Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại trong vành giáo hoán

Khoá luận này chỉ là những tìm hiểu bớc đầu làm quen với các iđêan nguyên tố iđêan tối đại trong một vành giao hoán chứa đơn vị tổng quát.. Trong chơng này ở tiết 1 chúng tôi đã chứng mi

Mục lục Trang

Mở đầu 1

Chơng I –Vành 4

Đ1 Định nghĩa vành 4

Đ2 Vành con, iđêan 4

Đ3 Đồng cấu vành 5

Đ4.Vành chính, vành nhân tử hoá 6

Chơng II - Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại trong vành giao hoán 8

Đ1 Iđêan ngyên tố và iđêan tối đại trong vành giáo hoán 8

Đ2 Iđêan nguyên sơ 16

Đ3 Sự phân tích nguyên sơ 19

Kết luận 22

Tài liệu tham khảo 24

Mở đầu

Trong lý thuyết vành, các iđêan tối đại và iđêan nguyên tố đóng vai trò hết sức quan trọng Đặc biệt là các iđêan nguyên tố Nh ta đã biết mỗi iđêan tối đại là iđêan nguyên tố Điều ngợc lại chỉ đúng trong vành chính Vai trò của các iđêan nguyên tố trong vành cũng tơng tự nh vai trò của các số nguyên tố trong các số nguyên.Việc phân tích các iđêan trong vành thành tích các iđêan nguyên tố đã trở thành cần thiết khi nghiên cứu một lớp vành nào đó Các lớp vành đặc biệt nh vành chính,vành Ơclít vành nhân tử hoá (vành Gauxơ), vành Nơ-te; nh ta đã biết có mối quan hệ bao hàm : mỗi vành chính là vành Ơclít, mỗi vành Ơclít là vành Gauxơ và mỗi vành Gauxơ là vành Nơ-te Do đó một sự phân tích nào đó nếu đúng trong vành chính thì đúng trong các vành chứa nó và nh vậy sẽ rất có ý nghĩa Mỗi lớp vành lại có các kết quả đa dạng, phong phú

Khoá luận này chỉ là những tìm hiểu bớc đầu làm quen với các iđêan nguyên tố iđêan tối đại trong một vành giao hoán chứa đơn vị tổng quát Bên cạnh đó cũng đề cập vào một số lớp vành đặc biệt nh vành chính hay vành nhân tử hoá

Nội dung của khoá luận chia làm hai chơng :

Chơng I : Trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết vành nh khái niệm về vành,

vành con, iđêan, đồng cấu và các lớp vành đặc biệt nh vành chính, vành nhân tử hoá

Chơng II : Là nội dung cơ bản của khoá luận

Trong chơng này ở tiết 1 chúng tôi đã chứng minh đợc các kết quả chủ yếu sau đây trong một vành X chứa đơn vị :

- Một iđêan A của vành X là tối đại trong X khi và chỉ khi vành thơng X/A là một trờng

- Một iđêan P của vành X là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi vành thơng X/P là một miền nguyên

- Phần tử nguyên tố trong vành X thì sinh ra một iđêan nguyên tố của X và ngợc lại Trong một vành chính thì hai khái niệm iđêan nguyên tố và iđêan tối đại trùng nhau (Định lý 2.1.3).

- Qua một đồng cấu vành f giữa hai vành giao hoán chứa đơn vị thì:

a) Tạo ảnh toàn phần của một iđêan nguyên tố là iđêan nguyên tố

b) ảnh của một iđêan nguyên tố (hoặc tối đại) chứa hạt nhân của một toàn cấu vành là iđêan nguyên tố ( hoặc tối đại ) (Định lý 2.1.4)

- Trong một vành nhân tử hoá mỗi iđêan chính sinh bởi một phần tử khác không

đều phân tích thành tích của các luỹ thừa của các iđêan nguyên tố(Định lý 2.1.5)

