Vành gorenstein và iđêan tham số bất khả quy

Một đặc trng của vành Gorenstein qua iđêan tham số bất khả qui.... Một iđêan I của vành R đợc gọi là iđêan tham số nếu I sinh bởi một hệ tham số của R.. R là vành Gorenstein nếu và chỉ n

bộ giáo dục và đào tạoTrờng Đại học Vinh - -

Lê Thị Hiền

Vành Gorenstein và iđêan tham số bất khả qui

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mục lục

Trang

Lời mở đầu

Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị

1 1 Hàm tử mở rộng

1 2 Một số khái niệm

1 3 Dãy chính qui và vành Cohen Macaulay

Chơng 2 Vành Gorenstein

2 1 Chiều nội xạ của môđun

2 2 Vành Gorenstein

Chơng 3 vành Gorenstein và iđêan tham số bất khả qui

3 1 Vành Gorenstein và vành Cohen Macaulay

3 2 Một đặc trng của vành Gorenstein qua iđêan tham số bất khả qui

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Lời mở đầu

Trong toàn bộ luận văn chúng tôi luôn giả thiết R là vành giao hoán, có

đơn vị Cho (R, m) là vành địa phơng Vành Gorenstein đợc định nghĩa là lớp

vành có chiều nội xạ injdimR R hữu hạn Một iđêan I của vành R đợc gọi là

iđêan tham số nếu I sinh bởi một hệ tham số của R Iđêan I đợc gọi là bất khả

qui nếu nó không phân tích đợc thành giao của hai iđêan thực sự chứa nó R

là vành Gorenstein nếu và chỉ nếu R là vành Cohen Macaulay và tồn tại một

iđêan tham số của R là bất khả qui Theo một kết quả của D G Northcott và

D Rees thì nếu mọi iđêan tham số của R là bất khả qui thì R là vành Cohen

Macaulay Do đó R là vành Gorenstein khi và chỉ khi mọi iđêan tham số của

R là bất khả qui Tuy nhiên vẫn tồn tại những vành không phải là vành

Gorenstein nhng vẫn có iđêan tham số bất khả qui Năm 1982, S Goto đã chỉ

ra rằng nếu tồn tại một hệ tham số (x 1 , …, x d) sao cho iđêan tham số

( 1n, , n)

d

x x R là bất khả qui với n đủ lớn thì R là vành Gorenstein Nói cách

khác nếu R không phải là vành Gorenstein thì mỗi hệ tham số

(x 1 , …, x d) tồn tại một số nguyên n (phụ thuộc vào hệ tham số) sao cho iđêan

( 1n, , n)

d

x x R là khả qui Nh vậy trong trờng hợp vành không Gorenstein thì có

một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu có một chặn đều n sao cho iđêan tham số

( 1n, , n)

d

x x R là khả qui với mọi hệ tham số (x 1 , …, x d) của R hay không? Kết

quả chính trong bài báo [5] đã chỉ ra rằng R là vành Gorenstein khi và chỉ

khi tồn tại một số nguyên dơng l sao cho có một

iđêan tham số nào đó chứa trong ml là bất khả qui

Mục đích của luận văn là tìm hiểu về vành Gorestein và mối liên hệgiữa lớp vành này và các iđêan bất khả qui trong đó dựa vào tài liệu [3] vàmột bài báo gần đây của T Marley, M W Rogers và H Sakurai [5].

Nội dung của luận văn đợc chia làm 3 chơng

Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chơng này, chúng tôi trình bày một sốkiến thức cơ sở của Đại số giao hoán liên quan đến các kết quả và chứng minh của những chơng sau

Chơng 2: Vành Gorenstein Nội dung chính của chơng này là trình bày vềkhái niệm vành Gorenstein và một số tính chất của vành Gorenstein Các kếtquả chơng này đợc viết dựa theo [3]

Chơng 3: Vành Gorenstein và iđêan tham số bất khả qui Nội dung chính củachơng này là trình bày chứng minh một đặc trng của vành Gorenstein thông quaiđêan tham số bất khả qui Đây là kết quả chính trong bài báo [5]

Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 11 năm 2008 dới sự hớng dẫn, chỉdạy tận tình của cô giáo, TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này, tôi xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo Đồng thời tôi cũng xin đợc cảm ơncác thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học trờng Đại họcVinh, và các bạn bè đã tạo điều thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình họctập và nghiên cứu

Vinh, tháng 11 năm 2008

Tác giả

Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chơng này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở của Đại sốgiao hoán cần dùng cho việc chứng minh các kết quả của những chơng sau.Nhắc lại rằng vành luôn đợc giả thiết là giao hoán và có đơn vị

1 1 Hàm tử mở rộng

1 1 1 Môđun nội xạ Cho Q là một R – môđun Khi đó Q đợc gọi

là môđun nội xạ nếu với mọi đồng cấu f : M  →Q và mọi đơn cấu

g : M  →N những môđun trên R, tồn tại duy nhất một đồng cấu

h : N  →Q sao cho hg = f.

M g→N

↓f ↙∃! h

Q

1 1 2 Lời giải nội xạ

1 1 2 1 Định nghĩa (i) Một đối phức

I• : 0  → I0 → I1 →  → I n →

các R – môđun đợc gọi là đối phức nội xạ nếu tất cả các môđun trong đối

phức đó đều là nội xạ

(ii) Cho M là một R – môđun Một lời giải nội xạ của M là một đối

phức nội xạ I• cùng với một cấu xạ α : M  →I 0 để đối phức sau

1 1 2 2 Định lí Cho M là một R môđun tuỳ ý Khi đó M luôn có–

lời giải nội xạ M →α I•.

1 1 2 3 Định lí Cho M và N là các R môđun, f : M – ’  →N là một cấu xạ Giả sử N  → I•là một lời giải nội xạ của N Khi đó mọi lời giải nội xạ M  → E• của M đều tồn tại cấu xạ f : E•  →I• là nâng của f , tức là ta có biểu đồ sau giao hoán’

R – môđun

…  →A  → B  → C  → 0

ta có dãy khớp các R – môđun

…  → F(A)  →F(B)  → F(C)  → 0(iii) Hàm tử F đợc gọi là hàm tử khớp nếu nó vừa là hàm tử khớp trái vừa là

hàm tử khớp phải

Nhận xét Cho F : R mod –  → R mod– là hàm tử hiệp biến từ phạmtrù các R – môđun đến phạm trù R – môđun Khi đó

(i) Hàm tử F là hàm tử khớp trái nếu từ mọi dãy khớp ngắn các R – môđun

0  → A  →B  →C  →0

ta có dãy khớp các R – môđun

0  → F(A)  →F(B)  →F(C) (ii) Hàm tử F là hàm tử khớp phải nếu từ mọi dãy khớp các R – môđun

0 → A  → B  → C  →0

ta có dãy khớp các R – môđun

F(A)  →F(B)  → F(C)  → 0 (iii) Hàm tử F đợc gọi là hàm tử khớp nếu nó vừa là hàm tử khớp trái, vừa là

hàm tử khớp phải

1 1 4 Hàm tử dẫn xuất phải

Cho F : R mod –  → R mod– là hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái.Cho M là một R – môđun với lời giải nội xạ M →α I• Ta có phức

F(I•) : 0  → F(I 0 )  →F(I 1 )  → …

nói chung không khớp Khi đó hàm tử dẫn xuất phải, R F• của F là họ các

hàm tử R F• = { } 0

i i

Ta có F là một hàm tử cộng tính, khớp trái Khi đó hàm tử dẫn xuất phải của

F là R F• = { } 0

i i

1 1 5 2 Một số tính chất cơ bản của hàm tử mở rộng

(i) Ext M N R0 ( , ) ≅Hom M N R( , ).

R

Ext M I = ∀ ≠i khi I là R – môđun nội xạ.

(iii) Từ dãy khớp ngắn các R – môđun

Ext M N Ext M N Ext M N

R (N , M” )   →

1 2 Một số khái niệm

1 2 1 Iđêan nguyên tố liên kết

(i) Iđêan p của vành R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu p ≠ R và với mọi

xyclic của M Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M đợc kí hiệu

là Ass R(M) hay Ass M.

1 2 2 Chiều Krull của vành và môđun

(i) Một dãy các iđêan nguyên tố của R

p o⊃ p 1 ⊃ p 2 ⊃ … ⊃ p n

đợc gọi là một xích nguyên tố có độ dài n.

