www.facebook.com/toihoctoan
Trang 1PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍCH PHÂN PHỤ
I) Lý thuyết: Giả sử ta phải tính tích phân I.
+ Ta đưa vào tích phân phụ J sao cho việc tính I + J và I - J thực hiện được
dễ dàng.
+ Tính I + J và I - J
Nếu I + J = a và I – J = b thì I = ½(a+b)
►Chú ý: Nếu I – J = b mà b = 0 thì I = J Trường hợp này thay cho việc tính I – J ta có thể chứng minh I = J (Nếu việc tính I – J khó khăn)
II) Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1) Tính các tích phân sau: 6 2
0
cos cos 2
xdx I
x
π
= ∫
Giải:
0
sin cos 2
xdx M
x
π
= ∫
cos 2 cos 2 cos 2
I M
2
1
dt
t
+
6
x= → =t x= → =π t
1
t
t
−
= +
Vậy I + M =
2
dt
0
0
t
t
π
ln
−
Ví dụ 2) Tính các tích phân sau: 4
1 tan 0
dx J
x
π
= ∫ +
Giải:
Trang 24 4 cos
1 tan cos sin
J
4 sin cos sin 0
x dx
π
π +
+
0
4 (cos sin ). 4 (cos sin )
ln cos sin ln 2
π
1
ln 2
Ví dụ 3) Tính các tích phân sau:
4
3
sin cos
xdx K
π π
Giải:
Xét thêm tích phân
4
3
sin cos
xdx M
π π
Ta có:
3
3
π
π π
Mặt khác:
3
3
2 ( os sin ) 2 ( os sin )(1 sin x cos )
K M
Đặt t=sinx cos+ x⇒ =dt (cosx−sinx)dx
2
1 2sin x cos 2(1 sin x cos ) 1 1 sin x cos
2
t
x= → =π t x= → =π t
1 2
2 2
+
Từ
1
1 1
ln 2
4 4
K M
K
K M
π
π
+ = −
− = − −
2 π
Trang 32
os
π
π
−
= ∫
/2
1
2
π π
sin2 2
du dx
u x
=
=
Vậy
/2
/2
/2 /2
π π
π π
−
−
0
L=
► Chú ý: Tích phân L ở trên có hàm số dưới dấu tích phân là hàm số lẻ và có cận tích
phân là hai số đối nhau, do vậy nếu dùng phép đổi biến t = - x thì cũng có kết quả L = 0
a
a
f x dx khi f x
−
=
∫ là hàm số lẻ trên đoạn [-a; a]
► Chú ý: Tích phân L ở trên có thể giải trực tiếp bằng phương pháp tích phân từng
phần
Ví dụ 5) Tính các tích phân sau: 1
0
x
e dx
= ∫ + −
Giải:
0
x
e dx
−
= ∫ + −
Mặt khác:
2
1 0
2
Trang 4Ví dụ 6) Tính các tích phân sau: 2 2
sin 0
x
π
= ∫
Giải:
os 0
x
π
= ∫
0
0
x
e c xdx N
π
=
∫
Tính N bằng phương pháp tích phân từng phần :
sin2 2
x
u e
=
=
1
/2 /2
0
0
/2 0 sin 2
x
N =π∫ e xdx
2
x
u e
=
1
/2 /2
0
0
π π
1
1 6
/2
/2 /2
1
1 6
e J
π
π π
► Chú ý: Tích phân J có thể giải trực tiếp bằng phương pháp tích phân từng phần
Ví dụ 7) Tính các tích phân sau: 3
cos sin 0
x
π
Giải:
cos sin 0
x
π
Trang 5Ta có: K + M = 2 2
0
0dx x 2
∫
x= − ⇒π t dx= −dt Khi x= → =t π x= → =π t
Khi đó
3
0
2
cos
t
π
π
−
− + −
Vậy
4
K =π
Ví dụ 8) Tính các tích phân sau:
2
3cos 2sin cos sin
π
π
+
=
−
∫
Giải:
Xét thêm tích phân
2
3sin 2 os cos sin
π
π
+
=
−
∫
Ta có
= −5 ln1 ln1( − ) =0
Mặt khác L – M =
/2
cos sin
1
π π
π
−
Từ
0
4 2
L M
L
L M
π π
− =
Ví dụ 9) Tính các tích phân sau: 2 sin
cos sin 0
n xdx
π
Giải:
n
c xdx
π
x= − ⇒π t dx= −dt Khi x= → =t π x= → =π t
2
π
Trang 6Ví dụ 10) Tính các tích phân sau: 1 2 sin3 sin 2
2 0 cos sin
J
π
= ∫
+
0 cos sin
cos 1 sin
Z n x n x
n
∈
π
).
Giải:
2 0 cos sin
M
π
= ∫
+
/2 0
π
x= − ⇒π t dx= −dt Khi x= → =t π x= → =π t
4
J
⇒ =
III) Bài tập rèn luyện
Tính các tích phân sau:
0 cos sin
cos
π
x n x
n
cos 2 0
xdx x
π
2
3
4 sin sin cos 2
xdx
π
4) 2
3
sin
sin cos
xdx
π
0x cos xdx
π
01 tan
dx x
π
∫
−
7) 2
1
x
e dx
0
x
π
cos sin 0
π
∫