một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

34 2.4.Tính chất triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan ..... Trong luận văn này, tôi sẽ trình bày định nghĩa và các tính chất của môđun đối

Trần Minh Đức

Trần Minh Đức

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

THEO MỘT CẶP IĐÊAN

Chuyên ngành : Đại số và Lý thuyết số

Mã số : 60 46 05

L ỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được

sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè

Trước hết, Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Trần Tuấn Nam

Thầy đã quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn để giúp tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ Thầy đã hướng dẫn tôi từ khi làm luận văn Đại

học, nhiệt tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian học cao học và hoàn thành luận văn Thạc sĩ này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quá trình

học tập Tôi xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải đã tận tình dạy bảo và cho tôi nhiều kiến thức về Đại Số cũng như kiến thức về học tập

Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số K21 cũng như các bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tôi Gia đình tôi luôn là nguồn động viên tinh

thần to lớn giúp tôi hoàn thành khóa học và luận văn này

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012

TRẦN MINH ĐỨC

M ỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

M Ở ĐẦU 1

C hương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1.Một số bổ đề và định nghĩa 3

1.2.Bao nội xạ và phép giải nội xạ tối tiểu 4

1.3.Dãy chính quy – độ sâu 5

1.4.Số chiều – hệ tham số 6

1.5.Giới hạn thuận 7

1.6.Hàm tử dẫn xuất phải 9

1.7.Dãy phổ 10

1.8.Môđun đối đồng điều địa phương 13

C hương 2: MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN 16

2.1.Hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan 16

2.2.Môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan và phức Cech 27

2.3.Liên hệ giữa môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan và môđun đối đồng điều địa phương 34

2.4.Tính chất triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan 38

K ẾT LUẬN 43

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 44

M Ở ĐẦU

Đối đồng điều địa phương là lý thuyết tối cần thiết và là một công cụ quan

trọng trong đại số giao hoán và hình học đại số Trong luận văn này, tôi sẽ trình bày định nghĩa và các tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một

cặp iđêan (I, J), đây là một khái niệm tổng quát hơn khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan I

Trong cả luận văn này, ta giả thiết R là vành Nơte giao hoán và cho I, J là hai iđêan của R Ta định nghĩa được hàm tử (I, J)-xoắn ΓI J, : ModR →ModR là mở

rộng của hàm tử I-xoắn ΓI Hơn nữa vì tính khớp trái của hàm tử ΓI J, (Bổ đề (2.1.3)), với mọi số tự nhiên i ta lấy dãy hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI J,

chính là H I J i, - đây chính là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J)

Một khái niệm quan trọng được xem xét trong luận văn chính là tập:

W( , )I J = p ∈Spec R( ) |I n ⊆ p+J n,  1

đây là tập hợp con của Spec R( ) (xem định nghĩa (2.1.6)), mệnh đề (2.1.8) chỉ ra

rằng một R-môđun M là (I, J)-xoắn khi và chỉ khi SuppM ⊆ W( , )I J Ta cũng lưu ý rằng khi J =0 thì hàm tử ,

H và tập W( , )I J lại trở thành tập V I( ), nên có thể thấy W( , )I J là mở

rộng của V I( ) tương ứng theo một cặp iđêan (I, J)

Luận văn được trình bày thành hai chương Trong chương một tôi sẽ trình bày mà không chứng minh một số kiến thức về đại số giao hoán, đối đồng điều địa phương theo một iđêan để chuẩn bị cho độc giả đọc chương hai Độc giả có

thể bỏ qua chương một để đọc thẳng chương hai, phần chính của luận văn, trình

bày tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan Cụ thể như sau:

Trong phần (2.1) của chương hai tôi sẽ trình bày định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan, định nghĩa tập W( , )I J và đưa ra một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

Phần (2.2) trình bày phức Cech suy rộng và đưa ra định nghĩa tương đương

của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan qua phức Cech suy

rộng (định lý (2.2.4)) Từ đây suy ra được một số hệ quả và tính chất quan trọng

của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

Tới phần (2.3) sẽ là sự liên hệ giữa môđun đối đồng điều địa phương theo

một cặp iđêan và môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan Định lý (2.3.2) cho ta thấy một môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan chính là một giới hạn thuận của những môđun đối đồng điều địa phương theo

một iđêan trong tập W( , ) I J Còn nếu ( ,R m ) là vành địa phương thì ta có

Và phần (2.4) chính là phần trung tâm của luận văn, sẽ trình bày các định lý

về sự triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương theo một

cặp iđêan Đặc biệt định lý (2.4.1) cho ta đẳng thức:

