Về các dạng symplectic và các dạng đa tạp con lagrangian

Hình học symplectic là hình học của đa tạp symplectic, tính chất hình học trên đa tạp symplectic đợc mô tả bởi tích vô hớng phản xứng và không suy biến dạng song tuyến tính phản xứng và

bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh - _

mục lục

Trang

Lời nói đầu

Cách đây 2 thế kỷ hình học symplectic đã cung cấp ngôn ngữ cho cơ học cổ

điển và nó phát triển mạnh vào những năm 1970 với các công trình nghiên cứu của nhiều nhà toán học mà tiêu biểu là Weinstein, Gromov, Donaldson,

Hình học symplectic là hình học của đa tạp symplectic, tính chất hình học trên đa tạp symplectic đợc mô tả bởi tích vô hớng phản xứng và không suy biến (dạng song tuyến tính phản xứng và không suy biến) Các khái niệm cơ bản của hình học symplectic nh: Không gian vectơ symplectic, các dạng symplectic, ánh xạ symplectic, đa tạp con Lagrangian, các phép tính vi phân, tích phân trên đa tạp symplectic đã đợc đa vào trong chơng trình đào tạo của một số trờng Đại học ở Anh, Đức

Tuy nhiên trong chơng trình đào tạo của hệ Đại học và Cao học thạc sĩ, chúng tôi không đợc học về hình học symplectic, bên cạnh đó hình học symplectic lại là phân ngành của Hình học- Tôpô Vì vậy trong luận văn này chúng tôi chỉ đề cập đến một số khái niệm cơ bản nhất mở đầu cho việc nghiên cứu về hình học symplectic, đó là: Không gian vectơ symplectic, các dạng symplectic, ánh xạ symplectic và các dạng đa tạp con Lagrangian

Luận văn đợc chia làm bốn mục:

Đ1 Không gian vectơ symplectic

Đ2 Dạng symplectic trên đa tạp

Đ3 ánh xạ symplectic

Đ4 Đa tạp con Lagrangian

ở Đ1 chúng tôi chọn lọc, đa ra các khái niệm cơ bản của ánh xạ song tuyến tính phản xứng, đồng thời chúng tôi tập hợp và đa ra một số tính chất của không gian vectơ symplectic dới dạng mệnh đề

Trong Đ2 chúng tôi đa ra định nghĩa và ví dụ của đa tạp symplectic, định nghĩa dạng đúng α, dạng chính tắc ω trên T * U (trong đó: (U , x1 , x2 , , xn) là

Nội dung chính đợc trình bày ở Đ3 là định nghĩa, ví dụ về ánh xạ symplectic Ngoài ra chúng tôi bổ sung thêm tính chất của đồng cấu symplectic

và quan hệ giữa nhóm các vi phôi của đa tạp X ( Diff(X) ) và nhóm các đồng

Cuối cùng trong Đ4 chúng tôi nêu ra định nghĩa không gian con

n-chiều) Chứng minh một số tính chất của không gian con Lagrangian, đồng thời đa ra một số dạng đa tạp con Lagrangian

Vì năng lực có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp lợng thứ và vui lòng sửa chữa cho

Luận văn đợc hoàn thành nhờ sự giúp đỡ, động viên chỉ bảo hết sức tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình và các thầy, cô giáo trong chuyên ngành Hình học- Tôpô, khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh Tác giả xin chân thành cảm

ơn đối với sự chỉ bảo đó

Vinh,ngày tháng năm 2003

Tác giả

1.1 ánh xạ song tuyến tính phản xứng

1.1.1 Định nghĩa: Giả sử V là không gian vectơ m- chiều trên R và

R V

2

1

y y

x x

Trong đó: vectơ x(x1, x2) ∈ V, vectơ y(y1, y2) ∈ V

Chứng minh: Trong V lấy các vectơ: x(x1, x2), y(y1, y2),x' (x , x ), y' (y , y ' )

