www.facebook.com/toihoctoan
Trang 1CHUYÊN ĐỂ : Tích phân của hàm số hữu tỉ
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
A CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ :
dx 1
> = TInfax + b|+C (a#0)
Thi dul: Tinh: Ia 5
x+
Giải : Ta có : J 32x13 2 =—-In|2x +3| b2 =—-:(In5—ln3)=—ln— 2 3
Bài tập tương tự : Tính các tích phân sau :
2€ 10 (ax! +bx toy 8 +bx+c}ỳ oy
Inlax?+bx+c|l+C (a#0) ax’ +bx +e
2Ð Thí du 2: Tính : oe
x’ -5x+6 Gia: Ta 06: | _ 75-9 4 T4 7 = [Se TỐ x =In|xẺ~5x+6[|=ln6=In2=In3
Đài tập tương tự : Tính các tích phân sau:
B TiCH PHAN CAC HAM HUU Ti
Các dạng tổng quát :
QDangl: cal Fae (a#0)
ax’ + bx +e dx+e
horates +bx+c x @#0)
PQ)
OQ Dang3: I= | ——~dx
ees Chỉ tiết các dạng trên :
6
dx QDangl: | I=|————— (a#0
Xét A = bŸ ~ 4ac của phương trình ax” + bx +e=0 (a £ 0)
2
1) Nếu A=0, thì : ax? + bx + =a xe nên I=~[— —;=^ ¬ +C
Tee
GIAI TICH 12 - TICH PHAN CUA HAM SO HOU Ti Hee sẻ .GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
Trang 2Thí du 3 : Tính : 7= ie
x?—8x+
Giải : Ta có: T= Is ¬ =— = _ =-|-—4+-—]=—
x ne 3Œ 7 x—4|, (2-4 0-4 2 4) 4
Đài tập tương tự : Tính các tích phân sau :
2) Nếu A> 0, thì : aX? + bx+e=a(x— XI)(X — Xa) (với Xị <X2)
® Cách 1 : Phân tích thành phân thức : = =
a(x-X;¿(X-Xxị) a(X,—-X,)]X-X, X-X Thí du 4: Tính : 7=
9X —5x+6 Giải Taeó: ————=—————= —
x’ —5x+6 -—- x3 x2
Do đó: I= ng b AT 3 a7 ee 96 — tne af =n
e Cách 2 : Sử dụng đồng nhất thức
Tacé; + —_= 1 _.4, 3°
x-5x+6 (x-2)(x-3) x-2 x-3
Déng nhat ti¥s6: 1 =A(x— 3) + B(x- 2) (*)
= 1=(A+B)x-3A-2B
-3A-2B=l B=l
Do đó : 1=[——+—ax=- ae pe = —Inx—2[ +In|x—3]} =—(0-In2)+(In2—In3)=In4
Chi ý 1 : Từ (*) ta có thé chon x =3 va x = 2 dé tim A va B
Chui ¥.2: Ta chú ý thêm công thức : Í ax 1-4, ¢
x -a 2a |xta
x’ -5x+6 ( ga | a ;]
2
=|————d+
x’ —S5x+6 "(x
Bai tập tương tự : Tính các tích phân sau :
ĐI=ƑS dx ps: I=in4 21=] dx DS: I= 2e
3) Nếu A<0, thì: ax?+bx+c=a xz] A =al (+2) + A
Đặt: e+e oo dea | tan? + bát, Ta nh được L
1IIIIIIIIIIIIIHIIHIIIEIHIEILIIIHIIIIHIIHIHIIIIITIHIIHIITIHIIIHIHTIHIHIHIIITIHIHIIHIIIIIIIITILIHIIHITIHIHHIHIIIIHIHITIHIIHIHIIIIIIHIHIIHIIIIHEIHIIHIIHIIHIIIIHITIHTIHIHIIHITIIIHIIIIIIIIIIILIIIIIIIHIIIIIIIIII GIAI TICH 12 - TICH PHAN CUA HAM SỐ HỮU TỈ _ _— GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
Trang 3Thí du 5 : Tính : I= Ie
x aa
Giải : Ta có : I= Í— ; =f ae =f = :
+x+
Lá '(=+;] = Of sup (3
Đặt: ¬= = ax = Ban? e+
Khix=0 = t=”; x=l=t=—
