Về đa tạp con trắc địa hoàn toàn

Đường trắc địa trên đa tạp Riemann là một vấn đề quan trọng của hình học Riemann.. Nghiên cứu một số khái niệm, tính chất của đa tạp con trắc địa hoàn toàn để từ đó thấy được mối quan hệ

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

LỜI MỞ ĐẦU

Hình học Riemann ra đời từ nửa thế kỷ 19 và nó đã có nhiều ứng dụng trong cơ học, vật lí học và các ngành khác nhau của kỹ thuật Đường trắc địa trên đa tạp Riemann là một vấn đề quan trọng của hình học Riemann Nghiên cứu một số khái niệm, tính chất của đa tạp con trắc địa hoàn toàn để từ đó thấy được mối quan hệ giữa hình học của đa tạp và hình học của đa tạp con trắc địa hoàn toàn

Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu về đa tạp con trắc địa hoàn toàn Trên

cơ sở kết quả của một số nhà toán học cùng với sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Duy Bình chúng tôi chọn đề tài luận văn là: " Về đa tạp con trắc địa hoàn toàn".

Nội dung chính của luận văn chia làm hai chương

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản về đa tạp Riemann, khái niệm liên thông tuyến tính, liên thông Lêvi - Civita trên đa tạp Riemann, đạo hàm hiệp biến của trường vectơ dọc cung và khái niệm về tenxơ độ cong, độ cong tiết diện; giới thiệu một số khái niệm và tính chất về phép chuyển dịch song song, đường trắc địa trên đa tạp Riemann

Chương 2: Đa tạp con trắc địa hoàn toàn

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất cơ bản của đường trắc địa trên đa tạp con Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất về đa tạp con trắc địa hoàn toàn, từ đó đưa ra mối liên hệ giữa các độ cong trên hình học của đa tạp và hình học của đa tạp con trăc địa hoàn toàn

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Sau Đại học Trường

Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS.Nguyễn Duy Bình Nhân

dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, cảm ơn các thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn các vấn đề có liên quan tới đề tài nghiên cứu Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo làm việc tại Khoa Sau Đại học, các đồng nghiệp, bạn bề và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành luận văn này

Vinh, tháng 12 năm 2010 Nguyễn Thị An

Chương 1: Kiến thức cơ sở

1 Đa tạp Riemann

Ta kí hiệu:

M là đa tạp khả vi thực với cơ sở đếm được và với hệ bản đồ { U α ; ϕ α }α∈I

TpM: Không gian các vectơ tiếp xúc với M tại p

1 gp là tích vô hướng trong TpM

2 g phụ thuộc khả vi vào p (tức là: g(X,Y)(p) = gp(Xp ,Yp) và g là hàm khả vi theo p)

Đa tạp (M,g) được gọi là đa tạp Riemann

1.2 Liên thông Lêvi - Civita trên đa tạp Riemann

1) ∇X X 1+ 2Y= ∇X 1Y+ ∇X 2Y; X ,X ,Y B M∀ 1 2 ∈ ( )

2) ∇ϕXY= ϕ∇XY; X,Y B M ,∀ ∈ ( ) ∀ϕ∈F M( )

3) ∇X(Y1+Y2) = ∇X 1Y + ∇XY ; X,Y ,Y2 ∀ 1 2∈B M( )

4) ∇ ϕX( )Y = ϕ∇XY X+ [ ]ϕ Y; X,Y B M ,∀ ∈ ( ) ∀ϕ∈F M( )

1) Trường tenxơ xoắn T = 0

( nghĩa là T X,Y( ) = ∇XY− ∇YX−[X,Y] =0 với ∀X,Y B M∈ ( ) )

2) Với mọi trường vectơ X, Y, Z trên M thì ∇ =g 0

Bây giờ ta kiểm tra hai điều kiện của liên thông Lêvi -Civita.

