tính artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc

23 CHƯƠNG 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC .... 28 2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC .....

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC

Thành ph ố Hồ Chí Minh 2012

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC

Chuyên ngành : Đại số và Lí thuyết số

Mã s ố: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn PGS.TS Tr ần Tuấn Nam

Thành ph ố Hồ Chí Minh 2012

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 4

M Ở ĐẦU 5

DANH M ỤC CÁC KÍ HIỆU 8

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9

1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN 9

1.2 ĐỘ DÀI, DÃY CÁC PHẦN TỬ CHÍNH QUY CỦA MỘT MÔĐUN 11

1.3 GIỚI HẠN THUẬN 13

1.4 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 15

1.5 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG 17

1.7 DÃY PHỔ 23

CHƯƠNG 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC 28

2.1 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC 28

2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC 29

K ẾT LUẬN 45

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 46

L ỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Trần Tuấn Nam Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy vì đã lựa chọn một đề tài mà qua đó tác giả củng cố được các kiến thức về đại số giao hoán, đại số đồng điều và làm quen được với những kiến thức cơ bản của lí thuyết đối đồng điều địa phương

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy trong khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh và Đại học Khoa học Tự nhiên TP

Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học tập tại trường

Xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP

Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này, tác giả muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập trong suốt thời gian qua

Và tôi cũng tỏ lòng biết ơn tới những tác giả các tài liệu mà tôi đã tham khảo trong quá trình thực hiện đề tài này

M Ở ĐẦU

Năm 1974, J Herzog đã giới thiệu khái niệm đối đồng điều địa phương suy rộng lần đầu tiên trong tài liệu [7] Đây là khái niệm mở rộng của khái niệm đối đồng điều địa phương cổ điển của Grothendieck Một cách tự nhiên, các tính chất của đối đồng điều địa phương cổ điển được tổng quát hóa thành các tính chất của đối đồng điều địa phương suy rộng Chúng ta sẽ xét đến một trong những tính chất quan trọng được tổng quát lên, đó là tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương

Tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương đã được nghiên cứu bởi các nhà toán học S.H.Tahamtan, H.Zakeri, Reza Sazeedeh, và thu được nhiều kết quả quan trọng Sau đó, nhiều nhà toán học đã mở rộng các kết quả này cho các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Việc nghiên cứu tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương cổ điển và suy rộng đến nay vẫn là vấn đề mở Với mong muốn tiếp cận hướng nghiên cứu này, chúng tôi bắt đầu bằng việc tìm hiểu những kết quả cơ bản về tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc trong các bài báo:

[1.] “On graded generalized local cohomology” của Nazer Zamani (2006, Achiv der Mathematik, Birkhäuser Verlag, Basel)

[2.]“Artinianess of graded generalized local cohomology modules” của Tahamman S (2011, Mathematics Scientific Journal, Vol 7, No 1, 107 -117)

[3.]“Some finiteness properties of generalized graded local cohomology modules” của Ismael Akray, Adil Kadir Jabbar, Reza Sazeedeh (2012, International Journal of Algebra, Vol 6, no 11, 539 – 547)

Từ các bài báo này, chúng tôi chọn trình bày lại chi tiết một số kết quả về tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc trong một số trường hợp đặc biệt nào đó Và do vậy luận văn mang tên: "Tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc" Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương nội dung và phần kết luận Cụ thể:

Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Giới thiệu các khái niệm cơ bản về môđun

đối đồng điều địa phương và trình bày những kiến thức về vành và môđun cần thiết cho các chứng minh ở chương 2

Chương 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

SUY RỘNG PHÂN BẬC

Giới thiệu môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc H M N I i( , ) với R là vành phân bậc, I là iđêan phân bậc của R và M , N là các R-môđun phân bậc Sau đó, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ để một số môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc là Artin

Phần kết luận: Đưa ra nhận xét và những vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu

Trong khuôn khổ một luận văn cao học, chúng tôi cố gắng trình bày lại các kết quả đã có trong một hệ thống, với các chứng minh chi tiết nhất có thể và nêu ra được các tính chất cơ bản mà các tác giả đã sử dụng Một số kết quả trong phần kiến thức chuẩn bị chúng tôi không nêu chứng minh vì đã được trình bày rõ trong các tài liệu tham khảo Chúng tôi trình bày một số bổ đề liên quan trực tiếp đến các kết quả chương 2 hay một số bài tập mà các tác giả đưa ra trong tài liệu tham khảo

Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các kí hiệu thông dụng

hoặc sẽ được giải thích khi sử dụng lần đầu (xem Danh mục các kí hiệu) Để trích

dẫn một số kết quả, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc Chẳng hạn, xem [[3],

Theorem 2.3] nghĩa là xem Định lí 2.3 trong tài liệu [3]

Cuối cùng, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn cũng khó tránh khỏi

những thiếu sót Vì vậy rất mong sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và các bạn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012

R là vành địa phương với m là iđêan tối đại duy nhất Tập tất cả các R-đồng cấu từ M đến N

Tập tất cả các ước của 0 của R-môđun M Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của R-môđun M Giá của môđun M

Chiều Krull của R-môđun M

Chiều xạ ảnh của R-môđun M Chiều nội xạ của R-môđun M

Các hàm tử mở rộng

Các hàm tử xoắn

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, chúng tôi luôn giả sử R là vành giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0 Chương này trình bày một số kết quả đã được đề cập trong đại số đại cương, đại số giao hoán và đại số đồng điều có liên quan đến chương 2 của luận văn

=

⊂ Khi đó tồn tại i∈{1, 2, ,n} sao cho I ⊂P i

ii Cho I I1, 2, ,I n là các iđêan và P một iđêan nguyên tố của R thỏa mãn

1

n

i i

M là R - môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R và I là con của căn

Jacobson của R Khi đó, nếu IM =M thì M = 0

Mệnh đề 1.1.3 Cho R là một vành, I là iđêan của R và M là một R - môđun Ta

có (R I/ )⊗R M ≅M IM/

Mệnh đề 1.1.4 Cho R là vành địa phương, M và N là các R - môđun hữu hạn sinh Khi đó, nếu M ⊗R N = 0thì M = 0 hoặc N = 0

Mệnh đề 1.1.5 Cho dãy khớp ngắn các R - môđun

0 →M →N → →P 0 Khi đó ta có N Artin khi và chỉ khi M và P Artin

Từ điều này ta suy ra nếu dãy các R-môđun

M →N →P khớp tại N và M , P là các môđun Artin thì N cũng là môđun Artin

Mệnh đề 1.1.6 Vành R Artin khi và chỉ khi R Noether và dimR= 0

Mệnh đề 1.1.7

Cho R là vành, I là một iđêan của R và M là một R - môđun Khi đó, với mọi số

tự nhiên n tồn tại đẳng cấu: Hom R(R I/ n,M) (≅ 0 :M I n)

Nếu R là vành Noether và I là một iđêan của R thì Su p p ( / )R I =V( )I

Mệnh đề 1.1.11 Cho R là vành Noether, M là một R - môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R Khi đó Supp M( )⊂V I( ) khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho I M k =0

Mệnh đề 1.1.12

Cho M , N là các R - môđun hữu hạn sinh Khi đó

Supp M⊗ N =Supp M ∩Supp N

Từ mệnh đề trên và Mệnh đề 1.1.3 ta suy ra kết quả sau:

Mệnh đề 1.1.14

Cho R là vành Noether, M là R - môđun khác 0

i Phần tử tối đại của {Ann x( ):x∈M} là iđêan nguyên tố liên kết của M , hay

Cho M , N là các R - môđun và Pd R(M) =n Ta có: Ext R i(M N, ) = 0 với mọi i>n

1.2 ĐỘ DÀI, DÃY CÁC PHẦN TỬ CHÍNH QUY CỦA MỘT MÔĐUN

a Độ dài:

Một dãy các R-môđun con của môđun M là dãy ( )M i 0≤ ≤i n các môđun con phân biệt của M thỏa mãn M =M0 ⊃M1 ⊃ ⊃ M n = 0

Ta nói n là độ dài của dãy này

Một chuỗi hợp thành của M là dãy tối đại các môđun con của M , tức là không thể thêm vào một môđun con nào nữa hay các môđun thương

/

i i

M M+ là đơn

Độ dài của chuỗi hợp thành của một R-môđun M là đại lượng không đổi và được

kí hiệu là l R( )M và gọi là độ dài của R-môđun M

ii Mọi phần tử thuộc Ass R( )M đều là iđêan tối đại của R

iii Mọi phần tử thuộc Supp M( ) đều là iđêan tối đại của R

Cho ( )M i i∈Λ là một họ các R - môđun được đánh chỉ số trên tập sắp thứ tự thuận

