Đối ngẫu matlis của môđun đối đồng điều địa phương

--- PHẠM THỊ TOAN ĐỐI NGẪU MATLIS CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An, 2012... Chương 2: Đối ngẫu Matlis của môđun đối đồng điều địa phương.. Trong chư

- PHẠM THỊ TOAN

ĐỐI NGẪU MATLIS CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Nghệ An, 2012

MỤC LỤC

trang

MỤC LỤC……… 1

MỞ ĐẦU……… 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ……… 4

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết……… 4

1.2 Dãy chính quy và độ sâu……… 5

1.3 Dãy chính quy lọc……… 6

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương……… 7

1.5 Giá của môđun đối đồng điều địa phương……… 12

CHƯƠNG 2 ĐỐI NGẪU MATLIS CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG……… 14

2.1 Đối ngẫu Matlis……… 14

2.2 Dãy chính quy I lọc……… 21

2.3 Đối ngẫu Matlis của môđun đối đồng điều địa phương……… 25

KẾT LUẬN……… 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO… ……… 30

MỞ ĐẦU

Cho ( , R m ) là một vành giao hoán địa phương Noether khác không; I

là một iđêan của vành R và M là một R môđun Với i ≥ 0, môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá là I được xác định bởi:

D  được gọi là hàm tử đối ngẫu Matlis Gần đây có một số công trình

nghiên cứu về môđun D H R ( I i( )) và đã thu được nhiều kết quả thú vị Chẳng

hạn, người ta chỉ ra rằng số các phần tử sinh tối thiểu của I liên quan đến độ

dài của dãy chính quy trên D H R ( I i( )) và môđun D H R ( I i( )) là “bé” theo nghĩa: H D H RI i( ( I i( )))hoặc bằng E hoặc bằng 0

Khái niệm dãy chính quy I - lọc là một sự mở rộng của khái niệm dãy chính quy Cho R là vành Noether địa phương, M là R  môđun hữu hạn sinh

và I là một iđêan của R với IM  M Trong [6], bằng cách sử dụng công cụ dãy chính quy I – lọc, K Khashyarmanesh đã chỉ ra rằng nếu tồn tại một dãy

chính quy x1, ., xn  I trên M và H MI i( )  0 với mọi i > n thì

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia thành hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày

một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong Luận văn nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn ở Chương 2 Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng Mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

Chương 2: Đối ngẫu Matlis của môđun đối đồng điều địa phương

Chương này là nội dung chính của Luận văn Trong chương này chúng tôi

trình bày khái niệm và một số tính chất của dãy chính quy I lọc và đối ngẫu Matlis của môđun đối đồng điều địa phương

Luận văn được hoàn thành vào tháng 6 năm 2012 tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm túc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu Cũng nhân dịp này tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số – Khoa Toán – Trường Đại học Vinh, tác giả xin cảm ơn các anh, chị, em, bạn

bè trong lớp cao học 18 – Chuyên ngành Đại số và lý thuyết số đã cộng tác và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận văn Mặc dù đã có nhiều cố gắng và nghiêm túc trong quá trình hoàn thành Luận văn, song không thể tránh những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn bè đồng nghiệp để Luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 06 năm 2012 Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có liên quan đến các kết quả và chứng minh ở Chương 2 như: Iđêan nguyên tố liên kết, dãy chính quy và độ sâu, dãy chính quy lọc, môđun đối đồng điều địa phương, giá của môđun đối đồng điều địa phương

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết

1.1.1 Định nghĩa Giả sử M là một Rmôđun Ta gọi iđêan nguyên tố pcủa

R là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử x  M x ,  0 sao cho p  (0 :R x )  AnnR( ) x

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là

R

Ass M (hoặc AssM nếu không để ý đến vành R )

AssM  p SpecR p Ann x với xM x, 0

1.1.2 Tính chất (i) p là iđêan nguyên tố liên kết của M khi và chỉ khi tồn tại một môđun con Q của M sao cho Q  R / p

(ii) Gọi    Ann x ( ) / x  M  Khi đó, nếu plà phần tử tối đại của  thì p

là iđêan nguyên tố liên kết của M

(iii) R là vành Noether và M là Rmôđun Khi đó,AssM   khi và chỉ khi M  0 Hơn nữa, nếu M là Rmôđun Noether thì tập AssM là tập hữu hạn

(iv) Cho M là Rmôđun N là môđun con của M Khi đó,AssN  AssM

(v) Cho M là Rmôđun Khi đó,AssM SuppM Nếu pSuppM và ptối tiểu trong SuppM theo quan hệ bao hàm thì p  AssM

