Về liên thông pháp trên đa tạp con riemann

Với mụcđích nghiên cứu liên thông pháp trên đa tạp con, chúng tôi đưa ra khái niệmliên thông pháp trên đa tạp con, chứng minh các tính chất của liên thôngpháp, các tính chất của độ cong

®inh thÞ thóy nhung

vÒ liªn th«ng ph¸p

trªn ®a t¹p con riemann

LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Vinh - 2010

®inh thÞ thóy nhung

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1 Liên thông Levi-Civita trên đa tạp Riemann 3

2 Đa tạp con Riemann 8

3 Chuyển dịch song song trên đa tạp Riemann 15

Chương 2: LIÊN THÔNG PHÁP DẠNG TRÊN ĐA TẠP CON RIEMANN 20

1 Liên thông pháp dạng trên đa tạp con Riemann 20

2 Chuyển dịch song song pháp 28

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học Riemann ra đời từ nửa thế kỉ 19 và nó đã có nhiều ứng dụngtrong cơ học, vật lí học và các ngành khác nhau của kĩ thuật Lí thuyết liênthông là một trong những vấn đề cơ bản của hình học Riemann Lí thuyếtnày đã được trình bày trong một số tài liệu [1], [2], [3], [5], [6], [7],…

Trên đa tạp Riemann có các loại liên thông như liên thông tuyến tính,liên thông Riemann, liên thông Levi-Civita Nếu cho M là đa tạp con của đatạp Riemann M thì xuất hiện liên thông pháp trên đa tạp con M Với mụcđích nghiên cứu liên thông pháp trên đa tạp con, chúng tôi đưa ra khái niệmliên thông pháp trên đa tạp con, chứng minh các tính chất của liên thôngpháp, các tính chất của độ cong pháp, chuyển dịch song song pháp

Với những lý do trên được sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn

Duy Bình chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “Về liên thông pháp trên đa

tạp con Riemann”.

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 Giới thiệu các khái niệm và tính chất của liên thông Levi-Civita

trên đa tạp Riemann, liên thông Levi-Civita trên đa tạp con Riemann, tenxơ

độ cong, phép chuyển dịch song song Các khái niệm và tính chất đó là cơ

sở cho việc xây dựng lý thuyết trong chương 2

Chương 2 Bắt đầu từ việc xây dựng khái niệm liên thông pháp trên đa tạp

con Riemann từ đó nghiên cứu các tính chất của liên thông pháp trên đa tạpcon Riemann, nghiên cứu một số khái niệm và tính chất liên quan đến liênthông pháp Trong mục 1 chúng tôi đưa ra khái niệm liên thông pháp trên

đa tạp con Riemann từ đó nghiên cứu các tính chất của liên thông pháp trên

đa tạp con Riemann, nghiên cứu trường vectơ song song pháp trên siêu mặt,nghiên cứu một số tính chất của độ cong pháp Trong mục 2 đưa ra kháiniệm, tính chất về đạo hàm pháp dạng của trường vectơ dọc cung Từ đótìm hiểu về phép chuyển dịch song song pháp.

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại khoa Sau Đại họctrường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình.Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Nguyễn DuyBình đã tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trongkhoa Sau Đại học, các thầy cô giáo trong khoa Toán cùng các đồng nghiệp

và gia đình đã giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 12 năm 2010Người thực hiện

Đinh Thị Thúy Nhung

Chương 1KIẾN THỨC CƠ SỞ

1 Liên thông Levi-Civita trên đa tạp Riemann

1.1 Liên thông tuyến tính trên đa tạp

1) Trường tenxơ xoắn T = 0

Có nghĩa là T X,Y  XY YX X,Y 0 với X,Y B M  

+ Sự tồn tại của liên thông Levi-Civita trên M

Giả sử X,Y B(M) ta xác định XY bởi phương trình sau

Khi đó, ánh xạ : B M B M   B M 

X,Y  XY

là liên thông tuyến tính

Ta chứng minh  là liên thông Levi-Civita trên M.

Đặt T X,Y  XY YX X,Y

Do công thức (1) ta dễ dàng kiểm tra được T X,Y , Z    0, Z B M .Suy ra, T(X,Y) =0

Bây giờ, ta chứng minh  g 0

Thật vậy, với X,Y, Z B M   ta có

XY, Z Y, XZ X Y, Z

      ( suy ra từ (1)) (2)hay  g 0

Vậy  là liên thông Levi-Civita trên M

+ Chứng minh tính duy nhất của 

Để chứng minh tính duy nhất của  ta chứng tỏ rằng nếu XYthỏa mãn điềukiện T(X,Y)=0 và  g 0 thì  thỏa mãn phương trình (1)

Thật vậy với X,Y, Z B M   ta có

Cộng vế theo vế của (3) và (7) rồi trừ vế theo vế cho (6) ta có

Vậy tính duy nhất được chứng minh

2 Đa tạp con Riemann

2.1 Định nghĩa

Giả sử M là đa tạp khả vi n chiều, (M, g ) là đa tạp Riemann n+k chiều,

f :M M là một nhúng khả vi Khi đó ,M,f * g là đa tạp Riemann con 

của đa tạp Riemann M

Dưới đây ta dùng kí hiệu , để chỉ tích vô hướng tương đương với mêtric

Cho M là đa tạp con của M  và  lần lượt là liên thông Levi-Civita trên M và M Khi đó, với X,Y B M   ta có sự phân tích:

là liên thông Levi-Civita trên M.