(ii) Cho p là một iđêan nguyên tố của R Cận trên của tất cả các độ dài của

các xích nguyên tố với p 0 = p đợc gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p) Nghĩa

là

ht(p) = sup {độ dài các xích nguyên tố với p0 = p}.(iii) Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R đợc gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dim R Ta có

dim R = sup {ht(p) | p ∈Spec(R) }

(iv) Cho M là R – môđun Khi đó dim(R / Ann R M) đợc gọi là chiều Krull

của R – môđun M và kí hiệu là dim R(M) hay dim M nếu ta không chú ý đến

vành R Nh vậy, dim R có thể vô hạn do ht(p) có thể vô hạn và dim M ≤dim R.

1 2 3 Vành địa phơng

(i) Iđêan m của vành giao hoán R đợc gọi là iđêan cực đại nếu m ≠ R và

không tồn tại một iđêan khác R nào thực sự chứa m.

(ii) Vành R đợc gọi là vành địa phơng nếu R chỉ có duy nhất một iđêan cực

đại m Khi đó R/m đợc gọi là trờng thặng d của vành R (trong luận văn

này thờng kí hiệu k = R/m).

1 2 4 Vành chính qui

Cho (R, m) là vành địa phơng, Noether Khi đó R đợc gọi là vành chính qui nếu tồn tại một hệ tham số của R sinh ra iđêan cực đại m Chú ý

rằng nếu R là vành chính qui thì R là miền nguyên.

1 2 5 Đối đồng điều địa phơng

Cho I là một iđêan của vành R Với mỗi R – môđun M, ta đặt

bởi ΓI(f) (x) = f(x), với ∀x ∈ ΓI ( )M Khi đó, ΓI là hàm tử hiệp biến, cộng tính,

khớp trái từ phạm trù R – môđun vào phạm trù R – môđun ΓI gọi là hàm tử I xoắ

Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI đợc gọi là hàm tử đối đồng điều địa

ph-ơng thứ i với giá là iđêan I, kí hiệu là i

I

H Khi đó với môđun M thì H i

I (M)

đ-ợc gọi là môđun đối đồng điều địa phơng thứ i với giá là I.

1 2 6 Phức Koszul Cho R là một vành, x ∈R, kí hiệu

K(x) : 0  → R x→ R → 0.

a a ax

H X M = H K X M gọi là phức Koszul của M đối với X và đồng

điều Koszul của M đối với X

Ta cũng gọi K X M•( , ) = Hom K X R M R( ( , ), ) và H X M i( , ) = H K X M i( • ( , )) gọi

là đối đồng điều Koszul của M đối với X

1 2 7 Hệ tham số, iđêan tham số

Cho R là một vành giao hoán, địa phơng, Noether với iđêan cực đại duy nhất

m, M là R – môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d > 0.

(i) Một hệ gồm d phần tử x: ( , , ) = x1 x d của m đợc gọi là một hệ tham số của M

nếu ℓ (M/(x 1 , …, x d) M) < ∞ (với ℓ(∗) là kí hiệu chỉ độ dài của R – môđun).

(ii) Iđêan đợc sinh bởi một hệ tham số đợc gọi là iđêan tham số.

(iii) Nếu x: ( , , ) = x1 x d là một hệ tham số của môđun M thì hệ các phần tử (x 1 ,

…, x i) đợc gọi là một phần hệ tham số với mọi i = 1, …, d.

Sau đây là một số tính chất của hệ tham số

1 Mọi hoán vị của một hệ tham số của môđun M cũng là một hệ tham số của M.

2 Nếu x: ( , , ) = x1 x d là một hệ tham số của môđun M và n: ( , , ) = n1 n d là bộ

3 N ế u x: ( , , ) = x1 x d l à m ộ t h ệ t h a m s ố c ủ a m ô đ u n M t h ì

Cho hai hệ thuận các R – môđun {M t , f tr} và {M’ t , f’ tr} trên cùng một tập

định hớng V Một đồng cấu của các hệ thuận {M t , f tr}  →{M’ t , f’ tr} là một

họ các R - đồng cấu {ϕt : M t →M’ t} thoả mãn f’ tsϕt = ϕs f ts với t ≤

s Giới hạn thuận của {M t , f ts} đợc xác định nh sau: trên tổng trực tiếp

t

t V

∈

= ⊕ , đồng nhất mỗi môđun M t với ảnh đồng cấu chính tắc của nó trong

T, ta có thể xem M t nh là một môđun con của T Gọi C là môđun con của T

sinh bởi tập tất cả các phần tử có dạng x t – f tr(xt), t ≤ r, x t ∈ M t Môđun

T / C gọi là giới hạn thuận của hệ thuận {M t , f tr} và kí hiệu bởi lim t

t M

1 3 Dãy chính qui và vành Cohen Macaulay

1 3 1 Dãy chính qui Cho M là một R – môđun hữu hạn sinh.

