tính artin của môđun đối đồng điều địa phương phân bậc

Môđun đối đồng điều địa phương phân bậc i R H M+ và thành phần phân bậc của chúng có liên quan mật thiết đến cụm đối đồng điều trên sơ đồ xạ ảnh.. Brodmann, Fumasoli và Tajarod trong [BF

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TR ẦN THỊ THÙY LINH

ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC

ố Hồ Chí Minh - 2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TR ẦN THỊ THÙY LINH

ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Tuấn Nam

M ục lục

L ời nói đầu 1

L ời Cảm Ơn 5

Danh m ục các kí hiệu 6

Chương 1 8

CÁC KHÁI NI ỆM CƠ BẢN 8

1.1.Gi ới hạn ngược 8

1.2 Tô pô và đầy đủ 8

1.3 A – đại số 10

1.4 Các khái niệm về iđêan 10

1.5 Hom, Ext, Tenxơ và Tor 11

1.6 Các khái ni ệm về vành 13

1.7 Các khái niệm về môđun 13

1.8 Đối ngẫu Matlis 20

1.9 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 22

Chương 2 26

TÍNH ARTIN C ỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC 26

2.1 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC 26

2.1.1 Đa thức Hilbert 35

2.2 TÍNH ARTIN C ỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC 41

K ết luận 52

Tài li ệu tham khảo 53

Lời nói đầu

Cho R = ⊕n 0≥ R , nn ∈ là vành Noether thuần nhất với vành địa phương cơ N

bản (R , m )0 0 và gọi M là R- môđun phân bậc hữu hạn sinh

Môđun đối đồng điều địa phương phân bậc i

R

H (M)+ và thành phần phân bậc

của chúng có liên quan mật thiết đến cụm đối đồng điều trên sơ đồ xạ ảnh

Do đó nó thật sự rất quan trọng cho việc nghiên cứu tính Artin của các

môđun phân bậc này

Brodmann, Fumasoli và Tajarod trong [BFT] đã chứng minh được nếu vành địa phương R0 có dim R0 ≤1, thì với mọi i và với tất cả ideal m0 - nguyên

do đó chiều dài của các thành phần phân bậc của những môđun này hình

thành một đa thức Tiếp theo, tác giả trong [BRS] đã chứng minh được bậc

của các đa thức này không phụ thuộc vào việc chọn q0 Trường hợp

thức, điều này được chứng minh bởi ví dụ của Katzman và Sharp

Đặt g= g(M) là số nguyên lớn nhất sao cho R0 - môđun i

n R

H (M) m H (M)+ + là Artin Chúng ta sẽ ứng dụng kết quả này với số

nguyên a lớn nhất sao cho a

Với mỗi ideal phân bậc a của R và mỗi R – môđun phân bậc N, ta gọi N là I – cofinite nếu Supp(N) V(I)⊂ và Ext (R I, N) phân biR ậc hữu hạn sinh

i 0

∀ ≥ Ta định nghĩa s=c (N)I là số nguyên đầu tiên sao cho môđun đối

đồng điều địa phương s

Nội dung luận văn được chia làm hai chương cụ thể như sau:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Trong chương này, nhắc lại các khái niệm và một số mệnh đề sử dụng trong chương 2

Chưng 2: Tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương phân bậc

Chương này gồm ba phần:

Định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương phân bậc và các thành phần

Định nghĩa đa thức Hilbert, đồng thời đưa ra mối liên hệ của đa thức này với

độ dài các thành phần phân bậc của môđun Artin đối đồng điều địa phương phân bậc cụ thể ở Định lí 2.2.1, Định lí và định nghĩa 2.2.2, Mệnh đề 2.2.1

tồn tại phần tử x∈R1 sao cho aR+(M xM)= − a 1

a) Tồn tại đa thức P Q[x]∈ sao cho

b) Nếu q0 là ideal m0 - nguyên sơ của R0, thì tồn tại đa thứcP Q[x]∈ sao cho

m0 R

*

0 (H (M)) R

deg(P) deg(P) dim ( D(0 : m )

H (M)+ là Artin với mọi i, ta quy ước q(M)= −∞

M là R – môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó q(M) * q(M)

H + (M) m H + (M) là môđun Artin

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy Trần Tuấn Nam Mặt dù bản thân có nhiều cố gắng nhưng với số lượng thời gian và

kiến thức có hạn nên không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong những

ý kiến đóng góp, phê bình và bổ sung của quý Thầy Cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Lời Cảm Ơn

