Đa tạp con lagrang và mối quan hệ với ánh xạ symplectic

Luận văn, khóa luận, tiểu luận, báo cáo, đề tài

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

Môc lôc

Trang

Ch¬ng I: §a t¹p Symplectic vµ ®a t¹p con Larg¨ng

Ch¬ng II: ¸nh x¹ Symplectic vµ mèi quan hÖ víi ®a t¹p con Lagr¨ng

Mở đầu

Từ thế kỷ XIX hình học Symplectic đã có ứng dụng trong cơ học cổ điển

và nó phát triển mạnh vào những năm cuối thế kỷ XX với các công trình của nhiều nhà toán học tiêu biểu nh: Weinstein, Gronv, Taubles

Cho đến nay thì hình học Symplectic đã trở thành một phân ngành của Hình học - Tôpô Hình học Symplectic là hình học của đa tạp Symplectic, tính chất hình học trên đa tạp Symplectic đợc mô tả bởi các dạng song tuyến tính phản xứng không suy biến Các khái niệm cơ bản của hình học Symplectic nh: Không gian Symplectic, đa tạp Symplectic, ánh xạ Symplectic, đa tạp con Lagrăng đã đợc đề cập trong một số tài liệu nh: [3] , [5] , [6] (tài liệu tham khảo) , vv Tuy nhiên chúng chỉ mới đợc đề cập đến các vấn đề cơ bản nhất Do

đó khi tiếp cận với đề tài hình học Symplectic tôi muốn đi sâu tìm hiểu thêm các tính chất của những khái niệm này Đây là lý do tôi chọn đề tài đa tạp con Lagrăng và mối quan hệ với ánh xạ Symplectic làm luận văn

Luận văn đợc chia làm 2 chơng với những nội dung cơ bản sau:

Chơng I: Đa tạp Symplectic và đa tạp con Lagrăng

1.1 Đa tạp Symplectic 1.2 Đa tạp con Lagrăng

1.3 Đa tạp con Lagrăng của Cn

Chơng II: ánh xạ Symplectic và mối quan hệ với đa tạp con Lagrăng

2.1 ánh xạ Symplectic2.2 Mối quan hệ giữa ánh xạ Symplectic với đa tạp con Lagrăng

ở trong 1.1.Chúng tôi nêu các định nghĩa về không gian vectơ Symplectic,

đa tạp Symplectic, một số ví dụ về đa tạp Symplectic và định nghĩa về T*X

Trong mục 1.2 Chúng tôi nêu định nghĩa không gian con Lagrăng, đa tạp con Lagrăng, đa ra ví dụ và chứng minh một số tính chất của nó

Trong 1.3 Chúng tôi đi sâu nghiên cứu không gian con Lagrăng của Cn đa ra

và chứng minh đợc một số tính chất của không gian con Lagrăng của Cn, nêu định

nghĩa đa tạp con Lagrăng đặc biệt của Cn và chứng minh đợc đa tạp con Lagrăng

đặc biệt S của Cn là đa tạp con có thể tích bé nhất trong tất cả các đa tạp con compact n - chiều cùng biên với S

Nội dung chính đợc trình bày trong 2.1 là định nghĩa và ví dụ về ánh xạ Symplectic, và chứng minh một vài tính chất của nó

Cuối cùng trong 2.2 Chúng tôi nêu và chứng minh các kết quả nói lên mối quan hệ giữa ánh xạ Symplectic với đa tạp con Lagrăng, định nghĩa hàm sinh, nêu cách tìm ánh xạ Symplectic khi đã có hàm sinh, chứng minh đợc một vài tính chất của hàm sinh

Vì năng lực và thời gian có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong các thầy, cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp vui lòng góp ý.Luận văn đợc hoàn thành với sự hớng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình cùng với sự giúp đỡ, động viên của các thầy, cô trong tổ bộ môn Hình học

- Tôpô, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh, Ban giám hiệu và các thầy, cô giáo trờng PTTH Lê Quý Đôn Hà Tĩnh cùng các bạn học viên lớp cao học X

Tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự chỉ bào dìu dắt đó!