2

' 1

' 2

' 1

2 2

' 1

' 1

' 2 2

' 1 1

y y

μx x μx x y , μx' x

y μx x y μx x

1

' 2 2

' 1 1

2 2 1

1

' 2 2 2

' 1 1

Ω + Ω

=

− +

−

=

+

− +

=

λ λ

λ λ

2 2

' 1 1

2 1

μy y μy y

x x

μy' y x, Ω

+ +

= +

λ λ

μy y x μy y x

' 1 2

' 2 1 1

2 2 1

' 1 1 2

' 2 2 1

Ω + Ω

=

− +

−

=

+

− +

=

λ

y λ

λ λ

1.1.3 Định lý (Dạng tiêu chuẩn cho ánh xạ song tuyến tính phản xứng)

{u1, u2, ,uk} và chọn phần bù của U trong V là W: V = U ⊕ W Khi đó nếu lấy bất kỳ e1∈W và e1 ≠ 0 , ta có f1∈W sao cho: Ω(e1,f1) ≠ 0

Giả sử rằng Ω(e1, f1) = 1 và W 1 là không gian sinh bởi e1, f1

(W1 = <e1, f1>)

Ω 1

b )e Ω(v, 0

W W

1.2 Không gian vectơ symplectic.

song tuyến tính phản xứng

1.2.1 Định nghĩa: ánh xạ Ω~: V → V ∗ là ánh xạ tuyến tính đợc xác định bởi

R}

V {

V V u u), Ω(v,

(v)(u)

1.2.2 Định nghĩa: ánh xạ song tuyến tính phản xứng Ω là symplectic

1.2.3 Tính chất của ánh xạ symplectic Ω.

1) Tính đối ngẫu: ánh xạ Ω~: V → V ∗ là song ánh

Ω 1

2) Theo định lý 1.1.3 : k = dim U = 0 nên dim V = 2n

| 0 Id

Id 0 u v) Ω(u,

1.2.4 Định nghĩa: Cho không gian vectơ symplectic (V, Ω) Không gian

| Ω

1.2.5 Mệnh đề: Cho Y là không gian con tuyến tính của không gian vectơ symplectic ( V, Ω), trực giao symplectic YΩcủa nó là không gian con tuyến tính đợc xác định bởi:

4) Y là symplectic (nghĩa là Ω | YxY không suy biến) ⇔ Y ∩ Y Ω = {0}

i e x x Y x

j e c v V v

i

i f(e ) x

f(x)

ta xét phơng trình: Ω(x,v) = f(x) , ∀x ∈Y

= +

i i j

i n

1 m j

m 1 i j i m

1 j i,

j i j

1 j

1

j Ω(e , e ) f(e ) c

2 j

2

j Ω(e , e ) f(e ) c

m j

m

c

Từ đó ta có hệ m phơng trình:





















=

=

=

∑

∑

∑

=

=

=

n

1

j

m j

m j

n

1

j

2 j

2 j

n

1

j

1 j

1 j

) f(e ) e , Ω(e c

) f(e ) e , Ω(e c ) f(e ) e , Ω(e c (1) Ta đặt các vectơ: ( ) ( ) ( ) ( ) (Ω(e , e ), , Ω(e , e )) α

) e , Ω(e ), ,

e , Ω(e α ) e , Ω(e ), ,

e , Ω(e α

) e , Ω(e ), ,

e , Ω(e α ) e , Ω(e ), ,

e , Ω(e α n n 1 n n n 1 m 1 1 m 1 m n m 1 m m n 2 1 2 2 n 1 1 1 1 + + + Giả sử hệ vectơ {α 1 , α 2 , , α m} phụ thuộc tuyến tính thì hệ vectơ {α 1 , α 2 , α m , α m+1 , , α n} phụ thuộc tuyến tính Do đó ma trận                       Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω + + ) e , (e

) e , (e

) e , (e

)

e , (e ) e , (e

) e , (e

) e , (e

) e , (e ) e , (e

) e , (e

n n 1

n

n 1 m 1

1 m

n m 1

m

n 2 1

2

n 1 1

1

suy biến Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Vậy hệ vectơ {α 1 , α 2 , , α m} độc lập tuyến tính

Do đó:

Hạng

























) e, (e Ω

)

e, (e Ω

) e, (e Ω )

e, (e Ω ) e, (e Ω )

e, (e Ω

n m 1

m

n 2 1

2

n 1 1

1

= m

Điều đó chứng tỏ với ∀ f ∈ Y *, luôn ∃ v ∈ V : Ω (x,v) = f(x), ∀ x ∈ Y Suy ra: ϕ là toàn ánh

