Tích phân hàm hữu tỉ hàm lượng giác

Tích phân hàm hữu tỉ hàm lượng giác

TICH PHAN HAM HUU TIVA HAM LUQNG GIAC

Đại học Quốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

TOAN CAO CAP Ai - Chuong 3 — Giới thiệu tổng quan

Tích phần hàm hữu tỉ

Tích phân hà m hữu tỉ có dạng

Om)

P(x) là một phẩn thúc ha tỉ tế gan theo x, " “ “^ ¢ * >, , as = 7

O(x)

Phutng phap tong gudt; ding phương pháp phâ n tích,

trong đó

Đại họoCÑẤ uốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

TOAN CAO CAP Ai - Chuong 3 — Giới thiệu tổng quan

Phương pháp phân tích để tính

tích phần hàm hữu tỉ

Trước hết, nếa bác của P(x) > bác của Q(x) thì ta viết P(x) dưới dạng:

P(x) =Q(x), 5(x) + R(x), với bậc RÍx) < bậc @(x)

Dodé [oS ar= fscxyax + [ax

Tích phần [3(x)dx có thể tính được một cách dễ dang,

Như vậy ta chỉ cẩn tìm cách nh Íg y4 + với bậc

của R(x) < bác của Q(x),

bị

Đại họoCÑẤ uốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

TOAN CAO CAP Ai - Chuong 3 — Giới thiệu tổng quan

Phương pháp phân tích để tính tích

= phan ham hitu ti (tt)

Tiép theo, Tich phin{ 24x có thể được tính bằng

P(x)

phần ch phần thứ hữu œy; thành tổng của các phần thứ hữu tỉ đơn giản hởn thuộc các dạng sau:

dx Cx +D

(x° +px + q) với p?- 4q < 0 ( Tứ là x?+ px + g khéng co ngém thu),

Đại họoCÑẤ uốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

TOAN CAO CAP Ai - Chuong 3 — Giới thiệu tổng quan

Ví dụ 1

Tinh p= {Ge +) 5,

x* +1

Trước hết ta đổi biến để đơn giản hóa tính phần trên băng cách đặt

= x2,

ra ee (joel lrđudu 1l, du

=4 1-2/2 See, ia oa Saal ae

Infu?+1)+— ~arcigu + C

in(x* +1) + —arcte(x’ V+

Dai hoc

uốc gia TpHCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

TOAN CAO CAP Ai - Chuong 3 — Giới thiệu tổng quan

dsz

x -x?

Tinh |

x”- x2 =x?Úc' - l)ì=x?(x— 1) (x2+ x4 1)

Do dé: l A B C Dx +E

x" -x x xỉ x¥-1 x°4+x+1

hiền: 1= Ax(Œ” —I)+B(x” - D+Cx #(x” +x ++(Dx +E)x”( -

Từ đây có thể tính được các hệ số A, B,C,D, E và suy

1

ra 1 l x-1

' = —~——+- se

xxx x? 344-lI) 2{zÌ+x+l)

?

Suy ta: | dx 8 đi (5+ Í) l 2x+1 C

x-x' x 6 x +xz+l 2j3arclg /3

Dai hoc uốc gia TpHCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

TOAN CAO CAP Ai - Chuong 3 — Giới thiệu tổng quan

8

Tích phan hàm lượng giác

Tích phãn hàm lượng giác đa ng:

I =JR(anx, cosx}dx

trong đó Ríu, v) là hàm hữu tỉ đổi với u và v,

Phương pháp chung:

3 l

Bat rete = dt=—(14+te? dx

2 2 2

t

et Uy Ta: ee % gor) 3

* [I=ÍR ` | dt

: (2 ao)

Tích phần này cố dạng tích phần của phần thứ hữu tỉ,

Đại họoCÑẤ uốc gia Tp.HCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

TOAN CAO CAP Ai - Chuong 3 — Giới thiệu tổng quan

Vidu

Tính 1= Í ch

Sif 3 i

x

Đạt: t=te —— dx =

{ ax a= 2d =ÍŠ

sin x 3E liệt t

x

= In |t} + C= In “ lS

Dai hocNQudc gia Tp.HCM - TruOng Đại học Công Nghệ Thông Tin

TOAN CAO CAP Ai - Chuong 3 — Giới thiệu tổng quan

Một số trường hợp đặc biệt

# hiểu R(-srw,-cosx)= R(srnx,cosx) thì đạt tox

hoac u=cotgx

* hiếu R{sinx, -cosx) =-R{sinx cosx thi dat u = dnx,

* Néu R{-dnx, cosx) =-R(sim,cosx) thì đật u =cosx

* Tích phần dạng [sirx cos#x dx với mm và n là các số

chấn dưởng.Ta có thể đổi biến bằng cách ding công thứ ; sin? xx =~- c0s2%)

cos x= sú +cos2x)l

sin xX COSX = om 3x

uốc gia TpHCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin

Đại học

TOAN CAO CAP Ai - Chuong 3 — Giới thiệu tổng quan

Vi du

1 i Tink: nà 2+cosx

I =| wena sinx dx

2+cosx

3

= J(a-2 +) đu

2

i‘ =~ 2u+3in(2-+u) +

1

2 cos x-2cosx +3 In(2 +cosx) +C

Pat u=cosx > du=-snx dx,

Dai hoc uốc gia TpHCM - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin