Tác giả Họ và tên : Huỳnh Hữu Hùng Đơn vị công tác : Tổ toán trường THPT Hiệp Đức, huyện Hiệp Đức, tỉnh Quảng Nam Số điện thoại liên hệ: 01658022012 Email: Huuhung777@gmail.com Từ một mệ
Trang 1Tác giả
Họ và tên : Huỳnh Hữu Hùng
Đơn vị công tác : Tổ toán trường THPT Hiệp Đức, huyện Hiệp Đức, tỉnh Quảng Nam
Số điện thoại liên hệ: 01658022012
Email: Huuhung777@gmail.com
Từ một mệnh ñề ñến việc giải nhanh tích phân hàm hữu tỉ
Đa số các sách tham khảo khi viết phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ đều dùng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp chọn giá trị đặt biệt Bài viết này giới thiệu một cách nhẩm nhanh các hệ số khi biến đổi các phân thức hữu tỉ về dạng áp dụng được các công thức nguyên hàm
Mệnh đề: Cho k là một số nguyên dương, Q x( ) là một đa thức và x1không phải là nghiệm của ( )Q x Nếu
( )
( )
R x
1
( ) ( )
P x A
Q x
=
Chứng minh: Từ giả thiết ta suy ra
1
P x =A Q x + x−x R x Q x
Bằng cách thay x bởi x1 ta được P x( )1 = A Q x ( )1 hay 1
1
( ) ( )
P x A
Q x
=
Áp dụng1: Nếu P(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn n và
( )
n
thì
( )
i i
i i i i i i i n
P x A
=
Tức là A i có được bằng cách thay
i
x vào biểu thức bên trái sau khi xóa thừa số (x−x i)ở dưới mẫu
Sau đây tôi xin trình bày một số ví dụ
Ví dụ 1: Tính tích phân
1 2 0
x
x x
−
=
∫
1
3
A= − − =
(Tính A b ằ ng cách thay x=-1 vào bên trái sau khi xóa th ừ a
s ố (x+1) ở m ẫ u s ố ngh ĩ a là thay vào bi ể u th ứ c 3 5
1
3
x x
−
+ )
Trang 2và
1
1
3
B
(Tính B b ằ ng cách thay x=-1/3 vào bên trái sau khi xóa th ừ a s ố
(x+1/3) ở m ẫ u s ố ngh ĩ a là thay vào bi ể u th ứ c 3 5
x x
− + B ạ n c ũ ng có th ể dùng tay “B ụ m”
th ừ a s ố (x+1/3) xem nh ư không có th ừ a s ố này r ồ i thay x=-1/3 vào bi ể u th ứ c còn l ạ i
1
3
x
−
)
Vì vậy
1 1
0
0
1
3
x
x
−
+
Lưu ý rằng học sinh chỉ cần nhớ cách nhẩm các hằng số A và B chứ không cần trình bày vào bài làm nên tiết kiệm thời gian rất nhiều.Đặt biệt bậc của mẫu càng lớn thì hiệu quả
của phương pháp nhẩm hệ số này càng cao
Ví dụ 2: Tính tích phân
2 3 1
9
x
x x
−
=
−
∫
Lời giải
x
−
−
Ví dụ 3: Tính tích phân
0( 9)( 4)( 1)
x
=
∫
Lời giải
x
Nh ậ n xét: N ế u dùng ph ươ ng pháp h ệ s ố b ấ t đị nh ho ặ c ph ươ ng pháp ch ọ n giá tr ị đặ t bi ệ t thì ph ả i thi ế t l ậ p h ệ ph ươ ng trình 5 ẩ n và gi ả i r ấ t ph ứ c t ạ p
Ví dụ 4: Tính tích phân
0
x
x x x
−
=
∫
Trang 3Lời giải: 3 22 2 2 2
7
5
B+C= −
5
5
B = Do đó
1
0
x
x
π
π
−
Áp dụng 2:Cho k là một số nguyên đương, ( )Q x là một đa thức và x1không phải là
2
( )
k
R x
1
1
( )
( )
k
P x
A
Q x
= Tức là A k có được bằng cách thay x1 vào biểu thức bên trái sau khi xóa
thừa số ( 1)k
x−x ở dưới mẫu
−
a) Tìm các hằng số A, B, C, D
b) Tính tích phân
3 0
( 1) ( 2)
x
−
=
∫
Lời giải
C= − − = −
(Tính C b ằ ng cách thay x=-1 vào bên trái sau khi xóa th ừ a s ố
(x+1) ở m ẫ u s ố ngh ĩ a là thay vào bi ể u th ứ c
2
2
x x
−
−
)
2
3
3.2 1 11
(2 1) 27
D= − =
+
(Tính D b ằ ng cách thay x=2 vào bên trái sau khi xóa th ừ a s ố (x-2) ở
m ẫ u s ố ngh ĩ a là thay vào bi ể u th ứ c
2 2
( 1)
x x
− +
)
Từđó suy ra
2= A+B−3 54− ⇔A+B=27
A
A= − B=
2
−
−
Trang 4b)Từ kết quả câu a) ta có
1
0
1
2
−
−
−
∫
Bài tập tương tự
Tính các tích phân 1)
1
2
x
x
=
−
1
2
x x
−
=
− − +
∫ 3)
1
0
3 4 ( 1)( 4)
x
−
=
− −
1
0
3 4
5 8 4
x
−
=
+ + +
5)
1
3 0
3 4 ( 4) ( 3)
x
−
=
1
0
3 4 ( 5 4)
x
−
=
+ +
∫