một số kết quả về môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan

Tính Artin c ủa môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan .... Tính h ữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan ..... Luận văn sẽ trình bày một số kết quả c

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

ĐỊA PHƯƠNG CHO MỘT CẶP IĐÊAN

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2013

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

ĐỊA PHƯƠNG CHO MỘT CẶP IĐÊAN

1

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn

giúp đỡ từ gia đình và bạn bè

Trước hết, Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Trần Tuấn Nam Thầy đã quan tâm

động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

B ẢNG KÍ HIỆU 3

M Ở ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

1.1 M ột số định nghĩa và bổ đề 6

1.2 Bao n ội xạ và phép giải nội xạ tối tiểu 7

1.3 Chi ều và độ sâu 8

1.4 Hàm t ử dẫn xuất phải 10

1.5 Môđun đối đồng điều địa phương 10

1.6 Môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan 12

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO M ỘT CẶP IĐÊAN 15

2.1 Tính Artin c ủa môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan 15

2.2 Tính tri ệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương cho một c ặp iđêan 21

2.3 Tính cofinite c ủa môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan 24

2.4 Tính h ữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan 31

K ẾT LUẬN 36

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 37

MỞ ĐẦU

Đối đồng điều địa phương là lý thuyết tối cần thiết và là một công cụ quan trọng trong đại

số giao hoán và hình học đại số Luận văn sẽ trình bày một số kết quả của môđun đối đồng điều

địa phương cho một cặp iđêan (I, J), đây là một khái niệm tổng quát hơn khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan I

I J

khái niệm này được đưa ra bởi ba nhà toán học người Nhật là Ryo Takahashi, Yuji Yoshino và

Takeshi Yoshizawa [16]

Luận văn được trình bày thành hai chương Chương một sẽ trình bày mà không chứng minh một số kiến thức về đại số giao hoán, đối đồng điều địa phương cho một iđêan và đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan Chương hai là phần chính của luận văn, trình bày tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan Cụ thể như sau:

Trong phần (2.1) của chương hai sẽ trình bày về tính Artin của môđun đối đồng điều địa

( )

Phần (2.2) trình bày tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan Đặt cd I J M( , , )supi H| I J i,  M  , gọi là chiều đối đồng điều địa 0

cd I J M = i H R p = ∀ ∈p Supp M −

Qing Wang trong bài báo [4]

5

này cũng nghiên cứu về tính hữu hạn sinh của các môđunExt i R(R I H/ , I J t, ( )M );i=1, 2(định lý

Tehranian và Pour Eshmanan Talemi

Cuối cùng là phần (2.4) dùng công cụ là môđun minimax để nghiên cứu tính hữu hạn sinh

môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan (định lý 2.4.8) Từ đó có đẳng thức:

( )

được trình bày một phần trong bài báo [12] của hai tác giả Payrovi và Lotfi Parsa

Mặc dù có nhiều cố gắng trong quá trình làm luận văn nhưng do sự hạn hẹp trong kiến thức

và thời gian nên có thể trong luận văn còn nhiều sai sót, rất mong được sự nhận xét và phản hồi của quý thầy cô và các bạn

CH ƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Tập Supp M được gọi là giá của M, tập Ass M được gọi là tập các iđêan nguyên tố liên kết của

M Tập Min M chính là tập hợp các phần tử tối tiểu của tập Supp M

Mệnh đề 1.1.2 Với mọi R -môđun M luôn có bao hàm thức :

Định nghĩa 1.1.3 Cho I là một iđêan của R Ta đặt:

( ) { ( ) | }

V I = ∈ p Spec R I ⊆ p

Mệnh đề 1.1.4 [10, 9.3.17] Cho M là R − môđun hữu hạn sinh Khi đó với bất kì R − môđun

N nào thì ta luôn có: Ass Hom( R(M N, ) )=Supp M( )∩Ass N( )

Mệnh đề 1.1.5 Cho dãy khớp các R - môđun : 0→ →L M → →N 0 Khi đó M là môđun

Mệnh đề 1.1.6 [10, 7.4.12] Cho M là R − môđun Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi

Mệnh đề 1.1.7 [10, 9.3.14] Cho M là R − môđun hữu hạn sinh Khi đó các điều sau là tương

