Về các điểm rốn của đa tạp con trong không gian lorentz minkowski

Với mặt trongkhông gian R3 và siêu mặt trong không gian Rn ánh xạ Weingarten luôn làmột công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất hình học của mặt và siêu mặt.. Trên cơ sở kết quả của một

MỞ ĐẦU

Việc nghiên cứu các tính chất của mặt là một trong những vấn đề cơ bảncủa hình học vi phân Chúng ta đã biết ánh xạ Weingarten trong hình học viphân cổ điển là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng Nó đưa đến các khái niệm về

độ cong chính ,độ cong trung bình,độ cong Gauss, điểm rốn Với mặt trongkhông gian R3 và siêu mặt trong không gian Rn ánh xạ Weingarten luôn làmột công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất hình học của mặt và siêu mặt

Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu về điểm rốn trong không gianLorentz-Minkowski Trên cơ sở kết quả của một số nhà toán học chúng tôitìm hiểu về điểm rốn của mặt trong không gian R3 từ đó tìm kiếm các kết quảtrong 1

Với những lý do trên được sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Duy Bình chúng

không gian Lorentz - Minkowski”

Nội dung chính của luận văn chia làm hai chương

Chương I Giới thiệu một số khái niệm cơ bản về không gian Minkowski , khái niệm và các tính chất của liên thông tuyến tính trên đa tạpcon trong không gian giả Riemann là cơ sở cho việc xây dựng lý thuyết trongchương II

Lorentz-Chương II Bắt đầu từ việc xây dựng ánh xạ Weingarten trong R3 ,tìmhiểu các kết quả quen thuộc về điểm rốn trongR3, từ đó kiếm tìm các kết quảtương tự trong 1

n

mục 3 Trong mục 2 chúng tôi đưa ra khái niệm điểm rốn của siêu mặt tựa

n

rốn và đi tìm điều kiện cần và đủ để một siêu mặt là rốn hoàn toàn Mục 3trước hết chúng tôi xây dựng khái niệm điểm rốn thông qua ánh xạWeingarten trên đa tạp con trong không gian 1

n

R Thông qua tính chất của liênthông tuyến tính trên đa tạp con trong không gian giả Riemann để tìm kiếmđiều kiện cần và đủ để một mặt là  -rốn

Tuy đã cố gắng nhiều, song do hạn chế về mặt thời gian nên luận vănkhông tránh khỏi những sai sót Rất mong quý thầy cô và các bạn quan tâmgóp ý.Tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 11 năm 2008

Nguyễn Thị Vân Anh

Chương I KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm cơ bản củakhông gian Lorentz - Minkowski và một số tính chất cơ bản của liên thôngtuyến tính trên đa tạp con trong đa tạp giả Riemann

1 Không gian Lorentz-Minkowski

Trong phần này ,chúng ta xét không gian Rncùng với một dạng songtuyến tính không suy biến với chỉ số quán tính (1, n - 1), nó được gọi là khônggian Lorentz- Minkowski , ký hiệu là 1

1.1 Không gian Lorentz-Minkowski

Cho Rn+1 = {(x0,x1, ,xn} /xiR,i=0,1, ,n} là không gian véctơ

 + x được gọi là véctơ tựa không gian nếu <x,x> > 0

  x được gọi là véctơ tựa ánh sáng nếu <x,x> = 0

  x được gọi là véctơ tựa thời gian nếu <x,x> < 0

Hai véctơ x và y được gọi là trực giao với nhau nếu <x,y> = 0

Nhận xét 1.1.

 i Hai véctơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính thì trực giao với nhau