Λ Với mỗi cặp phần tử i j, ∈ Λ mà i≤ j cho R - đồng cấu µi j:M i →M j thỏa mãn các điều kiện sau:

ii Với N là một R - môđun bất kì, các đồng cấu f i:M i →N thỏa mãn i

j j i

f µ = f với mọi i≤ j Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu : lim i

b Đồng cấu giữa hai hệ thống thuận

Cho hai hệ thống thuận các R-môđun ( ; i);

Mệnh đề 1.3.5 Cho một dãy khớp các hệ thống thuận Ω → Φ → Π Khi đó, dãy cảm sinh sau cũng là khớp: lim lim lim

i∈Λ Ω → i∈Λ Φ → i∈Λ Π

Mệnh đề 1.3.6 Cho R là một vành, N là một R - môđun và {(M i;µi j i j);∈Λ} là một hệ thống thuận các R - môđun Khi đó ta có: lim( i R ) (lim i) R

∈Λ ⊗ ≅ ∈Λ ⊗

 

1.4 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Trong mục này ta giả sử R là vành Noether, giao hoán, có đơn vị khác 0, M ,

N là các R-môđun và I là một iđêan của R Chúng tôi sẽ trình bày khái niệm và một số tính chất về môđun đối đồng điều địa phương cần sử dụng trong chương sau Các chứng minh cho các tính chất này có thể tham khảo ở các tài liệu [3], [6]

Hơn nữa với g M: →N và h N: →L là các đồng cấu R-môđun và r là phần tử thuộc R ta có các tính chất:

H − và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I

Ta nói M là I -không xoắn nếu ΓI ( )M =0 và M là I -xoắn nếu ΓI( )M =M

Ta kiểm tra được

Mệnh đề 1.4.2 Cho M là một R - môđun Khi đó ta có:

i Nếu I chứa một phần tử không là ước của không đối với M thì M là I -không xoắn

ii Giả sử M là hữu hạn sinh Khi đó M là I - không xoắn khi và chỉ khi I chứa phần tử không là ước của không đối với M

Mệnh đề 1.4.3 Nếu M là R - môđun nội xạ thì ΓI( )M là nội xạ

Hệ quả 1.4.4 Cho M là R-môđun nội xạ thì dãy khớp

Nếu M là một R - môđun I xoắn và (0 :M I) Artin thì M cũng Artin

1.5 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG

Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0, I là một iđêan của vành R,

M và N là các R-môđun Khi đó, với mỗi số tự nhiên i,

Trường hợp riêng, với M là R ta có H I i(R N, )≅H I i( )N

Khi M là một R-môđun hữu hạn sinh thì ta có thể tiếp cận môđun

( )

i

Mệnh đề 1.5.1

Nếu I , J là các iđêan của R thì Γ ΓI( J( )M )= ΓI J+ ( )M với mọi R - môđun M

Mệnh đề sau là một kết quả tổng quát hơn:

Cho M , N là các R - môđun trong đó M hữu hạn sinh Khi đó ta có:

( I i , ) ( )

Supp H M N ⊂V I và Supp H( I i(M N, ) )⊂Supp M( )∩Supp N( )

Mệnh đề 1.5.8

Cho M là R - môđun hữu hạn sinh, N là R - môđun bất kì

i H I i(M N, ) là I - xoắn với mọi giá trị của i

ii Nếu N là I - xoắn thì H I i(M N, )≅Ext R i (M N, )

Hệ quả 1.5.9 Cho N là R - môđun I - xoắn Khi đó ta có:

Cho I , J là các iđêan của R , N là R - môđun J - xoắn, M là R - môđun bất kì,

I+J là iđêan tối đại của R Khi đó H i I(M N, ) Artin với mọi i∈ 

i R= ⊕n∈R n

ii R R n. m⊆R n m+ với mọi m , n thuộc 

Từ định nghĩa trên ta suy ra được:

Phần tử đơn vị 1 ∈R0

0

R là vành con của R

Với mọi số nguyên n, R n là R0-môđun con của R

Nếu vành phân bậc R= ⊕n∈R n có R n = 0 với mọi n< 0 thì ta gọi R là vành phân bậc (hay là vành phân bậc dương)

-Cho R là vành phân bậc dương, ta có R+: = ⊕n≥1R n là một iđêan của R

Ta nhắc lại một mệnh đề quan trọng sau:

