Môđun đối buchsbaum

MỞ ĐẦU Trong phạm trù các môđun Noether, môđun Cohen - Macaulay, môđun Buchsbaum và môđun Cohen - Macaulay suy rộng là ba lớp môđun quen thuộc trong Đại số giao hoán và có nhiều ứng dụng

NGUYỄN TUẤN KIỆT

MÔĐUN ĐỐI BUCHSBAUM

luËn v¨n th¹c sü to¸n häc

Nghệ An - 2012

NGUYỄN TUẤN KIỆT

MÔĐUN ĐỐI BUCHSBAUM

MỤC LỤC

1.1 Chiều Krull, hệ tham số và số bội của môđun Noether 5

1.5 Chiều Noether, hệ tham số và số bội của môđun Artin 10

1.8 Dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay 15

2.3 Môđun đối Buchsbaum trên vành hông nhất thi t địa phương 30

MỞ ĐẦU

Trong phạm trù các môđun Noether, môđun Cohen - Macaulay, môđun Buchsbaum và môđun Cohen - Macaulay suy rộng là ba lớp môđun quen thuộc trong Đại số giao hoán và có nhiều ứng dụng trong ình học Đại số

Cho (R, m) là vành Noether, địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m và M

là một Rmôđun hữu hạn sinh với chiều Krull là d; x =  x1, , xd là một

hệ tham số của M Đặt

 ;  ( / ) ( ; )

I x M  M xM e x M ,

trong đó ( M xM / ) là độ dài của môđun thương M/xM; e x M ( ; ) là số bội

của M ứng với hệ số tham số x Chú ý rằng I x M ( ; )luôn là số nguyên

hông âm M được gọi là môđun Cohen - Macaulay n u n u tồn tại một hệ

tham số x =  x1, , xd của M sao cho I x M ( ; ) = 0 ( hi đó I x M ( ; ) = 0 với

mọi hệ tham số x của M) M được gọi là môđun Buchsbaum n u I x M ( ; ) = c

là hằng số với mọi hệ tham số x của M M là môđun Cohen - Macaulay suy

rộng n u I x M ( ; ) <  với mọi hệ tham số x của M

Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọng như lớp môđun Cohen-Macaulay đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu là lớp môđun đối Cohen-Macaulay Cấu trúc của môđun đối Cohen – Macaulay

đã được bi t đ n thông qua các tính chất của hệ tham số, dãy đối chính qui,

tập các iđêan nguyên tố gắn k t, đồng điều địa phương… Cho (R, m) là vành

Noether, địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m và A là một R-môđun Artin Với mỗi hệ tham số x của A trong m đặt

I(x; A) = R (0: A x R) – e(x; R)

và I(A) = sup

x

I(x; A), trong đó cận trên lấy trên tập tất cả các hệ tham số của

A Khi đó I(x; A) luôn nhận giá trị nguyên hông âm và A là môđun đối

môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay

Mục đích của Luận văn là dựa vào bài báo [4] của Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn để trình bày về định nghĩa và một số tính chất của môđun đối Buchsbaum

Ngoài phần Mở đầu, K t luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia thành hai chương

Chương 1: Ki n thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số hái niệm của Đại số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn ở Chương 2 Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số k t quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

Chương 2: Môđun đối Buchsbaum Trong chương này chúng tôi trình bày những nội dung sau đây

2.1 Môđun Buchsbaum: Trong phần này chúng tôi trình bày về hái niệm và một số tính chất của môđun Buchsbaum dựa theo [13] nhằm mục đích so sánh với hái niệm môđun đối Buchsbaum sẽ trình bày ở các phần

2.3 Môđun đối Buchsbaum trên vành hông nhất thi t địa phương: Trong phần này chúng tôi trình bày hái niệm và một số tính chất của môđun đối Buchsbaum trên vành hông nhất thi t địa phương theo [4]

Tác giả xin bày tỏ lòng bi t ơn sâu sắc đ n TS Nguyễn Thị Hồng Loan - người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm hắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Đại số và Lý thuy t số, Khoa Toán học và Phòng Đào tạo Sau đại học thuộc Trường Đại học Vinh; phòng QLKH&SĐH trường Đại học Đồng Tháp; các đồng nghiệp trường T PT Châu Thành 1 đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong lớp cao học 18 - Đại số và Lý thuy t số đã giúp đỡ động viên tác giả trong suốt quá trình học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn hông tránh hỏi những sai sót Tác giả rất mong nhận được những ý i n đóng góp của các thầy giáo,

cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 10 năm 2012

Tác giả

CHƯƠNG I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số hái niệm của Đại số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn ở Chương 2 Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số k t quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

1.1 Chiều Krull, hệ tham số và số bội của môđun Noether

1.1.1 Chiều Krull Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R :

0  1  n

p p p được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n Cho p là một

iđêan nguyên tố của vành R, cận trên của tất cả các độ dài của các xích

nguyên tố với p0  p được gọi là độ cao của p, ý hiệu là ht p  Nghĩa là:

 

ht p = sup {độ dài các xích nguyên tố với p0 p} Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi

là chiều Krull của vành R, ý hiệu là dim R

Cho M là một Rmôđun Khi đó dimR/ AnnR Mđược gọi là chiều

Krull của môđun M, ý hiệu là dim M

1.1.2 Hệ tham số Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với

iđêan tối đại duy nhất là m; M là một R -môđun hữu hạn sinh có chiều Krull

> 0

dim M  d Một hệ gồm d phần tử x: ( , , x1 x d) của m được gọi là

một hệ tham số của M n u R(M/( , )x1 x M d )   ( ( ) là í hiệu độ dài

của R -môđun)

Sau đây là một số tính chất cơ bản của hệ tham số

(i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của M cũng là một hệ tham số của M

(ii) N u x: ( , , x1 x d) là một hệ tham số của M thì với mọi i1,2, ,d

là một hệ tham số của môđun M

1.1.3 Số bội Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan

cực đại duy nhất m; M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull

dimM  d 0 Một hệ các phần tử x: ( , x x1 2, , )x t của m sao cho

( , , ;t / )

e x x M x M và e x( , , ; 02 x t M x1) đã được xác định Khi đó ta định nghĩa:

Đặt biệt, n u tồn tại i sao cho x M i n 0 với n là một số tự nhiên nào đó thì

(v) Giả sử q( , , )x1 x R t là iđêan sinh bởi bội ( , , )x1 x t Khi đó

1.2 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic

Cho R, m là một vành địa phương Ta xét R như một vành tôpô với cơ

sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt , với t = 0,1,2 Chú ý rằng cơ sở lân

cận của một phần tử tuỳ ý rR gồm các lớp ghép rmt với t = 0, 1,2 Khi đó vành đầy đủ theo tôpô madic của R ý hiệu bởi R được định nghĩa

bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy  r các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự n

nhiên n0 để r n  r m mt với mọi n m, n0

Dãy  r được gọi là hội tụ về dãy không n u với mọi t > 0 tồn tại số tự n

nhiên n0 để r n   0 r n mt với mọi nn0

ai dãy Cauchy  r và n  s n được gọi là hai dãy tương đương, ý hiệu

là    r n s n n u dãy r n s n là dãy hông Khi đó quan hệ  trên tập các

dãy Cauchy là quan hệ tương đương Ta ý hiệu R là tập các lớp tương

đương của các dãy Cauchy

Chú ý rằng n u  r và n  s n là các dãy Cauchy thì các dãy r n s n,

r s n n cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy r n s n,

r s n n là hông phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương đương của các dãy  r n và  s n , tức là n u    ,

Mỗi phần tử rR có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà

tất cả các phần tử trong dãy đều là r Vì th ta có một đơn cấu tự nhiên giữa

trong đó  r là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r

Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là

1.3 Giá của môđun

Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Ký hiệu Rp và Mp tương ứng là

địa phương hóa của R và M tại p Gọi SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R Khi đó tập con

 