 ii Hệ gồm hai loại véctơ khác loại thì độc lập tuyến tính với nhau

Thật vậy

 i Giả sử a, b R 1

1



nhau  λ R* sao cho a =λb Ta có

<a,b> = <λb, a> = λ<b,b> =λ.0 = 0 hay a, b giả trực giao với nhau

 ii Với a,b,c tương ứng là các véctơ tựa không gian, tựa thời gian và tựa ánhsáng

Giả sử {a,b} phụ thuộc tuyến tính  λ  R* sao cho a = λb Ta có

0 < <a,a> = <b,b> = 2 <b,b> <0 ( vô lý ) do đó {a,b} độc lậptuyến tính

Tương tự ta cũng có các hệ {b,c}, {c,a} là độc lập tuyến tính

 iii Từ giả thiết ta có

Từ (1) ta có b00 nên ta có a2

2 0

a b + a b + + a b

b 

2 0

b - cb

n ta định nghĩa tích có hướng của n véctơ x1, x2, , xn

là một véctơ, kí hiệu x1  x2   xn và được xác định

 ii x1 x2 . xn trực giao với mọi xi,  i=1,2, ,n

1.3 Các loại siêu phẳng trong không gian Lorentz -Minkowski

  π gọi là m - phẳng tựa không gian nếu không gian chỉ phương của π

chỉ chứa các véc tơ tựa không gian hoặc véc tơ không

  π gọi là m- phẳng tựa thời gian nếu không gian chỉ phương của π có

chứa ít nhất một véctơ tựa thời gian

  π gọi là m- phẳng tựa ánh sáng nếu không gian chỉ phương của π chứa

ít nhất một véctơ tựa ánh sáng và không chứa véc tơ tựa thời gian nào

Nhận xét 1.2

1 / <x - a, x- a> = 0} được gọi là nón ánh sáng với đỉnh a

 ii Các loại n-không gian

n-không gian hyperbolic, kí hiệu n

1 bán kính r  R+, ký hiệu n

+

H (a, r) vàđược xác định

Hn

+(a,r) = { x  R n + 1

1 / <x - a,x - a> = -r, x0 0 } n- không gian de Sitter tâm a  R1n + 1, bán kính r R +, ký hiệu Sn

1và được xácđịnh

Tập LC*

= {x = (x0, x1, , xn)  LC0/ x0 > 0} được gọi là nón ánh sángtương lai tại gốc 0

Với x = (x0, x1, , xn} là một véctơ tựa ánh sáng thì x0  0 Thật vậy, giả sử

2.1.Định nghĩa Cho χM M  là tập các trường véc tơ tiếp xúc khả vi trên đatạp M Ánh xạ : χM(M) × χM(M)  χM M 

X,Y   X Y

được gọi là liên thông tuyến tính ( đạo hàm hiệp biến) trên M nếu  thõa mãncác điều kiện

(1) x(Y + Z) = xY + xZ  X,Y,Z χM M  

(2) X + YZ = XZ + YZ  X,Y,Z χM M  

(3) fXY = fXY với   f F(M)  X,Y χM M   

(4) X(fY) = fXY + (Xf)Y  f F (M)  X,Y χM M   

2.2 Định nghĩa Cho P là một đa tạp con trong đa tạp giả Riemann M , j là phép

pháp T M 

mà cụ thể là p trường véctơ pháp khả vi sao cho chúng độc lậptuyến tính tại mỗi điểm trên M Hơn nữa có thể giả thiết chúng là trực chuẩntại mỗi điểm

Giả sử X và Y là các trường véctơ trên M Bởi vì (  X Y)x được xác địnhvới mỗi x M  nên chúng ta ký hiệu (  X Y) x là thành phần tiếp xúc của nó và

x

α (X, Y)là thành phần pháp dạng của nó, tức

X x X x x

ở đây (XY)xT (M) , α (X,Y) x x  T Mx 

Trên đây (XY)x được đưa vào là ký hiệu cho thành phần tiếp xúc, mụcđích của chúng ta là chứng minh nó là vi phân hiệp biến đối với liên thônggiả Riemann trên M

Dễ dàng kiểm tra được rằng trường véctơ xY ở mỗi điểm x M  đượcxác định bởi (  X Y) x là khả vi và α(X, Y) là trường véctơ pháp khả vi

2.4 Mệnh đề (Xem [8] )  X Y là vi phân hiệp biến đối với liên thông giả Riemann trong M.

Chứng minh:

Chúng ta kiểm tra (1) → (4) của định nghĩa 2.1 chương I

(1) → (3) là hiển nhiên từ các tính chất của  trên N và phép chiếutuyến tính T N x   T (M) x

