Đa tạp con trong không gian hyperbolic

Luận văn, khóa luận, tiểu luận, báo cáo, đề tài

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 3

Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Lorentz-Minkowski 5

1.2 Các loại véctơ và tích có hướng của n véctơ trong không gian Lorentz- Minkowski 5

1.3 Các loại siêu phẳng trong không gian Lorentz-Minkowski 8

1.4 Các loại giả cầu và n-không gian trong không gian Lorentz- Minkowski 8

1.5 Mệnh đề 9

1.6.Nhóm các biến đổi Lorentz-Minkowski 10

Chương II ĐA TẠP CON TRONG KHÔNG GIAN HYPERBOLIC 2.1 Siêu mặt trong không gian Hyperbolic 11

2.1.1.Bổ đề 12

2.1.2.Mệnh đề 13

2.1.3.Các độ cong của siêu mặt tại một điểm 14

2.1.4.Bổ đề 16

2.1.5.Mệnh đề 19

2.1.6.Bổ đề 21

2.1.7.Hàm độ cao cực hạn 22

2.1.7.1.Mệnh đề 22

2.1.7.2.Mệnh đề 24

2.1.7.3.Mệnh đề 25

2.2.Đa tạp con trong không gian Hyperbolic 26

2.2.1.Mệnh đề 28

2.2.2.Mệnh đề 29

2.2.3.Hệ quả 30

2.2.4.Mệnh đề 32

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết, ánh xạ Gauss trong hình học vi phân cổ điển làmột ánh xạ từ một mặt chính quy vào mặt cầu đơn vị Có thể nói, ánh xạ này

là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các tính chất hình học của mặt đối

cong Gauss, độ cong trung bình hay độ cong chính

Những năm gần đây có nhiều nhà toán học rất quan tâm đến việc khảosát các mặt trong không gian Lorentz-Minkowski, các tác giả cũng đã tiếnhành xây dựng ánh xạ Gauss cho từng trường hợp và nghiên cứu các tính chấtcủa các mặt thông qua ánh xạ Gauss vừa được xây dựng Một số tác giả thànhcông trong lĩnh vực này là Shyuichi Izumiya, Romero Fuster, M Takahashi

Trên cơ sở một số kết quả được trình bày trong hai bài báo “Singularities of

hyperbolic Gauss hypebolic maps” (2001) của Shyui chi Izumiya, Dong-he

Pei, Takasi Sano và “The horospherical goemetry of submanifolds in

Hyperbolic space” (2004) của Shyui chi Izumiya, Dong-he Pei, M.C.Romero

Fuster, M Takahashi chúng tôi đi sâu tìm hiểu các tính chất của đa tạp controng không gian hyperbolic theo hướng xây dựng ánh xạ Gauss tương ứng Với những lý do trên, được sự hướng dẫn của TS Nguyễn Duy Bìnhchúng tôi chọn đề tài của luận văn là :

Nội dung của luận văn được chia làm ba chương:

Chương I Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản vềkhông gian Lorentz-Minkowski, các loại véctơ và quan hệ giữa chúng Các

lọai siêu phẳng, các loại giả cầu và (n-1)-không gian, các loại n-không giantrong không gian Lorentz-Minkowski …

Chương II Đa tạp trong không gian Hyperbolic

Trong chương II, chúng tôi chia làm hai mục

Nội dung của mục 2.1 là giới thiệu các khái niệm như: Độ congKronecker-Gauss hyperbolic, độ cong trung bình hyperbolic, độ congKronecker-Gauss, độ cong trung bình, điểm rốn của siêu mặt trong khônggian Hyperbolic Xây dựng công thức Weingarten-hyperbolic…để từ đó mô

tả một siêu mặt trong không gian Lorentz-Minkowski dựa vào các độ congđó

Mục 2.2, chúng tôi giới thiệu về các khái niệm như: Độ cong cực hạnchính, độ cong cực hạn, hệ số cơ bản thứ hai cực hạn đối với trường véctơpháp tuyến đơn vị Xây dựng công thức Weingarten cực hạn… từ đó mô tảmột đa tạp con trong không gian Lorentz-Minkowski dựa vào các độ cong đó.Luận văn được hoàn thành tại khoa Sau Đại học- Trường Đại học Vinh-dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Duy Bình Tác giả xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới sự hướng dẫn tận tình của Thầy

