một số tính chất của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương

HỒ CHÍ MINH CAO NGUYÊN HOÀNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

CAO NGUYÊN HOÀNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN

NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔĐUN ĐỐI

ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

CAO NGUYÊN HOÀNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN

NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔĐUN ĐỐI

ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ & LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

MỤC LỤC

Lời cảm ơn! 3

Phần mở đầu 4

Bảng ký hiệu 7

Chương 1: Kiến thức cơ sở 8

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết 8

1.2 Độ cao của một iđêan 9

1.3 Chiều của một iđêan 10

1.4 Độ sâu của môđun 11

1.5 Hàm tử xoắn 12

1.6 Môđun đối đồng điều địa phương 14

1.7 Vành và môđun phân bậc 16

1.8 Các phép biến đổi iđêan 20

1.9 Chiều hữu hạn của môđun 22

Chương 2: Một số tính chất của iđêan nguyên tố liên kết của của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương 24

2.1 Khái niệm về sự ổn định tiệm cận 24

2.2 Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương 24

2.3 Ổn định tiệm cận ở chiều hữu hạn 25

2.4 Một tính chất khác về tính ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương 34

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

Lời cảm ơn!

Sau hai năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố

Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của PGS TS Trần Tuấn Nam thì bài luận văn tốt nghiệp của tôi đã được hoàn thành Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, TS Trần Huyên, PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, cùng quý thầy trong Khoa Toán – Tin Trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Cám ơn Sở GD-ĐT Tp Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu và tập thể giáo viên trường THPT Nguyễn Chí Thanh nơi tôi công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành kế hoạch học tập của mình

Cuối cùng tôi xin gởi lời cám ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những

người đã giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011

Tác giả

Cao Nguyên Hoàng

Phần mở đầu

Cho R= ⊕n≥0R ntrong đó họ (R n n) ≥0 là họ các vành Noether, R+= ⊕n> 0R n là một iđêan của R và M là một R – môđun phân bậc hữu hạn sinh H R i+(M)là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với R+được trang bị tính phân bậc tự nhiên Với mỗi n∈, ta có H R i+(M)n là thành phần phân bậc thứ n của môđun ( )

có gì đặc biệt? Và khi i> f thì Ass R0(H R i+(M)n)còn ổn định tiệm cận không?

Năm 2002 trong một bài báo (xem [11]), M Brodman, M Katzman và R.Y Sharp đã trả lời cho các câu hỏi trên một cách chính xác Kết quả được thể hiện trong định lí sau:

Ass H M không ổn định tiệm cận khi n→ −∞,

cụ thể họ thu được định lí sau:

Ass H R không ổn định tăng với n→ −∞

Những vấn đề trên có vai trò quan trọng trong chuyên ngành đại số, đại số giao hoán và đại số đồng điều, vì thế nó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học

Mục đích của luận văn này là hệ thống lại một số kiến thức cần thiết về đại

số giao hoán, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu và nghiên cứu, sau

đó trình bày lại chi tiết bài chứng minh cho kết quả (1) Bên cạnh đó sẽ trình bày một cách hệ thống các bổ đề tính chất để đi đến kết quả (2)

Bài luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 trình bày lại các kiến thức cơ sở về đại số giao hoán, đại số đồng điều nhằm phục vụ việc chứng minh các kết quả của chương sau

Chương 2 gồm hai phần, phần 1 phần chính của bài luận văn, phần này trình bày các bổ đề liên quan sau đó trình bày chi tiết bài chứng minh kết quả (1) Phần 2 trình bày các bổ đề liên quan sau đó dẫn đến kết quả (2)

Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức nên luận văn này không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp, xây dựng của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp

R/I vành thương của R theo I

Spec(R) tập hợp các iđêan nguyên tố của R

*Spec(R) tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R

V(I) tập hợp các iđêan nguyên tố chứa I

1

S R− vành các thương của vành R

dim( ) R số chiều của vành R

Supp(M) tập hợp các iđêan nguyên tố có M ≠p 0

Ann(M) linh hóa tử của M

Var(I) tập hợp Supp(R/I)

Proj(R) tập {p∈*Spec R( ) : /p⊇ R+}

Chương 1: Kiến thức cơ sở

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành Noether và M là một R – mô đun Một iđêan

nguyên tố pcủa R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu nó thỏa một trong hai điều kiện tương đương sau:

(i) Tồn tại một phần tử x∈M sao cho Ann(x) = p

(ii) M chứa một mô đun con đẳng cấu với R/ p

Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu AssR(M)

Tính chất 1.1.2 Cho R là vành, giả sử p là phần tử tối đại của {Ann(x) | x∈M,

Ass M = f Ass M = Ass M ∩ p p ∩ = ∅ S

Trong đó f Spec R : ( ') → Spec R ( )là một đồng cấu tôpô

Đặc biệt, As s MR ( ) { = R | ∈ As ( ), s MR ⊆ }

Định lý 1.1.5 Cho R là vành Noether và M là một R – mô đun Khi đó AssR(M) ⊆ SuppR(M), và với mọi phần tử tối tiểu của SuppR(M) đều nằm trong AssR(M)

Hệ quả 1.1.6 Giả sử I là iđêan của vành R Khi đó iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu

của R- mô đun R/I là iđêan nguyên tố tối tiểu của I

Định lý 1.1.7 Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh, M ≠ 0 Khi đó tồn tại dãy các mô đun con (0) = M0 ⊂ ⊂ Mn−1⊂ Mn = M sao cho

1

i

M− ≅ p với mọi pi∈ Spec R ( ),1 ≤ ≤ i n .

Bổ đề 1.1.8 Nếu 0 → M ' → M → M '' → 0 là một dãy khớp các R – mô đun thì

khi đó Ass M ( ') ⊆ Ass M ( ) ⊆ Ass M ( ') ∪ Ass M ( '')

Tính chất 1.1.9 Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh Khi đó

Ass(M) là hữu hạn Hơn nữa, Ass MR( ) ⊆ V Ann M ( ( ))và mỗi phần tử tối tiểu của

Ass N ⊆ Ass M ⊆ Ass M N ∪ Ass N

1.2 Độ cao của một iđêan

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử R là một vành, R ≠ 0 Một chuỗi hữu hạn của n + 1 iđêan

nguyên tố p0 ⊃ ⊃ p1 p2 ⊃ ⊃ pn được gọi là chuỗi nguyên tố có độ dài n

Nếu p ∈ Spec A ( ) thì cận trên của chuỗi nguyên tố với p p = 0được gọi là

độ cao của pkí hiệu là ht(p)

Nhận xét 1.2.2

(i) Nếu ht(p) = 0 điều đó có nghĩa plà một iđêan nguyên tố tối tiểu của R

(ii) Nếu I là một iđêan chính của R Độ cao của I là độ cao thấp nhất của iđêan nguyên tố chứa I Tức là: ht I = ( ) inf{ht( )| p p ⊇ I}

1.3 Chiều của một iđêan

Định nghĩa 1.3.1 Cho R là vành, chiều của R được định nghĩa là cận trên của độ

cao của các iđêan nguyên tố trong R

dim( ) sup{ ( )| R = ht p p ∈ Spec R ( )}

Nếu dim(R) là hữu hạn thì nó chính là chiều dài của chuỗi nguyên tố dài nhất trong R

Nhận xét 1.3.2

(i) ht ( ) dim( ), ( ) p = Rp p ∈ Spec R

(ii) Với mọi iđêan I của R ta có: dim( R I + ) ht I ( ) dim( ) ≤ R

Tính chất 1.3.3 Giả sử M ≠ 0 là một R – mô đun khi đó số chiều của mô đun M

Khi M = 0 ta qui ước dim(M) = -1

Tính chất 1.3.4 Với R là vành Noether và M ≠ 0 là hữu hạn sinh trên R thì ta có các điều kiện tương đương sau:

(i) M là một R – mô đun có chiều dài hữu hạn

(ii) Vành R Ann M ( ) là vành Artin

(iii) dim(M) = 0

1.4 Độ sâu của môđun

Định nghĩa 1.4.1 Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn

sinh khác 0 Dãy các phần tử a1, , an∈ R được gọi là dãy M – chính quy nếu:

(i) M a / ( , , )1 a M ≠n 0

(ii) ailà phần tử M a / ( , , )1 a Mn - chính quy, với mọi i = 1, , n

Độ dài của M – dãy là số phần tử của dãy M – dãy không có phần tử nào gọi

là M – dãy có độ dài 0

Chú ý 1.4.2

(i) a R ∈ là phần tử M – chính quy nếu a không là ước của 0 trong M

(ii) a1, , an∈ R được gọi là M – dãy chính quy khi và chỉ khi

Định nghĩa 1.4.3 Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn

sinh khác 0 Lấy a là iđêan của R sao cho M ≠ a M và a1, , an là M – dãy chính quy tối đại trong a nếu không tồn tại phần tử an+1∈ a sao cho

1, , ,n n 1

a a a + là M – dãy chính quy có độ dài n +1

Định nghĩa 1.4.4 Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn

sinh khác 0 Lấy a là iđêan của R sao cho M ≠ a M Khi đó mọi dãy chính quy của M trong a đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại trong a và các dãy

chính quy tối đại của M trong a có cùng độ dài Độ dài này gọi chung là độ sâu của

M trong a, kí hiệu là depth(a, M)

Nhận xét 1.4.5 Nếu R là vành địa phương với iđêan tối đại m Khi đó mọi M – dãy chính quy a1, , an phải có các phần tử thuộc m, đơn giản vì

Nếu f M : → N là đồng cấu các R - mô đun

Ta gọi Γ −a( ) là hàm tử a – xoắn

Bổ đề 1.5.2 Cho a là mộ iđêan của vành Noether R Giả sử M hữu hạn sinh Các phát biểu sau đây là đúng:

(i) Γa( ) 0 M ≠ nếu và chỉ nếu a ⊆ ZD M ( )

Trong đó ZD M = ∈ ∃ ≠ ∈ ( ) {a R: 0 m M sao cho a.m = 0}

Định nghĩa 1.5.4 (Xem [6, 1.2.1 Definition]) Cho R−môđun M Khi đó ta định

nghĩa:

i) M là môđun không xoắn ⇔ Γa( ) 0M =

ii) M là môđun xoắn ⇔ Γa( )M =M

Bổ đề 1.5.5 (Xem [6, 2.1.1 Lemma]) Cho M là R−môđun

i) Nếu a chứa một phần tử khác uớc của không trên M thì M là môđun không xoắn ii) Giả sử M hữu hạn sinh Khi đó M là môđun xoắn khi và chi khi a chứa một phần tử khác ước của không trên M

Bổ đề 1.5.6 (Xem [6, 2.1.7 Corollary])

i) Cho M là môđun xoắn Khi đó H M = a i( ) 0với mọi i > 0

ii) Với mỗi R−môđun N, ta có H a i (Γa( )N )=0với mọi i > 0

iii) Với mỗi R−môđun N, tồn tại toàn cấu tự nhiên

Ass Γa M ∩Ass M Γa M = ∅ và AssM Ass= (Γa( )M )Ass M( /Γa( )M )

1.6 Môđun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.6.1 Cho M là R – mô đun và a là iđêan của R Cho giải nội xạ của

(iii) Mọi phần tử của H (M)ia linh hóa bởi an với n nào đó

Tính chất 1.6.3 Cho R là vành Noether S là tập đóng nhân của R, M là R – mô

đun, a là ideal của R Thì

a p a p với mọi iđêan nguyên tố p của R

Tính chất 1.6.4 Giả sử (R, m) là vành địa phương, M là R – mô đun hữu hạn sinh Thì H (M)im là mô đun Artin với mọi i

Tính chất 1.6.5 Cho dãy khớp ngắn 0 → L→ →f N g M → 0 khi đó với mỗi

i∈N Tồn tại một đồng cấu nối H (N)ia →H (L)ai 1+ và những đồng cấu nối tạo nên một dãy khớp dài

Ass H (M)a = ∈ { p Spec(R)| x ∃ ∈ H (M) : Ann(x)a = p }

Tính chất 1.6.7 Cho (R, m) là vành Noether địa phương với số chiều d, a là một iđêan của R và M là R – mô đun hữu hạn sinh Thì

Supp H (M)a hữu hạn với mọi i nếu dim(R / ) 1 a ≤

Tính c hất 1.6.8 Cho R là vành địa phương và M là R – mô đun hữu hạn sinh với số

chiều d≤3 Thì ( i )

R

Ass H (M)a hữu hạn với mọi iđêan a của R

Tính chất 1.6.9 Với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có

iii) Nếu N là mô đun con phân bậc của M thì M

N cũng là R - mô đun phân

n

MM

= ⊕ là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh

Với i∈N0ta có HiR+(M) là mô đun đối đồng điều địa phương của M đối với iđêan R+

R = ⊕∈R là vành phân bậc giao hoán và :f R→R'là đồng cấu vành

Ta nói f thuần nhất nếu f R( )n ⊆R'n với mọi n∈

Giả sử 'M = ⊕n∈M'nlà R’−môđun phân bậc thì sự phân hoạch tổng trực tiếp dẫn đến R−môđun 'M  có cấu trúc như R−môđun phân bậc R

i i

/

i R

i i

R

H M a ⊗ R ≅→ i / ( ')

R R

H M⊗ R

a

Định lí 1.7.13 (Xem [6, 15.1.2 Theorem]) Cho R là vành phân bậc và iđêan a cũng

phân bậc, sinh bởi các phần tử có bậc dương Giả sử p p1, , ,2 p n∈Spec R( )sao cho với mọi i=1,2, ,n ta có a⊄p ithì tồn tại phần tử trong a\(p1  p2 p n)

Định lí 1.7.14 (Xem [6, 15.1.5 Theorem]) Cho R= ⊕n∈0R nlà vành phân bậc, giả

sử M là R−môđun hữu hạn sinh Khi đó:

i) Với mọi i∈ và mọi n∈, 0 R −môđun 0 i ( )

H M

+ hữu hạn sinh ii) Tồn tại r ∈ sao cho i ( ) 0

H M

+ = với mọi i∈ và mọi n r0 ≥

Bổ đề 1.7.15 (Xem [4, 2.2 Corollary]) Cho (A m là vành Noether địa phương, 0, 0)giả sử A A= 0⊕A1⊕A2⊕ là A −đại số phân bậc và 0 A m đóng đại số, 0/ 0

H = ⊕ ∈H là A−môđun phân bậc Giả sử tồn tại tập U ⊆A1thỏa các điều kiện sau: i) U ={u u= modm0A u U1| ∈ }có dạng V −( )0 với V ⊆ A1/m0 1A là k−không gian vectơ có số chiều bằng 2

ii) Với mọi h H∈ , tồn tại v∈ sao cho U h = v 0

iii) Với mọi x U∈ , ( )0 :x là A−môđun có chiều dài hữu hạn H

Khi đó H là A−môđun có chiều dài hữu hạn

1.8 Các phép biến đổi iđêan

Định nghĩa 1.8.1 (Xem [6, 2.2.1 Definition])

mỗi R-môđun M, ta gọi : lim ( n, )

R n

Sao cho với mỗi R−môđun M ta có:

Bổ đề 1.8.3 (Xem [6, 2.2.13 Corollary]) Cho :e M →M'là đồng cấu các R−môđun

mà Kere và Cokere là a − xoắn thì:

Tức là ( ) 1

'

iii) ϕ'đẳng cấu khi và chỉ khi ηMđẳng cấu

Bổ đề 1.8.4 (Xem [6, 2.2.16 Theorem]) Cho a∈R Khi đó tồn tại:

1.9 Chiều hữu hạn của môđun

Định nghĩa 1.9.1 (Xem [6, 9.1.3 Definition]) Cho M là R−môđun hữu hạn sinh Ta

định nghĩa chiều hữu hạn f M a( )của M theo anhư sau:

( ) inf{ : i

f M a = i∈ H akhông hữu hạn sinh}

= inf{i∈:a ⊆/ (0 :H M a i ( ) )}

Chú ý:

• f M a( )hoặc là một số dương hoặc bằng ∞

• Vì Ha0hữu hạn sinh nên suy ra f M a( )=inf{i∈0:H a i không hữu hạn sinh}

Định nghĩa 1.9.2 (Xem [6, 9.1.5 Definition])

Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và b là một iđêan của R sao cho b a⊆ Ta định nghĩa b-chiều hữu hạn fab(M) của M đối với iđêan a như sau:

( ) inf { : / ( 0 : i ( ) ) }

f Mab = i ∈  ⊆ H M

a

b

Định nghĩa 1.9.3 (Xem [6,9.2.2 Definition]) Cho M là R-môđun hữu hạn sinh Với

iđêan nguyên tố p∈Spec R( )\Var( )a , ta định nghĩa a-độ sâu điều chỉnh

adj depthM của M tại p như sau:

( )

adj depthMa p =depthMp +ht a p p+

Định nghĩa 1.9.4 (Xem [6, 9.2.2 Definition]) Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và

b là một iđêan của R sao cho b a⊆ Ta định nghĩa b-tối tiểu a-độ sâu điều chỉnh của M, kí hiệu λb

Bổ đề 1.9.5 (Xem [6, 9.5.2 Theorem]) Giả thiết R là ảnh đồng cấu của vành

Noether giao hoán chính quy, M là R−môđun hữu hạn sinh thì λa( )M = f M( )

min depth Mp+ ht a + p / p : p ∈ Supp M Var \ a

Bổ đề 1.9.6 (Xem [6, 13.1.17 Theorem]) Cho R là vành phân bậc và là ảnh đồng

cấu của vành Noether giao hoán chính quy, iđêan aphân bậc; giả sử b là iđêan phân bậc của R sao cho b ⊆ a Giả sử M là R−môđun phân bậc hữu hạn sinh thì

f Ma = depthMp + ht a + p p p ∈ Spec R Var a

Bổ đề 1.9.7 (Xem [5, 5.6 Proposition]) Cho M là R−môđun phân bậc và hữu hạn

Chương 2: Một số tính chất của iđêan nguyên

tố liên kết của của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương

2.1 Khái niệm về sự ổn định tiệm cận

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử (S n n)∈ là họ các tập hợp Ta nói S n là ổn định tiệm cận khi n→ −∞ nếu tồn tại n0∈ sao cho

0

=

n n

S S với mọi n n 0 Như vậy, tập hợp Ass R0(H R i+(M) )n được gọi là ổn định tiệm cận khi n→ −∞

nếu tồn tại n0∈sao cho:

S với mọi n đủ nhỏ hoặc S n ≠ ∅ với mọi n đủ nhỏ

Tập H R i+(M) được gọi là thuần hóa khi i+( )=0

Định lý 2.2.3 Nếu R0 là vành địa phương (nửa địa phương) có số chiều

0

dim(R ) 1≤ Khi đó Ass R0(H R i+(M) )n ổn định tiệm cận với mọi i∈ 0

Định lý 2.2.4 Nếu R0 là một vành Cohen – Macaulay với dimR0 = 1 và M là Cohen – Macaulay R – môđun thì Ass R0(H R i+(M) )n ổn định tiệm cận với mọi i∈ 0 Tiếp theo ta sẽ đi tìm hiểu phần chính của luận văn

2.3 Ổn định tiệm cận ở chiều hữu hạn

Ta sử dụng phép địa phương hóa tại p+R+đủ để chứng minh khẳng định với giả thiết cộng thêm là R vành địa phương với iđêan tối đại phân bậc duy nhất mvà