Không gian con lagrăng và đa tạp con grassman lagrăng

Hình học symplectic là hình học của đa tạp symplectic, tính chất hình học trên đa tạp symplectic đợc mô tả bởi tính vô hớng, phản xứng và không suy biến dạng song tuyến tính phân xứng và

Mở đầu

Từ cách đây 2 thế kỷ, hình học symplectic đã cung ngôn ngữ cho cơ học cổ điển và nó phát triển mạnh vào những năm 1970 với các công trình nghiên cứu của nhiều nhà Toán học mà tiêu biểu là Wenrstem, Gromow,

một phần ngành của hình học Tôpô

Hình học symplectic là hình học của đa tạp symplectic, tính chất hình học trên đa tạp symplectic đợc mô tả bởi tính vô hớng, phản xứng và không suy biến (dạng song tuyến tính phân xứng và không suy biến) Các khái niệm cơ bản của hình học symplectic nh: Không gian vectơ symplectic, dạng symplectic, cấu trúc phức trên không gian symplectic, không gian con

trong nhiều tài liệu, các bài báo

Mục đích của luận văn này là tập trung các khái niệm này theo một trình tự và chứng minh một số tính chất của chúng

Luận văn có bố cục nh sau:

Luận văn chia làm hai chơng

Chơng I: Không gian vectơ symplectic

Chơng này tập trung các khái niệm cơ bản nhất của hình học symplectic nh khái niệm dạng symplectic và không gian vectơ symplectic nhằm phục vụ cho chơng sau Chơng I chia làm hai phần

Phần 1 Không gian vectơ symplectic

Phần 2 Cấu trúc phức tơng thích

Trong phần này ta chú ý đến 2 mệnh đề quan trọng, phục vụ nhiều trong các phần sau đó là mệnh đề 2.3 và mệnh đề 2.4

Chơng II Là chơng quan trọng nhất của luận văn, chúng đợc chia làm ba phần

Phần 1 Không gian con Lagrăng

Nội dung chính đợc trình bày là định nghĩa, các tính chất của không gian con Lagrăng Tuy phần này có một số tính chất quan trọng đợc trình bày ở mệnh đề 1.2.2, mệnh đề 1.2.3, mệnh đề 1.2.4, mệnh đề 1.2.5 Ngoài

ra trong phần này còn trình bày về khái niệm, tính chất quan trọng, đó là mệnh đề 1.3.5, hệ quả 1.3.6, nhận xét 1.3.7

Phần 2 Đa tạp con Grassman Lagrăng

Phần này xây dựng cấu trúc đa tạp trên không gian G(V, n), và không gian Λ(V) và khẳng định đợc một số tính chất quan trọng nh G(V, n), Λ(V)

có cấu trúc đa tạp liên thông tách đợc có chiều lần lợt là n2 và n(n 1)

2

+

hơn thế nữa Λ(V) còn là đa tạp con của G(V, n)

Phần 3 Không gian con Lagrăng đặc biệt trên không gian symplectic

Đa vào tập hợp các không gian con Lagrăng một tích vô hớng tơng thích với cấu trúc phức và tách ra đợc một lớp các không gian con Lagrăng

đặc biệt Khi xét không gian symplectic Cn ta thấy tập các Lagrăng đặc biệt trong Cn cùng với Lagrăng Rn trùng với tập các Lagrăng đặc biệt của Cn

theo nh đã biết trong hình học định cỡ và từ đó có tính chất trong hình học

định cỡ và đa tạp con compact định hớng n chiều Lagrăng đặc biệt có thể tích bé nhất trong các lớp cùng biên

Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn trực tiếp của TS Nguyễn Duy Bình Tác giả xin bày tỏ lời biết ơn sâu sắc tới thầy về sự tận tâm và nhiệt tình hớng dẫn đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài

Tác giả cũng xin chân thành cám ơn PGS.TS Nguyễn Hữu Quang,

TS Phạm Ngọc Bội, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Đào tạo Sau