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy,

cô giáo trong tổ bộ môn Hình học-Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán,khoa Đào tạo Sau đại học-Trường Đại học Vinh-đã nhiệt tình giảng dạy vàtạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Nhân đây, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp

và gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập cũngnhư thời kỳ hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 12 năm 2008

Tác giả

CHƯƠNG I

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản vềkhông gian Lorentz-Minkowski, các loại véctơ và quan hệ giữa chúng Cáclọai siêu phẳng, các loại giả cầu và (n-1)-không gian, các loại n-không giantrong không gian Lorentz-Minkowski…

1.1 Không gian Lorentz-Minkowski.

(n+1)-chiều

giả vô hướng của x và y như sau

< x, y > = - x0y0 + ∑

=

n

i i

i y x

< x, x > < 0 +) x được gọi là véctơ tựa ánh sáng nếu

< x, x > = 0 Hai véctơ x và y được gọi là giả trực giao với nhau nếu

< a, b > = <λb, b > =λ< b, b > =λ.0 = 0hay a, b giả trực giao với nhau

(ii) Với a, b, c tương ứng là các véctơ tựa không gian, tựa thời gian và tựaánh sáng

1

+

0< < a, a > = < λb, λb > =λ 2< b, b > <0 ( Vô lý )

Do đó, {a, b} độc lập tuyến tính

+) Tương tự ta cũng có các hệ {b, c}, {c, a} là các hệ độc lập tuyến tính(iii) Từ giả thiết ta có

2 2

2 1

b

b a b

a b

0

2 2

2

2 1 2 2

b a a

b b

b b

b b

x1 ∧ x2 ∧ ∧ xn =

n n n

n

n n

x x

x

x x

x

e e

1 1

1

1 0

1 0

1.3 Các loại siêu phẳng trong không gian Lorentz-Minkowski.

Khi đó, v được gọi là giả véctơ pháp tuyến của siêu phẳng HP(v, c)

+) HP(v, c) là siêu phẳng tựa không gian nếu v là véctơ tựa thời gian

+) HP(v, c) là siêu phẳng tựa thời gian nếu v là véctơ tựa không gian

+) HP(v, c) là siêu phẳng tựa ánh sáng nếu v là véctơ tựa ánh sáng

1.4 Các loại giả cầu và n-không gian trong không gian Lorentz-Minkowski (i) Các loại giả cầu thường gặp:

+) n-không gian hyperbolic tâm a∈R 1

tương lai tại gốc

Một số kết quả thu được từ loại đa tạp con Riemann có độ cong hằng

đã được trình bày trong nhiều tài liệu, ở đây chúng tôi xin nêu ra mà khôngchứng minh chi tiết

1.5 Mệnh đề Cho n ≥ 2 và 0 ≤ r≤ n

(i) Giả cầu S n

v (r) là đa tạp con Riemann với độ cong dương, hằng có giá trị k = 2

1

r

(ii) Giả không gian H n

v (r) là đa tạp con Riemann với độ cong âm, hằng

1

0

0 0

0

0 0

1 0

0 0

0 1

Lorentz-Minkowski } thì O(n, 1) lập thành một nhóm với phép hợp thành ánh xạ vàgọi là nhóm các phép biến đổi trực giao Lorentz-Minkowski

CHƯƠNG II

ĐA TẠP CON TRONG KHÔNG GIAN HYPERBOLIC

Trong chương II, chúng tôi giới thiệu về các khái niệm như: Độ congcực hạn chính, độ cong cực hạn, hệ số cơ bản thứ hai cực hạn đối với trườngvéctơ pháp tuyến đơn vị Xây dựng công thức Weingarten cực hạn… từ đó

mô tả một đa tạp con trong không gian Lorentz-Minkowski dựa vào các độcong đó

2.1 Siêu mặt trong không gian Hyperbolic.

+(-1) là siêu mặt chính quy Ở đây, U là tập mở trong

1 1

u x u x u x

u x u

x u x

n

n

u u

u u

Tp Hn+(-1) hay e là trường véctơ pháp tuyến duy nhất của Hn+(-1).

< x±e, x±e > = < x, x > ± 2< x, e > + < e, e > = -1 ± 0 + 1 = 0

1n+ / < x, x > = 0, x0 > 0}

Ta định nghĩa các ánh xạ:

và gọi là chỉ đồ Gauss-hypebolic của x

siêu phẳng tựa thời gian, siêu phẳng tựa ánh sáng được gọi là siêu cầu, siêumặt cách đều, siêu mặt cực hạn.