Vinh, tháng 10 năm 2004

Trần Thị Thành Tâm

Chơng I: Đa tạp Symplectic và đa tạp con Lagrăng

1.1 Đa tạp Symplectic

1.1.1 Định nghĩa: Giả sử V là không gian vectơ m - chiều trên R và

Ω: V x V → R là ánh xạ song tuyến tính phản xứng

ánh xạ Ω~ : V → V* là ánh xạ tuyến tính đợc xác định bởi

Ω~ (v) (u) = Ω (v, u), ∀ v, u ∈ V: Trong đó V* = { ánh xạ tuyến tính f: V→ R}

1.1.2 Định nghĩa: ánh xạ song tuyến tính phản xứng Ω là Symplectic khi và chỉ khi Ω~ là song ánh Khi đó Ω đợc gọi là cấu trúc symplectic tuyến tính trên

V và (V, Ω) đợc gọi là không gian vectơ Symplectic

1.1.3 Mệnh đề: (Nếu V, Ω) là Symplectic thì dim V = 2n và ma trận của Ω

− I

I O

Chứng minh:

Ta áp dụng một định lý về ánh xạ song tuyến tính phản xứng sau:

Định lý: Giả sử Ω là ánh xạ song tuyến tính phản xứng: V x V → R thì trong V tồn tại cơ sở { u1, u2, , uk , e1 , e2 , , en, f1 , f2 , , fn}(*)

n

, 1

n

, 1

n

, 1

Ta có: (V, Ω) là không gian Sympletic do đó Ω~ là song ánh

⇒ ker = 0

⇒ { v ∈ V: Ω~ (v) (u) = 0, ∀u∈ V} = 0

⇒ { v ∈ V: Ω (v, u) = 0, ∀u∈ V } = 0

⇒ u1 = u2 = = uk = 0

⇒ Trong V tồn tại cơ sở chính tắc đối với Ω là { e1, e2, , en, f1, f2, , fn}

Khi đó đối với cơ sở này Ω có ma trận là A = 

− I

I O

1.1.4 Định nghĩa: Cho không gian vectơ Symplectic (V, Ω) Không gian con W đợc gọi là đẳng hớng nếu ΩW = 0

1.1.5 Mệnh đề: Cho Y là không gian con tuyến tính của không gian

vectơ Symplectic (V, Ω), trực giao Symplectic YΩ của nó là không gian con tuyến tính đợc xác định bởi.

1 ; v ∈ V⇒ v = ∑

=

n j

j

j e v

1

Ω~

Xét ánh xạ ϕ : V → Y*

v  ϕ (v) = Ω ( , v) Y

Vì Y* là không gian đối ngẫu của Y nên: dim Y = dimY*

Lấy f bất kỳ ∈ Y*, khi đó với x ∈ Y ta có f (x) = ∑

=

m i

i

i f e x

1

) ( Xét phơng trình Ω (x, v) = f (x), ∀ x ∈ Y

=

Ω

m j i

j i j

x

1 ,

) ,

1 1

1

i m

i i m

i

j i j i n

m j

e f x e

e v

∑

∑

=

= +

=

= Ω

Chọn x (1,0, , 0, 0, , 0), ta có:

m n

∑

=

Ω

n

j

j

v

1

1 , ) ( = f (e1) Chọn x (0,1, , 0, 0, , 0), ta có:

∑

=

Ω

n

j

j

v

1

2 , ) ( = f (e2)

Chọn x (0,0, , 0,1, 0, , 0) , ta có: m n ∑

= Ω n j j m j e e v 1 ) , ( = f (em) Từ đó ta có hệ phơng trình            = Ω = Ω = Ω ∑ ∑ ∑ = = = ) ( ) , (

) ( ) , ( ) ( ) , ( 1 2 1 2 1 1 1 m j n j m j j n j j j n j j e f e e v e f e e v e f e e v Đặt các vectơ: α1 ( Ω (e1, e1), , Ω (e1, en) ) α2 (Ω (e2, e1), , Ω (e2, en))

αm (Ω (em, e1), , Ω (em, en))

αm+1 (Ω (em+1 , e1), , Ω (em+1, en))

e e e

e

e e e

e

n m m

Ω Ω

Ω Ω

) , ( )

, (

.