Luận Văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy TS Trần Tuấn Nam Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố

Hồ Chí Minh, lãnh đạo khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH của Trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ

học tập của mình

Cuối cùng,tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS Trần Huyên và các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao Học chuyên ngành Đại Số và Lí Thuyết Số khóa 20

I : Radical của iđêan I

V(I): Tập tất cả các iđêan nguyên tố của R chứ I

Ext (C, A) : Mở rộng bậc n của môđun A bởi C

X⊗Y : Tích tenxơ của môđun X và Y

depth (M) : Độ sâu của R – môđun M

E(M) : Bao nội xạ của R – môđun M

*

E(M) : Bao nội xạ của R – môđun phân bậc M

D(M) : Đối ngẫu Matlis của R – môđun M

*

D(M) : Đối ngẫu Matlis của R – môđun phân bậc M

I(M) :

Γ Hàm tử I – xoắn của R – môđun M

i

R

H (M) : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của R – môđun M ( Môđun

đối đồng điều địa phương phân bậc thứ i của R – môđun phân bậc M)

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong suốt luận văn này ta xem R là vành Noether giao hoán có đơn vị

k∈I sao cho i≤k và j≤ k được gọi là tập định hướng

Trong phạm trù các R – môđun cho họ các R – môđun (R )i i I∈ trên tập định hướng I Với j i≤ có một đồng cấu j

Trong phạm trù mới mà các vật là cặp (A,ϕi) với ϕi : A→Ai sao cho i, j∀

sơ đồ sau giao hoán:

Tính phổ dụng của giới hạn ngược chính là tính phổ dụng của vật tận cùng

Định nghĩa 1.2.1 Nhóm giao hoán tô pô là tập G có cấu trúc nhóm

Hai dãy Cauchy (x )v và (y )v được gọi là tương đương nếu

v v

x −y →0trong G

Tập tất cả các lớp tương đương của dãy Cauchy được kí hiệu là Gˆ Khi đó

ˆ

G được gọi là đầy đủ của G

Mệnh đề 1.2.1 Cho (R,m) là vành Noether địa phương và ˆR là đầy đủ m –

adic của R Khi đó dim R =dim Rˆ

G =A,G = a với A là vành và a là ideal của A

Tô pô xác định trên A được gọi là tôpô a-adic hay a- tô pô Dễ kiểm tra A

là vành tô pô, nghĩa là các phép toán của vành là liên tục

Đầy đủ ˆA của A với tô pô này gọi là đầy đủ a-adic Khi đó ˆA cũng là vành

tô pô

n

G=M,G = a M

Điều này xác định một a- tô pô trên M Đầy đủ ˆM của M với tô pô này gọi

đầy đủ a-ađic Khi đó ˆM là tô pô ˆA -module

1.3 A – đại số

định phép nhân: a.b f (a).b=

Phép nhân vô hướng cùng sự xác định này làm B trở thành một A-môđun

Khi đó B vừa có cấu trúc môđun vừa có cấu trúc vành

Vành B được trang bị một cấu trúc A-môđun được gọi là A-đại số

Định nghĩa 1.4.1 Cho R là vành giao hoán và I là ideal của R Radical của

I, kí hiệu I , là tập tất cả các phần tử x∈R sao cho tồn tại số nguyên

Định nghĩa 1.4.2.1 Cho M là môđun trên vành giao hoán Noether R và p

là ideal nguyên tố của R Khi đó p là ideal nguyên tố liên kết với M nếu thỏa

một trong các điều kiện tương đương sau:

i) Có một phần tử x M : Ann(x)∈ = p⇔ ∈{a R : ax= = p 0}

ii) M chứa các môđun con đẳng cấu với R/p

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với M kí hiệu là Ass (M)R hay

Ass(M)

R Nếu p là phần tử tối đại của tập {Ann(M) | m∈M, m≠0} thì

p∈Ass(M)

con nhân của R Khi đó 1

là ideal nguyên tố bất kì của R Khi đó các kết quả sau tương đương:

i) p Supp (M).∈ R

Ass (M)⊆Ass (L)∪Ass (N).