( Ở đây, V+x(u) là siêu phẳng afin hằng và là siêu phẳng tựa ánh sáng trong R

1

1n+ )

2.1.3 Các độ cong của siêu mặt tại một điểm

+) Phép biến đổi tuyến tính

Do đó :

đương với

Ta nói M = x(U) là rốn hoàn toàn nếu tất cả các điểm trên M là điểm rốn.

2.1.4 Mệnh đề Giả sử M =x(U) là rốn hoàn toàn Khi đó, k±(p) là k± hằng

Cụ thể là:

(1) Khi k± ≠ 0, ta có các trường hợp sau đây

(i) Nếu k± ≠ -1 và k± + 1 <1 thì M là một phần của một siêu phẳng cách đều

(ii) Nếu k± ≠ -1 và k± + 1 >1 thì M là một phần của một siêu cầu (iii) Nếu k± = -1 thì M là một phần của một siêu phẳng

(2) Nếu k± = 0 thì M là một phần của siêu mặt cực hạn.

Chứng minh.

Do M là rốn hoàn toàn nên ta có:

p

S±= k p±(p)idT pM.Mặt khác, theo định nghĩa

Điều này có nghĩa a là một véctơ tựa không gian ⇒ HP(a; -1) là siêu phẳng

1

không gian hằng a

Lại có

+ (-1).

Hay là M nằm trong một siêu phẳng

Từ bổ đề trên ta có thể phân chia điểm rốn thành các lớp sau đây:

+) p là điểm phẳng cách đều nếu

Dưới đây ta đi xây dựng công thức Weingarten hyperbolic

mêtric Riemann (dạng cơ bản thứ 1 hyperbolic ) trên M = x(U) là

ds2 =

1

n

ij i j i

Khi đó chúng có quan hệ với nhau bởi công thức

( )

ij

Thật vậy:

-gij (u) ± h ij(u) = <- xu i (u), xuj(u) >± <-eu i (u), xu j (u)>

= <-xu i (u)± eu i (u), xu j (u) >

i u j

=

1 1

n

j Г j

i xu j

Mặt khác

α Гα

i gαβ(Ở đây ta áp dụng tính chất:

n

β ∑−

=

1 1

n

α Гα

i gαβ gβj

i u j

Theo công thức Weingarten-hyperbolic biểu diễn ma trận của toán tử

(i) H(u,v) = 0 ⇔tồn tại các số thực µ, ξ1 , , ξn-1 sao cho

0 = H(u,v) = < x(u), v > + 1

Ta ký hiệu ma trận Hessian của hàm độ cao cực hạn h ±

0

v )(u 0 ) = 0 (ii) p= x(u 0 ) là điểm siêu cực hạn ⇔ rank Hess(h ±

0

v )(u0) = <xu u i j(u0), L± (u0)>,nên kết hợp vớí (5) ta được

n

u

i x h

) (

) (

h (u0) =

) det(

) det(

αβ

g

h ij

± =

)) ( det(

) )(

( det

0

0

0

u g

u h Hess v

αβ

±

(i) p = x(u0) là điểm H±- parabolic ⇔ K±

Tính toán hoàn toàn tương tự như trong mệnh đề 2.1.7.1 ta có mệnh đềsau:

(u,v) = 0 ( ∀ i=1, 2, , n-1) ⇔ v = L̃±(u).

2.2 Đa tạp con trong không gian Hyperbolic.

với phép nhúng x)

< x(u), x(u) > = -1

Và không gian vectơ tiếp xúc của M tại p = x(u) là

+)Gọi biến đổi tuyến tính

Khi đó, từ quan hệ của Ap0 (n) và Sp0(n) thu được

0

p

tương đương với biểu thức sau

2.2.1 Mệnh đề Cho M = x(U) là n-rốn hoàn toàn và n là trường véctơ pháp

tuyến đơn vị song song trên M Khi đó, k p (n) là hằng k Với các giả thiết trên ta có các trường hợp sau:

(i) Giả sử k ≠ 0 Khi đó

a/ Nếu k ≠ -1 và k + 1 < 1 thì M nằm trong một siêu mặt cách đều b/ Nếu k ≠ -1 và k + 1 > 1 thì M nằm trong một siêu cầu

c/ Nếu k = -1 thì M nằm trong một siêu phẳng

(ii) Giả sử k = 0 Khi đó, M nằm trong một siêu mặt cực hạn.