Chứng minh

Dễ dàng kiểm tra  là liên thông tuyến tính trên M

Bây giờ ta kiểm tra 2 điều kiện của liên thông Levi-Civita

- Thật vậy , với X,Y B M   ta có

là dạng song tuyến tính đối xứng

II được gọi là dạng cơ bản thứ hai.

Chứng minh

- Với X ,X ,Y B M1 2    ta có

Vậy II tuyến tính đối với biến X.

Chứng minh tương tự ta có II tuyến tính đối với biến Y

Vậy II là dạng song tuyến tính đối xứng

 Từ các chứng minh trên ta suy ra:

Với X,Y B M   ta có XY  XY T  XY XY II X,Y   Hoàn toàn tương tự với X B M ,Y B M   

 XZ,Y  Z,II X,Y 

2.5 Tenxơ độ cong trên đa tạp Riemann

2.5.1 Định nghĩa

Cho M là đa tạp Riemann,  là liên thông Levi-Civita trên M

Ánh xạ R : B M B M B M   B M 

X,Y, Z  R ZXY  X YZ  Y XZ X,YZđược gọi là tenxơ độ cong của M

Do là liên thông Levi-Civita trên M nên T(X,Y) = 0, vì vậy XYYXvới X,Y B M  (doX,Y 0) (1)

Vậy tính chất 3) được chứng minh.

Chứng minh tính chất 4) : R Z,UXY  R X,Y ZU

2 R X,YZU  R U,YZX  R Z,YXU  R Z,XUY  R U,XYZ

Cho M là đa tạp con của M; R và R lần lượt là tenxơ độ cong của M và M;

II là dạng cơ bản thứ hai Khi đó, với X,Y, Z, W B M   ta có

XY XY

R Z,W  R Z,W  II X,Z ,II Y, W  II X,W ,II Y,Z

R Z, WXY  R Z, WXY  II X, Z ,II Y,W     II X, W ,II Y, Z   

 R Z,WXY  R Z,WXY  II X, Z ,II Y, W     II X, W ,II Y, Z   

3 Chuyển dịch song song trên đa tạp Riemann

Cho  là liên thông Levi-Civita trên đa tạp Riemann M Đường cong  trên

M xác định bởi tham số hóa : I M, t  t .

Một trường vectơ X dọc đường cong  là việc đặt tương ứng mỗi t I vớimột vectơ tiếp xúc X(t) của M tại  t

3.1 Định nghĩa

Đạo hàm của trường vectơ X dọc đường cong  là một trường vectơ khả vi

dọc đường cong kí hiệu X ' hay X

dt

 thỏa mãn các điều kiện sau

3.3.2 Giả sử X,Y là các trường vectơ song song dọc  Khi đó, X Y

cũng là trường vectơ song song dọc ;  , là các hằng số thuộc .Thật vậy, ta có

   

Vậy, X Y là trường vectơ song song dọc 

3.4 Định lí

Cho đường cong  trên đa tạp Riemann M xác định bởi tham số hóa

Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử (I) nằm trong tập mở V M

mà trên V có trường mục tiêu trực chuẩn  Ei i 1n

với X là trường vectơ song song dọc  có XA ; XB   

.Khi đó, ta nói  là phép chuyển dịch song song dọc từ A đến B

Suy ra, X+Y là trường vectơ song song dọc 

Với    và X là trường vectơ song song dọc  ta có X là trường vectơsong song dọc .

Chương 2LIÊN THÔNG PHÁP DẠNG TRÊN ĐA TẠP CON RIEMANN

1 Liên thông pháp dạng trên đa tạp con Riemann

trong đó  là liên thông Levi-Civita trên M; XYlà thành phần phápdạng của trường vectơ XY; B M 

là tập hợp các trường vectơ khả vivuông góc với M



        3) Với X B M ; Y ,Y  1 2 B M 

Ví dụ Trên siêu mặt trường vectơ pháp tuyến đơn vị là trường vectơ song

song pháp Thật vậy, từ ví dụ 1.3 ta có n



 =0 với mọi  là trường vectơ tiếpxúc của M, n là trường vectơ pháp tuyến đơn vị của M nên trường vectơ pháptuyến đơn vị là trường vectơ song song pháp

1.4 Định lí

Cho M là đa tạp Riemann n+1 chiều với liên thông Levi-Civita  M là siêumặt trong M, định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n Cho Y là

trường vectơ vuông góc với M Khi đó, Y là trường vectơ song song pháp khi

và chỉ khi Y=k.n, với k là hằng trên các thành phần liên thông của M

Chứng minh

Gọi X là trường vectơ tiếp xúc của M

Ta có n trường vectơ pháp tuyến đơn vị nên n là trường vectơ song song pháp

- Giả sử Y = k.n với k là hằng trên các thành phần liên thông của M ta chứng

minh Y là trường vectơ song song pháp.