Khi đó Ass (M)R là tập hữu hạn

Định nghĩa 1.4.3 Cho R là vành giao hoán và M là R – môđun Ideal

nguyên tố p của R được gọi là ideal nguyên tố gắn kết với M khi tồn tại một môđun con L sao cho p=(L : M)R

Tập hợp tất cả các ideal nguyên tố gắn kết với M kí hiệu là Att (M)R (hay

Att(M) )

Định nghĩa 1.4.4 Cho q là ideal nguyên tố trên vành A q được gọi là ideal

xy∈ ⇒ ∈A x q q hay y ∈

r( ) x A : x , n 0

1.5 Hom, Ext, Tenxơ và Tor

Định nghĩa 1.5.1 Cho X và Y là các R – môđun Tập tất cả các đồng cấu từ

X vào Y, kí hiệu là Hom(X,Y)

Mệnh đề 1.5.1 Cho R là vành giao hoán, I là iđêan của R và M là R –

môđun Khi đó Hom (R R , M) (0 :M I).

Trong đó các đồng cấu n n 1 *

n 1

δ = − + ∂ + ∀ ≥ Với mọi số tự nhiên n, nhóm đối đồng điều thứ n của phức này

H (Hom(X, A))=kerδ / imδ − gọi là mở rộng bậc n của môđun A bởi C,

kí hiệu Ext (C, A) n

Ext (C, A)=H (Hom(X, A))=kerδ / imδ −

hệ tử R Tích Tenxơ của các môđun X và Y là các nhóm aben, kí hiệu

X⊗ Y sao cho có ánh xạ song tuyến tính : XxYΓ → ⊗ X Y có tính chất phổ dụng đối với bất kì ánh xạ song tuyến tính : XxYα → G thỏ mãn: α = Γ f

Mệnh đề 1.5.2 Cho A là vành, I là ideal của A, M là A – môđun Khi đó

Trong đó α* là tích tenxơ α ⊗i của đồng cấu α và tự đồng cấu đồng nhất i

của môđun B Với mỗi n≥0 ta định nghĩa H (Xn ⊗B)=kerα*n imα*n 1+ là tích xoắn n – chiều trên R của các môđun A và B và kí hiệu là

R nTor (A, B)

α

!f

∃

1.6 Các khái niệm về vành

Định nghĩa 1.6.1 Cho vành địa phương (R,m) Vành R được gọi là vành

địa phương đầy đủ nếu

có độ dài hữu hạn như nhau với l N∈

Một vành R được gọi là vành dây chuyền mở rộng nếu mỗi R – đại số hữu

hạn sinh là dây chuyền Nói cách khác, R là dây chuyền mở rộng nếu mỗi

vành đa thức R[X , X , X ], n1 2 n ∈N là dây chuyền

Định lí 1.6.1 Bất kì thương của vành CM đều là dây chuyền mở rộng

Định lí 1.6.2 Một vành địa phương đầy đủ là thương của vành địa phương

chính quy, đặt biệt nó là dây chuyền mở rộng

Định nghĩa 1.6.3 Cho M là R – môđun Một phép giải nội xạ bé nhất của M

của M sao cho n

I là khai triển cốt yếu của n

Định nghĩa 1.7.1 Cho R là vành giao hoán, M là một R – môđun và N , N’

là các môđun con của M Tập { ' }

x∈R / xN ⊆N là một ideal của R, kí hiệu

( ')

R

N : N

Tương tự, nếu I là ideal của R thì {m∈M / mN⊆ là mI} ột môđun con của

M, kí hiệu là (I : N M )

Ideal (0 : M :R ) {= x∈R / xM=0}gọi là linh hóa tử của M, kí hiệu

R

Ann M(hoặc AnnM)

Định nghĩa 1.7.2 Cho R là vành giao hoán S là tập con nhân của R và M là

R – môđun Trên tập M x S ta định nghĩa quan hệ  như sau:

(m,s),(m ,s )∈MxS : (m,s)(m ,s )⇔ ∃ ∈t S : (ms −m s)t =0

Dễ thấy rằng  là một quan hệ tương đương trên M x S

Kí hiệu tập thương MxS / là S M−1 và lớp tương đương cùa (m,s) là m / s

Tập 1

S M− có cấu trúc môđun trên vành 1

S R− với phép toán sau:

Cho M là môđun trên vành giao hoán R Tập tất cả các ideal nguyên tố p của

R sao cho Mp ≠0 gọi là giá của M và được kí hiệu Supp (M)R

Với I là ideal của R, khi đó tập hợp Supp(R I) {p Spec(R) : p= ∈ ⊇I} được

kí hiệu là Var(I)