Supp M V(AnnR M) p SpecR p AnnR M

1.4 Biểu diễn thứ cấp

1.4.1 Định nghĩa (i) Một R -môđun M được gọi là thứ cấp n u M ≠ 0 và n u

với mọi xR, phép nhân bởi x trên M là toàn cấu hoặc lũy linh Trong

trường hợp này Rad(AnnR M là iđêan nguyên tố, chẳng hạn là ) p và ta gọi M

Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa được về dạng tối

thiểu Khi đó tập hợp { , , }p1 p là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối n

thiểu của M và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M, í hiệu bởi

AttR M Các hạng tử N , i i 1, , ,n được gọi là các thành phần thứ cấp của M

1.4.2 Mệnh đề (i) Cho M là một R -môđun biểu diễn được Khi đó M 0

khi và chỉ khi AttR M . Trong trường hợp này tập các iđêan nguyên tố tối

thiểu của R chứa Ann (M) chính là tập các phần tử tối thiểu của AttR M.

(ii) Cho 0M'MM''0 là dãy khớp các R -môđun biểu diễn được

Khi đó ta có

AttR M''AttR M AttR M' È AttR M''

Chú ý rằng mọi môđun Artin đều biểu diễn được Từ nay về sau luôn í

hiệu A là một R – môđun Artin với R là vành hông nhất thi t địa phương

N u (R, m) là vành địa phương, í hiệu E = E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m của R Xét hàm tử D     Hom ( , ( /R  E R m )) từ phạm trù

các R – môđun đ n chính nó Vì E(R/m) là môđun nội xạ nên D( ) là hàm tử khớp àm tử D( ) được gọi là hàm tử đối ngẫu Matlis

1.4.3 Mệnh đề Gọi mj là các iđêan cực đại của vành R Các phát biểu sau là

đúng

(i) Att { : Att }

j j

(iii) Nếu R là vành địa phương, đầy đủ, thì ta có

a) Nếu N là R -môđun Noether, thì Att ( ( ))R D N Ass ( ).R N

b) Nếu A là R -môđun Artin, thì Ass ( ( ))R D A Att ( ).R A

1.5 Chiều Noether, hệ tham số và số bội của môđun Artin

1.5.1 Định nghĩa Chiều Noether của môđun Artin A, ý hiệu bởi N-dim R A,

được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

Khi A = 0, đặt N-dim R A = -1

Với A ≠ 0, cho một số nguyên d ≥ 0, ta đặt N-dim R A = d n u N-dim R A < d

là sai và với mỗi dãy tăng A0 A1 các môđun con của A, tồn tại số nguyên

n0 sao cho N-dimR (A n +1 /An )< d, với mọi n > n0

Đã có nhiều tác giả nghiên cứu cấu trúc của các môđun Artin A thông qua

chiều Noether của chúng và một số tính chất của chiều Noether cho môđun Artin được xem là đối ngẫu với một số tính chất của chiều Krull cho môđun hữu hạn sinh đã được đưa ra

Cho A là một R-môđun Artin Đặt

N-dim A = deg ( (0 :A J A n))

inf{ :t x1, ,x tJ A sao cho (0: ( , , ) )A x1 x R t  }

Tuy nhiên, nhiều tính chất của môđun Noether hông phải luôn luôn được

“bảo toàn” qua đối ngẫu Matlis Cụ thể là, trong hi với mọi R -môđun Noether M , ta luôn có dim = max Ass dim / ,

để tính toán chiều Noether

1.5.3 Ví dụ Tồn tại môđun Artin A có biểu diễn thứ cấp tối thiểu là

,

k

AB trong đó B k là pk - thứ cấp và tồn tại hai số nguyên k  k ' sao cho

'

N-dim B k N-dim B k nhưng pk pk'