Chứng minh

Theo định nghĩa ta có

Mặt khác a là véctơ tựa không gian và <x, a> = 0 nên ta có

Hơn nữa, a là véctơ tựa ánh sáng nên M nằm trong một siêu mặt cực hạn *) Dưới đây, ta đi xây dựng công thức Weingarten tổng quát

Riemann ( dạng cơ bản thứ nhất hyperbolic) trên M = x(U)

ij du du g

1

,

trong đó: g ij(u) = <xu i (u), xu j (u)>; u∈U

+)Hệ số cơ bản thứ hai cực hạn (hay hyperbolic) đối với trường vevctơpháp tuyến đơn vị n được xác định bởi:

ij

+)Kí hiệu hệ số cơ bản thứ hai đối với trường véctơ pháp tuyến đơn vị n là:

ij

Khi đó, ta có liên hệ:

ij

2.2.2.Mệnh đề Công thức Weingarten cực hạn ( hay hyperbolic) đối với n

được cho bởi công thức:

1 (n)x u j , với ( j

Γ xu j

Mặt khác ta lại có

<πN

o(x+n)u i , xu j > = 0Nên

1

α

α <xuα , xuβ >

= ∑

=

Γ

s i

1

α

α gαβ Như vậy

=

s i h

Theo công thức Weingarten cực hạn, ma trận của biến đổi tuyến tính

đơn vị n

n-toán tử dạng cực hạn độc lập với việc chọn trường véctơ pháp tuyến đơn vị

+) Nếu Kh(n0)(u0) = 0, ta gọi điểm p0 = x(u0) là điểm parabolic cực hạn đối

1n+dọc M, nên ta có:

=

s

i u

Kí hiệu:

+.Tương tự với mệnh đề 2.1.7.1 ta có kết quả sau:

2.2.4 Mệnh đề Cho hàm độ cao cực hạn H trên M và h v (u)= H(x(u), v)

j j

µ =1.()

-Xây dựng được công thức Weingarten hyperbolic ( Mệnh đề 2.1.5)

và độ cong Kronecker-Gauss ( Bổ đề 2.1.6)

-Nêu được điều kiện để một điểm rốn là điểm siêu mặt cực hạn hay H

- Mô tả được đa tạp con khi ánh xạ k - hằng( Mệnh đề 2.2.1).

- Xây dựng công thức Weingarten cực hạn (hay hyperbolic) đối với

trường véctơ pháp tuyến đơn vị n (Mệnh đề 2.2.2) và độ cong cực hạn đối với trường véctơ pháp tuyến đơn vị n (Mệnh đề 2.2.3)

Trong thời gian tới chúng tôi tiếp tục vấn đề ngược lại: Khi đa tạp concủa không gian Hyperbolic nằm trong một siêu mặt cách đều, siêu cầu, siêu

cao học khóa 14 Toán học nhiệt tình giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn

Do thời gian cũng như năng lực còn hạn chế nên chắc chắn không thểtránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự quan tâm, đóng góp của các Quýthầy cô và các bạn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Khu Quốc Anh-Nguyễn Doãn Tuấn (2005), Lý thuyết liên thông và hình

học Riemann, Nhà xuất bản Đại học sư phạm.

[2] Đoàn Quỳnh (2001), Hình học vi phân, Nhà xuất bản Đại học sư phạm [3].Nguyễn Hữu Quang (2005), Đa tạp khả vi, Bài giảng chuyên đề Cao học Thạc sỹ.

Tiếng Anh

[4] S Izumiya, D Pei, M.C Romero Fuster and M Takahashi (2005), The

horospherical geometry of submanifolds in Hyperbolic space

[5] S Izumiya, D Pei and T Sano (2001), Singularities of hyperbolic Gauss map [6] S Izumiya, D Pei and T Sano (2000), The lightcone Gauss map and the

lightcone developable of a spacelike curve in Minkowski 3-space

[7] S Izumiya, M.C Romero Fuster (2006) The lightlike flat geometry on

spacelike submanifolds of codimension two in Minkowski space