- Tiết hai của chơng II chúng tôi đề cập đến iđêan nguyên sơ Một iđêan Q của vành A giao hoán chứa đơn vị gọi là iđêan nguyên sơ nếu Q ≠ A và nếu có x, y ∈A thì x ∈ Q hoặc yn ∈ Q với một n ∈ N nào đó Trong tiết này chúng tôi đã chứng minh đợc các kết quả chủ yếu sau :

- Iđêan Q của vành A là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi A/Q ≠ {0} và mỗi ớc của không trong vành thơng A/Q là phần tử luỹ linh (Mệnh đề 2.2.2)

- Qua một đồng cấu vành thì tạo ảnh toàn phần của một iđêan nguyên sơ là nguyên sơ

- Căn của một iđêan nguyên sơ Q là iđêan nguyên tố bé nhất chứa Q.(Mệnh đề 2.2.5) Trong tiết 3 chơng II chúng tôi đề cập đến sự phân tích nguyên sơ của các iđêan Một iđêan A trong vành X gọi là đợc phân tích nguyên sơ nếu A biểu diễn dới dạng một giao hữu hạn các iđêan nguyên sơ

Chúng tôi đã chứng minh đợc rằng :

- Nếu một iđêan A của vành có sự phân tích nguyên sơ A =

1

n i i

Q

=

I thì các iđêan nguyên tố r(Qi) là căn của Qi sẽ thuộc vào tập hợp các căn r(A:x) = {a∈x / ax∈ A}, với x∈ A (Định lý 2.3.5)

- Mỗi iđêan nguyên tố chứa iđêan A phân tích nguyên sơ sẽ chứa một iđêan nguyên tố cô lập liên kết với A.(Mệnh đề 2.3.6)

Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của Thầy giáo Th.S Nguyễn Văn Giám Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, hớng dẫn, tận tình chu đáo của thầy Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn đối với các thầy, cô giáo trong tổ Đại Số, trong Khoa Toán Đại Học Vinh đã quan tâm giúp đỡ, dạy dỗ tác giả trong quá trình học tập cũng nh trong lúc làm khoá luận

Khoá luận chắc không tránh khỏi nhữmg sai sót Rất mong đợc sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn

Vinh, tháng 4 năm 2005

Tác giả

CHƯƠNG I vành

Đ1 Định nghĩa vành

1.1.1 Định nghĩa Tập X đợc gọi là vành nếu trên X có hai phép toán cộng và nhân

thoả mãn điều kiện sau :

Chú ý • Nếu phép nhân là giao hoán thì ta gọi vành X là vành giao hoán.

• Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì phần tử đó gọi là phần tử đơn vị

của X và thờng kí hiệu là e hay 1

Ví dụ Tập hợp các số nguyên Z cùng với phép cộng và phép nhân thông thờng là

một vành giao hoán có đơn vị gọi là vành số nguyên

Đ2 VàNH CON - IĐÊAN

1.2.1 Định nghĩa vành con Giả sử X là vành, A là một bộ phận của X ổn định với

hai phép toán trong X, nghĩa là x + y ∈ A, xy ∈ A với mọi x, y ∈ A A là một vành con của vành X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành

1.2.2 Định lý về tiêu chuẩn vành con Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của

vành X Các điều kiện sau là tơng đơng:

a) A là một vành con của vành X

b) Với mọi x, y∈A : x + y ∈ A, xy ∈ A, -x ∈ A

c) Với mọi x, y∈A, x-y∈A, xy∈A

1.2.3.Định nghĩa iđêan Ta gọi là iđêan trái (iđêan phải) của một vành X, một vành

con A của X thoả mãn điều kiện xa ∈ A ( ax ∈ A), với mọi a ∈ A và với mọi x ∈ X

Một vành con A của vành X gọi là một iđêan của X nếu và chỉ nếu A vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của X.

1.2.4 Định lý tiêu chuẩn về iđêan Một bộ phận A khác rỗng của một vành X gọi là

iđêan nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thoả mãn :

Đặc biệt tích của hai đẳng cấu vành là một đẳng cấu vành

1.3.3 Định lý Giả sử f : X  Y là một đồng cấu từ một vành X đến một cấu vành

Y Thế thì :

(i) f(0) = 0;

(ii) f(-x) = - f(x), với mọi x ∈ X

1.3.4 Định lý Giả sử f : X  Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y, A

là vành con của X và Β là một vành con của Y Thế thì :

(i) f (A) là một vành con của Y

(ii) f-1( Β ) là một vành iđêan của X

1.3.5 Hệ quả Giả sử f : X  Y là một đồng cấu từ một vành X đến vành Y Thế thì Imf là một vành con của Y và kerf là một iđêan của X

1.3.6 Định lý Giả sử f : X  Y là một đồng cấu từ vành X đến một vành Y P:

X  X / kerf là toàn cấu chính tắc từ vành X đến vành thơng của X trên kerf Thế thì

(i) Có một đồng cấu duy nhất f : X / kerf  Y sao cho biểu đồ sau giao

hoán, tức là f = f P

(ii) Đồng cấu f là một đơn cấu và Im f = f(X)

1.3.6 Hệ quả Với mọi toàn cấu vành f: X  Y từ một vành X đến một vành Y

1.4.2 Định nghĩa vành nhân tử hoá Miền nguyên D gọi là một miền nhân tử hoá

hay miền Gauss nếu mỗi phần tử khác không khác ớc của đơn vị, có một nhân tử hoá duy nhất trong D

Mối quan hệ Miền nguyên D là một miền nhân tử hoá khi và chỉ khi D thoả mãn

điều kiện dây chuyền dừng những iđêan chính và điều kiện có ớc chung lớn nhất

b) Tích của hai vành chính là vành chínhThật vậy, giả sử A1 và A2 là hai vành chính Khi đó lấy một iđêan I bất

kỳ của A1 ì A2 thì I = I1 ì I2 với I1, I2 là các iđêan tơng ứng của A1, A2 Do A1,

A2 là các vành chính nên I1= (a1), I2 = (a2) với a1 ∈ A1 và a2 ∈ A2 Khi đó I= I1

ì I2 = ((a1, a2)) là một iđêan chính của A1 ì A2 Ta có đpcm

Chơng II Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại

trong vành giao hoán

Đ1 Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại trong vành giao hoán

2.1.0 Định nghĩa Cho A là một vành giao hoán có đơn vị khác không Iđêan M của

A gọi là tối đại trong A nếu M ≠ A và các iđêan của A chứa M chỉ là bản thân M và

A Iđêan P của A gọi là nguyên tố nếu P ≠ A và nếu tích ab ∈ P thì a ∈ P hoặc b ∈ P

2.1.1 Định lý.

a) Iđiêan M là tối đại trong A khi và chỉ khi vành thơng A/M là trờng

b) Iđêan P là nguyên tố trong A khi và chỉ khi vành thơng A/P là một miền nguyên

Chứng minh a) Iđêan M là tối đại trong A khi và chỉ khi vành thơng A/M là

một trờng

(⇒) Giả sử M là một iđêan tối đại, ta chứng minh A/M là một trờng Thật vậy, M là một iđêan tối đại của A thì M ≠ A, do đó A/M có nhiều hơn một phần tử Vì A là một vành giao hoán có đơn vị nên A/M cũng là một vành giao hoán có đơn vị Giả

sử (a + M) là một phần tử khác không hay a + M ≠ M Vậy a ∉ M Xét iđêan I của A

mà I = M + aA Khi đó M ⊊ I và a ∈ I Vì M là tối đại nên I = A

Suy ra e ∈ I do đó e = m1 + aa1, a1∈ A và m1∈ M

hay e + M = m1 + aa1 + M = aa1 + M = ( a+M)(a1+M)

Suy ra a1 + M là nghịch đảo của a+M Do đó A/M là một trờng

(⇐) Giả sử vành thơng A/M là một trờng, ta chứng minh iđêan M là tối đại trong A Thật vậy, A/M là một trờng khi đó A/M có nhiều hơn một phần tử, do đó A ≠ M Gọi I là iđêan của A mà M ⊊ I

Nh vậy có một phần tử a ∈ I - M Ta xét a + M ∈ A/M vì a ∉ M nên a + M khả nghịch nghĩa là có một phần tử a0 + M sao cho (a0 + M) (a + M) = a0a + M = e + M hay e = a0a + m Vì a∈ I và m∈ M ⊂ I nên e ∈ I Do đó I = A Vậy M là iđêan tối

(⇐) Giả sử A/P là một miền nguyên ta chứng minh P là iđêan nguyên tố Thật vậy A/P là một miền nguyên khi đó A/P có nhiều hơn một phần tử, do dó A ≠ P, gọi a,b

là các phần tử thuộc A sao cho ab ∈ P Khi đó:

ab + P = (a + P)(b + P) = P = 0 + P

Vì A/P không có ớc của không suy ra

a + P = P hoặc b + P = P hay a ∈ P hoặc b ∈ P

Vậy P là iđêan nguyên tố

Hệ quả Mọi iđêan tối đại đều nguyên tố

Chứng minh Thật vậy P là iđêan tối đại của vành A suy ra A /P là một trờng Do đó

A/P là một miền nguyên suy ra P là iđêan nguyên tố Điều ngợc lại không đúng Tuy nhiên ta có:

2.1.2 Định lý Trong một vành chính A mỗi iđêan I ≠ {0} nguyên tố đều là iđêan tối đại.

Chứng minh Do A là vành chính, I là iđêan khác {0} của A nên I phải là iđêan chính

Do đó tồn tại một phần tử a ≠ 0, a thuộc I sao cho I = (a) Nếu có một iđêan B của A sao cho I ⊂ B Do A là vành chính nên B cũng là iđêan chính, nên tồn tại một phần tử

b thuộc B sao cho B = (b) Do I ⊂ B nên a ∈ B thì a = bc, với c nào đó thuộc A Do I

là iđêan nguyên tố nên b ∈ I hoặc c ∈ I Nếu b ∈ I = (a) thì B = (b) ⊂ (a) = I trái giả thiết I ⊂ B Vậy b∉ I mà c ∈ I Do đó c = ax, x ∈ A Từ đó ta có a = bc = bax hay bx = 1 Vậy 1 ∈ B nên B = A Vậy I là iđêan tồn tại trong A Ta có đpcm

2.1.3 Định lý Trong vành A giao hoán có đơn vị, phần tử p là phần tử nguyên tố

khi và chỉ khi (p) là iđêan chính sinh bởi p là iđêan nguyên tố Nếu A là một miền chính thì mọi iđêan nguyên tố khác không là tối đại Do đó mọi phần tử bất khả quy sinh ra một iđêan tối đại.

Chứng minh * (⇒) p nguyên tố ta chứng minh iđêan chính (p) nguyên tố.

Giả sử ab∈ (p) suy ra ∃ m ∈ A sao cho ab = pm suy ra p/ab Do p nguyên tố thì p/a hoặc p/b Nếu p/a suy ra a = pa1 ; a1∈A suy ra a ∈ (p) Tơng tự b∈ (p) Vậy (p) là iđêan nguyên tố trong A

(⇐) Iđêan chính (p) nguyên tố ta chứng minh p là phần tử nguyên tố

Giả sử a, b ∈ A mà p/ab suy ra ab ∈ (p) Do (p) là iđêan nguyên tố thì a

∈ (p) hoặc b ∈ (p) Nếu a ∈ (p) suy ra a = pm, m ∈ A suy ra p/a Tơng tự p/b.Vậy p là phần tử nguyên tố

* Nếu A là một miền chính thì mọi iđêan nguyên tố khác không là tối đại.

Giả sử (p) là một iđêan nguyên tố của vành chính A Ta chứng minh p là một phần tử bất khả quy Thật vậy, giả sử p = uv với u, v ∈ A thì ta có (p) ⊂ (u) và (p) ⊂ (v) Mặt khác vì uv = p ∈ (p) Do (p) là iđêan nguyên tố nên u ∈ (p) hoặc v ∈ (p) Hay (u) ⊂ (p) hoặc (v) ⊂ (p).Vậy (p) = (u) hoặc (p) = (v) nghĩa là p liên kết với u hoặc

p liên kết với v Vậy p là phần tử bất khả quy

Bây giờ ta chứng minh nếu p bất khả quy thì (p) là iđêan tối đại của A.Thật vậy, giả sử (p) là một phần tử nguyên tố Vì p không chia hết 1 nên (p) ≠ A Gọi (p)

⊂ Β là một iđêan của A (Β ≠ (p)) Tồn tại a ∈ Β, a ∉ (p) Do a và p nguyên tố cùng nhau ∃ b, q∈ A sao cho 1 = ab + pq, vì a, b ∈ Β nên 1∈ Β, do đó Β =A Theo

định nghĩa (p) là iđêan tối đại của A

2.1.4 Định lý Cho đồng cấu vành f: A → B với A, Β là những vành giao hoán có

Khi đó:

b) Nếu f là toàn cấu vành thì mỗi idêan nguyên tố (tơng ứng tối đại ) của A

nguyên tố ( tơng ứng tối đại ) trong A chứa kerf.

Chứng minh a) Nếu P là một iđêan nguyên tố trong B thì f-1 (P)là nguyên tố trong

A

Thật vậy, do f: A → B là đồng cấu vành P ∆ B thì f-1 (P) ∆ A (1)

Mặt khác f-1 (P) ≠ A Thật vậy, do f(eA) = eB (với eA, eB là đơn vị tơng ứng của

A, B) và P là iđêan nguyên tố của B thì P ≠ B nên eB∉ P.Vì nếu ngợc lại eB ∈ P thì mọi x ∈B suy ra x= eBx∈P suy ra B ⊆ P và hiển nhiên P⊆ B nên P = B.Từ

f (eA) = eB ∉ P suy ra eA ∉ f-1 (P) hay f-1 (P)≠ A (2)

Ta lại có mọi a, b ∈ A mà ab ∈ f-1 (P) suy ra f (ab) ∈ P suy ra f(a)f(b) ∈ P Do

P nguyên tố thì f(a) ∈ P hoặc f(b) ∈ P suy ra a ∈ f-1 (P) hoặc b ∈ f-1 (P) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra f-1 (P) là iđêan nguyên tố của A

b) Nếu f: A  Β là toàn cấu vành, Q là iđêan nguyên tố chứa kerf của A thì f(Q) là iđêan nguyên tố trong B

Ta có f(Q) là vành con của B theo tính chất của đồng cấu vành.Ta chứng minh f(Q) ∆ B.Thật vậy mọi b ∈ B mọi y ∈ f(Q) do f : A → Β là toàn cấu vành

nên tồn tại a ∈ A, x ∈ Q sao cho f (a) = b, f(x) = y do Q∆A thì ax ∈ Q suy ra f (ax) = f (a)f (x) = by ∈ f(Q).Tơng tự yb ∈ f(Q) Theo tiêu chuẩn iđêan thì f(Q) ∆ B.

f (Q) là iđêan tối đại của B.

Phần chứng minh f(Q) là iđêan ≠ B của B nh trong câu (b)

Ta chứng minh tính tối đại của f(Q) Giả sử có một iđêan M của B mà M⊃ f(Q) Khi đó : f-1(M) ⊃ f-1(f(Q)) = Q Do Q tối đại trong A thì f-1(M) = A Do tính toàn ánh của f thì B = f(A) = f-1(f( M )) = M Điều đó chứng minh tính tối đại của f(Q)

ảnh của một iđêan nguyên tố của A chứa kerf

ii) Nếu f: A → B là một toàn cấu vành thì mỗi iđêan tối đại B là ảnh của một iđêan nguyên tố của A chứa kerf.