,

inf { |i H I J i (M)≠0} inf {depth= Mp|p∈W( , )}I J

đây chính là mở rộng của định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của Grothendieck

trong trường hợp M là môđun hữu hạn sinh

Mặc dù có nhiều cố gắng trong quá trình làm luận văn nhưng do sự hạn hẹp trong kiến thức và thời gian nên có thể trong luận văn còn nhiều sai sót, rất mong được sự nhận xét và phản hồi của quý thầy cô và các bạn

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này cũng như là trong toàn bộ luận văn khi ta nói đến vành R thì R chính là vành Nơte giao hoán có đơn vị

1.1 Một số bổ đề và định nghĩa

Bổ đề 1.1.1.(Nakayama) Cho R là một vành, M là một R-môđun hữu hạn sinh, I

là một iđêan của R Giả sử IM =M, khi đó tồn tại x∈I sao cho (1+x M) =0

Nếu R là vành địa phương và I là iđêan thực sự thì ta suy ra M = 0

Bổ đề 1.1.2 (Artin-Rees) Cho R là một vành, M là một R-môđun hữu hạn sinh, I

là một iđêan của R và N là R-môđun con của M Khi đó tồn tại số tự nhiên n0đủ

lớn sao cho:I M n ∩ =N I n n− 0(I M n0 ∩N) với mọi n≥n0

Định nghĩa 1.1.3 Cho M là một R-môđun Ta định nghĩa các tập hợp con của

tập Spec R( ) các iđêan nguyên tố của R sau:

Mệnh đề 1.1.6 Nếu M, N là các R-môđun hữu hạn sinh thì ta có:

1.2 Bao n ội xạ và phép giải nội xạ tối tiểu

Định nghĩa 1.2.1 Cho 0≠M ⊆N là các R-môđun Môđun N được gọi là mở

rộng thiết yếu của M nếu với mọi môđun 0≠N'⊆N ta đều có: N' ∩M ≠ 0

Định lý-Định nghĩa 1.2.2 Cho M là một R-môđun Khi đó tồn tại duy nhất (sai

khác một đẳng cấu) R-môđun nội xạ E là mở rộng thiết yếu của M Ta gọi E là

bao nội xạ của M và ký hiệu E =E M( )

Định nghĩa 1.2.3 Một R-môđun M ≠ 0 được gọi là môđun không phân tích

được nếu M không là tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự

Định lý 1.2.4 (Matlis) Cho E là một R-môđun nội xạ thì ta có:

i Tồn tại duy nhất một cách phân tích: i

i I

E E

∈

= ⊕ trong đó mỗi E i là môđun nội

xạ không phân tích được

ii Nếu E là môđun nội xạ không phân tích được thì tồn tại p∈Spec R( ) sao cho ( / )

E=E R p Ngược lạiE R( / )p là môđun nội xạ không phân tích được với mọi

i E R( / )p là hạng tử trực tiếp của E M( ) khi và chỉ khi p∈As (s M)

ii As ( ( / ))s E R p ={ }p

Định nghĩa 1.2.6 Cho M là một R-môđun, phép giải nội xạ tối tiểu của M là

một phép giải nội xạ của M:

µ p là số Bass thứ i của M theo p

Định lý 1.2.7.(Bass) Cho p∈Spec R( ), k( ) R

1.3 Dãy chính quy – độ sâu

Định nghĩa 1.3.1 Cho M là một R-môđun Dãy các phần tử x x1, 2, ,x n trong R

được gọi là dãy M- chính quy nếu ( ,x x1 2, ,x M n) ≠M và x i không là ước của không trong

( , , , i )

M

x x x− M với mọi i=1, 2, n

Định nghĩa 1.3.2 Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của Rthỏa mãn

IM ≠M Ta định nghĩa độ sâu của M trong I là:

{ 1 }depth ( ,R I M)=sup n| ( , ,x x n)là dãy -chính quy trong M I

Nếu ( , )R m là vành địa phương thì ta ký hiệu: depthR M: depth ( ,= R m M)

Định lý 1.3.3 Cho M là một R-mơđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R

Mệnh đề 1.3.4 Cho M là một R-mơđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R

thỏa mãn IM ≠M Ta cĩ: depthR M = inf{ |i µi( ,M) ≠ 0}

1.4 Số chiều – hệ tham số

Định nghĩa 1.4.1 Cho vành R Số chiều của R, ký hiệu dim(R) chính là

supremum của độ dài những dây chuyền (nghiêm ngặt) các iđêan nguyên tố trong R:

0 1

dimR=sup{ |n ∃ ⊂ ⊂p p ⊂p pn, i∈Spec R( )∀ =i 0,1, , }n

Cho M là m ột R-mơđun thì số chiều của M chính là supremum của độ dài

những dây chuyền (nghiêm ngặt) các iđêan nguyên tố trong Supp(M):

0 1

dimM =sup{ |n ∃ ⊂ ⊂p p ⊂p pn, i∈Supp(M),∀ =i 0,1, , }n

Nếu M = 0 ta đặt dim M= –1

Mệnh đề 1.4.2 Cho M, N là các R-mơđun hữu hạn sinh.Ta cĩ

dim dim( / Ann( ))dim( ) dim / (Ann( ) Ann( ))

=

Định nghĩa 1.4.3 Cho ( ,R m)là vành địa phương, M là một R-mơđun hữu hạn

sinh Đặt d=inf{ |n ∃x x, , ,x ∈m:Supp M( / ( , ,x x M) ) { }},= m dãy

1, 2, , d

x x x ngắn nhất các phần tử trong m thỏa Supp M( / ( , ,x1 x M d) ) { }= m

được gọi là một hệ tham số của M

M ệnh đề 1.4.4 Cho ( , )R m là vành địa phương, M là một R-môđun hữu hạn

sinh Dãyx x1, 2, ,x d là một hệ tham số của M khi và chỉ khi nó là dãy ngắn

nhất các phần tử trong m thỏa mãn ( ,x x1 2, ,x d) Ann(+ M) là iđêan m-nguyên

sơ

Định lý 1.4.5 Cho ( ,R m)là vành địa phương, M ≠ 0 là R-môđun hữu hạn sinh, d(M) là độ dài của hệ tham số của M Khi đó ta có:

d(M)=dimM

M ệnh đề 1.4.6 Cho( , )R m là vành địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh

Một dãy M-chính quy có thể mở rộng thànhmột hệ tham số của M Từ đây ta suy

radepthM ≤dimM

M ệnh đề 1.4.7 Cho ( , )R m là vành địa phương và x x1, 2, ,x n là một dãy trong

m, M là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó ta có:

Định nghĩa 1.5.1 Cho R là một vành, ( , )I ≤ là một tập được sắp thứ tự bộ phận

Một hệ thuận trong phạm trù các R-môđun là: (( ) , ( i) )

 được gọi là giới hạn thuận của hệ thuận ((M) , (i I∈ ϕi j i j)≤ )

Định nghĩa 1.5.3 Tập sắp thứ tự ( , )I ≤ được gọi là tập trực tiếp nếu với mọi ,

i j∈I tồn tại k∈I sao cho i≤k và j≤k

M ệnh đề 1.5.4 Cho ((M i i I) , (∈ ψi j i j)≤ ) là một hệ thuận trong phạm trù các môđun, ( , )I ≤ là tập trực tiếp, ψi j:M i →M j là các phép nhúng với mọi i≤ j Nếu

R-ta đặt: M =i I∈ M ivà xét họ các ánh xạ nhúng (αi:M i →M)i I∈ Khi đó M

chính là giới hạn thuận của ((M)∈ , (ψi)≤ )

Định lý 1.5.5 Giới hạn thuận là giao hoán với tích tenxơ Nếu((M i i I)∈ , (ψi j i j)≤ ) là

một hệ thuận, N là một R-môđun thì ta có đẳng cấu tự nhiên sau:

Mệnh đề 1.5.6 Giới hạn thuận là bảo toàn tính khớp Cụ thể, nếu I là tập trực

tiếp và { ,L i α , i j} {M i,β ,i j} {N i, }γ là các hệ thuận các R-môđun trên I Xét họ các i j

đồng cấu ( :r L i i →M i) và ( :s M i i →N i) sao cho với mỗi i∈I thì dãy sau đây là dãy khớp:

0→ →L i N i →M i →0

Thì ta sẽ có dãy khớp sau đây:

Định nghĩa 1.6.1 Cho T:  →  là hàm tử cộng tính hiệp biến,  và  là hai

phạm trù Abel trong đó  là đủ nội xạ Ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất phải :

n

R T → với mỗi n≥ 0 như sau:

Với mỗi vật B ta chọn một phép giải nội xạ E•( )B :

Định nghĩa này là tốt, không phụ thuộc vào cách chọn phép giải nội xạ

Định lý 1.6.2 Cho T:  →  là hàm tử cộng tính hiệp biến và khớp trái,  và

 là hai phạm trù Abel trong đó  là đủ nội xạ Dãy (R T n )n≥0 là dãy hàm tử dẫn

xuất phải của T khi và chỉ khi thỏa mãn:

i Có đẳng cấu tự nhiên giữa hai hàm tử: 0

R T ≅T

ii Với mọi E là vật nội xạ trong , ta đều có: (R T E n ) =0 với mọi n≥ 1

iii Với mọi dãy khớp trong :0 → →L M →N → 0 ta có dãy khớp dài với đồng cấu nối tự nhiên:

