Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại trong vành giao hoán

Hơn nữa những khái niệm của iđêan nguyên tố và iđêan cực đại là trung tâm các ứng dụng của lý thuyết vành giao hoán trong hình học đại số, và lớp iđêan nguyên tố là lớp iđêan quan trọng

Mở đầuCấu tạo của iđêan là cấu trúc quan trọng nhất của một vành, trong vành giao hoán nó nh là nhóm con chuẩn tắc của một nhóm Đúng vậy, cho một nhóm G, một tập con N của G là một nhóm con chuẩn tắc của G nếu và chỉ nếu tồn tại một nhóm H và đồng cấu nhóm f : G → H sao cho hạt nhân của nó bằng N Chúng ta thấy rằng cho một vành giao hoán R, một tập con I của R là một iđêan của R nếu và chỉ nếu tồn tại vành giao hoán S và một đồng cấu g : R

→ S sao cho hạt nhân của nó bằng I

Hơn nữa những khái niệm của iđêan nguyên tố và iđêan cực đại là trung tâm các ứng dụng của lý thuyết vành giao hoán trong hình học đại số, và lớp iđêan nguyên tố là lớp iđêan quan trọng nhất của lý thuyết vành giao hoán iđêan nguyên tố của vành giao hoán có nhiều tính chất tơng tự ở trong miền iđêan chính (vành chính), chẳng hạn chúng ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa iđêan nguyên tố trong vành giao hoán với phần tử nguyên tố của một miền iđêan (sẽ nói ở trong khoá luận) mà iđêan nguyên tố của vành bất kỳ không có tính chất đó

Mục đích chính của khoá luận là nghiên cứu lớp các iđêan nguyên tố và iđêan cực đại trong vành giao hoán, đa ra những vấn đề thiết yếu mà chúng cung cấp

Dới sự hớng dẫn nhiệt tình của Th.S Đào Thanh Hà tôi đã tự tin để nghiên cứu giải quyết bài toán này

Qua đây tôi gửi lời cảm ơn chân thành tới, các thầy cô giáo, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và rèn luyện tại trờng Đại học Vinh

Bớc đầu tập nghiên cứu, khoá luận tốt nghiệp không tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn

Vinh, 5/2002

Tác giả

Trong luận văn nếu nh không nói gì thêm thì ta hiểu R là vành giao hoán

có đơn vị, ký hiệu 1

1 Định nghĩa Cho I là iđêan của vành giao hoán R Khi đó

(i) I đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu:

- I là iđêan thực sự của R

- Với mọi x,y∈ R mà x,y ∈ I thì x∈ I hoặc y∈ I

(ii) I đợc gọi là iđêan cực đại nếu:

- I là iđêan thực sự của R

- Nếu có iđêan J của R sao cho I ⊂ J ⊂ R thì J = I hoặc J = R

(iii) Căn của I, ký hiệu I hoặc Rad(I):

I = {x∈ R| ∃n∈ ℕ: x n∈I} cũng là iđêan của R và gọi là iđêan căn của I.iv) I đợc gọi là iđêan nguyên sơ nếu

- I là iđêan thực sự của R

- Với mọi x,y ∈ R mà xy∈ I nhng x∉I thì tồn tại n∈ℕ sao cho y n∈ I có nghĩa là x,y∈ R và xy∈ I kéo theo x∈ I hoặc y∈ I

Ví dụ: • Xét vành số nguyên ℤ Khi đó:

- I = pm ℤ là iđêan nguyên sơ của ℤ (p là số nguyên tố, m∈ ℤ )

- I = pℤ là iđêan nguyên tố đồng thời là iđêan cực đại của ℤ

3 Mệnh đề Khi I là iđêan nguyên sơ của vành giao hoán R thế thì

P = I là iđêan nguyên tố của R và ta nói I là P- nguyên sơ.