Chứng minh i) Nếu f: A  B là một toàn cấu vành, P là một iđêan nguyên tố của B ta chứng minh f-1(P) là iđêan nguyên tố của A chứa kerf

Thật vậy, do f: A  B là toàn cấu vành nên P ∆ B thì f-1(P) ∆ A

Ta chứng minh f-1(P) nguyên tố : f-1(P) ≠ A do f(eA) =eB với ( eA, eB là đơn vị tơng ứng của A, B ) và P là iđêan nguyên tố của B thì P ≠B nên eB∉ P.Vì nếu ngợc lại

eB∈Β thì mọi x ∈Β suy ra x = eBx∈P suy ra B ⊆ P và hiển nhiên P ⊆ B nên P = B

Từ f(eA) = eB∉P suy ra eA ∉ f-1( P) hay f-1(P) ≠ A (2)

Mọi a, b ∈ A mà ab ∈ f-1( P) suy ra f(ab) ∈ P suy ra f(a)f(b) ∈ P, do P nguyên

tố thì f(a) ∈ P hoặc f(b) ∈ P suy ra a ∈ f-1(P) hoặc b ∈ f-1(P)

Vì vậy f-1 (P) là iđêan nguyên tố của A và f-1 (P) chứa kerf, do eB ∈ P nên

Ta chứng minh f-1(P) tối đại

- f-1(P) ≠A (giống câu (i))

- Tính tối đại của f-1(P): Giả sử có một iđêan M của A mà M ⊃ f-1(P) Khi đó f (M) ⊃ff-1(P) = P Do P tối đại trong B thì f(M) = B Do tính toàn ánh của f thì f-

1(B) = A suy ra ff-1( M ) = A nên ( ff-1)( M ) = A suy ra M = A Vậy f-1(P) là iđêan tối

đại của Avà tơng tự (i) thì f-1(P) chứa kerf

Ví dụ 1 Tìm các iđêan nguyên tố và tối đại trong :

b) Vành đa thức lấy hệ tử trên một trờng F

Ta biết vành đa thức lấy hệ tử trên một trờng là miền chính Giả sử p là một đa thức bất khả quy khác không của F[x] Khi đó iđêan tối đại của F[x] là pF[x]với p là

đa thức bất khả quy, khác không Vậy pF[x] cũng là iđêan nguyên tố trong F[x] Ngoài ra F[x] có iđêan nguyên tố là các đa thức bằng không

c) Miền chính D

Giả sử p là một phần tử khác không của miền chính D suy ra iđêan tối

đại của D là Dp với p là bất khả quy, suy ra Dp cũng là iđêan nguyên tố (theo đl 2.1.2)

Ví dụ 2 Tìm một iđêan nguyên tố không tối đại trong miền ℤ [x].

Giải Ta đã biết nếu A là miền nguyên thì A[x] cũng là miền nguyên Vậy Z là miền nguyên nên Z[x] là miền nguyên Ta có {o} là iđêan nguyên tố nhng không tối đại vì Z[x] không phải là một trờng

Ví dụ 3 Chứng minh rằng trong miền ℤ[ω] iđêan chính (2) là một iđêan nguyên tố Mô tả vành thơng ℤ[ω]/(2)

Giải (2) là iđêan nguyên tố

Để chứng minh (2) là I đêan nguyên tố ta chứng minh 2 là phần tử nguyên tố trong ℤ[ω].Thật vậy, nếu có α = a+ bω, β = c + dω∈ℤ[ω]

Do 2/αβ suy ra 2/ac + (ad + bc)ω + bdω2nên ac  2 ; ac + bc  2 ; bd  2