đương:

1.2 B ao nội xạ và phép giải nội xạ tối tiểu

Định nghĩa 1.2.1 Cho 0 M≠ ⊆ N là các R-môđun Môđun N được gọi là mở rộng cốt yếu

Định lý-Định nghĩa 1.2.2 Cho M là một R-môđun Khi đó tồn tại duy nhất (sai khác một

đẳng cấu) R-môđun nội xạ E là mở rộng cốt yếu của M Ta gọi E là bao nội xạ của M và ký

hiệu E=E M( )

Định nghĩa 1.2.3 Một R-môđun M ≠ 0 được gọi là môđun không phân tích được nếu M

Định lý 1.2.4 (Matlis) Cho E là một R-môđun nội xạ thì ta có:

M ệnh đề 1.2.5 Cho vành R, p là một iđêan nguyên tố của R, M là một R-môđun Khi đó ta

có:

i E R( / )p là hạng tử trực tiếp của E M( ) khi và chỉ khi p∈As (s M)

phân tích môđun nội xạ ta có:

( , )

i Spec R

∈

Trong đó µi( ,p M) là số bản sao của ( / )E R p trong tổng trực tiếp, ta gọi µi( ,p M) là số

Định lý 1.2.7.(Bass) Cho p∈Spec R( ), ( )k R

R

p

đó ta có: µi( ,M)=dimk( )Ext ( ( ),i R k M )=dimk( )(Ext ( / ,i R R M))

Định nghĩa 1.3.1 Cho vành R Số chiều của R, ký hiệu dim(R) chính là supremum của độ dài

0 1

dimR=sup{ |n ∃ ⊂ ⊂p p ⊂p pn, i∈Spec R( )∀ =i 0,1, , }n

0 1

dimM =sup{ |n ∃ ⊂ ⊂p p ⊂p pn, i∈Supp(M),∀ =i 0,1, , }n

dimM / JM =dimR/ J +Ann M

Mệnh đề 1.3.3 Cho M là R - môđun hữu hạn sinh, x là phần tử không khả nghịch Khi đó

Định nghĩa 1.3.4 Cho M là R - môđun, x R ∈ không là ước của không trong M và xM M≠

, khi đó x được gọi là phần tử chính quy trong M , hay M −chính quy

Định nghĩa 1.3.5 Cho M là một R-môđun Dãy các phần tử x x1, 2, ,x n trong R được gọi là

1 2 1

M

Định nghĩa 1.3.6 Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của R thỏa mãn IM M≠ Ta định

nghĩa độ sâu của M trong I là:

depth ( ,R I M)sup n| ( , ,x x n)là dãy M -chính quy trongI

Nếu ( ,R m) là vành địa phương thì ta ký hiệu: depthR M : depth ( ,= R m M)

Định lý 1.3.7 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R thỏa mãn

1.4 H àm tử dẫn xuất phải

Định nghĩa 1.4.1 Cho T :→ là hàm tử cộng tính hiệp biến,  và  là hai phạm trù Abel

Tác động hàm tử T vào phép giải, sau đó lấy đối đồng điều thứ n:

Định nghĩa này là tốt, không phụ thuộc vào cách chọn phép giải nội xạ

Định lý 1.4.2 Cho T :→ là hàm tử cộng tính hiệp biến và khớp trái,  và  là hai phạm

R T ≅ T

ii Với mọi E là vật nội xạ trong , ta đều có: (R T E n ) = với mọi 0 n≥1

1.5 Môđun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.5.1 Cho R là vành, I là một iđêan của R, M là một R-môđun Đặt

I-xoắn tự do nếu ΓI(M)=0

hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I: H I i := Γ R i I

Mệnh đề 1.5.2 Cho M là một R-môđun Ta có ΓI(M)=M ⇔Supp(M)⊆V I( )

Định lý 1.5.3 Cho M là một R-môđun, I là một iđêan của R Ta có đẳng cấu tự nhiên sau với