- 1-28 can! t+Ddt_ y3_ +a 2/3 we -3(1-2)=ˆ 3 m_ m3
2s 2qanyp 2 3 e313 6) 3 6 9
4
Bài tập tương tự : Tính các tích phan sau:
pi=(_*— DS: m3 21={—*— ps: 1=2
f dx+e
O Dang 2: [= /——~——dx (a#0)
„aX +bx+€
Phương pháp : Ta biến đổi : 1= [ GE aye ¬ eat ava(e- 2S —
1 AX +bdx+c
ee dy ef
2 ax’ +bx+e 2az ax’ +bx+¢ 2a
¿8X +bx+€ ax” +bx+€
Tich phan I, = c6 dang | ma ta đã biết,
— P > Ta einer ene
Ghi chi : Nếu ax” + bx + c =0 có hai nghiệm, ta có thể tính I bằng phương pháp đồng nhất,
3x—7
“x —5x+6 Giải; Tả có: TÔ _ =e SRT ~ Ay B
K#ẽ-3xtổ6 ‘(-2)@-3) =-2Z x-3
Đông nhất tử số: 3x - 7= A(x- 3) + B(x - 2)
Ằ© 3x-7=(A+B)x-3A-2B
Thí dụ 6: Tính : I
Ta có : -3A-2B=-7 B=2
Do 46: 1= f—P8—7 ax = f+ 2f SS = in| —aff + 21nfx—aff = n3—n2-+2In2=in6
Cách 2:
Ta có : 3x-7=5-Qx-5)443-7=5-0x-5)42
x'- S16 24x ~5x46" x’ -5x+6
3x-7 3? 2x-5 7 ay dx
24
-2) 2x-S dp a dx — = Sin! sere +t in=3] = ine
IIIIIIIIIIIIIIIHIIIHIIIIILIIHIIIHIHHIIIHIIIIHIHIIIIHIHIIIHIHIIIHIIIIHHIIIHIIHIHIIHIIIIHIHIIIIHIIIIIIIIIIHIIIHIHIIIHIIIIIIHIIIIHIIIIIHIIIHHIHIHHIHIHIIIIHIIIHIHIIIIIIIIIHIIIIIHIIIHHIIIIHIHIHHIIL GIẢI TÍCH 12 - TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ VBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
Trang 4
Đài tập tương tự : Tắnh các tắch phân sau :
Ừ p= (2
ODang3: I lau dx
Phương pháp :
a) Nếu bác của P() lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì ta phải chia P(x) cho Q(x)
b) Nếu đác của P(v) nhỏ hơn bậc của O(x) thì ta dùng đồng nhất thức để phân tắch thành các tổng
Các trường hợp có thể xây ra :
P(x) _ P(x) _A,B,C
e THỊ : Mẫu số có nghiệm đơn : = = +
Q(x) (x-a)(xỞb)(x-c) x-a x-b x-e
3
Thắ du: T= f 2x + Tối =f 4 ax ol 7 ax
s(xỞ](Xx =x=12) axel 5 Ổ3
+ TH2 : Mẫu số có nghiệm đơn và vô nghiệm : CÓ Ấ P@) - A, Baste
Q(x) (x-a)(ax? + bx +c) Ộ x-a ax? +bx+e
2 4x-1 179x+2, 9% dx
BH dx = =f x=<=|ỞỞ
3 42x? +x+2 34
PO) P@) A B Ể D E
Q(x) (x-ayỖ(x-byỖ (x=a)Ợ (aa)? (xTa) (xb (Xb)
Thidu: t= [2 +3 ay =37f = +I6Ặ te +2f ax
px
e TH3 : Mẫu số có nghiệm bội :
(x-4y -4f j(x=4ồ`Ẻ jx-4
Phương pháp : Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì ta phải chia P(x) cho Q(x)
+ Ấ* ể
Thắ du 7: Tắnh: 1=[ 2È **2ảy
) +8
?+3x+2 2
Giải : Ta có: ỞỞ*ỘỘ^=x
Do đó : t= fax [ft 2 ax Finkel] od gat
2 2
Thắ dụ 8: Tắnh : = (253) dx
xX
Ộ1
Giải : Ta có : =) -(I- 3 ) =l- 6 + 2 5
EE? x+2 x+2 (x+2)
Do ds: 1= {( 22) ax= faxỞ6 of = xP Ở inl +2) 2-1 =39-10n2
ể =Í xi2) fos lân Vea at Lina] a "
Đài tập tương tự : Tắnh các tắch phân sau :