Giả sử A là một môđun Artin trên vành địa phương (R, m) Khi đó A có

cấu trúc như một môđun trên vành đầy đủ madic R của R, và n u  : R 

R là một đồng cấu vành chính tắc, với mỗi dãy (c n)n N các phần tử của R sao

cho ( (c n))n N hội tụ tới c của R , và mỗi xA, thì dãy (c n x) n N có giới hạn

hằng và giới hạn đó là c x Các t quả sau đây (xem [6, Mệnh đề 2.4, Hệ quả

2.5, Định lý 3.1, ệ quả 3.6]) thường được dùng để chứng minh trong Chương 2

Chính vì vậy, ta có thể vi t N-dim A thay cho N-dimR A hoặcN-dim

R A

1.5.5 Bổ đề (i)N-dim A 0 nếu và chỉ nếu A0và R( )A   Trong trường

hợp này AttR A { } m Hơn nữa, nếu 0 A'  A A''  0 là dãy khớp

các R-môđun Artin thì N-dimR A max{N-dimR A', N-dimR A''},

(ii) N-dim A„ dimR/ AnnR Amax{dimR/ : p pAttR A} và tồn tại môđun

Artin A sao cho N-dim < dimA R/ AnnR A

(iii) N-dim dim / Ann max{dim / : Att }

b) N-dim Hmi (M) „ ii, với mọi i „ - d1

1.5.6 Bổ đề Cho AB1  B n là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A,

với B i là p i -thứ cấp Khi đó xJ A là phần tử tham số của A nếu và chỉ nếu

,

i

x p với mọi pi sao cho N-dim B i d, với mọi i „ - n

Số bội hình thức ( ; ) e x A của A ứng với hệ số bội x được định nghĩa

bằng quy nạp theo t như sau

Với t = 0, tức là R( )A  , ta đặt e( ; ) A  R( ).A

Với t > 0, đặt 0 :A x1 {aA x a: 1  0}. Khi đó ( , , )x2 x là hệ bội của t 0 :A x1

và A x A/ 1 Vậy theo giả thi t quy nạp thì các số e x( , , ;2 x A x A t / 1 ) và

t

x n  x x Khi đó ta có các tính chất sau

(i) (0 : x n R( ) ) n n (0 : xR) và e x n A( ( ); ) n n e x A( ; )

(ii) Cho dãy khớp các R-môđun Artin 0A' AA''0.Khi đó

xlà một hệ bội của A nếu và chỉ nếu xlà một hệ bội của A’ và A” và ta có

( ; ) = ( ; ') ( ; ")

e x A e x A e x A (iii) Ta luôn có 0 „ e x A( ; ) „ (0 :A xR). Hơn nữa e x A( ; )  0nếu và chỉ nếu

1.6 Môđun đối đồng điều địa phương

Cho a một iđêan của R Khi đó, hàm tử a-xoắn  a( ) từ phạm trù các

R -môđun vào phạm trù các R -môđun được xác định bởi

là hàm tử cộng tính, hớp trái, hiệp bi n trong phạm trù các R-môđun với

hàm tử dẫn xuất phải thứ i là R i  a( ),i 1,2, môđun đối đồng điều địa

phương H Mai( ) thứ i của M được định nghĩa bởi

( ) : ( )

H Ma  R a M Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương

1.6.1 Cho B là một A-đại số phẳng Khi đó ta có đẳng cấu:

1.6.2 Cho k là số tự nhiên Khi đó H Mai( ) là môđun hữu hạn sinh với mọi

ik n u và chỉ n u tồn tại một số tự nhiên n sao cho n i( )  0,

1.6.3 Khi am là iđêan cực đại của R thì Hmi (M) là R-môđun Artin ơn

nữa Hmi (M)0 với mọi id

1.7 Đồng điều địa phương

1.7.1 Định nghĩa ([5, Định nghĩa 3.1]) Cho I là một iđêan của vành Noether

R và M là một R-môđun môđun đồng điều địa phương thứ i H M i I( ) của M ứng với iđêan I được định nghĩa bởi i I( ) lim i R( / t; )

t

H M  Tor R I M

Khái niệm này được xem là đối ngẫu với hái niệm môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu sinh trên vành Noether Tuy nhiên, trong phạm trù các môđun Artin, hai hái niệm này là như nhau

Các tính chất sau trong [5, Mệnh đề 3.3, Mệnh đề 4.6] thường được dùng trong các chứng minh về sau trong Chương 2