Vậy, Y là trường vectơ song song pháp.

- Giả sử Y là trường vectơ song song pháp Ta chứng minh Y=k.n; với k là

hằng trên các thành phần liên thông của M

Thật vậy, ta có Y và n là trường các vectơ vuông góc với M nên Y=k.n.

Chứng minh k là hằng trên các thành phần liên thông của M

Mà n trường vectơ song song pháp nên Xn 0

  Suy ra X k n 0    X k  0 với  X B(M)

Vậy k là hằng trên các thành phần liên thông của M

gọi là tenxơ độ cong pháp của M.

2 Chuyển dịch song song pháp

t  t

Cho Y là trường vectơ dọc đường cong  luôn vuông góc với M Trườngvectơ Y được gọi là trường vectơ song song pháp dọc  nếu Y '=0

Ví dụ về trường vectơ song song pháp dọc cung

Cho M là đa tạp Riemann n+1 chiều với liên thông Levi-Civita  M là siêumặt trong M, định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n Cho  làđường cong xác định bởi tham số hóa : I M trên MM

Vậy, aX+bY là trường vectơ song song pháp dọc .

2.6 Định lí

Cho : I M là tham số hóa của đường cong trên MM; a I ; v làvectơ pháp của M tại  a Khi đó, tồn tại duy nhất trường vectơ song songpháp X dọc trong một lân cận của  a sao cho X a  v

Chứng minh

Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử (I) nằm trong tập mở V M

mà trên V có trường mục tiêu pháp  Ei i 1n dọc  Khi đó, ta đặt

Vậy X tồn tại và duy nhất

2.7 Định nghĩa Cho : I M là tham số hóa của đường cong trên

MM Giả sử A a ; B b là hai điểm trên đường cong  Ánh xạ

Khi đó,  được gọi là phép chuyển dịch song song pháp dọc  từ A đến B.

Tập hợp các phép tự đẳng cấu nàylập thành một nhóm Nhóm này gọi là nhóm Hôlômôni pháp của M tại x.

2.10 Định lí

Trên siêu mặt nhóm Hôlômôni pháp là nhóm tầm thường.

Chứng minh

Cho M là đa tạp Riemann n+1 chiều với liên thông Levi-Civita  M là siêumặt trong M, định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n Cho

   

n a n b Suy ra   Vậy  là tự đẳng cấu đồng nhất Từ đó ta suy ranhóm Hôlômôni pháp trên siêu mặt là nhóm tầm thường

KẾT LUẬN

Những kết quả chủ yếu mà luận văn đã đạt được là:

1 Chứng minh XYT là liên thông Levi – Civita với X,Y B M  

(Định lí 2.2 chương 1).

2.Chứng minh các tính chất của liên thông pháp trên đa tạp con (Tính

chất 1.2 chương 2).

3 Chỉ ra ví dụ liên thông pháp trên siêu mặt (Ví dụ 1.3 chương 2).

4 Chứng minh định lí về điều kiện cần và đủ để một trường vectơ

vuông góc với siêu mặt là trường vectơ song song pháp (Định lí1.4

chương 2).

5 Chứng minh các tính chất của tenxơ độ cong pháp (Định lí1.7; Định

lí 1.8 chương 2).

6 Chứng minh các tính chất của đạo hàm pháp dạng của một trường

vectơ vuông góc với M dọc một đường cong (Định lí 2.3 chương 2).

7 Chứng minh phép chuyển dịch song song pháp là phép đẳng cấu

tuyến tính trực giao (Định lí 2.8 chương 2).

Vấn đề đặt ra trong hướng nghiên cứu tiếp theo là tìm mối liên hệ giữaphép chuyển dịch song song pháp, phép chuyển dịch song song trên đa tạpcon và phép chuyển dịch song song trên đa tạp

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn ( 2005), Lý thuyết liên thông và

hình học Riemann, NXB Đại học sư phạm.

[2] Trần Thị Lan Hương (2007), Về liên thông Levi-Civita trên đa tạp

Riemann, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh.

[3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng hình học Riemann, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang, Ngô Đình Quốc, Nguyễn Văn Bồng (2008), Hình

học vi phân, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.

[6] Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục.

[7] Banrett, O’Neill (1983) , Semi – Riemanngeometry, Academic press

-New York London