(i) Phần tử x ∈ R đợc gọi là một ớc của không trên môđun M nếu tồn tại m

∈ M, m ≠ 0 sao cho xm = 0 Tập tất cả các ớc của không trên M đợc kí hiệu

là ZD R(M) Vậy

ZD R(M) = {x∈R | ∃m ∈M, m ≠ 0: xm = 0}.Tập hợp

NZD R(M) = R \ ZD R(M)

đợc gọi là tập hợp các phần tử không là ớc của không trên môđun M.

(ii) Một dãy x 1 , …, x r các phần tử của R đợc gọi là dãy chính qui của M hay

gọn hơn ta gọi là M dãy– nếu

x i∈NDZ R(M /

1 1

)

i j j

Trờng hợp đặc biệt, x = x j là một M – dãy khi và chỉ khi x ∈NDZ R(M) Khi

đó ta cũng nói x là phần tử chính qui của M Ta quy ớc 0

1

0.

j j

x M

=

=

∑

(iii) Giả sử x 1 , …, x r là một M – dãy, khi đó r là độ dài của dãy.

(iv) Cho I là một iđêan tuỳ ý của vành địa phơng R và x 1 , …, x r là một

M – dãy trong I Khi đó x 1 , …, x r đợc gọi là dãy chính qui cực đại trong I

nếu không tồn tại x ∈I sao cho (x 1 , …, x r , x) là dãy chính qui của M Ta biết

rằng mọi dãy chính qui cực đại trong cùng một iđêan đều có cùng độ dài Do

đó ta kí hiệu độ dài của một dãy chính qui cực đại trong iđêan I là grade M(I).

Khi I ⊆ZD R(M) thì grade M(I) = 0 và M = 0 thì grade0(I) = ∞

1 3 2 Độ sâu Giả sử (R, m) là vành địa phơng, Noether và M là hữu hạn

sinh Khi đó, grade M(m) đợc gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth

M (hay depth R M).

Chú ý rằng nếu (x 1 , …, x r) là một dãy chính qui của M thì nó cũng là một

phần hệ tham số của M Do đó depth M ≤dim M.

1 3 3 Vành và môđun Cohen Macaulay

1 3 3 1 Định nghĩa (i) Cho R là một vành địa phơng, Noether và

M là R – môđun Khi đó M đợc gọi là môđun Cohen Macaulay

nếu

dim

depth M = M

(ii) Cho R là vành giao hoán (không nhất thiết địa phơng) và M là một

R – môđun Khi đó M đợc gọi là môđun Cohen Macaulay nếu M m là

R m – môđun Cohen Macaulay với mọi iđêan cực đại m.

(iii) Vành R đợc gọi là vành Cohen Macaulay nếu R là R – môđun

Cohen Macaulay

Nh vậy, nếu R là vành địa phơng thì M là R – môđun Cohen Macaulay khi

và chỉ khi tồn tại một hệ tham số của M là dãy chính qui Từ đó cũng suy ra

mọi hệ tham số của M đều là dãy chính qui.

1 3 3 2 Định lí Cho R là vành Noether và M là R môđun hữu hạn–

sinh.

(i) Giả sử x là một phần tử chính qui của M Khi đó M / xM là môđun Cohen Macaulay (trên vành R hoặc vành R / xR) Điều ngợc lại cũng đúng khi R là vành địa phơng.

(ii) Giả sử M là Cohen Macaulay Khi đó với mỗi tập nhân đóng S trong R môđun các thơng M S cũng là môđun Cohen Macaulay Đặc biệt, M p là Cohen Macaulay với mọi p ∈ Spec R

Chơng 2 Vành Gorenstein

Nội dung chính của chơng này là trình bày về khái niệm vànhGorenstein và một số tính chất của vành Gorenstein Trong chơng này ta vẫngiả thiết vành là giao hoán, có đơn vị

2 1 Chiều nội xạ của môđun

2 1 1 Định nghĩa Cho M là một R – môđun Chiều nội xạ của M (kí hiệu

là injdimR M hoặc injdimM ) là số nguyên nhỏ nhất n sao cho tồn tại lời giải

nội xạ I• của M mà I m = 0 với mọi m > n Nếu không tồn tại n thì ta nói

chiều nội xạ của M là vô hạn

2 1 2 Chú ý Từ định nghĩa trên ta thấy injdimR M = n khi và chỉ khi hai

điều kiện sau đợc thoả mãn:

(i) Tồn tại một dãy khớp

0   → M   → I0   → I1   →   → I n   → 0

trong đó I i là R – môđun nội xạ với mọi i.