Sau đây là định lý triệt tiêu và không triệt tiêu nổi tiếng của Grothendieck

Định lý 1.5.4 (Grothendieck) Cho M là một R-môđun, I là một iđêan của R Ta có:

i I

Định lý 1.5.5 (Grothendieck) Cho ( , )R m là một vành địa phương, M là một R-môđun hữu

n

Hm M ≠ với n=dimM

Định lý 1.5.6 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R Khi đó ta có:

inf{ |i H M I i( )≠0}=depth ( ,R I M)=inf{depthMp|p∈V I( )}

Định lý 1.5.7 (Melkersson) Giả sử R − môđun M là I −xoắn và (0 :M I ) là Artin Khi đó M

là môđun Artin

Định lý 1.5.8 [2, 7.1.3] Cho( ,R m) là một vành địa phương, M là một R-môđun hữu hạn sinh

Định lý 1.5.9 [2, 7.1.6] Cho( ,R m) là một vành địa phương, I là iđêan của R M là một

I

H M là Artin

Định lý 1.5.10 Cho( ,R m) là một vành địa phương M là một R-môđun hữu hạn sinh có

Định nghĩa 1.5.11 Cho I là một iđêan của vành R , M là một R − môđun Khi đó

iđêan I

Mệnh đề 1.5.12 Cho I là một iđêan của vành R , , M N là các R − môđun hữu hạn sinh Khi

đó ta có:cd R(I M, )=cd R(I R Ann M, / ( ) ) Nếu SuppN SuppM⊆ thì cd R(I N, )≤cd R(I M, )

1.6 Môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan

Định nghĩa 1.6.1.Cho M là một R-môđun; I, J là hai iđêan của R, ta định nghĩa tập:

, ( ) | n , 1

I J M x M I x Jx n

ta thấy I x n ⊆Jx⇔ I n ⊆ Ann x( )+Jdo đóΓI J, (M)={x∈M I| n⊆ Ann x( )+J n, 1} từ đây

nghĩa R-đồng cấu ΓI J, ( ) :f ΓI J, (M)→ ΓI J, ( )N chính là thu hẹp của f trên ΓI J, (M) Từ đây ta định nghĩa được hàm tử ΓI J, ( )−

theo (I,J)

i i

I I

Mệnh đề 1.6.5 [16, 1.4] Cho I, J là các iđêan của vành R; i là số tự nhiên bất kỳ và M là một

Nhận xét rằng khi J = 0 thì W( , )I J =V I( ) lại đưa về định nghĩa quen thuộc

Mệnh đề 1.6.7 [16, 1.7]Cho M là một R-môđun, các mệnh đề sau là tương đương

M ệnh đề 1.6.9 [16, 1.11] Cho p∈Spec R( ), khi đó ta có:

i p∈W( , )I J thì E R( / )p là môđun (I, J)-xoắn

ii p∉W( , )I J thì E R( / )p là môđun (I, J)-xoắn tự do

M ệnh đề 1.6.10 [16, 2.5]Cho ,I J là các i đêan của vành R Nếu R − mô đun M là J − xoắn

Mệnh đề 1.6.11 [16, 4.2]Cho M là R − môđun hữu hạn sinh với (R,m là vành địa phương )

I J

Định lý 1.6.12 [16, 4.3]Cho (R,m là vành địa phương và M là R − môđun hữu hạn sinh )

,

I J là các iđêan của vành R và J R≠ Khi đó H I J i, ( )M = với mọi 0 i>dimM JM/

Định lý 1.6.13 [16, 4.7]Cho M là R − môđun hữu hạn sinh , I J là các i đêan của vành R

Khi đó ta có:

i H I J i, ( )M = v0 ới mọi số nguyên thỏa i >dimM

ii H I J i, ( )M = v0 ới mọi số nguyên thỏa i>dimM JM/ + 1

15

PHƯƠNG CHO MỘT CẶP IĐÊAN

2.1 Tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan

Định lý 2.1.1 Giả sử ( , )R m là vành địa phương Cho M là một R − môđun hữu hạn sinh với

R p là J − xoắn Khi đó ΓI (R/p)= ΓI J, (R/p Thật vậy, )

Suy ra H I J d, (R/p)≅H I d(R/p Do dim /) R p≤d, nên theo định lý 1.5.3 thì H I d (R/p)=0 là

Artin Do đó H I J d, (R/p)=0 là Artin

Nếu J ⊄ p thì dim(R/p) (/ J R/p)=dimR/(J+Ann R( /p) )=dimR/(J +p)<dimR/p≤d

Do đó theo định lý 1.6.12 thì H I J d, (R/p)=0 là Artin 

Nh ận xét: Định lý này chính là sự mở rộng của định lý 1.5.9 tương ứng với môđun đối đồng