Chứng minh Vì I là iđêan thực sự của R nên 1∉I, do đó 1∉ I , vậy I

≠ R

Giả sử với x,y∈ R mà xy∈ I nhng x∉ I , ta chứng minh y∈ I

Vì xy∈ I nên tồn tại n∈ N sao cho (xy) n ∈ I, suy ra x n y n∈ I Theo giả

thiết x∉ I nên xn ∉ I, mà I nguyên sơ nên yn∈ I tức tồn tại m∈ ℕ sao cho (yn)m∈ I, hay y∈ I

5 Mệnh đề Giả sử I là một iđêan của vành giao hoán R sao cho

I = M là một iđêan cực đại của R Thế thì I là iđêan nguyên sơ của R (I là

M- nguyên sơ).

Vì vậy tất cả các lũy thừa dơng Mn (n∈ ℕ) của iđêan cực đại M là

Theo2.25 (iv) [3]: Nếu P, Q là các iđêan của vành giao hoán R mà P

+ Q = R thì P + Q = R, ta có I + Rb = R Do đó tồn tại d∈ I, c∈ R sao cho d

+ cb = 1, nên a = a.1 = a(d + cb) = ad + c(ab) ∈ I (vì d, ab ∈ I) Vậy ta có a∈ I hay I là iđêan nguyên sơ.

Vì M là iđêan cực đại nên M nguyên tố, do đó theo 4 mệnh đề ta có M n

= M, với mọi n∈ ℕ Nên theo chứng minh trên ta có M n (n∈ℕ) là iđêan M-

nguyên sơ

6 Định nghĩa và mệnh đề Một iđêan I của vành giao hoán R đợc gọi là

bất khả quy nếu I = I1 ∩ I2 trong đó I1, I2 là các iđêan của R thì hoặc I = I1

hoặc I = I2 Ta có mọi iđêan nguyên tố đều bất khả quy

Chứng minh Giả sử I là iđêan nguyên tố và I = I1 ∩ I2, giả sử I ≠ I1 ta chứng minh I = I2

Vì I ⊂ I1 , I ≠ I1 nên tồn tại phần tử x ∈ I1, x ∉ I Gọi phần tử bất kỳ y∈

I2, ta có xy∈ I1 (vì I1 là iđêan của R); xy∈ I2 ( vì I2 là iđêan của R), suy ra xy∈

I1∩ I2 hay xy∈ I, mà I là iđêan nguyên tố, x∉ I nên y∈ I Nh vậy với phần

tử bất kỳ y ∈ I2 ta đều suy ra y∈ I nên I2 ⊂ I, mặt khác I ⊂ I2 (vì I = I1 ∩

I2), do đó I = I2

7 Chú ý - Vì ở đây ta xét R là vành có đơn vị nên mỗi iđêan cực đại của

R đều là iđêan nguyên tố Thật vậy, giả sử P là iđêan cực đại của R Giả sử u,v∈ R sao cho uv∈ P và u ∉ P, khi đó P + Ru là một iđêan chứa P và khác P

(khác P vì 0 + 1.u ∉ P nhng 0 + 1.u ∈ P + Ru) do đó P + Ru = R, mặt khác

1∈ R ⇒ 1∈ P + Ru ⇒ 1 = a + ru, a∈ P, r∈ R Nhân hai vế với v ta có v = av + ruv, a∈P suy ra av∈P; uv∈P suy ra ruv∈P, từ đó ta có av + ruv ∈P hay v∈

P Vậy P là iđêan nguyên tố.

Hoặc ta có thể chứng minh điều trên nhờ kết quả sau:

Cho I là một iđêan của vành R Khi đó ta có:

I nguyên tố khi và chỉ khi R/I là miền nguyên.

I cực đại khi và chỉ khi R/I là một trờng.