Do đó dim V = dim ϕ(V) + dim(kerϕ)

= dim Y + dim Y Ω

2) Ta có: ( ) {Y Ω Ω = w ∈ V | Ω (w, v) = 0, ∀ v ∈ Y Ω}

Suy ra: ( ) {Y ΩΩ= w ∈ V | Ω (w, v) = 0, ∀ v ∈ Y Ω}

{w ∈ V | Ω (v, w) = 0, ∀ v ∈ Y }= Y

Vậy ( )Y ΩΩ= Y

Do đó Ω(v,u) = 0, ∀u ∈Y⇒ v∈YΩ

Lấy bất kỳ u∈Y ⇒ Ω(v,u) = 0, ∀v ∈YΩ mà WΩ ⊆ YΩ, do đó: Ω(v,u)=0,

Ta lấy bất kỳ u ∈Y∩YΩ và giả sử u ≠ 0

1 j j

v v

<

=

= Ω

=

j i

ij j i j

i 1

j i,

j

i v , (e , e ) u v a u

Vậy dim Y≤ n = 21 dim V

( Ω ')(u,v) = Ω'(ϕ(u),ϕ(v))=Ω(u,v)

Ví dụ: Giả sử (V, Ω )là không gian vectơ symplectic, V1,V2 là các không

∈ V1, b ∈ V2 Ký hiệu u = a − b

Ta định nghĩa: Ω : V x V  → R thoả mãn

) v , u ( v) (u,

Ω

thì (V, Ω ' )là không gian vectơ symplectic Thật vậy: Do Ωlà ánh xạ song

tuyến tính và ϕ * Ω' (u, v) = Ω(u, v)

Ta có: ϕ * Ω' (u, v) = Ω( ϕ(u) ϕ(v) = Ω ' ( u , v ) = Ω ( u , v ) = Ω(u, v)

Nhận xét:

- Nếu ϕ : V → V' là ánh xạ symplectic thì V đẳng cấu với V'

o (e , f )

Ω = δ

j j

i

o (f , e )

Ω = − δ

Khi đó (V, Ω ) ∼ (R 2n , Ω 0 )

Đ2 dạng Symplectic trên đa tạp 2.1 Đa tạp Symplectic

2.1.1 Định nghĩa: Cho đa tạp M

j i

j dx dx f

j i

ij ∧ ∧

=∑<

- ω gọi là symplectic khi và chỉ khi ω đóng và ωp là symplectic, ∀p ∈M

Nhận xét: Nếu ω là symplectic thì T p M = dimM = 2n

2.1.2 Định nghĩa: Cho đa tạp M, ω là symplectic Khi đó (M, ω) đợc gọi là

, y

, x

, , x

, x ω ω

j i

j nếu 0

i n

j nếu

1 y

, x

ω

ω

jiij

j n

i nếu 1

x

-, y

ω

ω

jiij

- Nếu i = n + 1,2n , j = n + 1,2n thì:

0 y

, y ω ω

j i

T *

x

X x

2n

*

*

x X T U R T

i dx ξ α

i

dx ω

Nhận xét: α, ω không phụ thuộc việc chọn bản đồ

'

j dx

ξ ξ

' j ' j

i i n

ξ ξ

1 i i

' j

x

x

ξ ξ

i i

j '

x

x' dx

i i i

i

' j '

j i n

1 j i n

1 j

' j

'

x

x x

d

dα =∑ ∧

= ξ

' ' n

1 i

i

dx

* x

1 i

p i

p i i p

i v ξ

p

p = ξ ∀ ∈T p M

) ( π

2.5.1 Định nghĩa: Cho X 1, X 2 là các đa tạp n- chiều Ký hiệu M 1 = T * X 1,

M 2=T * X 2 và α1,α2 là các dạng đúng Giả sử f : X 1→X 2 là vi phôi Khi đó ta có vi phôi tự nhiên:

f1 : M1→M2

(x1,ξ1) ≡ p1  p2 ≡ (x2,ξ2) , x2 = f(x1) , ξ1= f*ξ2

trong đó: f*: T * X 2 →T * X 1

2.5.2 Định lý Lực nâng f 1 của vi phôi f : X 1 → X 2 kéo dạng đúng α2 trên

T * X 2 về dạng đúng α1 trên T * X 1 , nghĩa là: (f 1 ) *α2 = α1

1i 1i 1

1 1

2i 2i 2

2 2 2

* 2 2 1

* 1

1 π , α π

Xét biểu đồ giao hoán:

2 2

* f

1

* 1

2 1

1

f 1

M X T X

T M

π π

X X

* 1 2

* 2

* 1 2

* 1 2

* 1

* 1 2

* 1 2

*

Đ3 ánh xạ Symplectic 3.1 Định nghĩa và ví dụ.

3.1.1 Định nghĩa Cho (M 1,ω1), (M 2,ω2) là các đa tạp symplectic

Nếu ánh xạ f : X 1 → X 2 là vi phôi thì ánh xạ

f1: M 1 → M 2

* 1 1 2

1 1 2 1 1

Lấy bất kỳ p2(x2, ξ2) ∈M 2, ta cần chứng minh ∃p1(x1, ξ1) ∈M 1 sao cho f1(p1)=p2

Do f là vi phôi nên với x2 ∈X 2 thì ∃x1∈X 1 : x1=f-1(x2) hay x2 = f(x1) (1)

Từ (1) và (2) ta có: f1(p1) = p2

- Với hệ toạ độ địa phơng (x1,x2, xn, ξ1, ξ2, ξn) của M 1

Ta xét f1: M 1→M 2

i dx η η

Để chứng minh f1 khả vi ta cần chứng minh: y1, y2, yn, η1, η2, , ηn , trong

đó:

y1= y1(x1,x2, xn) = y1(x1,x2, ,xn,ξ1,ξ2, , ξn)

y2= y2(x1,x2, xn) = y2(x1,x2, ,xn,ξ1,ξ2, , ξn)

yn = yn(x1,x2, xn) = yn(x1,x2, ,xn,ξ1,ξ2, , ξn)

η1=η1(x1,x2, ,xn,ξ1,ξ2, , ξn)

η2=η2(x1,x2, ,xn,ξ1,ξ2, , ξn)

i

* i n

1 i

p j p j

i f

i

x

y )

1 j j p

j

n 1 j j p

j p n

x ( v )

(dx ) x y (

* j f

i p

n 1

j f

i

*

) x ( f v )

(dy )

x ( v )

1

k j k n

1 j j f

y (

| x

y v

) (dy

=

p j i n

1 j j

i

x

y )

(dy

f (p)

n 1 i i

* f

i n

1 i

j p j

i

x

y η

x

y η ξ

Theo giả thiết f vi phôi nên

p j

vi Suy ra ηi = ηi(x1,x2, ,xn,ξ1, ξ2, , ξn) khả vi Vì vậy f1 khả vi (4)

Giả sử ( M , ω) là đa tạp symplectic 2n- chiều và p là điểm bất kỳ trong M

Khi đó có bản đồ ( U , x 1 , ,x n , y 1 , ,y n ) tâm p sao cho: ∑

ω

Bản đồ ( U , x 1 , ,x n , y 1 , ,y n ) ở định lý trên gọi là bản đồ Darboux.

3.2 Đồng cấu symplectic.

3.2.1 Mệnh đề Cho X là đa tạp khả vi, M = T * X và giả sử h là hàm khả vi trên X Gọi τ :M→ M là ánh xạ xác định bởi

) dh (x ,ξ )

Nhận xét Dễ dàng thấy rằng ϕ là đơn ánh nhng không toàn ánh Thật vậy:

vi phôi sẽ giữ nguyên α, tuy nhiên τ không phải nh vậy (vì π*dh ≠ 0)