đại học và các học viên Cao học XI Toán đã thờng xuyên quan tâm và tạo

điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 12 năm 2005

Tác giả

Chơng I

không gian vectơ symplectic

Phần 1 Dạng Symplectic và không gian vectơ Symplectic 1.1 ánh xạ song tuyến tính, phản xứng

1.1.1 Định nghĩa: Giả sử V là không gian vectơ m - chiều trên R và

Ω: V x V → R là ánh xạ song tuyến tính Khi đó ta định nghĩa Ω là phản xứng nếu : Ω(u, v) = - Ω (v, u) ∀u, v ∈ V

1.1.3 Định lý (Dạng tiêu chuẩn cho ánh xạ song tuyến tính, phản xứng)

{u1, u2, , u… k, e1, e2… en, f1, f2…fn} của V sao cho:

+ Ω(ui, v) = 0 ∀i = 1,n ∀v ∈ V

+ Ω (ei, ej) = 0= Ω (fi, fj) với ∀i, j = 1,n

+ Ω (ei, fi) = δij ∀i, j = 1,n

Chứng minh Trớc hết ta định nghĩa u ⊥v ⇔Ω (u, v) = 0

Xét U ⊂ V và U = {u|u ⊥ v ∀v ∈ V} Rõ ràng U ≠φ (θ∈U)

Giả sử dim U = k (k ≤ m) trong U có cơ sở {u1, u2, , u… k}

Đặt: V = U ⊕ W; dim W = m - k Lấy e1 ∈ W e1 ≠ 0 lúc này tồn tại

Vậy thì v = (ae1 + bf1) +(v - ae1 - bf1)

+ Rõ ràng ae1 + bf1 ∈ W1

+ Lại có Ω(v - ae1 - bf1, e1) = Ω(v,e1) +b Ω(e1, f1) = - b + b = 0

Ω(v − ae1 - bf1, f1) = Ω(v, f1) - a Ω (e1, f1) = a - a = 0 Suy ra v - ae1 - bf1∈ W1 ⊥

Tức ∀v ∈ W luôn phân tích v = v1 + v2 Trong đó v1∈ W1

v2 ∈ W1 ⊥

Nh vậy V = U ⊕ W1 ⊕ W1 ⊥

Tiếp tục lấy e2, f2∈ W1 ⊥ mà Ω(e2, f2) = 1

Lý luận tơng tự nh trên và có hữu hạn lần nh vậy cuối cùng ta đợc :

- Ω(u, v) = [u]* A[v] trong đó u, v ∈ V

1.2 Không gian vectơ symplectic

Giả sử Ω là dạng song tuyến tính, phản xứng trên V Ký hiệu V* ={f|f tuyến

Ký hiệu Ω% : V → V*

, v → Ω% v

1.2.1 Nhận xét

i, Ω% với cách xác định nh đã nói trên là tuyến tính

ii, Ker Ω% = {v V∈ Ω = θ% v } = U

iii, Ω% là song ánh (đẳng cấu) ⇔ U = {θ}

1.2.2 Định nghĩa ánh xạ song tuyến tính Ω đợc gọi là dạng symplectic nếu Ω là phản xứng và Ω% với cách xác định nh trên là song ánh ánh xạ Ω

khi này còn đợc gọi là cấu trúc symplectic và (V, Ω) đợc gọi là không gian symplectic

1.2.3 Chú ý:

+ Khi V là không gian vectơ symplectic ⇔ Ω% là song ánh

⇔ U = 0 Vậy dim V = 2n

I 0

 

− 

 

1.2.4 Định nghĩa Cho không gian vectơ symplectic (V, Ω)

không suy biến

ii) Không gian con Y đợc gọi là đẳng hớng nếu Ω|Y = 0

iii) Trực giao symplectic YΩ của Y đợc xác định:

YΩ = {v ∈ V| Ω(v, u) = 0, ∀u ∈ Y} Thế thì không gian con

Y đợc gọi là đối đẳng hớng nếu YΩ ⊆ Y

1.2.5 Mệnh đề Cho Y là không gian tuyến tính của không gian vectơ

symplectic (V, Ω) khi đó ta có:

ii) (YΩ)Ω = Y

iii) Nếu Y và W là không gian con, khi đó:

Y ⊆ W ⇔ WΩ⊆ YΩiv) Y là symplectic (nghĩa là Ω|Y xY không suy biến)

⇔ Y ∩ YΩ = {θ} ⇔V = Y ⊕ YΩ

Chứng minh

Giả sử trong V có cơ sở {e1, e2… en} Trong Y có cơ sở {e1, e2… em} (m < n)

Xét ϕ: V→ Y* (Y* đối ngẫu của Y)

ϕ(v) →Ω(.,v) (do dim Y = m ⇒ dimY* = m)

(e ,e ) (e ,e )

iv) a Chøng minh Y lµ symplectic ⇔ Y ∩ YΩ = {θ}

NÕu Y lµ symplectic gi¶ sö V cã c¬ së {e1, e2… en}

Do đó hệ thuần nhất

m

j 1 j

j 1 m

Hay tồn tại v ∈ Y ∩ YΩ mà v ≠θ, mâu thuẫn giả thiết Vậy Y không phải là symplectic

1.2.7 Mệnh đề Cho Y là không gian con tuyến tính của không gian vectơ

symplectic (V, Ω) Khi đó nếu Y đẳng hớng thì dim Y ≤ 1

1.2.8 Định nghĩa Giả sử (V, Ω) và (V', Ω') là các không gian vectơ symplectic Khi đó ánh xạ ϕ: (V, Ω) → (V', Ω') là symplectic khi và chỉ khi ϕ là đẳng cấu tuyến tính và ϕ* Ω' = Ω.

Tức là: ϕ*Ω'(u,v) = Ω'(ϕ(u), ϕ(v) = Ω(u, v)

Phần 2 Cấu trúc phức tơng thích

2.1 Định nghĩa Cho V là không gian vectơ Cấu trúc phức trên V là ánh

xạ tuyến tính J: V → V với J2 = -Idv

Cặp (V, J) đợc gọi là không gian vectơ phức

2.2 Định nghĩa Cho (V, Ω) là không gian vectơ symplectic Cấu trúc phức J trên V đợc gọi là tơng thích với Ω (hoặc Ω - tơng thích) nếu:

GJ(u, v) = Ω (u, Jv) ∀u, v ∈ V là một tích vô hớng (xác định dơng) trên V

Vậy GJ(v, u) = Ω(v, Ju)

= Ω(Ju, v) = - Ω(J2u, J(v))

= Ω(u, Jv) = GJ(u,v)

vµ GJ(u, u) = Ω(u, Ju) > 0 ∀u ∈ V, u ≠ 0

= Ω(ej, fi) = Ω(ej, Jei) = G(ej, ei)G(ei, fj) = Ω(ei, Jfj)

= Ω(ei, ej) = 0 = Ω(fj, fi) = Ω(fj, Jei) = G(fj, ei)T¬ng tù ta còng cã G(fi, fj) = G(fj, fi)

VËy më réng tuyÕn tÝnh cho ta G(x, y) = G(y,x)

Ω - t¬ng thÝch VËy trªn kh«ng gian symplectic bÊt kú lu«n tån t¹i mét cÊu tróc phøc t¬ng thÝch

Chơng II

không gian con Lagrăng và đa tạp Grassman Lagrăng

Phần 1 Không gian con Lagrăng 1.1 Định nghĩa

không gian con Y của V đợc gọi là không gian con Lagrăng nếu dim

Y = 1

2dimV (= n) và Ω|Y = 0

1.2 Các tính chất của không gian con Lagrăng

1.2.1 Mệnh đề Cho Y là một không gian con tuyến tính của không gian

vectơ symplectic (V, Ω) khi đó:

⇔ Y = YΩ

{e1, e2… en} của Y có thể mở rộng đến cơ sở symplectic{e1, e2… en, f1, f2…fn} của (V, Ω)