1.1.3 Bổ đề Cho dãy khớp ngắn các Rmôđun 0  M   M  M   0 Khi đó:

(i)AssM   As sM  AssM  AssM 

(ii)SuppM  SuppM  SuppM 

1.2 Dãy chính quy và độ sâu

1.2.1 Định nghĩa Cho M là một Rmôđun hữu hạn sinh

(i) Một phần tử a đƣợc gọi là phần tử chính quy của M hay là M chính quy nếu a x  0với mọi x  M x ,  0

(ii) Một dãy các phần tử x x1, 2, , xn của R đƣợc gọi là dãy chính quy của

Rmôđun M hay còn đƣợc gọi là M dãy nếu M / ( , , x1 x Mn)  0 và xi

là M / ( , , x1 xi1) M chính quy với mọi i  1, , n

Chú ý rằng a  R là phần tử chính quy của M khi và chỉ khi x  p, với mọi p AssM  Do đó, x x1, 2, , xn là dãy chính quy của M khi và chỉ

khi M / ( , , x1 x Mn)  0 và xi p, với mọi p  AssM / ( , , x1 x Mn) với mọi i  1, , n

1.2.2 Định nghĩa (i) Giả sử x x1, 2, , xn là một M dãy Khi đó n đƣợc gọi

là độ dài của dãy

(ii) Cho I là một iđêan tùy ý của vành R sao cho IM  Mvà x x1, 2, , xn là

một M dãy trong I Khi đó x x1, 2, , xn đƣợc gọi là dãy chính quy cực đại trong I nếu không tồn tại y  Isao cho x x1, 2, , , x yn là dãy chính quy của

M Ta biết rằng mọi dãy chính quy cực đại trong cùng một iđêan I đều có cùng độ dài Độ dài chung này đƣợc gọi là độ sâu của M đối với iđêan I và đƣợc ký hiệu là depth MI( ) Đặc biệt, nếu I  m thì depthm( M ) đƣợc gọi

là độ sâu của M và ký hiệu là depthM

Nếu x x1, 2, , xn là một dãy chính quy của M thì nó cũng là một phần

hệ tham số của M Do đó depthM  dim M

1.2.3 Mệnh đề Các phát biểu sau đây là đúng

(i) Nếu x1, , xn là một M dãy chính quy thì 1

1k , , k n

n

x x cũng là M dãy chính quy với mọi số tự nhiên k1, , kn

(ii) Nếu ( , R m ) là vành địa phương và xi không là ước của 0 đối với

1 1

/ ( , , i )

M x x M với mọi i thì x1, , xn là M dãy chính quy

(iii) Nếu ( , R m )là vành địa phương thì mọi hoán vị của M dãy chính quy là

Giả thiết ( , R m ) là vành địa phương và M là R – môđun hữu hạn sinh

Khái niệm dãy chính quy lọc được định nghĩa năm 1978 bởi N T Cường, P

Schenzel và N V Trung là một mở rộng của khái niệm dãy chính quy

1.3.1 Định nghĩa (i) Một phần tử a  m được gọi là phần tử chính quy lọc đối với M nếu a  p với mọi p  As sM \   m

(ii) Một dãy các phần tử x1, , xn của R được gọi là một dãy chính quy lọc của M hay M dãy chính quy lọc nếu xi là phần tử chính quy lọc của

1

/ ( , , n)

M x x M với mọi i  1, , n

1.3.2 Định nghĩa (i) Ta gọi độ dài của M là n nếu tồn tại một dãy tăng

những môđun con của M có độ dài n và không tồn tại một dãy tăng những môđun con của M có độ dài lớn hơn n Trong trường hợp tồn tại dãy tăng

những môđun con của M có độ dài tùy ý thì ta nói M có độ dài vô hạn Độ dài của M được kí hiệu là ( M )

(ii) Ta gọi chiều của M, kí hiệu là dim M , là số d nếu tồn tại một dãy tăng những iđêan nguyên tố của R chứa AnnM có độ dài d nhưng không tồn tại một dãy tăng những iđêan nguyên tố của R chứa AnnM có độ dài lớn hơn d

(iv) Cho I là iđêan của R Nếu dim M IM/ 0 thì mỗi dãy M  chính quy lọc trong I có thể mở rộng thành một dãy chính quy lọc tối đại, và các M dãy chính quy lọc tối đại trong I đều có chung độ dài Độ dài chung này được gọi là

độ sâu lọc của M trong I và được kí hiệu là f  depth I M ( , )

1.3.4 Mệnh đề Các phát biểu sau đây là đúng

(i) Nếu I là iđêan của R thì depth I M ( , )   f depth I M ( , )