Mệnh đề 1.6.2 Cho R là vành phân bậc dương, ta có các điều sau tương đương:

i R là vành Noether

ii R0 Noether và R là một R0- đại số hữu hạn sinh

Ta xét đến một loại vành phân bậc đặc biệt sau:

Định nghĩa 1.6.3 Vành phân bậc dương R được gọi là thuần nhất nếu R được xem như là một R0- đại số với biến thuộc R1 ( R=R R0[ 1])

Lúc này ta gọi R0 là vành cơ sở của R

Mệnh đề sau cho ta mô tả R trong một trường hợp cụ thể:

Mệnh đề 1.6.4

Cho R là một vành phân bậc dương Khi đó các điều sau tương đương:

i R thuần nhất và Noether

ii R0 Noether và R+ được sinh bởi hữu hạn phần tử của R1

iii R0 Noether và R là R0- đại số được sinh bởi hữu hạn phần tử của R1

Phần tử x∈R được gọi là thuần nhất (homogeneous) nếu tồn tại n∈ sao cho

Định nghĩa 1.6.5

Iđêan phân bậc tối đại của vành phân bậc R là iđêan m thỏa mãn các điều kiện sau:

i.m là iđêan phân bậc thực sự của R

ii Nếu iđêan phân bậc thực sự a thỏa mãn m a⊆ thì m a =

Chú ý: Một iđêan phân bậc tối đại thì không chắc là iđêan tối đại của R

Trong trường hợp R là vành phân bậc dương thì ta có thể mô tả các iđêan phân bậc tối đại của R qua mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.6.6 Cho R là vành phân bậc dương Khi đó iđêan phân bậc tối đại của

R có dạng m 0 +R+, với m 0 là iđêan tối đại của R0 Đặc biệt, iđêan phân bậc tối đại của R cũng là iđêan tối đại của R

b Môđun phân bậc:

Định nghĩa 1.6.7 Cho R là vành phân bậc và M là một R - môđun M được gọi là

R - môđun phân bậc nếu tồn tại một họ {M n n}∈ các nhóm con của M (đối với phép toán cộng) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

i M = ⊕n∈M n

ii R M n. m⊆M n m+ với mọi m , n thuộc 

Mỗi nhóm con M n là R0-môđun con của M và ta gọi nó là \textit{thành phần phân bậc thứ n} của M

Bậc của phần tử thuộc môđun phân bậc được định nghĩa tương tự như bậc của phần

Cho R là vành phân bậc dương với vành cơ sở địa phương (R0 , m 0 ) và M là một

R - môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó ta có: dim M R( / m 0M) ≤ ⇔ 0 M = ΓR+(M)

c Môđun cofinite tương ứng với một iđêan - Môđun minimax:

Định nghĩa 1.6.14 Cho R là vành phân bậc, I là iđêan phân bậc của R và M là

R - môđun phân bậc Ta nói M là I - cofinite nếu

Supp M ⊂V I và Ext R i(R I M/ , ) phân bậc hữu hạn sinh với mọi i∈ 

Định nghĩa 1.6.15 Một R - môđun phân bậc M là minimax nếu tồn tại một R môđun con phân bậc hữu hạn sinh M' sao cho M M ′/ Artin

-Ta có thể chứng minh được kết quả sau:

Định lí 1.6.16 Cho 0 → →L M →N → 0 là dãy khớp các R - môđun phân bậc và R

- đồng cấu thuần nhất Khi đó M minimax khi và chỉ khi L và N minimax

1.7 DÃY PHỔ

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm dãy phổ và dãy phổ Grothendieck cần dùng trong chương 2

a Khái niệm dãy phổ

Định nghĩa 1.7.1 Một môđun song phân bậc là một họ các môđun được đánh hai

chỉ số M ={M p q, |(p q, )∈ ×  }

Phần tử x thuộc M p q, được kí hiệu lại là x p q,

Môđun thương của môđun song phân bậc M là M M/ ′ = {M p q, /M'p q, }

,

{M'p q}

Cho M ={ }M p q, , N ={ }N p q, là các môđun song phân bậc và

( )a b, ∈ ×  Ta nói đồng cấu f M: →N có song cấp là

( )a b, nếu f M( p q, )⊂N p a q b+ , + với mọi cặp số (p q, )∈ × 

i

α = °α có song cấp giống α là (1, 1− )