+ Sự tồn tại của liên thông Levi-sivita trên M

Giả sử X,Y ∈B(M) ta xác định ∇XY bởi phương trình sau

là liên thông tuyến tính

Ta chứng minh ∇ là liên thông Levi-sivita trên M

Đặt T X,Y( ) = ∇XY− ∇YX−[X,Y]

Do công thức (1) ta dễ dàng kiểm tra được T X,Y , Z( ) = ∀ ∈0, Z B M( ) Suy ra, T(X,Y) =0

Bây giờ, ta chứng minh ∇ =g 0.

Thật vậy, với ∀X,Y, Z B M∈ ( ) ta có

∇ + ∇ =  ( suy ra từ (1)) (2)

hay ∇ =g 0.

Vậy ∇ là liên thông Levi-sivita trên M

+ Chứng minh tính duy nhất của ∇

Để chứng minh tính duy nhất của ∇ ta chứng tỏ rằng nếu ∇XYthỏa mãn điều kiện T(X,Y)=0 và ∇ =g 0 thì ∇ thỏa mãn phương trình (1).

Thật vậy với ∀X,Y, Z B M∈ ( ) ta có

Đây chính là đẳng thức (1)

Vậy tính duy nhất được chứng minh

Giả sử (M, g) là đa tạp con n-chiều của đa tạp Riemann m-chiều (M , g)

Kí hiệu : ∇ , ∇ tương ứng là liên thông Lêvi – Civita của M và M Ta thường kí hiệu tích vô hướng < , > thay cho mêtric g và g

Giả sử X, Y là các trường vectơ trên M Với mỗi p ∈ M ⊂M thì TpM,

(T p M)⊥ ⊂T p M , trong đó (T p M)⊥ là phần bù vuông góc của TpM

Ta kí hiệu : TM = T M

M p p



∈ ; NM = ∈(T M)⊥

M p p

Khi đó với ∀X Y, ∈B M( ) thì ( ) ( )N

X

T X

X Y = ∇ Y + ∇ Y

∇ (1) Trong đó ( )T

X Y

∇ là thành phần tiếp xúc và ( )N

X Y

∇ là thành phần pháp dạng

∇ được gọi là dạng cơ bản thứ 2 của M

Nhận xét : II là dạng song tuyến tính đối xứng

1.4 Đạo hàm của trường vectơ dọc một đường cong

1.4.1 Định nghĩa

Cho ∇ là liên thông tuyến tính trên đa tạp M và ρ: t  ρ(t) là đường

cong trên M Đạo hàm (hiệp biến) dọc ρ, kí hiệu:

Y t

dt

DX

t )

( '

X

dt

d , = ∇ , + ,∇

Khi đó: X' = DX dt gọi là đạo hàm của X dọc ρ

1.4.2 Nhận xét: Đạo hàm hiệp biến của trường vectơ dọc đường cong là xác

định duy nhất

1.5 Chuyển dịch song song

1.5.1 Định nghĩa

Giả sử Γ là đường cong trên M cho bởi tham số hoá ρ: J → M, t 

ρ(t) Trường vectơ X dọc Γ được gọi là trường vectơ song song dọc Γ nếu

và chỉ nếu DX dt = 0

1.5.2 Mệnh đề

Giả sử I = (a, b) là khoảng mở trong R và ρ: I → M là đường cong khả

vi lớp C1 Khi đó với mỗi t0 ∈ I và X0 ∈T (t ) M

ρ'(t) = )

1

) )(

t dt

t

j j

t j j

dt

DX t X

t

1

) ) ' ( )( ) )

) )(

( )

( ' )

ij i n

k

j n

j i

X t t

) )(

( )

( ' )

ij i n

k X v X

2 Giả sử X, Ylà các trường vectơ song song dọc ρ(t) Khi đó αX + βY cũng

là trường vectơ song song dọc ρ(t); ∀ α , β ∈R

DX g Y X g dt

d

, ,

) , (

Do X, Y là các trường vectơ song song dọc ρ nên:

0 ) , (

DY

dt

DX

,hay g(X,Y)(t) = c là hàm hằng

2 Ta có: ( + ) = + =0

dt

DY dt

DX dt

Y X

Khi đó, ta nói ϕlà phép chuyển dịch song song dọc Γ từ A đến B.