) , ( )

, (

) , ( )

, (

1

21

2

11

1

Do đó hệ (1) luôn có nghiệm (ẩn là vj )

Tức là ∀f ∈ Y* luôn ∃v ∈V để Ω (x, v) = f (x), ∀x ∈Y hay ϕ là toàn ánh

Do đó dim V = dim ϕ (V) + dim Ker ϕ

3) Chứng minh Y ⊆ W ⇒ WΩ ⊆ YΩ

Lấy bất kỳ v ∈ WΩ⇒Ω (v, u) = 0, ∀u ∈W

Vì Y ⊆ W, do đó Ω (v, u) = 0, ∀u ∈Y ⇒ v ∈ YΩ

Suy ra WΩ⊆ YΩ

- Tơng tự ta chứng minh đợc WΩ⊆ YΩ⇒ Y ⊆ W

Vậy Y ⊆ W ⇔ WΩ ⊆ YΩ

4) Chứng minh Y là Symplectic ⇔ YYΩ = {0}

(⇒) Giả sử Y là Symplectic ta chứng minh YYΩ = {0}

Do Y là Symplectic ⇒Ω YxY là không suy biến (*)

Lấy bất kỳ u ∈ YYΩ và giả sử u ≠ 0

X Y X

Y

X



Mà Y YΩ = {0}⇒ X ={0}

1.1.6 Định nghĩa: Cho đa tạp M

- ω gọi là 2 - dạng de Rham trên đa tạp M khi và chỉ khi ωP là ánh xạ song tuyến tính phản ứng, ∀p∈M và ωP khả vi theo p, trong đó ω là 2 - dạng

vi phân: p→ ωP ;ωP :TPM x TPM→ R

- Ta nói rằng ω đóng ⇔ dω = 0, trong đó dω là vi phân de Rham đợc xác định: nếu ω = j

j i

Nhận xét: Nếu ω là Symplectic thì dim TPM = dim M = 2n

1.1.7 Định nghĩa: Cho đa tạp M, ω là Symplectic, khi đó (M,ω) đợc gọi là đa tạp Symplectic

1.1.8 Ví dụ: M = R2n với hệ toạ độ ( x1, x2, , xn, y1, y2, , yn) lấy

1.2 đa tạp con Lagrăng

1.2.1 Định nghĩa: Giả sử (V, Ω) là không gian vectơ symplectic, Y là không gian con tuyến tính củaV Y đợc gọi là không gian con Lagrăng khi và

= ( ( ) ( ) ( ) ( ))

1

u dyi v dxi v

dyi u dxi

n i

à|x(Π*|P (àx ) = (Π0 Sà )*|x(àx) ) = àx ,∀ x ∈X.

⇒ S*

à(α) = à.

áp dụng bổ đề ta chứng minh Xà là đa tạp con Lagrăng của T*X ⇔à đóng

Ta có theo định nghĩa thì dim Xà = n = 21 dim T*X

Xét τ : X → Xà là vi phôi; i: Xà→T*X là phép nhúng

x  (x, àx) Khiđó biểu đồ sau giao hoán: X T* X

Ta có: Xà là đa tạp con Lagrăng của T*X

⇔ i* (ω) = 0 ⇔ i* (- dα) = 0

Sà

⇔ d S*

à(α) = 0

⇔ dà = 0

⇔à đóng Giả sử S là đa tạp con k - chiều bất kỳ của đa tạp n - chiều X

1.2.6 Mệnh đề: N * S là đa tạp con Lagrăng của T * X.

α∈T*U, α = i

n i

Ta có: ω|N*S = i* ω

= i* (-dα) = - di*α

= 0

Do đó: N*S là đa tạp con Lagrăng củaT*X

1.2.7 Định nghĩa: Cho Y là không gian con tuyến tính của không gian

Symplectic (V, Ω) Y đợc gọi là đối đẳng hớng nếu và chỉ nếu YΩ⊆Y

1.2.8 Mệnh đề: Cho Y là không gian con tuyến tính của không gian

vectơ Symplectic (V, Ω) khi đó:

1) Y là không gian con Lagrăng của (V,Ω)⇔Y đẳng hớng và đối đẳng hớng.