(ii) depthM  dim M

(iii) Nếu dim(M IM/ )0 thì f  depth I M ( , )  dim M

(iv) Nếu dim(M IM/ )0 thì f  depth I M ( , )  

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương

1.4.1 Định nghĩa Giả thiết Rlà vành Noether địa phương, m là iđêan tối đại duy nhất của Rvà M là R môđun hữu hạn sinh với chiều Krull

dim M d

(i) Đối đồng điều địa phương lần đầu tiên được định nghĩa bởi A Grothendick Cho I là một iđêan của R Với mỗi R  môđun M, đặt

Khi đó I là một hàm tử cộng tính, hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các

R môđun vào phạm trù các R môđun I được gọi là hàm tử xoắn

Với mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của I được kí hiệu

là i

I

H và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i với giá là I

Với mỗi R môđun M, ta kí hiệu Hi I( M )là “ảnh” của môđun M qua

1.4.2 Mệnh đề (i) Hmi ( M ) là R  môđun Artin với mọi i  0.

(ii) HI dim M( ) M là môđun Artin với mọi iđêan I của R

(iii) Hmi ( M )  0 với mọi i  dim M hoặc i  depth M Với

 : mi ( )  0 ;  : mi ( )  0

Đặc biệt, Hmdim M( ) M  0 và Hmdim M( M ) là môđun Artin khi d >0

1.4.3 Mệnh đề Cho M là một R – môđun Các phát biểu sau đây là tương đương:

(i) 0   

(ii) Nếu M là R  môđun nội xạ thì HI i   M  0 với mọi i  1.

(iii) Nếu M  I   M thì HI i   M  0 với mọi i  1.

H  M sao cho ta có dãy khớp dài

Các đồng cấu n trong Mệnh đề trên được gọi là các đồng cấu nối

1.4.5 Mệnh đề Đặt M  M / I   M Khi đó với mỗi số tự nhiên n  1 ta

1.4.7 Mệnh đề dim M  Sup i H M  / I i( )  0 

Ký hiệu ara I ( )là số tự nhiên t bé nhất sao cho có t phần tử của R

sinh ra I Ta có kết quả sau

1.4.8 Mệnh đề Giả sử I là iđêan của vành Noether R và M là Rmôđun Khi đó HI i   M  0 với mọi i  ara I ( )

Một R– môđun A được gọi là Artin nếu mỗi dãy giảm các môđun con của Ađều dừng Độ sâu lọc cũng đặc trưng thông qua tính không Artin của môđun đối đồng điều địa phương như sau

1.4.9 Mệnh đề f  depth I M ( , )  inf  i H M / I i( ) không Artin 

Cho L là một R– môđun tùy ý (không nhất thiết hữu hạn sinh)

Chiều của giá của L, kí hiệu là dim SuppL, được định nghĩa là số n

nếu có một dãy tăng những iđêan nguyên tố trong SuppL có độ dài lớn hơn n

Mệnh đề dưới đây chỉ ra rằng độ sâu lọc được đặc trưng thông qua chiều của giá của môđun đối đồng điều địa phương

1.4.10 Mệnh đề f  depth I M ( , )  inf  i / dimS uppH MI i( )  0 

Mệnh đề dưới đây chỉ ra rằng độ sâu suy rộng được đặc trưng thông qua tính hữu hạn của giá của môđun đối đồng điều địa phương

1.4.11 Mệnh đề gdepth I M ( , )  inf  i SuppH M / I i( ) lµ tËp v« h¹n 

1.4.12 Bổ đề Giả sử I là một iđêan của vành Noether R , M là một

Rmôđun và x x1, 2, , xr  I là một M dãy Khi đó, H M I i( )0, với mọi i r

1.4.13 Mệnh đề Giả sử I là một iđêan của vành Noether R và M là

một Rmôđun hữu hạn sinh Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: (i) Tồn tại một M dãy x x1, 2, , xr sao cho xj    I , j 1, 2, , r (r  )

(ii) H MI i( )  0,  i r

1.4.14 Định lý Giả sử I là một iđêan của vành Noether R và M là

một Rmôđun hữu hạn sinh Khi đó

1.4.15 Mệnh đề Giả sử I là một iđêan của vành Noether R và M là

một Rmôđun hữu hạn sinh Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

depthM   i M Chú ý rằng, khi ( , R m )là vành địa phương, Noether

và M là hữu hạn sinh, gradeM( ) m được gọi là độ sâu của M và kí hiệu là

depthM (hoặc depth MR )