1.7 Độ cong trên đa tạp Riemann

1.7.1 Định nghĩa

Giả sử (M, g) là đa tạp Riemann với liên thông Lêvi - Civita ∇ Ánh xạ

R : B M( ) ( ) ( )×B M ×B M →B M( )

(X,Y, Z) a R ZXY = ∇ ∇X YZ− ∇ ∇Y XZ− ∇[X,Y]Zđược gọi là tenxơ cong của đa tạp M

1.7.2 Định nghĩa

Giả sử p là một điểm của đa tạp Riemann (M,g), σp là một 2-phẳng trong

TpM (không gian vectơ con 2 chiều của TpM), lấy một cơ sở ( α , β ) của σp

thì độ cong tiết diện K(σp) là số:

2

, ,

,

), , , ( )

(

β α β β α α

α β β α σ

−

K p

K(σp) không phụ thuộc vào việc chọn cở sở ( α , β ) của σp

2 Đường trắc địa trên đa tạp Riemann

1 ρ là cung trắc địa thì ρ'(t) là trường vectơ song song dọc Γ

2 ρ là cung trắc địa thì ρ là hằng hoặc ρ là một dìm( tức là ρ ' (t) ≠ 0 ; ∀t)

Thật vậy, giả sử ρ'(t0) = 0, do ρ' song song dọc Γ nên ρ ' (t) = 0 ; ∀t Vậy

nên ρ(t) là hàm hằng.

2.3 Nhận xét:

1 Trong hệ toạ độ địa phương (x1, x2, ,xn) của M thì ρ: J → M, t  ρ(t)

được gọi là đường trắc địa nếu và chỉ nếu:

) (

; , 1 , 0

1

,

2

2

t x x n k dt

dx dt

dx dt

x

d

i i j

i n

0

i

i i

dt

x

d

n j j j

0

1 1

1 2

2

=

∇ +

i i

n

i

dt j dx dt

dx U

1 , 1

2

= Γ +

k j j n

i

i i

dx U

dt

x

d

0 )

(

1 ,

2

= Γ

⋅ +

=

k ij n

j

j i n

k

dt

dx dt

dx dt

x

d

n k dt

dx dt

dx dt

x

ij j n

j

i

1 ,

2

=

= Γ +

Từ đó, khi ta nói cho Γ là đường trắc địa trên M, ta luôn hiểu rằng ta chỉ xét

Γ với một lớp các tham số hoá tương đương sao cho phép đổi tham số có dạng λ = at + b, a, b ∈ R

2 Cho M = Rn, ∇ = D Khi đó Γ là đường trắc địa nếu và chỉ nếu Γ là đường thẳng

a k k

⇔ ρ

) )(

( '

n

j

t t j

dt

X t D dt

X t D

dt

D

1

) 1

)

) ( ' (

j t

( ' ) ( ' )

k ij i j

t t

ij i n

+ ∑

=

ρ ρ

ρ

Đây là hệ phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu q0 = x(p) và a0 = (dx)p(v) Nên tồn tại khoảng mở I = (− ε , ε) và nghiệm duy nhất

(ρ1, ρ2, , ρn) thoả mãn điều kiện đầu: (ρ 1 ( 0 ), ρ 2 ( 0 ), , ρn( 0 ))=q0

(ρ ' 1 ( 0 ), ρ ' 2 ( 0 ), , ρ 'n( 0 ))=a0

2.5 Mệnh đề

Giả sử v ∈ TpM là một vectơ tiếp xúc tại p ∈ M và c ∈ R là một hằng số bất

kì Đường trắc địa γcv được xác định tại t nếu đường trắc địa γv xác định tại

t c D dt

Chương 2:

ĐA TẠP CON TRẮC ĐỊA HOÀN TOÀN

Cho đa tạp M ⊂M Gọi ∇ , ∇ là các liên thông Lêvi -Civita trên M , M ;

D

D, là đạo hàm của trường vectơ dọc một đường cong tương ứng với ∇ , ∇

Ta có:

) (

X ∈ χ

∀ thì Y ( Y) ( Y)N X Y II(X,Y)

X T

& & &

1 Đường trắc địa trên đa tạp con

1.1 Mệnh đề

Cho Y là một trường vectơ tiếp xúc với M trên một đường cong α trong M

M

⊂ Khi đó:

Y. =Y'+II(α',Y) hay II( ' ,Y)

ds

DY ds

Y D

α +

trong đó: Y⋅ ∈Tαt)M; α ' ∈Tαt)M ; Y' là thành phần tiếp xúc với M; II( α ' ,Y) là

thành phần vuông góc với M

Chứng minh

Gọi ∇ , ∇ là liên thông Lêvi-Civita trên M và M

Ta giả thiết đường α nằm trong tập mở tương ứng với hệ toạ độ địa phương (x1,…., xn) và viết i

i

Y

Y =∑ ∂ ;

i i

Khi xét với trường vectơ tiếp xúc α ' ta có hệ quả sau

Theo mệnh đề trên thì α trực giao với M nghĩa là trường vectơ gia tốc

của M là 0 tức là α ''=0 Từ đó ta có mối quan hệ giữa đường trắc địa trên đa tạp và trên đa tạp con

1.4 Mệnh đề

Mỗi đường trắc địa trên đa tạp M là đường trắc địa trên đa tạp M ⊂M Điều ngược lại không đúng

Chứng minh

Giả sử M ⊂M ; α là đường trắc địa trên đa tạp M ⇒ α = 0.

Từ α =α ''+II(α ,'α')⇒α ''=0 hay α là đường trắc địa trên đa tạp M

Ta sẽ lấy ví dụ để chứng minh điều ngược lại mỗi đường trắc địa trên đa tạp

M là không là đường trắc địa trên đa tạp M

Thật vậy xét hình trụ T = {( , , ) 3 / 12 22 1}

3 2

Xét đường cong ρ với tham số hoá tự nhiên mà ảnh của nó nằm trên (C) ⇒

trường vectơ vận tốc v = ρ ' ta cần chứng minh ρ "(t) vuông góc với mặt trụ tại ρ(t).

là đường trắc địa trong R3

2 Đa tạp con trắc địa hoàn toàn

2.1 Định nghĩa

Một đa tạp con Riemann M ⊂M là đa tạp con trắc địa hoàn toàn nếu dạng

cơ bản thứ hai của nó bằng 0

2.2 Ví dụ

Cho M là đa tạp khả song m chiều với trường mục tiêu trực chuẩn

{ X1, X2, , Xm } Giả sử N là đa tạp con của M sao cho { X1, X2, , Xn }

là trường mục tiêu trực chuẩn trên N (m > n)

1

X :

) (

X M Y

m 1 i

X Y

i 1

=

n 1 i i m

1 n i

i 1

X X

⇒ II(X, Y) = 0 hay N là đa tạp con trắc địa hoàn toàn trên M

Ví dụ như trong không gian Ơclit phẳng n chiều Rn ⊂ Rm (n < m):

x1 , 2 , , là trường mục tiêu trên Rm;

x1, 2 , , là trường mục tiêu trên Rn;

i i Y

Ta sẽ nghiên cứu đa tạp con trắc địa hoàn toàn của đa tạp tích

Cho M, N là các đa tạp khả vi có số chiều là m ,n;

A = { (Ui,ϕi) },i∈I là một Atlas của M;

B = { (Vj, ηj) }, j∈J là một Atlas của N;

T = {(Ui×V j, ϕi× ηj)}, i ∈ I, j ∈ J là một Atlas của M ×N

Giả sử g , M g N lần lượt là các mêtric Riemann tương ứng của M, N Giả sử

δ

π , là các phép chiếu lên M, N Xét các ánh xạ: : 1 ( ) 1 ( )