3
pp 3 4x Ở pS: 1=25In3Ở24 2ÍỞ~ ẾỞw
Phương pháp : Néu bac ctia P(x) nhé hon bac cia Q(x) thì dùng đông nhất thức để phân tắch thành các
tổng
ĐS: I=9In3Ở8
Q(x) (x-a)(xỞb)(x-c) x-a x-b x-e 2x7 +41x-91 7
3 (x=)? = x= 12)
e THỊ : Mẫu số có nghiệm đơn :
Thắ dụ 9: Tắnh : 7 = Ỉ
Tee
GIAI TICH 12 - TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ 22ssc ể .GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
Trang 5
2x'+4lx-9L _ 24†4Ix-9I A BOC
(x-DÙ@&Ì-x-l2 (x-l(x-4(x-3) x-l x-4 x-3
Đồng nhất tử số: 2x” +41x — 91 = A(x — 4)(x + 3) + B(x—1)(x + 3) + Cœ—1)(x — 4)
2x? + 41x - 91 =(A +B +C)x? +(—A + 2B — 5C)x—12A-3B +4C
Giải hệ phương trình: ‡—A+2B—5C=4I1 «64 B=5
-12A-3B+4C=-91 |C=-7
Giải : Ta c
2x”+4lx—91 - 4 + 5.7 (x-D(x°—x-12) 1 4 3 2x?+4lx—91
(x-1)W(?—x-12)
=4(ln2— Kim nu, Z{ln6 — ln 5) = Ín2— 7ln6+ 7ln5 Đài tập tương tự : Tính các tích phân sau :
0 2
DI=[— S6 —& DS: [=-10In2+7In3+5In4—SIn5
1X —7x +14x-8
a
2)1=f2*8*4 ax ĐS: I=4ln2—2In3—ln4+ In5
3x +X -2K
se TH2 : Mẫu số có nghiệm đơn và vô nghiệm : PŒ) _ PO) # + Bx+C
Qx) (x-ơ)Xax+bx+c) xơ ax’ +bxt+e 3dx
x'+1
Thí du 10 : Tính :I= là
Giải ; Ta có : “"-1 ,
x.ư X'+l (x+l(x'-x+l) x+l x?-x4l1
Đồng nhất tử số: 3 =(A + B)x2+(.A +B+€)x+A+€
Giải hệ phương trình: J~A+B+C=0 JB=-l = T—=——+—
x+l x+l Xx-x+I
A+C=3 Cc=2
1 :
dx rxt2 Giaxt), —x-+l)'
Do đó: I= + In[x +1 ga
lea — [ns Il - 2m it —x+I BIAS —x+I
i eee antenna
2 b Mi x-i| += *) 3 2 2
2) 4
1
Tinh: J= dx
s(._1) x-—| += 3
2) "4
Đặt: x——=-———tant— dx =———(I+ tan” t)đt
2 2 2
Khix=0 > t=-2;x=1>t=2
6 6 7/6 Bea san? ya
7/6 cn 3 _;„ v3 _z/6 mi
Do đốn 1= n2t2:-2T.= I3: all
2 3/3
I000000000000000/0000000000000/0000/00000000000000000)000001000000000000000000000/000000010000000)0000000000100001000001000000000000000100000100000100000000001000000)000/)0001/)000) GIẢI TÍCH 12 - TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ 2222222221,1.1.21 0 1 HH GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
Trang 63 A, B2x-) C
x+l (x+l(X-x+]) x+I x-x+lI Xx-Xx+I
Đồng nhất tử số, ta có: A = 1; B= “3 C= 2" Sau đó tính tích phân ta cũng thu được kết quả như trên
Chư ý : Cũng có thể phân tích :
Đài tập tương tr¿ : Tính các tích phân sau :
DI= (+ ds ps: 1-473 _4ino 21=f _ 23mg : ps: 1=3nt+1in2
Q(&x) (x-a)}(x-b} (x-a) (x-a)` (x-a) (x=b}Ÿ (x-b)
3
Thí dụ 11: Tính :1= [—Š“ —á
7x (x-)
x+l1 A,B, C
Ẻ —=- —+—
x(x-l) x? x x-l
Đông nhất tử số : x + 1= A(x - 1) + Bx(x— 1) + Cx?