Để kiểm tra tính chất (4) chúng ta giả sử f là hàm khả vi trên M khi đó

Để chứng minh b) chúng ta bắt đầu từ   suy rag 0

X.g(Y, Z) = g(XY, Z) + g(Y, XZ) trên M

đối với mọi trường véctơ X,Y,Z trên M Đương nhiên , ta có

g X Y, Z = g XY + α X, Y , Z = g   XY, Z

bởi vì α X, Y  là pháp đối với M Bằng cách tương tự, ta có

g(Y,  Z) = g(Y,  Z)Bởi vậy X.g(X, Y) = g(xY, Z) + g(Y, xZ)

điều này có nghĩa g = 0 Vậy mệnh đề 2.1 được chứng minh

Bây giờ ta chứng minh các tính chất cơ bản của thành phần pháp dạng α(X, Y)

ký hiệuχM M là tập tất cả các trường véctơ pháp khả vi đối với M.Đó là khônggian véctơ thực và là môđun trên đại số F(M) các hàm khả vi trên M

Chứng minh : Tính đối xứng của α được chứng minh suy từ phép chứng

minh mệnh đề 2.1 Tính cộng tính theo X hay Y (khi cố định cái kia) là hiểnnhiên

Đối với mọi f  F(M ) chúng ta có

Do tính đối xứng ta có

α(X, fY) = f.α(X, Y)điều này chứng minh tính song tuyến tính trên F(M) củaα Phần còn lại củamệnh đề 2.2 tương tự như trong mệnh đề 2.1 chương I

với M tại x Trong trường hợp khi M là siêu mặt được nhúng vào N, ta lấytrường véc tơ pháp tuyến đơn vị ν trong lân cận U của điểm x 0  M Đối vớicác trường véc tơ X,Y bất kỳ trên U có thể viết

i

i = 1

h (X, Y)ν



bằng cách này chúng ta nhận được p dạng cơ bản theo nghĩa cổ điển.

Chương II

ĐIỂM RỐN CỦA ĐA TẠP CON TRONG KHÔNG GIAN

LORENTZ - MINKOWSKI

Trong chương này từ các kết quả quen thuộc về điểm rốn trong

n

liên thông tuyến tính trên đa tạp con trong không gian giả Riemann

n

1 Điểm rốn của mặt trong không gian R3

1.1 Định nghĩa S là một đa tạp hai chiều trong E3 (thường gọi là mặt

trên S Vì với mọi α T S, D n.n p α = 0(do n2 = 1) nên D n T Sα  p ; do đó có ánh xạ

p

h : T S p  T Sp p

α  h (α) = -D nα gọi là ánh xạ Weingarten tại p Cụ thể là , lấy cung ρ : J S, ,

Rõ ràng hp là một tự đồng cấu (tuyến tính) của T S Khi p thay đổi,p

1.2 Mệnh đề Với mọi p S , ánh xạ h p là một tự đồng cấu đối xứng của T S p , tức là với mọi   ,  T S h p , ( ) ( ).p     h p 

p u v u p v

h (R ).R = R h (R )

Do {Ru, Rv} tại mỗi p = r(u,v) là cơ sở của TpS nên đẳng thức đó chứng

tỏ hp là một tự đồng cấu đối xứng

1.3 Định nghĩa Mỗi giá trị riêng của hp gọi là một độ cong chính tại p

tại p của M

nếu hp có một giá trị riêng (kép, thực)

1.4 Mệnh đề Mọi điểm trên mặt cầu bán kính R là điểm rốn.

Chứng minh:

“hướng ra ngoài” của S; với α T S - 0 p   , viết α) là véctơ buộc tại p mà = ρ'(t0)

R

1.5 Mệnh đề (Xem [1]) Đa tạp hai chiều liên thông (cung) trong E3

mà mọi điểm là điểm rốn thì có độ cong Gauss hằng (không âm).