Chứng minh

Nếu Y là Lagrăng ⇒ Y ⊂ V; Ω|Y = 0 ⇒ đẳng hớng

do Y là Lagrăng ⇒ Y ⊆ YΩ⇒ dim YΩ≥ dim Y = n mà dim YΩ + dimY = 2n

⇒ YΩ≡ Y

- Y đẳng hớng và Y đối đẳng hớng do Y đẳng hớng

⇒ Ω|Y = 0

dim Y ≤ 12 dimV = n

do Y đối đẳng hớng ⇒ YΩ⊂ Y ⇒ dim YΩ≤ dimY

Giả sử đã bổ sung đợc (k - 1) vectơ f1, f2…fk-1 (k ≤ n) để hệ vectơ

{e1, e2… en… f1, f2…fk-1} là n + k - 1 vectơ đầu tiên trong cơ sở symplectic {e1, e2… en, f1, f2…fn}của (V, Ω)

Ta sẽ chứng minh mở rộng đợc hệ (n + k - 1) vectơ đó đến hệ vectơ {e1, e2… en, f1, f2…fn} là n + k vectơ đầu tiên của cơ sở symplectic {e1, e2… en, f1, f2…fn} của (V, Ω)

Lấy Wk = Span {e1, e2… ek-1, ek+1, f1, f2…fk-1}

k

WΩ = Ω{f (f,y) 0 y W= ∀ ∈ k}

Giả sử ∀gk ∈ Wk Ω mà gk ∈ Y ta có Wk Ω ⊆ Y ⇒ YΩ ⊆ Wk vì Y là Lagrăng nên Y = YΩ do đó Y ⊆ Wk ⇒ ek ∉ Wk (*) Mặt khác, vì hệ vectơ {e1, e2… en, f1, f2…fk} độc lập tuyến tính nên ek không biểu thị đợc qua hệ cơ sở {e1, e2… ek-1, ek+1, f1, f2…fk-1}.Do đó ek ∉ Wk mâu thuẫn với (*) vậy tồn tại gk ∈ Wk Ω mà gk ∉ Y do đó : Ω (gk, ek) ≠ 0

1.2.2 Mệnh đề: Cho (V, Ω) là một không gian vectơ symplectic 2n - chiều

Chứng minh Xem tài liệu [6]

1.2.3 Mệnh đề Cho (V, Ω) là không gian vectơ symplectic T là một không gian con đẳng hớng thì T là giao của các Lagrăng chứa nó

Chứng minh Ta cần chứng minh Y = ∩ L

T ⊂ L (Lagrăng ) + Hiển nhiên T ⊂∩ L

T ⊂ L (Lagrăng ) + Giả sử T có cơ sở {e1, e2… em} (m ≤ n với dim V = 2n) bao giờ ta cũng bổ sung để có cơ sở {e1, e2… em, em+1… en, f1, f2…fn} của V

(tập tất cả các đẳng cấu tuyến tính từ V vào V) mà f(L) = g(L)

(Với mọi tập Lagrăng L) thì tồn tại λ ∈Ă * sao cho f = λg

Chứng minh Giả sử V có cơ sở sympectic {e1, e2… en, f1, f2…fn}

Xét L = Span {e1, e2… en},dễ thấy L là Lagăng , do đó theo giả thiết

f(L)=g(L) Chọn e1∈L ⇒ tồn tại y ∈ L y(yi)n

i 1 = với cơ sở {e1, e2… en}sao cho f(e1) = g(y) = g(∑yi, ei)

Vậy thì f(e1) = λ1g(e1)

Tơng tự dễ dàng có f(ei) = λig(ei) ∀i = 1,n (λi ≠ 0),

và f(fi) = λn+i g(fi) ∀i = 1,n ∀i = 1,2n

xét L1 = Span {e1+ e2, f1 - f2, e3… en}

Dễ thấy dim L1 = n ,do đó L1 là Lagrăng

Theo ii, của 1.2.1 ta có thể bổ sung vào cơ sở {e1+ e2, f1 - f2… en) của

L1 để nó thành bộ cơ sở symplectic của V Do đó theo cách làm trên ta có

f(e1 + e2) = λg(e1 + e2)