Khi đó:

i) Supp(M)={p∈spec(R) : (0 : M)⊆p}=V(ann(M)

ii) Với S là tập con nhân của R thì

R

S RSupp − (S M)− =Supp (M)∩Spec(S R)−

iii) Với I là ideal của R, ta có: * k

RSupp (M)⊂V(I)⇔ ∃ ∈k N : I M= 0iv) Nếu R là vành Noether và I là ideal của R thì Supp (R / I)R ⊂V(I)

v) Với I là ideal của R thì

R

Supp (M IM)⊂V(I)∩V(Ann(M))=V(I+Ann(M))

Định nghĩa 1.7.3 Cho R là vành, R – môđun M được gọi là thứ cấp nếu

Là toàn cấu (aM M= ) hoặc tồn tại n N∈ sao cho n

a M= 0

Nếu M là thứ cấp thì p= Ann(M) = (0 : M)R là ideal nguyên tố của R

Khi đó M dược gọi là p – thứ cấp

Khai triển thứ cấp của R – môđun M là sự biểu diễn M thành tổng hữu hạn các môđun con thứ cấp:

M=N + +N (*) Khai triển trên là nhỏ nhất nếu:

1) Các ideal ngyên tố pi = Ann(N )i phân biệt

2) Các Ni đều phân biệt

Tổng của hai môđun con p - thứ cấp là môđun p – thứ cấp, do đó nếu M có khai triển thứ cấp thì nó là khai triển bé nhất

Att(M )⊂Att(M)⊂Att(M )∪Att(M )

Bổ đề 1.7.1 Nếu M là môđun Artin và có tổng bất khả quy, thì nó có thứ

cấp

Định lí 1.7.3 Nếu M là môđun Artin, thì nó có khai triển thứ cấp

Định nghĩa 1.7.4 Cho M là môđun khác không trên vành giao hoán R

Chuỗi tăng ngặt M0 ⊂M1⊂M2 ⊂ Mn 1− ⊂Mn các môđun con của M sao cho M0 =0 và Mn =M gọi là chuỗi hữu hạn các môđun con của M

Chuỗi hữu hạn gồm n 1+ môđun con của M:

M = ⊂0 M ⊂M ⊂ M − ⊂M =Mtrong đó M Mi i 1+ là môđun đơn với mọi i 1, ,n,= được gọi là chuỗi hợp thành độ dài của M

Nếu M có chuỗi hợp thành thì hai chuỗi hợp thành bất kì của M có cùng độ dài

Cho M là môđun khác không trên vành giao hoán R Môđun M có chuỗi hợp thành được gọi là môđun có độ dài hữu hạn và độ dài của chuỗi hợp thành

được gọi là độ dài của môđun M, kí hiệu lengthM

Quy ước:

i) Nếu M 0= thì lengthM 0=

ii) Nếu M không có chuỗi hợp thành thì lengthM = ∞

khớp ngắn các R – môđun và R – đồng cấu Khi đó:

+ M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi L, N có độ dài hữu hạn

+ Nếu L, M, N cùng có chiều dài hữu hạn thì lengthM lengthL lengthN.= +

sinh và N là R – môđun bất kì Nếu lengthM < ∞ thì

length(Hom(M, N))< ∞ Do đó nếu N là R – môđun Artin thì Hom(M,N) cũng là môđun Artin

Định nghĩa1.7.5 Cho R là vành giao hoán có đơn vị Một dây chuyền các

iđêan nguyên tố của R là một dãy tăng thực sự những iđêan nguyên tố

p ⊂p ⊂p ⊂ p − ⊂p của R Số nguyên n được gọi là độ dài của dây chuyền

Cho M là R – môđun khác không Khi đó chiều của M, kí hiệu dimM, là cận trên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố của

SuppM

Nếu M là R – môđun hữu hạn sinh thì dimM còn được xác định như sau:

+ Nếu M là môđun khác không thì dim M=dim(R AnnM)

+Nếu M là môđun không thì dimM= − 1

môđun khác không hữu hạn sinh Khi đó:

i) lengthM< ∞ ⇔dim M= 0

ii) Nếu R là vành địa phương thì dimM< ∞

ước không thì dim R (x)=dim R 1.−

Định nghĩa1.7.6 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và p là iđêan nguyên tố

của R Chiều cao của p kí hiệu ht pR (hoặc htp ), là cận trên đúng của tất cả

độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố

p ⊂p ⊂p ⊂ p − ⊂p =p của R

Cho M là R – môđun khác không Chiều cao của M, kí hiệu ht MR (hoặc

htM), là cận trên đúng cảu tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan

nguyên tố p0 ⊂p1⊂p2 ⊂ pn 1− ⊂pn =p của SuppM

Chú ý:

Nếu ht MR =0 thì p là iđêan nguyên tố tối tiểu của R

R

dim R =sup{ht p : p Spec(R)}.∈

Với p Spec(R)∈ thì ht pR =dim Rp và ht pM =dim Mp

Với I là iđêan thực sự của R, ta có ht IR =min{ht p : pR ∈V(I)}

phân bậc hữ hạn sinh C là môđun chính tắc trên R khi có đẳng cấu thuần

nhất:

i R

0 i nExt (R m,C)

Hệ quả 1.7.1 Cho (R ,m) là vành phân bậc địa phương Gorenstien Khi đó

tồn tại a Z∈ sao cho R(a) là môđun chính tắc trên R

Định nghĩa 1.7.8 Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R

– môđun Phần tử x∈R được gọi là M – phần tử chính quy nếu xz 0= thì

z= 0

Nói cách khác, phần tử x∈R được gọi là M – phần tử chính quy nếu x

khác ước không của M

Định nghĩa 1.7.9 Cho M là môđun trên vành Noether giao hoán địa phương

R Dãy x , x , x1 2 n các phần tử của R được gọi là M – dãy chính quy nếu nó

thỏa hai điều kiện sau:

i) x là i M (x , x , x )M1 2 i 1− - phần tử chính quy i 1,2, ,n.∀ =

ii) M (x , x , x )M1 2 i 1− ≠0

Nếu dãy x , x , x ch1 2 n ỉ thỏa i) thì nó gọi là một M – dãy chính quy yếu

Cho I là ideal thực sự của R, nếu x , x , x1 2 n thuộc I thì x , x , x1 2 n gọi là M – dãy chính quy trong I

Định nghĩa 1.7.10 Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là

R – môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R M – dãy chính quy x , x , x1 2 n

trong I gọi là tối đại nếu x , x , x , x1 2 n n 1+ không là M – dãy chính quy với

bất kì xn 1+ ∈I

môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R sao cho IM≠M Khi đó tất cả các

M – dãy chính quy tối đại trong I có cùng chiều dài n được xác định như

sau:

i R

n : min{i : Ext (R I, M)= ≠0}

Định nghĩa 1.7.11 Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là

R – môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R sao cho IM≠M thì chiều dài chung của tất cả các M – dãy chính quy tối dại trong I được gọi là độ sâu của

I trên M, kí hiệu depth(I,M)

Định nghĩa1.7.12 Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R

– môđun hữu hạn sinh thì độ sâu của M trên R được gọi là độ sâu của M, kí

hiệu depth(M) ( hay depth M R )

Định nghĩa 1.7.13 Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, R –

môđun M hữu hạn sinh khác không gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu

depthM =dim M Nếu R là R – môđun Cohen-Macaulay thì R gọi là vành

Cohen-Macaulay (hay vành CM)

nhóm con của nhóm cộng A, sao cho A= ⊕n 0∞= Anvà

m n m n

A A ⊆A + , m, n∀ ≥0

Định nghĩa 1.7.15 Nếu A là vành phân bậc, một A-môđun phân bậc là một

A-môđun M cùng với họ (M )n n 0≥ các nhóm con của M thỏa M= ⊕n 0∞= Mnvà

m n m n

A M ⊆M + , m, n∀ ≥0 Như vậy mỗi Mnlà một A0-môđun

Một phần tử x∈Mlà thuần nhất nếu x∈Mn với n là bậc của x Bất kì

phần tử y M∈ có thể viết được duy nhất dưới dạng

n n n

ny ; y ∈M ; n∀ ≥0

∑ chỉ một số hữu hạn khác không, ngoài ra điều bằng không Thành phần yn khác không được gọi là phần tử thuần nhất củ y

phần tử thuần nhất có bậc dương Khi đó các phát biểu sau là tương đương: a) Mỗi iđêan phân bậc của R là hữu hạn sinh

b) R0 là Noether và R là R0 - đại số hữu hạn sinh

Định nghĩa 1.7.16 Cho A là vành , I là ideal của A, M là một A-module

Một dây chuyền (vô hạn)

M=M ⊇M ⊇ ⊇M ⊇

trong đó Mn là các module con của M được gọi là một lọc của M và kí hiệu

n

(M ) Nó được gọi là I-lọc nếu aMn ⊆Mm 1+ , n∀

Cho A là vành không phân bậc, a là ideal của A Chúng ta có thể lập thành

n 0

A = ⊕∞= n

a Tương tự nếu M là A-module và Mn là I-lọc của M thì *

Mệnh đề 1.7.9 (Bổ đề Nakayama)