Chứng minh :

Thực vậy trong một tham số hóa địa phương tuỳ ý

( , )u v  r u v( , ) của mặt, gọi n là trường véctơ pháp tuyến đơn vị củamặt, ta có

Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức thứ nhất đối với v và hai vếcủa đẳng thức thứ hai đối với u, ta được:



2

' v

Vậy có thể có một trong hai trường hợp sau

Thực vậy, trên mỗi tập mở liên thông của S mà có trường véctơ pháptuyến đơn vị n thì ta có Dn = 0 nên n là trường véctơ song song trêntập đó Vậy do S liên thông, nó định hướng được bởi trường véctơ

, lấy cung tham số ρ: [0, 1] → S,t  ρ(t), nối p = ρ(0) với q = ρ(1) và

phận liên thông của một mặt cầu bán kính R Thực vậy, trên mỗi tập mở

liên thông của S mà có trường véctơ pháp tuyến đơn vị n, có thể coi

= R nên mọi ρ(t) thuộc

tham số ρ : 0,11    S,p = ρ (0), q = ρ (1)1 1 , thì có thể chia nhỏ đoạn [0, 1]

ảnh nằm trong một tập mở liên thông của S trên đó có trường véctơpháp tuyến đơn vị như nói trên Từ đó dễ nhận thấy các điểm O cho mỗiđoạn con đó là trùng nhau, và vậy với mọi t 0,1 , ρ (t)   1 thuộc mặt cầutâm O, bán kính R, do đó q thuộc mặt cầu ấy

1.6 Hệ quả ( Xem [1] ) S là một đa tạp hai chiều compắc, liên thông

trong E3 mà mọi điểm là điểm cầu phải là toàn bộ một mặt cầu

2 Điểm rốn của siêu mặt trong không gian 1

1

n

R 2.1 Định nghĩa Cho M là đa tạp con định hướng n-chiều tựa không

xác định bởi S v = -N p v pN được gọi là ánh xạ Weingarten của M tại

2.5 Mệnh đề Mọi điểm trên giả cầu n

2.6 Mệnh đề Cho M là một siêu mặt liên thông trong không gian 1

Chứng minh:

Tồn tại hàm số k sao cho SN = kI ở đây I đồng nhất trên mỗi

không gian tiếp xúc Vì k = 1

n-1vết SN nên hàm số này liên tục.

Lấy Xp T Mp và chọn Yp T Mp sao cho Xp, Yp là độc lập tuyến tính Thác triển các trường véc tơ tiếp xúc X,Y quanh điểm p Ta có

Do p là tuỳ ý và M là liên thông nên k là hằng

Nếu k ≠ 0 thì (thay N bởi –N nếu cần thiết) ta có thể giả sử rằng k > 0

  p

1

f p = p + N

kLấy   T Mp và chọn một đường c: (- a, a) → M với c(0) = ν thì chúng tacó

Nếu N tựa không gian thì pq , pq 

= 12

k > 0 nên M chứa trong

n 1

ν ν

α(u, w), ν(x) = α(w, u), ν(x)

H (u, w) = H (w, u)

Vậy Hν đối xứng

3.2 Định nghĩa Cho M là mặt trơn định hướng nhúng trong 1

phương của trường véctơ trực giao  tại x ,  T là thành phần tiếpxúc

Do H đối xứng nênν

H (X,Y) = ν H (Y,X) hay ν S (X), Y = S Y ,Xν  

Vậy S là tuyến tính tự liên hợp

3.4 Định nghĩa Mỗi giá trị riêng của Sν được gọi là ν- độ cong chính

x M gọi là ν-rốn nếu mọi điểm thuộc M là điểm rốn

S (X(p)) = λ(p) × X(p) (1)ν Giả sử M là k-mặt có tham số hoá địa phương là phép nhúng

n + 1 1

X: U (u , , u ) X(u , ,u )

3.5 Nhận xét M là  - rốn khi và chỉ khi các hệ số của dạng thứ nhất

và thứ hai tỷ lệ tại mọi điểm trên M

3.6 Mệnh đề Cho M là k- mặt nhúng vào H n1 ( ;  r S), n1 ( ; )  r hoặc LC a

Giả sử M có tham số hóa địa phương cho bởi X: U 1n

- α) là véctơ buộc tại p mà

Ta có ν, ν là hằng Lấy đạo hàm riêng theo u i

tiếp xúc của M trong đó e1 là véctơ tựa thời gian và ei, i = 2, n véc tơtựa không gian