Vậy một iđêan cực đại của vành có đơn vị luôn là iđêan nguyên tố

- Có những vành chứa iđêan cực đại mà không nguyên tố (dĩ nhiên là vành không có đơn vị) Thật vậy, gọi X = ℤp là tập hợp các lớp đồng d theo môđunp, với p là số nguyên tố Ta định nghĩa phép cộng trên X là phép cộng thông th-ờng trên ℤp , có nghĩa là a+b = a+b, định nghĩa phép nhân trong X nh sau:

a ì b = 0, với mọi a , b ∈ ℤp Khi đó dễ dàng thấy rằng (X, +, ì) là một vành Ta có (0) = {0} là iđêan cực đại của X nhng không phải là iđêan nguyên tố

(0) là iđêan cực đại của X

Giả sử có một iđêan I của X sao cho (0) ⊂ I ⊂ X và giả sử I ≠ (0), ta chứng minh I = X

Vì I ≠ (0) nên tồn tại a∈ I, 0 < a < p Vì I là iđêan của X nên a

+ a = 2a ∈ I, 2a + a = 3a ∈ I, , (p− 1 )a ∈ I, do đó

A = {0,a, 2a, , (p− 1 )a}⊂ I

Ta thấy các phần tử trong A đôi một khác nhau, vì với hai phần tử

ma, na bất kỳ thuộc A mà m > n, ta có p > m > n > 0 ⇒ 0 < m - n < p ⇒ (m-n)a  /p hay ma ≠ na Vậy tập A gồm p lớp đồng d khác nhau theo môđun p, nên A = X Theo trên ta có A ⊂ I ⊂ X mà A = X nên ta có I = X.

(0) không phải là iđêan nguyên tố của X

Vì với a,b ≠ 0 của X ta có a b = 0∈ (0) nhng a∉ (0) và b ∉ (0)

- Một iđêan nguyên tố cha hẳn đã là iđêan cực đại, chẳng hạn iđêan 0 của vành ℤ là nguyên tố nhng 0 ⊂ 2ℤ ⊂ ℤ nên 0 không phải là iđêan cực đại của ℤ

Trong một vành chính, các iđêan nguyên tố khác 0 là các iđêan cực đại.Giả sử X là vành chính, P là iđêan nguyên tố khác 0 của vành X, thế thì P

= (a) với 0 ≠ a ∈ X Giả sử P ⊂ I ⊂ X, I là iđêan của X và P ≠ I Vì X là vành

chính nên mọi iđêan của X là iđêan chính, do đó I = (b) Vì a ∈ P suy ra

a∈ I hay a = bc ∈ P Ta có b ∉ (a) vì nếu b ∈ (a) khi đó (b) ⊂ (a), vô lý vì

P ≠ I, P ⊂ I Nh vậy b ∉ P mà P nguyên tố nên c∈ P = (a), suy ra c = ax, x∈

X, từ đó ta có bc = bax hay a = bax, vì vậy bx = 1, mà I = (b) nên bx = 1∈ I.Vậy iđêan I của vành X chứa đơn vị nên I = X Do đó P là iđêan cực đại của

X.

8 Mệnh đề Giả sử I là iđêan của vành giao hoán R, giả sử J là iđêan

của R với J ⊃ I, thế thì iđêan I J của R là nguyên tố khi và chỉ khi J là I iđêan nguyên tố của R.

Ta có đẳng cấu vành f :

I J I

R

→ J R

(r + I) + I J  r + J

Vì vậy

I J I

R

là miền nguyên khi và chỉ khi R/J là miền nguyên có nghĩa

là J/I là iđêan nguyên tố của R/I khi và chỉ khi J là iđêan nguyên tố của R

áp dụng mệnh đề 8 ta có thể xác định các iđêan nguyên tố của vành ℤ/60ℤ = ℤ60 gọi là vành các lớp thặng d của tập các số nguyên theo môđun

60 nh sau:

Ta có 60ℤ ⊂ mℤ ⊂ℤ với m là ớc của 60 và mℤ/60ℤ là iđêan của ℤ/60ℤ, ℤ/60ℤ là iđêan nguyên tố của ℤ/60ℤ khi và chỉ khi mℤ là iđêan nguyên tố

của ℤ khi và chỉ khi m là số nguyên tố Vậy m là số nguyên tố, m là ớc của

60, cho nên m = 2, 3, 5 Do đó ta có các iđêan nguyên tố trong vành ℤ/60ℤ là

2ℤ/60ℤ, 3ℤ/60ℤ và 5ℤ/60ℤ

gọi là quan hệ thứ tự trên V khi nó phản xạ (u ≤ u, với mọi u∈ V), bắc cầu

(nếu u ≤ v, v ≤ w với u, v, w ∈ Vthì kéo theo u ≤ w) và phản xứng (u ≤ v và v

≤ w với u, v∈ V kéo theo u = v) Nếu “≤” là quan hệ thứ tự trên V thì ta viết (V, ≤) là tập sắp thứ tự

