 2 1)( 2 3 1)

) 3 2

3

(

x x

x

dx x

8) 





 2

1 4 1

1 2 3

dx x

x x

9) 





 2

2 2 3

dx x

x x

10) 











3

1 2 2 3

4

dx x

x

x x x

11) 





 1

) 1 4 5 3 (

x

dx x

x

12) 

 1

1 2 1

) 4 (

x

dx x x