Đ4 đa tạp con lagrangian 4.1 Đa tạp con

Giả sử M, X là các đa tạp khả vi, dim X < dim M

4.1.2 Chó ý.

PhÐp nhóng ch×m lµ phÐp nhóng mµ nghÞch ¶nh cña mçi tËp Compact lµ tËp Compact

NÕu X lµ ®a t¹p con M th× TpX ⊂ Tp'M, p' = i(p) ≡ p

4.2 §Þnh nghÜa: Gi¶ sö (V, Ω) lµ kh«ng gian vect¬ symplectic, Y lµ kh«ng

4.3 §a t¹p con Lagrangian cña T * X

Gi¶ sö X lµ ®a t¹p kh¶ vi, T*X = x XT x*X

NhËn xÐt: Y lµ ®a t¹p con Lagrangian cña M ⇔ T p Y lµ kh«ng gian con Lagrangian cña T p M

Khi đó: ω|Y(v,w) = dx1 ∧ dx3(v,w) + dx2∧ dx4(v,w)

= dx1(v)dx3(w) - dx1(w)dx3(v) + dx2(v)dx4(w) - dx2(w)dx4(v) = 0

i i

i (X).dx (Y) d (Y).dx (X)

d ξ ξi

Vì X, Y∈ℬ(X0) ⇒ dξi(X) = 0 , dξi(Y) = 0

Do đó: ω(X,Y) = 0

4.3.3 Định nghĩa: Cho Y là không gian con tuyến tính của không gian

4.3.4 Mệnh đề: Cho Y là không gian con tuyến tính của không gian vectơ symplectic ( V ,Ω) Khi đó:

⇔Y = YΩ

2) Nếu Y là không gian con Lagrangian của (V, Ω) Khi đó với cơ sở bất

kỳ {e 1 , e 2 , ,e n } của Y có thể mở rộng đến cơ sở symplectic

Giả sử ∃ v'∈YΩ mà v'∉Y, khi đó ta có Ω(v',u) = 0, ∀u ∈Y

Mà Ω(v,u) = 0, ∀v,u ∈ Y ⇒ dim YΩ > dim Y, tức là dim YΩ> 21 dim V

Điều này mâu thuẫn với (*)

g ) e , (g

1 Ω

LÊy W k = Span {e1,e2, ,ek-1,ek+1, ,en,f1,f2, ,fk-1}

Mặt khác hệ vectơ {e1,e2, ,en,f1,f2, fk-1} độc lập tuyến tính ⇒ ek không biểu thị đợc qua hệ vectơ {e1, e2, ,ek-1, ek+1,f1,f2, ,fk-1} ⇒ ek ∉ Wk, điều này mâu thuẫn với (*)'

= Ω

⇒ Ω

1

i

e μ

+ Ω

=

1 j

k j n

1 i

k i i k

Khi đó: {e1,e2, ,en,f1,f2, ,fn} chính là cơ sở symplectic của (V, Ω)

kỳ {e1,e2, ,en} của Y, ta có thể mở rộng đến cơ sở symplectic {e1,e2, ,en,f1,f2, ,fn} của (V,Ω)

4.3.5 Mệnh đề: Nếu Y là không gian con Lagrangian của ( V,Ω) thì tồn tại

ánh xạ symplectic từ ( V,Ω) tới không gian ( Y ⊕ Y * ,Ωo), trong đó Ωo đợc xác

định bởi công thức: Ωo (u ⊕α, v ⊕β) = β(u) - α(v) Với u, v∈Y α, β∈Y *

Chứng minh: Trên V ta chọn cơ sở symplectic {e1,e2, ,en,f1,f2, ,fn} sao cho {e1,e2, ,en} là cơ sở của Y Gọi { *

1

e , * 2

e , ,e *n} là cơ sở của Y * Khi đó tồn tại

đẳng cấu tuyến tính ϕ : {e1,e2, ,en,f1,f2, ,fn}→{e1+θ, en+θ, θ+e1, ,θ +e *n}

i i

i i

e θ f

θ e e

Ta cÇn chøng minh ϕ lµ ¸nh x¹ symplectic, tøc lµ chøng minh: Ωo = Ω

o ) (f ) (e o j i

* Ω e , f = Ω ϕ i , ϕ j = Ω e + θ , θ + e

ϕ o

= e (e ) - 0 e * ei) ij (ei, fj)

j i

*

) , Y Y

p ξ | dx |

μ =

Chứng minh: Theo định nghĩa về α, ta có: αp = π*|p ξ , p(x,ξ)∈M= T * X.Với p = sà(x)= (x,àx), ta có αp = π*|p àx Khi đó với ∀x ∈ X thì:

x p

*

* μ

X à

⇔τ *i * dα = 0

⇔ ( i τ ) * dα = 0 ⇔s* à dα = 0

Giả sử S là đa tạp con k- chiều bất kỳ của đa tạp X có n- chiều.