1.4.17 Hệ quả Cho ( , R m ) là vành địa phương, Noether và 0M là

Rmôđun hữu hạn sinh Khi đó, nếu Hmi ( M )  0 thì số nguyên i thỏa mãn

1.5 Giá của môđun đối đồng điều địa phương

Cho I là iđêan của R và i  0 là một số nguyên Nhìn chung i( )

I

H M

không là hữu hạn sinh và cũng không là Artin Thậm chí, ta còn không biết tập SuppH MI i( )là đóng hay không Tuy nhiên, SuppH MI i( )là đóng với phép lấy đặc biệt hóa, tức là nếu p  q và p  SuppH MI i( ) thì

Cho I là iđêan của R và i  0 là một số nguyên Kí hiệu

dim( Supp H M ( I i( ))) là cận trên của các số dim R p / , trong đó cận trên lấy trên tập những iđêan nguyên tố p trong tập giá của H MI i( )

Nếu H MI i( ) là hữu hạn sinh thì

dim( Supp H M ( I i( )))  dim( / R Ann H M ( I i( ))) Nếu H MI i( ) là Artin thì Supp H M ( I i( ))    m và do đó

dim Supp H M ( I i( ))  0

1.5.1 Mệnh đề Cho I là iđêan của R, với dim( M IM / )  s

Đặt nk   k depth I M ( , ) với k  0,1, , s Giả thiết rằng

I

(ii) dim  Supp H ( I n k j ( M ))   kj với mọi j  0,1, , t

(iii) dim  Supp H M ( I i( ))   kj với mọi j  0,1, , t và mọi

Chú ý rằng nếu dim M   d 0 và HI d( M )  0 thì HI d( M ) không hữu hạn sinh Kết quả sau đây là một hệ quả tức khắc của Mệnh đề trên, cho

CHƯƠNG 2 ĐỐI NGẪU MATLIS CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả trong bài báo [6] của

K Khashyarmanesh Nội dung chính của bài báo này là nghiên cứu về đối ngẫu Matlis của môđun đối đồng điều địa phương

Trước hết chúng tôi sẽ trình bày về đối ngẫu Matlis dựa theo [5]

2.1 Đối ngẫu Matlis

2.1.1 Kí hiệu và nhận xét Giả sử ( , R m )là vành địa phương Gọi

E E R là bao nội xạ của trường thặng dư R/m của R Ta sẽ sử dụng

ký hiệu R là m – adic đầy đủ lim / n

n

R

Xét hàm tử D ( )   HomR( , ( /  E R m )) từ phạm trù các R môđun đến chính nó Vì E R ( / m ) là môđun nội xạ nên D( ) là hàm tử khớp Ta gọi

( )

D  là đối ngẫu Matlis

Với mỗi R môđun G , ta gọi D G( )là đối ngẫu Matlis của G Chú ý

rằng D R( ) đẳng cấu tự nhiên với E và D E ( )  Hom E ER( , ) là một vành

các Rtự đồng cấu của E Với mỗi Rmôđun G , gọi

2.1.2 Mệnh đề Các phát biểu sau đây là đúng

(i) Ann GR  Ann D GR ( ) Đặc biệt, G0 khi và chỉ khi D G ( )  0.

(ii) Nếu G có độ dài hữu hạn thì D G ( )  G Trong trường hợp này ta có



( )G ( ( )).D G

(iii) Nếu Ghữu hạn sinh thì D G ( ) là R môđun Artin Tuy nhiên, khi Glà Artin thì D G ( ) không nhất thiết là R môđun hữu hạn sinh

(iv) Nếu G hữu hạn sinh thì D G ( )  G Nếu Glà Artin thì D D G ( ( ))  G (v) Giả sử R đầy đủ theo tôpô m – adic Khi đó, D G ( )là R môđun hữu hạn sinh nếu G là Artin

2.1.3 Nhận xét Giả sử rằng ( , R m )là vành địa phương Cho G là một

Trước hết chúng ta xét trường hợp ( , R m )là vành địa phương Artin Ta

biết rằng, một Rmôđun G là Artin khi và chỉ khi nó là Rmôđun Noether

và trong trường hợp này tương đương với G là hữu hạn sinh

2.1.4 Định nghĩa Giả sử M là một R– môđun Đế của M ký hiệu

Soc M là tổng tất cả các môđun con đơn của M

Giả sử ( , R m )là vành tựa địa phương, M là R– môđun Khi đó:

2.1.5 Hệ quả Cho A là một R– môđun Artin khác không Khi đó Alà một

mở rộng cốt yếu của Soc A ( ), bởi vì mỗi môđun con khác không B của

Achứa một môđun con đơn