Bậc của f được ký hiệu là: deg( )f =( , )a b

Nếu ta có đồng cấu song phân bậc f M: →N với deg( )f =( , )a b thì ta định nghĩa Im f = (Im f p a q b− , − ) ⊆ (N p q, ), Ker f = ( erK f p q, ) ⊆ (M p q, )

Cho dãy các đồng cấu song phân bậc f g

M → N →P, dãy này được gọi là

khớp nếu Im f =Ker g

Từ đây, nếu loại bỏ q thì ta định nghĩa được môđun phân bậc và đồng cấu

phân bậc một cách tương tự

Định nghĩa 1.7.2 Một lọc của một R-môđun M là một họ (M p)p∈ các R-môđun con của M thỏa mãn M p ⊆M p+1 với mọi p:

Định nghĩa 1.7.3 Cho (M d, ), trong đó M là một môđun song phân bậc, d là

một đồng cấu song phân bậc có bậc là (a, b) thỏa mãn d d = 0 Khi đó ta định nghĩa được đồng điều H M d( , ) là một môđun song phân bậc với:

, ,

B∞ = ≥ B Ta định nghĩa giới hạn của dãy phổ là môđun song phân bậc E∞được định nghĩa bởi:

/

E∞ =Z∞ B∞

Định nghĩa 1.7.6 Cho (F pC)p∈ là lọc của phức Cvà họ phép nhúng

p q

p q

H E

H

− +

Định nghĩa 1.7.11 Cho  là một phạm trù Abel đủ nội xạ, F:→b là hàm tử cộng tính Một vật B của  được gọi là F-tuần hoàn phải nếu

( ) {0}

p

R F B= với mọi p≥1

Định lý 1.7.12.(Grothendieck) Cho → →G  F  là các hàm tử hiệp biến,

cộng tính  , , là các phạm trù Abel đủ nội xạ Giả sử F là khớp trái và GE là

tuần hoàn phải với mọi vật nội xạ E trong  Khi đó với mọi vật A trong , ta

có dãy phổ góc phần tư thứ ba sau:

,

2p q ( p )( q ) p q( )

E = R F R G A⇒R + FG A

1.8 Môđun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.8.1 Cho R là vành, I là một iđêan của R, M là một R-môđun

f M →Nthì f(ΓI(M))⊆ ΓI( )N nên ta định nghĩa được ΓI( ) :f ΓI(M)→ ΓI( )N

là thu hẹp của f lên ΓI(M)

Với định nghĩa như trên có thể chứng minh được ΓI là một hàm tử cộng tính, R-tuyến tính và khớp trái Hàm tử ΓI được gọi là hàm tử I-xoắn

R-môđun M được gọi là môđun I-xoắn nếu ΓI(M)=M R-môđun M được

gọi là môđun I-không xoắn nếu ΓI(M)=0

Bây giờ ta xét các hàm tử dẫn xuất phải của hàm tử khớp trái ΓI với mọi

Môđun H M I i( ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan

I

Mệnh đề 1.8.2 Cho M là một R-môđun Ta có ΓI(M)=M ⇔Supp(M)⊆V I( ) Đối đồng điều địa phương có nhiều cách định nghĩa tương đương Sau đây là định nghĩa theo giới hạn thuận của hàm tử Ext và định nghĩa theo phức Cech

Định lý 1.8.3 Cho M là một R-môđun, I là một iđêan của R Ta có đẳng cấu tự

nhiên sau với mọi i≥ 0:

Do vành ta đang xét là vành Nơte, nên mỗi iđêan I của R là hữu hạn sinh Từ

đây ta có định nghĩa đối đồng điều địa phương thông qua phức Cech

Định lý 1.8.5 Cho R là vành, I =( )a =( ,a a1 2, ,a n) là iđêan của R, M là một

R-môđun Ta có đẳng cấu tự nhiên sau với mọi i≥ 0:

I

H M ≅H M⊗C a•

Sau đây là định lý triệt tiêu và không triệt tiêu nổi tiếng của Grothendieck

Định lý 1.8.6 (Grothendieck) Cho M là một R-môđun, I là một iđêan của R

Ta có:

i I

H M = với mọi i> dimM

Định lý 1.8.7 (Grothendieck) Cho( , )R m là một vành địa phương, M là một

R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R Ta có:

Chương 2: MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

THEO M ỘT CẶP IĐÊAN

Trong chương này ta cũng luôn giả thiết R là vành Nơte giao hoán có đơn vị

2.1 Hàm t ử đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan

Định nghĩa 2.1.1.Cho M là một R-môđun; I, J là hai iđêan của R, ta định nghĩa

ta thấy I x n ⊆Jx⇔I n ⊆Ann x( )+Jdo đóΓI J, (M) ={x∈M I| n ⊆ Ann x( ) +J n,  1}

từ đây ta có thể chứng minh được ΓI J, (M) là một R-môđun con của M

Cho f M: →N là một đồng cấu R-môđun Ta có f( ΓI J, (M)) ⊆ ΓI J, ( )N và

do đó ta định nghĩa R-đồng cấu ΓI J, ( ) :f ΓI J, (M) → ΓI J, ( )N chính là thu hẹp của

f trên ΓI J, (M) Từ đây ta định nghĩa được hàm tử ΓI J, ( ) −

Định nghĩa 2.1.2.Hàm tử ΓI J, :Mod R →Mod R là một hàm tử hiệp biến cộng tính, ta gọi đây là hàm tử (I,J)-xoắn

Với M là một R-môđun ta định nghĩa ΓI J, (M) là môđun (I, J)-xoắn của M

Nếu ΓI J, (M) =M ta nói M là môđun (I, J)-xoắn, nếu ΓI J, (M) = 0 ta nói M là môđun (I, J)-không xoắn

Nhận xét rằng khi J = 0 thì Γ ≡ ΓI J, I là hàm tử I-xoắn quen thuộc trong đối

đồng điều địa phương

Bổ đề 2.1.3.Hàm tử (I,J)-xoắn Γ ( ) − là hàm tử khớp trái

Do ΓI J, ( )f là thu hẹp của fnên ΓI J, ( )f là đơn cấu Hơn nữa vì ΓI J, ( )g là thu

hẹp của g và g f =0ta suy ra ΓI J, ( ).g ΓI J, ( )f = 0do đó Im ΓI J, ( )f ⊆KerΓI J, ( )g

n

I ⊆ Ann x +J và tồn tại y∈L f y: ( )=x , do f là đơn cấu nên ta có:

n

I ⊆ Ann x + =J Ann f y + =J Ann y +J

Vậy y∈ΓI J, ( )L ⇒ ∈x Im ΓI J, ( )f suy ra Im ΓI J, ( )f ⊇KerΓI J, ( )g ta có điều

Với M là một R-môđun ta định nghĩa H I J i, (M) là môđun đối đồng điều địa

phương thứ i của M theo (I,J)

Nhận xét rằng nếu J = 0 thì Γ ≡ ΓI,0 I nên suy ra i,0 i

I I

H ≡H , hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan chính là mở rộng của hàm tử đối đồng điều địa phương quen thuộc

Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương theo

Ch ứng minh Các tính chất này đều được suy ra từ định nghĩa và chứng minh

khá dễ dàng Sau đây là chứng minh của phần (vii)

Đầu tiên ta chứng minh tính chất này cho hàm tử (I, J)-xoắn

( )⊇ Lấy x∈Γi I J, (M) thì tồn tại n∈  sao cho: I n ⊆ Ann x( ) +J , ta suy ra:

( )

n

n

I ⊆ I ⊆Ann x +J, từ đây suy ra x∈Γi I J, (M)

( )⊆ Ngược lại lấy x∈Γi I J, (M) thì tồn tại n∈  sao cho: I n ⊆ Ann x( )+J, do

R là vành Nơte nên tồn tại m∈ sao cho I m ⊆I do đó .

Vậy ta có: Γ ≡ ΓI J, I J, mà do hàm tử dẫn xuất phải là duy nhất nên ta có điều

phải chứng minh



Ta biết rằng tính chất của môđun đối đồng điều địa phương H M I i( )có liên hệ

chặt chẽ đến tập hợp V I( )= ∈{p Spec R( )|I ⊆p} Và khi ta mở rộng lên thành môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan thì ta có tập hợp sau

Định nghĩa 2.1.6 Cho I, J là hai iđêan của R Ta định nghĩa tập hợp sau:

Theo mệnh đề (1.8.2) nếu Supp M( )⊆V I( ) thì ΓI(M)=M , sau đây là mở

rộng của mệnh đề này trong đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

Mệnh đề 2.1.8 Cho M là một R-môđun, các mệnh đề sau là tương đương

i M là môđun (I, J)-xoắn

ii Min M( )⊆W( , )I J

iii As (s M)⊆W( , )I J

iv Supp M( )⊆W( , )I J