⇒f(e1) + f(e2) = λg(e1) + λg(e2)

⇒ λ1g(e1) + λ2g(e2) = λg(e1) + λg(e2)

⇒ (λ1 - λ) g(e1) + (λ2 - λ) g(e2) = 0

⇒ λ1 - λ = λ2 - λ = 0

⇒ λ1 = λ2.Làm tơng tự ta có thể suy ra λ1 = λ2 = = … λn = λ

Nh vậy đối với cơ sở symplectic {e1, e… n, f1… fn}

tử của GLJ(V) mà giữ nguyên các Lagrăng sẽ có dạng αIdv(α∈ R*)

Chứng minh Trớc hết ta chứng minh GLJ(V) là một tác động lên tập các dạng thực Xét ∀F là dạng thực vậy V = F ⊕ J(F)

… n) là cơ sở của L⊥ và e1, e2…en, J(e1), J(e2) J(e… n) là cơ sở của V

Vậy L và JL là 2 không gian Lagrăng bù nhau

⇒ V = L ⊕ JL vậy L là dạng thực Cuối cùng ta có ∀L ∈λ(V) ⇒ f(L) = L

Theo mệnh đề 1.2.4 ⇒ f= αIdv (α∈ Ă *)

1.3 Ký số của bộ ba các không gian con Lagrăng (L 1 , L 2 , L 3 )

Trong phần này (V, Ω) là không gian symplectic có chiều 2n

1.3.1 Định nghĩa Giả sử L1, L2, L3 là các không gian con Lagrăng của V

và K là không gian vectơ con của L1 x L2 x L3 cho bởi

K = {x1, x2, x3) ∈ L1 x L2 x L3| x1 + x2 + x3 = 0} Xác định trên K một dạng song tuyến tính βL L ,L 1, 2 3

ii) NÕu L2 = L1 hiÓn nhiªn

βL L ,L 1, 2 3((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = Ω (x1, y2)

= 0iii) βL L ,L 2, 3 1(( x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = Ω (x2, y1)

= - Ω(x1, y2)

= - βL L ,L 1, 2 3(( x1, x2, x3), (y1, y2, y3))

1.3.3 Định nghĩa Ngời ta gọi ký số của bộ ba các không gian con

Lagrăng (L1, L2, L3) và ký hiệu s(L1, L2, L3) là ký số của dạng toàn phơng

QL L ,L 1, 2 3 trên không gian vectơ K kết hợp với dạng song tuyến tính đối xứng

βL L ,L 1, 2 3 xác định bởi

QL L ,L 1, 2 3((x1, x2, x3) = Ω (x1, x2)

1.3.4 Mệnh đề Ký số của bộ ba (L1, L2, L3) của các không gian con

nguyên nằm trong khoảng - 2n đến 2n thoả mãn các tính chất

1) s(L1, L2, L3) = 0

2) s(L2, L1, L3) = - s(L1, L2, L3)

3) s (L1, L2, L3) = s (L2, L3, L1) = s (L3, L2, L2)

Chứng minh Hoàn toàn suy ra từ mệnh đề 1.3.2

Giả sử (L1, L2, L3) là bộ ba các không gian con Lagrăng của không

V, và nằm trong L1 và L2 Ta có tập thơng W& = W/WΩ xác định một

không gian Symplectic ( W& , Ω& ) Ký hiệu L&1, L&2, L&3 là các không gian con

Lagrăng của ảnh ( W& , Ω& ) tơng ứng của L1, L2 và L3 ∩ W qua phép chiếu chính tắc từ W vào W& Lúc này ta có mệnh đề sau:

1.3.5 Mệnh đề sv(L1, L2, L3) = sW& ( L&1, L&2, L&3)

Chứng minh: Đặt

K ={(x ,x ,x )1 2 3 ∈ L1 x L2 x L3 |x1 + x2 + x3 = 0}

K ={(x ,x ,x )& &1 2 &3 ∈ L&1x L&2 x L&3 x&1+ + =x&2 x&3 0}

Nếu (x1, x2, x3) là một phần tử của K, x1 và x2 là các phần tử của W do W chứa L1, L2 x3 cũng là phần tử của W do x3 = - (x1 + x2)

Vậy x3 ∈ L3 ∩ W

Nh vậy lúc này thiết lập ánh xạ ψ biến mỗi phần tử (x1, x2, x3) của K với một phần tử (x ,x ,x )& & &1 2 3 của K& ánh xạ này là tuyến tính Giả sử (x1, x2, x3) , (y1, y2, y3) là hai phần tử của K và (x ,x ,x )& &1 2 &3 ; (y ,y ,y )& & &1 2 3 là ảnh tơng ứng của ánh xạ ψ Ký hiệu βL L ,L 1, 2 3, βL L ,L & 1, 2 & & 3

là các dạng song tuyến tính tơng ứng của bộ ba (L1, L2, L3) và ( L&1, L&2, L&3) xác định:

βL L ,L 1, 2 3 (((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = Ω (x1, y2) = Ω& (x ,y& & ) 1 2

= βL L ,L & 1, & 2 & 3

((x ,x ,x )& & &1 2 3 ,(y ,y ,y )& &1 2 &3 ) Vậy thì sv (L1, L2, L3) = sW& ( L&1, L&2, L&3)

1.3.6 Hệ quả Giả sử (L1, L2, L3) là bộ ba các không gian con Lagrăng của không gian vectơ symplectic (V, Ω) có chiều 2n Đặt

k12 = dim (L1 ∩ L2) k23 = dim (L2∩ L3) k31 = dim (L3∩ L1)

k = Sup (k12, k23, k31)

Ký số s(L1, L2, L3) là số nguyên nằm trong khoảng - (n - k) đến n - k

Chứng minh Ta có thể giả thiết k = dim (L1 ∩ L2) , vậy W = L1 + L2 là không gian con đối đẳng hớng có chiều 2n - k chứa L1 và L2.Trực giao của

nó WΩ = L1 ∩ L2, do đó không gian thơng W& = W/WΩ có chiều 2n - k - k =

Vậy sW& ( L&1, L&2, L&3) là số nguyên nằm giữa - (n - k) và n - k

1.3.7 Nhận xét Giả sử (L1, L2, L3) là bộ ba các không gian con Lagrăng của không gian vectơ symplectic (V, Ω) và g là một phần tử của nhóm symplectic Sp(V, Ω) (tập tất cả các đẳng cấu symplectic từ V → V) ta có:

s(gL1, gL2, gL3) = s(L1, L2, L3)

Chứng minh.Trớc hết do (L1, L2, L3) là các không gian con Lagrăng của không gian symplectic (V, Ω) và g ∈ nhóm symplectic Sp(V, Ω) nên (gL1,

gL2, gL3) cũng là các không gian con Lagrăng của không gian symplectic

Ta có s(L1, L2, L3) là ký số của dạng toàn phơng QL L ,L 1, 2 3 xác định trên không gian vectơ K xác định

QL L ,L 1, 2 3 ((x1, x2, x3) = Ω (x1, x2))

và s(gL1, gL2, gL3) là ký số của dạng toàn phơng QgL gL ,gL 1, 2 3 xác định trên

không gian (gL1 gL2 gL3) bởi QgL gL ,gL 1, 2 3(g(x1), g(x2), g(x3) = Ω g(x1), g(x2)) Vậy để chứng minh s(gL1, gL2, gL3) = s(L1, L2, L3) ta chỉ cần chứng minh

Ω(x1, x2) = Ω (g(x1), g(x2)) Điều này hiển nhiên do g ∈ Sp(V, Ω)

⇒ g*Ω =Ω

⇒ g*Ω (x1, x2) = Ω(x1, x2) Hay Ω(g(x1), g(x2)) = Ω (x1, x2)