Tập sắp thứ tự (V, ≤) đợc gọi là sắp thứ tự toàn phần nếu với mỗi u,v

∈ V thì một trong các trờng hợp sau phải xảy ra: u ≤ v; v ≤ u

Tất nhiên mỗi tập con W khác φ của tập sắp thứ tự (V, ≤) chúng ta có thể xem đó có phải là tập sắp thứ tự toàn phần hay không

Giả sử W là tập con khác φ của tập sắp thứ tự (V, ≤) Một phần tử u∈ V đợc gọi là cận trên của W nếu w ≤ u, mọi w∈ W Nếu (V, ≤) là tập sắp thứ tự thì

với u,v ∈ V ta viết u < v nếu u ≤ v và u ≠ v Một phần tử m∈ V đợc gọi là phần

tử cực đại của V nếu và chỉ nếu m ≤ v với v∈ V kéo theo m = v

Bây giờ chúng ta đã có tất cả các thuật ngữ cần dùng cho bổ đề Zorn

con khác rỗng sắp thứ tự toàn phần của V có cận trên thuộc V Khi đó V có phần tử cực đại.

Trớc hết chúng ta sử dụng bổ đề Zorn trong khoá luận này để chứng minh

có ít nhất một iđêan cực đại trong một vành giao hoán không tầm thờng tùy ý

11 Mệnh đề Giả sử R là vành giao hoán không tầm thờng thì R sẽ có ít

nhất một iđêan cực đại.

Chứng minh Gọi Ω là tập hợp tất cả các iđêan của R, khác R Trên Ω xét quan hệ thứ tự bao hàm (I, J ∈ Ω, I ≤ J ⇔ I ⊂ J)

cực đại.

Chứng minh Xét vành R/I, vì I ≠ R nên R/I ≠ 0 Theo mệnh đề 11, ta thấy trong vành R/I luôn tồn tại iđêan cực đại J/I Mặt khác, theo mệnh đề 8 ta có

J/I là iđêan cực đại của R/I khi và chỉ khi J là iđêan cực đại của R Vậy I ⊂ J

với J là iđêan cực đại của R

13 Định nghĩa và mệnh đề.

Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của vành giao hoán R đợc gọi là phổ của vành R, ký hiệu Spec(R) P là iđêan cực đại của R khi và chỉ khi là phần tử cực đại của Spec(R)

Spec(ℤ ) = pℤ (p = 0 hoặc p nguyên tố).

Giả sử P là iđêan cực đại của R nhng P không phải là phần tử cực đại của Spec(R), khi đó tồn tại P’∈ Spec(R) sao cho P ⊂ P’, P ≠ P’ vì ngời ta không

xem R là iđêan nguyên tố của nó nên P’⊂ R, P’ ≠ R Vậy P ⊂ P’ ⊂ R, P’ ≠ R mâu thuẫn với giả thiết P là iđêan cực đại của R Vậy P là phần tử cực đại của Spec(R)

Ngợc lại giả sử P là phần tử cực đại của Spec(R) nhng P không phải là iđêan cực đại của R Vì P ∈ Spec(R) nên P ≠ R mà R ≠ 0 nên theo hệ quả 12 ta

có P ⊂ P’ với P’ là iđêan cực đại của R, từ đó ta có P’ ∈ Spec(R) Vì theo trên

ta giả sử P không phải là iđêan cực đại của R mà P’ là iđêan cực đại của R nên

P ≠ P’, vậy P ⊂ P’, P ≠ P’, P’ ≠ Spec(R) nên trái với giả thiết P là phần tử cực

đại của Spec(R) Vậy P là iđêan cực đại của R

14 Mệnh đề Một phần tử của vành giao hoán R là khả nghịch khi và chỉ

khi nó không nằm trong iđêan cực đại nào cả.