Chọn x=0: l =-A © A=-—1
Chọn x =I : 2=,
Chọn x=—l:0=2+2B+2© B=-2
Giải : Ta có :
Do đó: 1=-[S-2Í +2 =" ~2In af, + 2in|x—If, = 4In 2-2In3——
Đài tập tương tự : Tính các tích phân sau :
1
Thi du 12: Tinh: I= Í—
o(X x
L TT SƯ nh nh
(x+) (x+Ù (K+) x+l
Đông nhất tử số: x= A + B(x + 1) + C( + 1) © x=C% + (B +2€)x + A +B+C€
=jB+2C=l =4 B=l
A+B+C=0 A=-l
Giải : Ta có
›(x+ID” 4(x+) 2%x+Iƒ x+IJ (8 2 2 §
Đài tập tương t¿ : Tính các tích phân sau :
L Mội số dạng khác -
dx
Dang I= |—_.—_., (v6ia ¥b
a) Dang lgrayary (với a # b)
Thí du 13 :Tính: I=Í————
3(X”+3x+ 2)”
2
(x7 43x42) [(x+D(K+DP (x+l x+2
Tee
GIAI TICH 12 - TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ 22ssc ¬ .GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
Trang 7
£ dx dx tp dxf dx dx
Sart la ~ 2Í 8ˆ ap ri 2+ lesa
IỊ_
Xx+]I|
1 1
1
x+2k ~2In|x+ l| +2In|x+ 2| = T74in2+2in3 = +
Chư ý : Ta cũng có thể sử dụng phép đồng nhất để giải :
P” 2 2 = 2 + + 2 +
(x? 43x42) “TatDat2) (Xx+IJ(@X+2) (xt?) x41 (x+2) x+l
Bài tập tương tự : Tính các tích phân sau :
Thí dụ 14 : Tính : I= lun
x'+4x7 43
1
x'+4x? 3) (x7 +3)(x7 41) 2 (x? +1 x? 43 2\,x° +1 x +3 2
4
dx
= Tinh: I, =|———
ma [a
Dat x =tant > dx =(1 + tan’t)dt, véi _<t<5
Khix=0 > t=0;x=1 > tr
> = |e font “3
1 =
* Tinh: 1, =f dx
4 & $3
Khix=0 > t=0;x=1 >t=2
are mn /6
= ha _1+ tan) mến" Bhar _ m3
3l+mn DĐ 3 18
Do đó: 1=4(,-1,)=4 ~B_ j3
Thí dụ 15: Tính: I= Liền
x'+x?+l
Giải : Ta có: I= Ie 1 =f — =Í = E
+x?+
ete of ryt +3 (ail {8
Đặt: x? © 2xdx = Bran’ e+e © xdx = Ba *t41)dt
Khix=0 => t=2;x=1 => t= =
Ge oe ULL
GIẢI TÍCH 12 - TICH PHAN CUA HÀM SỐ HỮU TỈ 2222222121211 Hee GVBM : ĐOÀN NGOC DUNG
Trang 8=> l=— af aoe (tan *t+Ddt _ Be -(4
3
6
xi6 (an?t+1)
Đài tập ee té: Tinh cdc tich phan sau :
DI=[———— DS: 1=24= 2 1=[—*_, DS: I= SE )
1
Thí dụ 16 : Tính : I=] ae
x +6x° +5
Giải : Ta có: I= lưng In la 7
xt +6x7 +5 4 (x? +3) 4 (x = Đặt t=x2 +3 =ứA 2xúx œ B= xax
Khix=0 > t=3;x=l >t=4
=I= ấp Lal! =2 =i nine tae
2 v4 8 |t+2 8 6 5 8 3
Bai tap tong tu’; Tinh tich phan sau: I= ia ĐS:I=-LInT
1/2 S
Thí dụ 17: Tinh: 1= f —~*—
9 X =3X +2
Giải: Dặt t=x =p dbs Badicary 5 = ade
Khix=0 > t=0;x==— >t=—
=1-tf oe Lae Bs 3t+2) + LÔ LÀN
4
=2 n‡? ~3i+2|[“+Š inf 2 =1 int tna +2 In7—In2 = sia AL Stal
4 o 4| |[t—1 4| 16 4| 3 4 2 4 2
wk
2 2 +1
2 x41 2 lư-c 2 1+ >
Giải : Ta có:I= Í —— dx = J > Tx= J *——dx
¡ X X +] 1 x?T-1+-—~ 4
Đặt mote tant > (1-5) = (1+tan’ t)dt
x
x
Khix=1 > t=0;x= Law a >
=1= armmua t)dt - = fae _=
5 I+tan’t 5 4
Đài tập tương tự : Tính tích phân sau : Í————— DS: [==In—
1(X —xX41)(x° + 2x41) 3 7 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIIIIIIHIIIIIIIIIIHIIIIIHIIIHIIIIHIIIIHIIIIIIIIHIIIIIIIIIIIIHIIIIIIHIIIIIHIIHIIIIIHIIHIIIIIIIIIIIHIIIIIIIHIIIIIIIIHIIIIIIIHIIIIIHIIIIHIIIHIIL GIẢI TÍCH 12 ~ TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ are GVBM ; ĐOÀN NGỌC DŨNG