2) Nếu Y là không gian con Lagrăng của (V, Ω).Khi đó với cơ sở bất kỳ {e 1 , e 2 , ,

e n} của Y có thể mở rộng đến cơ sở Symplectic {e1 , e 2 , ,e n , f 1 , f 2 , ,f n} của V

Mà Y là Lagrăng ⇒ dim Y= 2

1dim V Do đó dim YΩ= 2

1dim V (*)

Giả sử ∃v’ ∈ YΩmà v’ ∉Y, khi đó ta có:

Ω (v’, u) = 0,∀u∈Y, mà Ω (v, u) = 0, ∀u, v ∈ Y

⇒ dim YΩ>dim Y, tức là dim YΩ > 2

1dim V, điều này mâu thuẫn với

(*)

Vậy YΩ⊆ Y hay Y đối đẳng hớng

Ngợc lại ta chứng minh nếu Y đẳng hớng và đối đẳng hớng thì Y là không gian con Lagrăng

=

Ω Υ

V

dim 2

1 dim 0

Y là đối hớng ⇒ YΩ⊆ Y

⇒ dim YΩ ≤ dim Y

Mà dim Y + dim YΩ = dim V

Từ các điều trên suy ra dim Y = 21 dim V

Vậy Y là không gian con Lagrăng của (V, Ω)

Do đó ∃g1∈ W1 Ω mà g1 ∉ Y, suy ra Ω (g1, e1 ) ≠ 0

Chọn f1 = - 1

1 1

) , (

1

g e g

Ω

Ω(f 1,e1) = -1

f1∉ Y

Do f1∉Y ⇒{e1, e2, , en, f1} độc lập tuyến tính

Giả sử đã bổ sung đợc (k-1)vectơ f1, f2, , fk - 1 (k ≤ n) để hệ vectơ

{e1, e2, , en, f1, f2, ,fk - 1} là (n + k - 1) vectơ đầu tiên của cơ sở symplectic {e1, e2, , en, f1, f2, ,fn} của (V, Ω) Ta phải chứng minh sẽ mở rộng đến hệ vectơ {e1, e2, , en, f1, f2, , fk} (là n + k) vectơ đầu tiên của cơ sở symplectic {e1, e2, , en, f1, f2, ,fn} của (V, Ω)

ek không biểu thị đợc qua hệ vectơ {e1, e2, ek - 1, ek + 1, en, f1, f2, fk - 1}

⇒ek ∉Wk, điều này mâu thuẫn với (*)

k j

k j j

à (fj,ek) = 0, mâu thuẫn với (**)

⇒

Vậy hệ vectơ {e1, e2, , en, f1, f2 , fk} độc lập tuyến tính Do đó ta có thể

mở rộng hệ vectơ {e1, e2, , en} đến hệ vectơ {e1, e2, , en, f1, f2 , fn} độc lập tuyến tính thoả mãn

Ω( ei, ej) = 0, ∀i, j = 1n

Ω( fi, fj) = 0, ∀i, j = 1n

Ω( ei, fj) = δij ∀i, j = 1n

Hệ {e1, e2, , en, f1, f2 , fn} chính là cơ sở Symplectic của (V, Ω)

Vậy nếu Y là không gian con Lagrăng của (V, Ω) thì với cơ sở bất kỳ

{e1, e2, ,en} của Y ta có thể mở rộng đến cơ sở Symplectic

{e1, e2, ,en, f1, f2 ,fn} của (V, Ω).