Chứng minh Trớc hết ta thấy rằng, với a∈ R thì a khả nghịch khi và chỉ khi aR = R hay (a) = (1R) Thật vậy, nếu a khả nghịch khi đó với mọi x∈ (a) thì x = ar, r∈ R, ta có ar = 1.(ar)∈ (1R) Vậy (a) ⊂ (1R), với mọi x ∈ (1R) thì x

= 1.x mà a khả nghịch nên tồn tại a’ ∈ R sao cho aa = ’ 1, do đó x = 1.x = (aa’)x = a(a x’ ) ∈ (a), vậy (1R) ⊂ (a) Từ đó ta có (a) = (1R) Ngợc lại, nếu (a) = (1R) thì 1 ∈ (a), suy ra 1 = aa’, a’ ∈ R hay a khả nghịch

Nếu a∈ M với M là iđêan cực đại nào đó của R thì ta có aR ⊂ M ⊂ R, vì M

là iđêan cực đại của R nên M ≠ R, vậy aR ≠ R Do đó theo chứng minh trên a không khả nghịch, trái với giả thiết Vậy nếu a khả nghịch thì a không nằm trong iđêan cực đại nào của R

Ngợc lại nếu a không nằm trong iđêan cực đại nào của R, ta chứng minh a khả nghịch Giả sử a không khả nghịch, khi đó aR ≠ R mà aR ⊂ R nên R ≠

0, theo hệ quả 12 thì aR nằm trong iđêan cực đại của R, suy ra a.1 = a nằm trong iđêan cực đại đó, trái với giả thiết, vậy a khả nghịch

Có một tên gọi đặc biệt cho vành giao hoán nào mà có đúng một iđêan cực

đại

15 Định nghĩa Một vành giao hoán R có đúng một iđêan cực đại M đợc

gọi là vành địa phơng Trong trờng hợp này, trờng R/M đợc gọi là trờng

thặng d của R.

Một trờng là ví dụ của vành giao hoán có đúng một iđêan cực đại, đó là iđêan 0 và là iđêan thực sự duy nhất

16 Mệnh đề Giả sử R là vành giao hoán Thế thì R là vành địa phơng

nếu và chỉ nếu tập hợp tất cả các phần tử không khả nghịch của R là một iđêan.

Chứng minh (⇒) Giả thiết R là vành địa phơng với iđêan cực đại M Theo

mệnh đề 14 thì M là tập hợp không chứa các phần tử khả nghịch của R Khi đó

M chính là tập hợp tất cả các phần tử không khả nghịch của R Thật vậy, lấy

một phần tử không khả nghịch bất kỳ a∈ R ta chứng minh a∈ M

Giả sử a ∉ M thì vì M là iđêan cực đại duy nhất của R nên a không thuộc iđêan cực đại nào cả, do đó theo định lý 14 thì a khả nghịch, trái với giả thiết

ở trên Vậy tập hợp tất cả các phần tử không khả nghịch của R là iđêan M.(⇐) Giả sử tập hợp tất cả những phần tử không khả nghịch của R là iđêan I của R Từ đó ta có 0∈ I, do đó 0 không phải là phần tử khả nghịch, hơn nữa ta luôn xét vành R có phần tử đơn vị cho nên 0 ≠ 1, vì vậy R không tầm thờng Theo mệnh đề 11 thì R có ít nhất một iđêan cực đại Gọi M là iđêan cực đại của R Khi đó M chỉ chứa các phần tử không khả nghịch của R nên M ⊂ I ⊂ R Vì 1 ∉ I nên I ≠ R mà M cực đại nên M = I Nh vậy mọi iđêan cực đại của R

đều bằng I, hay R có iđêan cực đại duy nhất là I Do đó R là vành địa phơng.Khái niệm iđêan cực đại của vành giao hoán ngay lập tức đa đến khái niệm rất quan trọng là căn Jacobson của vành giao hoán

17 Định nghĩa Giả sử R là một vành giao hoán, chúng ta định nghĩa căn

Jacobson của R, thờng ký hiệu Jac(R), là giao của tất cả các iđêan cực đại của

R.