M N

M× → Ω Ω

∗

π

g M  π ∗ (g M)(v) =g M(dπ (v))

) ( )

(

N N

Nếu ∀X,Y∈ χ (M), ∀V, W ∈ χ (N) thì:

i) ∇X%Y = ∇±X Y

ii) W± ² W

V V

Giả sử các đường cong α (t), β (t) tương ứng trên M, N là các đường trắc

địa ta cần chứng minh đường cong γ( )t =(α( ) ( )t , β t ) trên đa tạp M×N là

đường trắc địa tức là chứng minh ∇γ'γ ' 0 = .

0 (t))

Tương tự ta có: D(0,β')( 0 , β ' ) = 0 (do β(t) là đường trắc địa trên đa tạp N).

Mặt khác, với B là thác triển của β' t( ) trên N và B~ là cái nâng của B Khi

đó B~ là thác triển của (0, β' t( )).

Vì D(α,'0)( 0 , β ' ) = ∇A~B~( α (t)) = 0 và D(0,β')( α ' , 0 ) = ∇B~A~( β (t)) = 0

Nên ∇γ'γ ' 0 = ⇒γ( )t là đường trắc địa trên M×N

Ngược lại, giả sử γ( )t =(α( ) ( )t , β t ) trên đa tạp M ×N là đường trắc địa ta cần chứng minh các đường cong α (t), β (t) tương ứng trên M, N là các đường

trắc địa

Từ (*) và D(α,'0)( 0 , β ' ) = ∇ ~A B~( α (t)) = 0; D(0,β')( α ' , 0 ) = ∇B~A~( β (t)) = 0;

)) ( (

' 0

' 0(0, ') 0

D D

γ

β β

γ

ββ

2.8 Mệnh đề.

Mỗi đa tạp con của M×N có dạng M×{ }p ,p∈N hay { }q ×N,q∈M là một

đa tạp con trắc địa hoàn toàn của M ×N

Chứng minh:

Xét α(t) là đường trắc địa trên M; β (t) = p là đường trắc địa trên N.Theo

mệnh đề trên ta có: γ( )t =(α( ) ( )t , β t )=(α (t),p)là trắc địa trên đa tạp M×N

Ta có: M ×{ }p ⊂M ×N, ∀p∈N

Xét phép nhúng f: M → M ×{ }p

α(t)  ( α (t),p)

⇒ M ×{ }p là đa tạp con của M ×N

Suy ra mỗi đường trắc địa trên đa tạp con M×{ }p cũng là đường trắc địa trên

đa tạp mẹ M×N nên M ×{ }p là đa tạp con trắc địa hoàn toàn của M ×N Tương tự ta có: { }q ×N,q∈M là đa tạp con trắc địa hoàn toàn của M ×N

2.9 Mệnh đề [xem 7]

Cho M ⊂M Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

(1) M là trắc địa hoàn toàn trong M

(2) Mỗi đường trắc địa của M cũng là đường trắc địa trong M

(3) Nếu v ∈T p (M) là tiếp xúc với M và γv là đường trắc địa trong M xác định bới vectơ v thì một phần đầu của γv nằm trong M.

(4) Nếu α là đường cong nằm trên M và v∈Tα(0)M thì phép chuyển dịch song song của v dọc α trong M và trong M là như nhau

(3) ⇒ (1):

Với mỗi v ∈T p (M), v tiếp xúc với M Ta có: II(v,v) = 0 Khi đó:

II(v + w, v + w) = II(v, v) + 2II(v, w) + II(w, w)

⇒ II(v,w) = 0

Suy ra M trắc địa hoàn toàn trong M

(1) ⇒ (4):