1.3 Đa tạp con Lagrăng của Cn

Xét không gian tuyến tính phức Cn ( ≅ R2n), J : Cn→ Cn là cấu trúc phức

Kiểm tra đợc rằng ω (u, v) = 〈Ju, v〉, ∀ u, v ∈ Cn

1.3.1 Định nghĩa: ω đợc xác định nh trên gọi là dạng kọhler

Vì J là phép biến đổi trực giao và J2 = - id do đó trên R2n tồn tại cơ sở trực chuẩn có dạng {e1, e2, , en, Je1, Je2, , Jen}và suy ra {e1*, e2*, , en*,(Je1)*, , (Jen)*}

là cơ sở của không gian đối ngẫu (R2n)*, khi đó ta có:

ω = e1* Λ(Je1)* + e2* Λ(Je2)* + + en* Λ (Jen )*

Trong R2n với hệ toạ độ (x1, x2, , xn, y1, y2, , yn) tơng ứng với cơ sở

Y là đa tạp con Lagrăng của (R2n, ω) khi và chỉ khi ωp = 0 và dim

TpY = n, ∀p ∈Y hay TpY là không gian con Lagrăng của R2n

Kí hiệu lag (Cn): = {tất cả các không gian con Lagrăng của Cn}

1.3.3 Định nghĩa: Cho V là không gian vectơ, V* là không gian đối ngẫu khi đó:

ánh xạ k - tuyến tính phản xứng ω:V* x V*x xV* → R gọi là k - vectơ

ánh xạ k- tuyến tính phản xứng ϕ: V x V x x V → R gọi là k -côvectơ

TpY

Nhận xét: Mỗi vectơ của V là 1 - vectơ

Kí hiệu Λk V là tập hợp các k -vectơ trên không gian V

Λk V là tập hợp các k – côvectơ trên không gian V

Trên V có cơ sở { e1, e2, , en} thì trên ΛkV có cơ sở tơng ứng là

{ei1 Λ e i2 Λ , Λeik1≤ i1< i2 < < ik ≤ n}

Mỗi k - vectơ có dạng v1 Λ v2 Λ Λ Λv k đợc gọi là k -vectơ đơn

1.3.4 Mệnh đề: Giả sử Y là không gian con thực n - chiều của C n

dz = dz 1 Λ dz 2 Λ dz n là n - dạng phức, trong đó dz k = dx k + idy k , ∀k = 1 ,n Khi đó ta có các phát biểu sau là tơng đơng.

h-Ta có Rn là không gian con Lagrăng của Cn với cơ sở trực chuẩn chính tắc

{e1 , e2, , en} Giả sử {u1 , u2, , un} là cơ sở trực chuẩn của Y ∈ Lag (Cn)

i i i

1

) ( α β do đó:

Jv = ∑=n +

i

i i i

1

2

) ( α β

i i i

1

) ( α β (1)

i i i

i i i

1

2

) ( α β

= ∑

=

−

n i

i i i

1

) ( α β (2)

Từ (1) và (2) suy ra A(Jv) = J(Av) hay A là ánh xạ tuyến tính phức

Vì A biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn nên A bảo toàn tích vô ớng

ui = Aei với A ∈ U (n), khi đó :

dz (u1 Λ u 2 Λ Λun=dz (Ae1 ΛAe2 Λ ΛAen )

= detC A dz (e1 Λe 2 Λ Λe n)

=  detC A dz (e1 Λe 2 Λ Λe n)

=  detC A dz1 Λdz 2 Λ Λdz n (e1 Λe 2 Λ Λe n)

Để chứng minh Aξ∈ Lag(Cn), phải chứng minh 〈 JAu, Av〉 = 0, ∀u, v ∈ξ

Ta có 〈 JAu, Av〉 = 〈 AJu, Av〉 (vì A là ánh xạ tuyến tính phức)

= 〈 Ju, v〉 (vì A bảo toàn tích vô hớng) = 0

Vậy Aξ∈ Lag(Cn), ∀ξ∈ Lag (Cn), ∀A∈U (n) (1)+ Theo c) của mệnh đề 1.3.4 ta có:

1.3.7 Định nghĩa: Tích vô hớng trên ΛkV đợc cảm sinh từ tích vô hớng trên V theo cách sau:

Với ξ = u1 Λ u2 Λ Λu k, η = v1 Λ v2 Λ Λv k là các k - vectơ đơn thì

Từ đó ta có thể mở rộng tuyến tính cho các k - vectơ bất kì

Với tính vô hớng xác định nh trên ta có thể tính chuẩn ơclit của các

k - vectơ nh sau:

ξ = < ξ , ξ 〉

1.3.8 Định nghĩa: k - vectơ đơn ξ có ξ = 1 gọi là k - vectơ đơn đơn vị

Kí hiệu Gr (n,R2n) = {tất cả các không gian con thực n - chiều trong R2n}

Nhận xét: Ta có thể đồng nhất Gr (n,R2n) với tập{n - vectơ đơn đơn vị}

Ta có dz(ξ)  =  detC A  ( theo d) mệnh đề 1.3.4)

Dấu “=” xẩy ra ⇔{e1, e2, , en , Je1, Je2, , Jen} là hệ trực giao (2)Mặt khác các hệ {e1, e2, , en} và {Je1, Je2, Jen} là hệ trực chuẩn

Do đó (2) ⇔ dấu bằng xẩy ra ⇔{e1, e2, , en ,Je1, Je2, , Jen} là hệ trực chuẩn

Dấu “=” xẩy ra ⇔ξ là không gian con Lagrăng và α (ξ) = dz (ξ)

Ta có dz (ξ)= detC A (với A nói trong chứng minh bổ đề 1)

Hay ξ là không gian con Lagrăng đặc biệt

Vậy ta có Redz (ξ) ≤ 1, ∀ξ∈ Gr (n,R2n) và dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi ξ

là không gian con Lagrăng đặc biệt

1.3.10 Định nghĩa: Cho ϕ∈ ∧k V (V là không gian vectơ ơclit), M là đa tạp khả vi.

- Chuẩn đối khối lợng của ϕ kí hiệu là ||ϕ ||* đợc xác định bởi

1.3.11 Định lý: Cho M là đa tạp Riemann S là đa tạp con compact k -

chiều trong M, nếu tồn tại k -dạng vi phân đóng (tơng ứng đúng) ω trên M Sao cho ||ω || * = 1 và ω x (T x S) =1 thì vol (S) ≤ vol (F), với mọi đa tạp con Fcompact k - chiều đồng điều (tơng ứng cùng biên) với S.

S F S

F

dω ω

ω ω

ω

= 0 (vì ω là dạng đóng nên dω = 0)

Do đó vol (S) = ∫ =∫

S x S

ω (TxF) dF

Ta có

(công thức Stốc)

≤ ∫

F dF = vol (F)Vậy nếu ω là k - dạng đóng và thoả mãn các giả thiết của định lí thì

vol (S) ≤ vol (F), ∀F là đa tạp con compact k - chiều đồng điều với S

Còn nếu ω là k - dạng đúng và thoả mãn các giải thiết của định lí, F là đa tạp cùng biên với S (∂F = ∂S)

Ta có ∫ −∫ = ∫

S - F

S F

= ∫F ω (theo (*) ) = ∫F ωx (TxF) dF ≤ ∫F dF

= vol (F)Vậy nếu ω là k -dạng đúng và thoả mãn các giả thiết của định lí thì

vol (S) ≤ vol (F), ∀ đa tạp con compact F cùng biên với S

1.3.12 Mệnh đề: Đa tạp con Lagrăng đặc biệt của C n là đa tạp có thể tích bé nhất trong tất cả các đa tạp con compact cùng biên với nó.

Chứng minh:

S là đa tạp con Lagrăng đặc biệt của Cn ⇒ S là đa tạp con đóng n - chiều thực của R2n mà trong R2n tập đóng ⇒ compat cho nên S là đa tạp con compact

1.3.13 Mệnh đề: Re (e iθ dz (ξ) )≤ 1 Dấu ″= xẩy ra khi và chỉ khi ”

ξ ∈ Lag (Cn ) và ξ = AR n với det C A = e - iθ