4.4.1 Định nghĩa: Không gian đối pháp dạng tại x∈ S là:

Chứng minh: Giả sử (U, x1, x2, ,xn) là bản đồ trên X tâm tại x ∈ S và thích ứng với S Khi đó U∩S đợc miêu tả bằng: xk+1=xk+2= =xn=0

Giả sử (T * U , x1 , x2 , , xn , ξ1 , ξ2 , , ξn) là bản đồ trên T * X Khi đó đa tạp con N * S ∩T * U đợc miêu tả bằng: xk+1=xk+2 = =xn=0 và ξ1 = ξ2 = = ξk = 0

0

| dx ξ

| α α) (i

k j x Span k

S) (N T p p

4.4.3 Hệ quả Đối với mọi đa tạp con S⊂ X Phân thớ đối pháp dạng N * S

là đa tạp con Lagrangian của T * X

Chứng minh:

- N * S là đa tạp con n- chiều của T * X (nhận xét ở mục 4.4.1)

- Giả sử α là dạng đúng trên T * X, ω là dạng chính tắc trên T * X Khi đó:

0 α) d(i dα

( i ω i |

4.5 ứng dụng của ánh xạ symplectic.

Giả sử (M1,ω1) và (M2,ω2) là hai đa tạp symplectic 2n- chiều và ϕ:M1→M2

Một cách tổng quát là: nếu λ1, λ2∈R\{0} Khi đó: λ1(pr1)*ω1 + λ2(pr2)*ω2

cũng là dạng symplectic trên M 1 x M 2 Lấy λ1 = 1, λ2 = -1, ta thu đợc dạng tích xoắn trên M 1 x M 2 là:

2

* 2 1

*

1 ) ω (pr ) ω (pr

Ký hiệu: Γϕ = Graph ϕ ={(p, ϕ (p) ) | p ∈ M 1} là đồ thị của vi phôi ϕ : M 1→M 2,

Trong luận này chúng tôi đã cố gắng chọn lọc và trình bày một số cách có

hệ thống các khái niệm cơ bản nhất của hình học symplectic Với sự gợi ý của Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình, chúng tôi đã bổ sung một số các bài tập dới dạng mệnh đề mà có thể đợc xem nh là các tính chất

Trớc khi khép lại bản luận văn này, một lần nữa cho phép chúng tôi đợc cảm ơn sự dìu dắt, động viên của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình, các thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học, các phòng ban chức năng, các thầy cô giáo trong chuyên ngành Hình học- Tô pô trờng Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện để chúng tôi hoàn thành bản luận văn này /

Tài liệu tham khảo

[1] Annacanas dasilva : Lectures on symplectic Geometry Pd Springger - 2001

[2] Cartan: Phép tính vi phân và các dạng vi phân (Bản dịch tiếng Việt)- NXB

Đại học và Trung học chuyên nghiệp - Hà Nội- 1970

[3] Đoàn Quỳnh: Hình học vi phân - NXB Giáo dục - 2001

[4] Ngô Thúc Lanh: Đại số tuyến tính - NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp - Hà Nội - 1970

[5] Nguyễn Hữu Quang: Tích phân các dạng vi phân

- Bài giảng chuyên đề cao học Thạc sĩ- Đại học Vinh - 2002

[6] Nguyễn Huỳnh Phán: Các không gian phân thớ- Bài giảng chuyên đề Cao học Thạc sĩ- Đại học Vinh- 2002

[7] Nguyễn Văn Giám- Mai Quý Năm- Nguyễn Hữu Quang- Nguyễn Sum- Ngô Sỹ Tùng: Toán cao cấp- Tập 1- Đại số tuyến tính- NXB Giáo dục - 2000

[8] Spivak: Gi¶i tÝch to¸n häc trªn ®a t¹p (B¶n dÞch tiÕng ViÖt) - NXB §¹i häc

vµ Trung häc chuyªn nghiÖp - Hµ Néi- 1985