Nh vậy Jac(R) là iđêan của R Trong trờng hợp R là tầm thờng chúng ta quy ớc giao của họ rỗng các iđêan của vành giao hoán là Jac(R) = R

Khi R là vành địa phơng thì Jac(R) là iđêan cực đại duy nhất của R

Chúng ta có thể đa ra một đặc trng của căn Jacobson của vành giao hoán

nếu với mỗi a∈ R, phần tử 1 - ra khả nghịch.

Chứng minh (⇒) Giả sử 1 - ra không khả nghịch, khi đó theo chứng minh 14 tồn tại một iđêan cực đại M của R sao cho 1 - ra ∈ M Nhng theo

định nghĩa Jac(R) ta có r∈M, do đó (1- ra) + ra ∈M hay 1∈ M, vì vậy

M = R, trái với M là iđêan cực đại của R Vậy 1 - ra khả nghịch.

(⇐) Giả sử r ∉ Jac(R), khi đó tồn tại iđêan cực đại M của R mà r∉ M (vì theo định nghĩa Jac(R)) Từ đó ta có (r) + M = R (vì M cực đại) mà 1∈ R nên

1 ∈ (r) + M, hay tồn tại a∈ R, b∈ M sao cho 1 = ra + b, vậy b = 1 - ra Mặt khác, với mỗi a∈ R, phần tử 1 - ra khả nghịch nên b khả nghịch Theo mệnh

đề 14 thì b không nằm trong iđêan cực đại nào cả, trái với chứng minh trên b∈

M với M là iđêan cực đại của R Vậy r∈ Jac(R)

19 Định nghĩa Một miền nguyên R đợc gọi là miền iđêan chính hay

vành chính (viết tắt PID) nếu mọi iđêan của R đều là iđêan chính.

20 Định nghĩa Cho R là một miền nguyên

- Hai phần tử x và x’ của R đợc gọi là liên kết nếu x’ = ux trong đó u là phần tử khả nghịch của R

Từ đó ta có x và x’ là liên kết khi và chỉ khi x  x’ và x’  x

- Các phần tử liên kết với x và các phần tử khả nghịch gọi là các ớc

không thực sự của x, còn các ớc khác của x là các ớc thực sự của x.

Ví dụ trong miền nguyên ℤ thì ±3 là các ớc thực sự của 9, còn ±1 và ±9 là các ớc không thực sự của 9.

Giả sử x là một phần tử khác không và không khả nghịch của R, x gọi là một phần tử bất khả quy của R nếu không có ớc thực sự Hay nói cách khác x

là một phần tử bất khả quy của R nếu với mọi sự phân tích x = ab trong R thì một trong các phần tử a và b phải là khả nghịch

Ví dụ các số nguyên tố và các số đối của chúng là các phần tử bất khả quy của miền nguyên ℤ

- p∈ R đợc gọi là phần tử nguyên tố của R nếu p ≠ 0, p không khả nghịch

và với a, b∈ R mà ab  p thì a  p hoặc b  p

Chúng ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa phần tử nguyên tố và iđêan nguyên tố

aR = bR nếu và chỉ nếu a = ub với u là phần tử khả nghịch nào đó của R Chứng minh (⇒): Giả sử aR = bR, ta có a = ub, b = va với u, v ∈ R, suy

ra a = uva Vì R là miền nguyên và a ≠ 0 mà a(1- uv) = 0 nên 1 = uv

Từ đây ta cũng thấy trong một miền nguyên mới có luật giản ớc (au

(i) pR là iđêan cực đại của R

(ii) pR là iđêan nguyên tố khác 0 của R

(iii) p là phần tử nguyên tố của R