Giả sử V là trường vectơ song song dọc α đối với đa tạp M : V(0) = v, với

V là trường vectơ tiếp xúc với M

Do M là đa tạp con trắc địa hoàn toàn trong M nên II(α' V, ) = 0

Mà V là trường vectơ song song dọc α đối với đa tạp M nên ta có: V' =

Vậy V là là trường vectơ song song dọc α đối với đa tạp M hay phép

chuyển dịch song song của V dọc α trong M và trong M là như nhau

(4) ⇒ (2): Giả sử γ là đường trắc địa trong M ⇒ ' = 0

dt

Dγ ⇒γ' là trường

vectơ song song trong M

Theo (4) ta có: γ ' là trường vectơ song song trong M suy ra γ là đường trắc

địa trong M

2.10 Mệnh đề [xem 1]

Cho M là đa tạp con của đa tạp Riemann M~ Khi đó M là đa tạp con trắc địa hoàn toàn khi và chỉ khi tenxơ cơ bản thứ hai của nó bằng không.

Chứng minh:

Gọi ∇ , ∇~ là liên thông Lêvi-Civita trên M và M~

Giả sử M là đa tạp con hoàn toàn trắc địa của M~ , c là đường trắc địa của

M Khi đó ∇c'c' = 0và ∇~c'c' = 0 do c cũng là đường trắc địa của M~ Ta chứng minh SN = 0 với N là trường vectơ pháp tuyến tuỳ ý dọc M Nhắc lại rằng, SN(X) = ( )T

xN

∇~ với X∈ χ(M).Lấy vectơ X0 ∈TpM, xét đường trắc địa c trên M sao cho c(0) = p, c'(0)

= X0 Ta có c' (t),N.c(t) = 0 , ∀t

0

~,','

~,'

⇒ c c N c c N c c N (1)

0 '

(∇~c'c') (= ∇~c'c')T = ∇c'c' = 0 ,nghĩa là c cũng là đường trắc địa trên M~ , hay M

là đap tạp con trắc địa hoàn toàn của M~

2.11 Định lí [xem 7]

Cho M, N là đầy đủ, liên thông và là đa tạp con trắc địa hoàn toàn của M

Nếu có một điểm p∈M ∩N mà tại đó ta có: Tp(M) = Tp(N) thì M = N

Chứng minh:

Ta chỉ cần chứng minh rằng nếu M là liên thông, N là đầy đủ thì M ⊂ N

Cho δ là một đoạn trắc địa trong M chạy từ p đến q Khi đó δ là một đường trắc địa trong M và do giả thiết trên không gian tiếp xúc nên δ ' ( 0 ) tiếp xúc

với N Do đó δ là đường trắc địa của N miễn là nó ở trong N

Mặt khác do N đầy đủ nên đoạn trắc địa trong N bao giờ cũng thác triển được thành một đường trắc địa trong N hay δ nằm hoàn toàn trong N

Ta có: M chuyển dịch song song của Tp(M) = Tp(N) dọc δ nên Tq(M) =

Thật vậy do M liên thông nên với p,q bất kì trong M có 1 đường cong nối p

và q Ta chia đường cong pq thành những đoạn đường cong đủ nhỏ pq1, q1q2,

…, qnq

Mặt khác trên một lân cận đủ nhỏ tồn tại một đường trắc địa ρ 1 trong M nối p và q1 do đó ρ 1 là đoạn trắc địa trong N và T q1(M) =T q1(N) ⇒q1 ∈N

Lập luận tương tự ta có q∈N⇒M ⊂N

2.12 Mối quan hệ giữa hình học của đa tạp và hình học của đa tạp con trắc địa hoàn toàn

Hình học của đa tạp con trắc địa hoàn toàn là trường hợp đặc biệt của hình học của đa tạp nên chúng có một số tính chất chung cụ thể như quan hệ giữa các độ cong trên hình học đa tạp và hình học của đa tạp con trắc địa hoàn toàn

2.12.1 Định lí [xem 1]

Cho M là đa tạp con của M ; R và R lần lượt là tenxơ độ cong của M và

M ; II là dạng cơ bản thứ hai Khi đó, với ∀X,Y, Z, W B M∈ ( ) ta có

XY XY