điều địa phương cho một cặp iđêan

Định lý 2.1.2 Giả sử (R,m là vành địa phương Cho ,) I J là hai i đêan của vành R sao cho

Hm M là Artin với mọi i>t, nên từ dãy khớp dài ở trên suy ra Hmi,J(M xM/ ) là Artin

Artin Từ dãy khớp ( )* do Hmt,J(M xM/ )/ JHmt,J(M xM/ ) Artin nên Imβ /JImβ Artin

Cũng theo dãy khớp ( )* thì Hmt,J( )M /JHmt,J( )M ≅Imα / JImα là môđun Artin

H M JH M là môđun Artin

Do dim(ΓJ( )M )≤dimM / JM = nên t H I J i, (ΓJ( )M )= v0 ới i>dim(ΓJ( )M ) Từ dãy khớp

với mọi x M∈ ; suy ra M là ( )I J, − xoắn Khi đó ΓI J, ( )M / JΓI J, ( )M = Nên ta giả sử rằng 0

Chú ý rằng ΓI J, (E R( /p) )=0 nếu p∉W( )I J, và ΓI J, (E R( /p) )=E R( /p nếu ) p∈W( )I J,, do đó với i<r ta có:

{ } { }

Định lý 2.1.6 Giả sử (R,m là vành địa phương Khi đó với bất kỳ ) R−môđun M hữu hạn

Do H I J r, (R/p)=0 với mọi p∈Supp M R nên H I J d, ( )M1 =0, tương tự theo các dãy khớp trên thì H I J d, ( )M =  0

Định lý 2.2.2 Cho r ≥0 là số nguyên sao cho r, ( / ) 0

cd I J M  i H M  gọi là chiều đối đồng điều địa phương của R − môđun M

thỏa SuppN SuppM⊆ thì H I J n, ( )N = với mọi 0 n≥ +  r 1

M ệnh đề 2.2.3 Cho ,I J là hai i đêan thật sự của vành Noether R , M N là các R −môđun

Ch ứng minh

Do H I J i, ( )M = với mọi 0 i>dimM JM/ + nên ta ch1 ỉ cần chứng minh H I J i, ( )N = với bất 0

kì i thỏa cd I J M( , , )< ≤i dimM JM/ + và bất kì R − môđun N hữu hạn sinh thỏa 2

Với cd I J M( , , )< ≤i dimM JM/ + Khi đó với SuppN SuppM1 ⊆ , theo định lý Gruson ta có

0 1

Hệ quả 2.2.4 Cho M là R − môđun hữu hạn sinh, khi đó ta có đẳng thức

cd I J M = i H R p = ∀ ∈p SuppM −

2.3 Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan

Định nghĩa 2.3.1 Một R − môđun M được gọi là ( )I J, − cofinite nếu SuppM ⊆W( )I J, và

i

R

Ext R I M là R−môđun hữu hạn sinh với mọi i≥ 0

Bổ đề 2.3.2 Cho M là R − môđun và E là bao nội xạ của R − môđun M /ΓI J, ( )M Đặt

Với t = , khi đó ta sẽ chứng minh 0 Hom R(R I/ ,ΓI J, ( )M ) là R−môđun hữu hạn sinh

( )

0→Hom R I/ ,ΓI J M →Hom R I M/ , →Hom R I M/ , /ΓI J M Vì M /ΓI J, ( )M là

25

( )

Hom R I Γ M ≅Hom R I M vì Hom R I M( / , /ΓI J, ( )M )= Suy ra điều phải 0

Với t > và trường hợp 0 t − định lý đã đúng Từ giả thiết ta có 1 ΓI J, ( )M là ( )I J, − cofinite

0→ ΓI J M →M →M /ΓI J M → , vì 0 Ext R t (R I M và / , ) Ext R t (R I/ ,ΓI J, ( )M ) là hữu

Hom R I H M N cũng là hữu hạn sinh 

Định lý 2.3.4 Cho t là số không âm M là R − môđun sao cho , ( )