Cho M là R – môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R được chứa trong

radical Jacobson của R Khi đó, nếu IM=M thì M = 0

Định nghãi 1.8.1 Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị M là môđun

con của R– môđun L

i) Ta nói L là m ở rộng cốt yếu của M nếu B L 0∩ ≠ với mọi môđun con

B≠ c0 ủa M

ii) Ta nói L là bao nội xạ của M nếu L vừa là A – môđun nội xạ vừa là mở

rộng cốt yếu của M

Giả sử (R, m) là vành địa phương, kí hiệu E : E(A m)= là bao nội xạ của

R – môđun đơn Rm, R là m – adic đầy đủ n

lim R m

 của R

Ta gọi D là hàm tử Hom ( , E)R − Với mọi R – môđun M, ta gọi D(M) là đối

ng ẫu Matlis của M

R

E=E( m) Lấy M là R – môđun, khi đó M là Artin khi và chỉ khi M đẳng

cấu với một môđun con t

E , tổng trực tiếp của t bản sao của E, với t N∈

giao hoán địa phương và đầy đủ Khi đó:

i) Với mỗi f∈Hom (E, E)R , tồn tại duy nhất rf ∈R : f (x)=r x, xE.f ∀

ii) N là R – môđun hữu hạn sinh, đồng cấu tự nhiên ΓN :N → DD(N) là đẳng cấu và D(N) là Artin

iii) N là R – môđun Artin, đồng cấu tự nhiên ΓN :N → DD(N) là đẳng

cấu và D(N) là Noether

cần đầy đủ), kí hiệu E E(R ), D Hom ( , E)R

m

= = − và m là ideal tối đại của

R Khi đó R – môđun có cấu trúc tự nhiên như là R - môđun và:

i) Do mệnh đề 3.2 với mỗi f∈Hom (E, E)R tồn tại duy nhất một

Γ → là đơn ánh, D(N) là Artin và sơ đồ sau giao hoán:

iii) Khi M là R – môđun Artin thì nó có cấu trúc R - môđun (Artin) và

D(M) là một R - môđun Noether đẳng cấu với đối ngẫu Matlis của M trên

R

Định lí 1.8.1 (Định lí đối ngẫu địa phương phân bậc) Giả sử (R, m) là

vành phân bậc địa phương với ht m=n Giả sử thêm có một vành Noether giao hoán phân bậc địa phương Gorenstien ' '

Gọi M là R – môđun phân bậc, '

N là R - ' môđun phân bậc, với j 0≥ Khi

Từ [BS 13.3.8], tồn tại '

a ∈ sao cho Z ' '

R (a ) là một '

R - môđun chính tắc Khi đó có một đống cấu

' '

môđun có chiều dài hữu hạn Theo định lí đối ngẫu Matlis, đối ngẫu Matlis D(G) cũng có độ dài hữu hạn Khi đó lengthD(G) =lengthG

Định nghĩa 1.9.1 Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là ideal khác không

ideal khác không của R và M là R môđun Nếu M là R – môđun I – xoắn và M

(0 : I) là môđun Artin, thì M là môđun Artin

và M là R môđun

i) Nếu M là R – môđun hữu hạn sinh thì M là I – không xoắn khi và chỉ khi

I chứa một M – phần tử chính quy

ii) M ΓI(M) là I – không xoắn

Định nghĩa 1.9.3 Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là ideal khác không

của R và M là R môđun Nếu M là môđun nội xạ thì dãy khớp chính tắc sau đây là chẻ: 0→ ΓI(M)→M→M ΓI(M)→ 0

Định nghĩa 1.9.4 Cho C và D là các phạm trù môđun

Một dãy F ,ii =0,1, 2, các hàm tử hiệp biến từ C vào D được gọi là khớp nối bên trái nếu với mỗi dãy khớp ngắn

0→ L′ →M′→N′→0

γβ

i I

i I

H ( )λ

i I

Mệnh đề 1.9.3 Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là ideal khác không

của R với mỗi R – môđun M, i

môđun khác không hữu hạn sinh Khi đó i

I

H (M) là Artin ∀ >i 0

hữu hạn sinh Nếu ∀ >i 0 mà H (M) là hIj ữu hạn sinh j i∀ < thì i

I

Ass(H (M))

là tập hữu hạn