1.7.2 Mệnh đề Cho R là vành đầy đủ của R theo tôpô m-adic Khi đó

(i) H im( )A là R -môđun Noether, với mọi i

(ii) H i I( )A D H D A( i I( ( ))),trong đó D( ) là hàm tử đối ngẫu Matlis

Cho f: R  R’ là một đồng cấu giữa các vành Noether và A là R’-môđun

Artin Với mỗi phần tử xR v à mA, ta xác định phép nhân với vô hướng: xm f x m( ) phép nhân vô hướng này cùng với phép cộng sẵn có của

A làm cho A trở thành R-môđun Artin Mệnh đề sau đây là tính chất chuyển

đổi vành cơ sở của môđun đồng điều địa phương

1.7.3 Mệnh đề ([5, Hệ quả 3.7]) Cho f R: R' là một đồng cấu giữa các

vành Noether và I là một iđêan của R Cho I( ) lim / t

t

  là hàm tử làm đầy I-adic của R Khi đó tồn tại một đẳng cấu giữa các I( )R -môđun

1.5, chiều Noether là một hái niệm được dùng để đi đ n các hái niệm hệ tham số, số bội cho môđun Artin Ở đây, hái niệm chiều Noether một lần nữa lại được sử dụng để chứng minh tính triệt tiêu của môđun đồng điều địa phương như sau

1.7.4 Định lý ([5, Mệnh đề 4.8 ]) H i I( )A 0, với mọi i N-dim A

Mệnh đề sau đây là tính chất I - tách của môđun đồng điều địa phương

1.7.5 Mệnh đề ([5, Mệnh đề 3.3]) H i I( )A =

0

( ) 0,

n I i n



 với mọi iđêan I

của R và với mọi i0

1.8 Dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay

1.8.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun tùy ý Một dãy các phần tử

1, , r

x x trong R được gọi là dãy đối chính quy của M (hay M-dãy đối chính

quy) n u thỏa mãn các điều kiện sau

(i) (0 : ( , ,M x1 x Rr) )  0.

(ii) xi(0 : ( , ,M x1 xi1) ) R  (0 : ( , ,M x1 xi1) ), R với 1 i r

Đặc biệt, phần tử x  R được gọi là phần tử M-đối chính quy n u xM M

Cho A là R-môđun Artin và I là một iđêan của R sao cho (0 :A I)0 Khi

đó độ dài của mỗi A-dãy đối chính quy trong I là hữu hạn và hai dãy đối chính quy tối đại trong I có chung độ dài Vì th ta có định nghĩa sau

1.8.2 Định nghĩa Độ rộng của A trong I, ý hiệu là Width I A, là độ dài của một A-dãy đối chính quy tối đại trong I Đặc biệt, n u I = m thì ta gọi Widthm

A là độ rộng của A trong m và ý hiệu là Width A

1.8.3 Chú ý (i) Đối với môđun Artin A hác hông trên vành giao hoán R,

n u các phần tử x1, , xn  JA thì điều kiện , (0 : ( , ,A x1 x Rr) )  0 trong

Định nghĩa 1.4.1 luôn được thỏa mãn

(ii) WidthI A = inf{ : n Tor n R( ;A R I/ ) 0}

(iii) N u xJ A là phần tử A-đối chính quy thì N-dim(0 : A xR)

N-dimA1. Do đó, mỗi A-dãy đối chính quy là một phần hệ tham số của A và

vì th Width ( ) N-dim

A

1.8.4 Định nghĩa Cho (R, m) là vành địa phương Một R-môđun Artin A

được gọi là môđun đối Cohen-Macaulay n u Width AN-dim A

Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đã được nghiên cứu bởi nhà toán học trên th giới là môđun đối Cohen-Macaulay Lớp môđun này cũng

có những đặc trưng qua dãy đối chính quy, số bội, đồng điều địa phương (xem [ 5, Mệnh đề 4.8])

1.8.5 Định lý Cho A là một môđun Artin trên vành địa phương (R,m) Khi đó

các mệnh đề sau là tương đương :

(i) A là môđun đối Cohen-Macaulay

(ii) Tồn tại một hệ tham số của A là A dãy đối chính quy

(iii) Tồn tại một hệ tham số của A sao cho e x A( ; ) (0 :A xR)