Ta có các dạng đối ngẫu

ω = δ(e ) dX, ei i i

và các dạng liên kết ω = δ(e ) de , eij i i j

Chứng minh: Tương tự  1

3.8 Mệnh đề (Xem [ 7 ] ) Giả sử M là đa tạp con tựa không gian

(n-2) chiều được nhúng vào không gian Lorentz-Minkowski n-chiều sao cho nó là  - rốn đối với trường véc tơ pháp có mô đun hằng trên M và với hàm độ cong 

a Nếu  là trường song song thì là hằng

b Giả sử  là trường song song thì=0   là một trường hằng

Chứng minh :

a) ν có thể là tựa không gian, tựa thời gian, tựa ánh sáng

TH1 ν là trường song song tựa thời gian, do ν có mô đun hằng nênν,ν = -1

Nên ω12 = 0 Ngược lại ω12 = 0  ν song song

minh khi   12 0 thì λ hằng

Thật vậy ta có.

1

1

X 1j 1 j

N X

TH2  là trường tựa không gian, chọn e2   Ta lại có sự song songcủa  tương đương với   12 0 Ta có

 ω =021  dλ=0  hằng

TH3  là trường song song tựa ánh sáng

Ta chú ý đến mục tiêu giả trực chuẩn e e trên 1, 2 N(M) và mục tiêutrực chuẩn e3, ,e trên TM như ở trên Ta có , n   0 và đưa rađược   e1 e2 Hơn nữa do  là song song

b) Bây giờ giả sử  - hằng

 tựa không gian, đặt e   và ta có X e1    0, X M trongtrường hợp đặc biệt

1j( )X  X e e1, j  0, X

Ta có:

ω = λω , j = 3, n vì vậy λ = 01j j

Lý luận tương tự cho  tựa thời gian

Nếu  là trường pháp tuyến tựa ánh sáng hằng, ta có thể đặt ν=e +e1 2

Ta có e j(e ± e ) = 0j = 3, ,n1 2 vì thế ω1j + ω2j = 0 nhưng trong trườnghợp này như trên ta có ω + ω = λω ; j = 3, ,n do đó λ = 01j 2j j

Cuối cùng nếu ν là trường song song tựa thời gian ta có

ω = 0, λ = 0  ω = λω = 0, j = 3,n Bởi vậy X 1e , e = 0, X, j = 2, nj 

Và X 1e = 0, X χM M    điều này suy ra e1 hằng

Trường hợp tựa không gian và tựa ánh sáng chứng minh tương tự

3.9 Mệnh đề (Xem [ 7 ] ) Cho M là đa tạp con (n-2) chiều nhúng

trong 1n

  Nếu M là  - rốn đối với trường  song song tựa thời gian thì

M được chứa trong ( n- 1) - không gian hyperbolic khi  có độ cong khác không hoặc siêu phẳng tựa không gian khi  có độ cong triệt tiêu

  Nếu M là  - rốn đối với trường  song song tựa không gian thì M được chứa trong (n-1) - không gian de Sitter khi  có độ cong khác không hoặc M nằm trong một siêu phẳng tựa thời gian trong trường hợp  có độ cong triệt tiêu.

  Nếu M là  - rốn đối với trường  song song tựa ánh sáng thì

M được chứa trong nón ánh sang khi  có độ cong khác không,

hoặc M nằm trong một siêu phẳng tựa ánh sáng trong trường hợp

 có độ cong triệt tiêu.

0

λX(p) - ν(p) = X , p M  Bây giờ trong trường hợp λ ≠ 0 ta đặt

có độ cong triệt tiêu

(+) M là  - rốn đối với trường véctơ song song tựa không gian  khi và chỉ khi M chứa trong (n-1 ) - không gian de Sitter trong trường hợp  có độ cong khác không, hoặc M nằm trong một siêu mặt tựa thời gian trong trường hợp  có độ cong triệt tiêu

(+) M là  - rốn đối với trường véctơ song song tựa ánh sáng khi và chỉ khi M chứa trong một nón ánh sáng trong trường hợp độ cong khác không, hoặc M nằm trong một siêu mặt tựa ánh sáng trong trường hợp  có độ cong triệt tiêu.

KẾT LUẬN

Luận văn gồm ba phần là mở bài, nội dung và kết luận Phần nộidung đựơc trình bày trong hai chương Chương I giới thiệu các kháiniệm cơ bản về không gian Lorentz-Minkowski, một số tính chất của