Trường hợp 1: Mẫu số có nghiệm kép x0.. ax Bài 1: Tính tích phân.. Cách giải: Đổi biến bằng cách đặt x a= tant.. Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến... Bài 2: Tính tích phân
Trang 1TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ Dạng 1: Tính tích phân
x
m m
ax+b
n n
m
m
a
Bài 1: Tính các tích phân sau
1 23 2 3
1
−
−
∫
Dạng 2: Tính tích phân
x
n n
m
m
x
ax+b ax+b
n n
m
m
a
Bài 1: Tính các tích phân sau
1
3
2 2
2
−
0
1
−
−
∫
Dạng 3: Tính tích phân sau 2 1
ax +bx+c
n m
I =∫ dx
Trường hợp 1: Mẫu số có nghiệm kép x0 Ta có: 2 ( )2
0
ax +bx c a x x+ = −
0
ax
bx c a x x
Bài 1: Tính tích phân
1 01 2 1
−
=
=
−
=
−
=
∫
Trường hợp 2: Mẫu mẫu số có hai nghiệm phân biệt x L, xN.Ta có: ax2+bx c a x x+ = ( − L) (x x− N)
ax
Bài 1: Tính tích phân
1 12 2 1
7 12
=
−
=
−
=
−
=
∫
Bài 2: Tính tích phân
1 23 21
1
x
=
−
9
x
−
=
−
2
x
=
−
3
x
−
=
−
∫
Trường hợp 3: Mẫu số vô nghiệm
• Dạng 1: n 21 2
m
x a
=
+
∫ Cách giải: Đổi biến bằng cách đặt x a= tant
ax
n m
bx c
=
0
ax
o Cách giải: Đổi biến bằng cách đặt: x x− 0 =utant
Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
1 01 21
1
x
=
+
4
x
=
+
9
x
=
+
2
x
=
+
∫
Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
1 02 2 1
=
2 10
−
=
=
1
x x
−
=
+ +
∫
1
Trang 2TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ Vấn đề 1: Tính tích phân 2ax+b
cx
n m
dx e
=
∫
Trường hợp 1: Mẫu số có nghiệm kép x0 Ta có: 2 ( )2
0
cx +dx e c x x+ = −
0
cx
dx e c x x
Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
1 01 22 1
x
−
+
=
x
=
x
−
=
x
=
∫
Dạng toán này có thể mỡ rộng cho trường hợp tữ số là bậc hai hoặc bậc ba.
Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
1
2 0
2
x
−
=
2 1 2 0
2
x
+
=
2 1 2 0
−
=
3 1 2 0
2
x
−
=
∫
Trường hợp 2: Mẫu mẫu số có hai nghiệm phân biệt x1, x2.Ta có: 2 ( ) ( )
cx +dx e c x x x x+ = − −
Ta biến đổi tích phân về dạng 2
ax+b cx
Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp hệ số bất định
1 12 27 12
7 12
x
−
=
x
−
+
=
x
−
=
x
+
=
∫
Dạng toán này có thể mỡ rộng cho trường hợp tữ số là bậc hai
Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp hệ số bất định
x
=
1
−
=
1
1
x x
−
+ +
=
0
=
∫
Nhận xét: Từ bài số 1 ta lấy tử số cộng cho mẫu số ta được bài số 2
Trường hợp 3: Mẫu số vô nghiệm
Ta phân tích ax+b=p(cx2+dx e+ )’+q
cx
dx e
Ta tính tích phân ( 2 )/
2
cx cx
n m
dx e
dx e
=
Ta tích tích phân 2 1
cx
n m
dx e
=
∫ bằng cách biến đổi như sau
0
cx
Khi đó ta đổi biến bằng cách đặt: x x− 0 =utant
Bài 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
1 02 22 3
x
+
=
2 10
x
−
+
=
x
+
=
1
x
x x
+
=
+ +
∫
Bài 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
1 0122 3
1
x
x
+
=
+
4
x
x
+
=
+
∫
3 03 2 1
9
x
x
+
=
+
2
x
x
+
=
+
∫
2