Ext + R I M là R− môđun hữu hạn sinh, thì

Ext+ R I M là R− môđun hữu hạn sinh kết hợp từ giả thiết ta có ΓI J, ( )M là ( )I J, −

Ext + R I M Γ M cũng hữu hạn sinh Tiếp tục dùng bổ đề 2.3.2, ta có Ext R t (R I L / , )

0→Hom R I/ ,ΓI J L →Hom R I L/ , → Hom R I L/ , /ΓI J L

/ ,/ ,

R−môđun hữu hạn sinh Do ΓI J, ( )M là ( )I J, − cofinite nên Ext R i (R I/ ,ΓI J, ( )M ) là R−

nên Ext R i (R I M/ , /ΓI J, ( )M ) cũng hữu hạn sinh với mọi i Theo bổ đề 2.3.2, Ext R i (R I L / , )

Ext R I H − L ≅Ext R I H M là hữu hạn sinh

Giả sử định lý vẫn còn đúng với t− , ta chứng minh với 1 t > thì R − môđun0

Ext R I H − L và Ext R i (R I L là h/ , ) ữu hạn sinh

với mọi i Bởi giả thiết quy nạp nên R − môđun Hom R(R I H/ , I J t, ( )L là h) ữu hạn sinh, và do

,

R I J

Hom R I H + M cũng hữu hạn sinh 

Hệ quả 2.3.6 Cho M là R − môđun hữu hạn sinh và t =inf{i H| I J i, ( )M ≠0} Khi đó

Với t > thì 0 H I J i, ( )M = với mọi i t0 < nên áp dụng định lý 2.3.4 với , ( )

Ext+ R I M là hữu hạn sinh, ta có R − môđun

Ext R I H M là hữu hạn sinh

AssH M là hữu hạn khi và

Định lý 2.3.7 Cho t∈0, , ( )

i

I J

H M là ( )I J, − cofinite với mọi i t< Khi đó Ext R i (R I M / , )

là hữu hạn sinh với mọi i t<

Ch ứng minh

Với t = , ta chứng minh 1 Hom R(R I M là h/ , ) ữu hạn sinh Thật vậy, do ΓI J, ( )M là ( )I J, −

Hom R I M ≅ Hom R I Γ M là hữu hạn sinh

Ext + R I M Γ M ≅ Ext R I L nên Ext R i (R I M/ , /ΓI J, ( )M ) là R− môđun hữu

hạn sinh với mọi i t< 

Định lý 2.3.9 Cho M là R − môđun sao cho Ext R i (R I M là h/ , ) ữu hạn sinh với mọi i≥ 0

giả thiết Ext R i (R I M là h/ , ) ữu hạn sinh với mọi i ≥ nên R − môđun 0 Ext R i (R I/ ,ΓI J, ( )M ) là

hạn sinh Với i≥ , do 2 cd I J M( , , )≤ nên 1 H I J i, ( )M =0 Do đó , ( )

2.4 Tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phương cho một cặp iđêan

Định nghĩa 2.4.1 Một R − môđun M được gọi là môđun minimax nếu có một môđun con hữu

Nh ận xét: Môđun Artin và môđun hữu hạn sinh cũng là môđun minimax

Bổ đề 2.4.2 ([8, Định lý 5.3, trang 299]) Cho M là R -môđun sao cho tồn tại một môđun con

1, 2, , s

a a  a ∈ R sinh ra iđêan I , sao cho 0 : M I là hữu hạn sinh thì khi đó H i(a1,,a M s; ) là

B ổ đề 2.4.3 ([9, Định lý 2.1, trang 651]) Cho I =(a1,,a s) là một iđêan của R và M là một

i.Ext R i (R I M là R/ , ) − môđun hữu hạn sinh với mọi i

ii.Tor i R(R I M là R/ , ) − môđun hữu hạn sinh với mọi i

i =  n

Định lý 2.4.4 Cho M là một R − môđun sao cho Hom R I M L là h( / , / ) ữu hạn sinh với bất

i

I J

H M là minimax v ới mọi i t< , thì khi đó

( ) ( / , I J t, )

Hom R I H M là R−môđun hữu hạn sinh

Ch ứng minh

( )

0→Hom R I/ ,ΓI J M →Hom R I M/ , →Hom R I M/ , /ΓI J M Vì M /ΓI J, ( )M là