(ii) Không tồn tại một dãy khớp dạng nh trên với số hạng ít hơn

Nếu không tồn tại dãy khớp nh trên thì ta nói chiều nội xạ của M là vô hạn và

viết injdimR M = ∞

2 1 3 Mệnh đề Giả sử R là một vành Noether, M là một R môđun và–

S là tập nhân đóng của R Khi đó dim dim

S

inj M ≤inj M.Chứng minh Do địa phơng hoá của môđun nội xạ là nội xạ và hàm tử

địa phơng hoá là khớp nên mệnh đề trên đợc suy ra từ định nghĩa

Mệnh đề tiếp theo là một đặc trng của chiều nội xạ

2 1 4 Mệnh đề Cho M là một R môđun Khi đó các điều kiện sau–

Ext + R J M = với mọi iđêan J của vành R.

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử có injdimM ≤n, khi đó ta có một lời giải nội

(iii) ⇒ (i) Giả sử 0  →M  → I0 →  →I n−1  → C → 0 (*)

là dãy khớp các R – môđun với các môđun I j là nội xạ.

Do Ext1R(R/J,I) = 0 với I là R – môđun nội xạ Từ đó ta có dãy khớp

Khi đó ta có Ext R J C1R( / , ) ≅Ext R J M1R( / , ) Mặt khác n 1 ( / , ) 0

R Ext + R J M = vớimọi iđêan J ⊂ R nên Ext R J C1R( / , ) 0 = Suy ra C là nội xạ Khi đó dãy (*) là

lời giải nội xạ Từ đó suy ra (i) đợc chứng minh

2 1 5 Bổ đề Cho R là một vành Noether, M là một R môđun, N –

là một R môđun hữu hạn sinh và – n là một số nguyên dơng Giả sử

thiết ta có N là R – môđun hữu hạn sinh Khi đó áp dụng mệnh đề 2 1 4,

(ii) và (iii) ta có điều cần chứng minh

Từ bổ đề trên ta có ngay hệ quả sau

2 1 6 Hệ quả Cho R là vành Noether và M là một R môđun Khi đó–

các điều kiện sau là tơng đơng:

(i) injdimM ≤n,

R

Ext + R p M = với mọi p ∈Spec R.

2 1 7 Mệnh đề Giả sử (R, m) là một vành địa phơng, Noether, p là

một iđêan nguyên tố, p ≠ m và M là một R môđun hữu hạn sinh Nếu–

Với mỗi iđêan I, kí hiệu V(I) là tập tất cả các iđêan nguyên tố chứa I Do V(x, p) ⊂ {q ∈ V(p) : q ≠ p}, từ bổ đề 2 1 5 và giả thiết ta có

n

toàn cấu áp dụng bổ đề Nakayama ta có điều cần chứng minh

2 1 8 Mệnh đề Giả sử (R, m, k) là vành địa phơng, Noether và M là một

R môđun hữu hạn sinh Khi đó –

dim sup :{ i ( , ) 0}

R inj M = i Ext k M ≠ Chứng minh Đặt t = sup {i: Ext i (k,M) ≠ 0

R } Dễ thấy rằng injdimM ≥ t.

Ext R p M = với mọi iđêan nguyên tố p ∈ SpecR và với mọi i > t Do

đó áp dụng hệ quả 2 1 6 ta có injdimM ≤ t Vậy

R inj M= i Ext k M ≠

Từ mệnh đề trên ta có ngay hệ quả sau đây

2 1 9 Hệ quả Giả sử (R, m, k) là vành địa phơng, Noether và M là

một R – môđun hữu hạn sinh Nếu x ∈ m là phần tử chính qui của R

và M thì

injdimR x/( )M x M/ =injdimR M − 1.

2 1 10 Định lí Giả sử (R, m, k) là vành địa phơng, Noether và M là

một R môđun hữu hạn sinh có chiều nội xạ hữu hạn Khi đó–

dimM ≤ injdimM = depth R.

Chứng minh Với mỗi iđêan nguyên tố p ta kí hiệu k(p) là trờng thặng d của

vành R p Khi đó k(p) = R p / pR p