Hệ tham số và số bội luận văn thạc sĩ

Một ví dụ điển hình là các lớp môđun quen thuộc trong Đại số giao hoán như môđun Cohen – Macaulay, môđun Buchsbaum và môđun Cohen – Macaulay suy rộng đều được đặc trưng qua hệ tham số và

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HÀ QUANG PHỤC

HỆ THAM SỐ VÀ SỐ BỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyªn ngµnh: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mục lục……… …… 1

Mở đầu……… ……… 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị……… 4

1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và iđêan nguyên sơ……… 4

1.2 Môđun Noether và môđun Artin……… 4

1.3 Môđun có độ dài hữu hạn……… 5

1.4 Chiều Krull của vành và môđun……… 7

Chương 2 Hệ tham số và số bội……… 9

2.1 Hệ tham số……… 9

2.2 Hệ bội……….… 13

2.3 Số bội hình thức……….……… 17

2.4 Đa thức Hilbert và bội Hilbert-Samuel……….……… 31

Kết luận……… 37

Tài liệu tham khảo……….………. 38

MỞ ĐẦU

Chiều, bội, hệ tham số là ba đối tượng mật thiết, quyết định đến cấu trúc của một môđun Đó cũng là ba khái niệm cơ bản nhất khi nói đến Đại số giao hoán Lý thuyết bội cho môđun Noether đóng vai trò rất quan trọng trong Đại

số giao hoán và Hình học đại số Thông qua việc nghiên cứu số bội, người ta

có thể nói lên cấu trúc của các vành Noether và các môđun hữu hạn sinh trên vành Noether Một ví dụ điển hình là các lớp môđun quen thuộc trong Đại số giao hoán như môđun Cohen – Macaulay, môđun Buchsbaum và môđun Cohen – Macaulay suy rộng đều được đặc trưng qua hệ tham số và số bội

Cho (R, m) là một vành giao hoán địa phương Noether và M là một

R- môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d 0 Một hệ gồm d phần tử

x 1 , , x d trong m được gọi là một hệ tham số của M nếu độ dài của môđun thương M/(x1 , , x d)M hữu hạn

l R (M/I n+1 M) theo biến n là một đa thức bậc d, hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn Hệ số

cao nhất của đa thức này dương và đa thức này chỉ nhận giá trị nguyên không

âm với mọi giá trị nguyên n đủ lớn Đa thức này được gọi là đa thức

Hilbert- Samuel và thường được biểu diễn dưới dạng:

d là kí hiệu của tổ hợp chập k của d phần tử, với ei là các số

nguyên với mọi 0  i  d, trong đó e0 dương Số nguyên dương e0 mang nhiều thông tin quan trọng về môđun M, đặc biệt về góc độ hình học thì nó

Hilbert- Samuel của môđun M theo iđêan I Bội Hilbert- Samuel cũng chính

là số bội hình thức được định nghĩa bằng qui nạp khi I là một iđêan tham số (tức I là iđêan sinh bởi một hệ tham số) Khi I = m thì e0 được gọi là bội Hilbert- Samuel của môđun M và được kí hiệu là e(M).

Mục đích của Luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để trình bàylại một cách có hệ thống một số vấn đề về hệ tham số và số bội Ngoài phần

Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia làm hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bàymột số kiến thức cơ sở của đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn Ngoài

ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đềnhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

Chương 2: Trong phần này chúng tôi trình bày về định nghĩa và cáctính chất của hệ tham số, hệ bội, số bội hình thức cũng như bộiHilbert-Samuel và mối quan hệ giữa bội Hilbert-Samuel và số bội hình thức

Luận văn được hoàn thành vào tháng 01 năm 2012 tại trường Đại họcĐồng Tháp dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhândịp này chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫntận tình trong quá trình học tập và nghiên cứu Chúng tôi xin cám ơn các thầygiáo, cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học, các đồng nghiệp và gia đình đãgiúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập.

Nghệ An, tháng 01 năm 2012

Tác giả

Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại

số giao hoán có sử dụng trong Luận văn Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một

số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứngminh ở phần sau Trong toàn bộ Luận văn vành luôn được giả thiết là giao

Kí hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R.

(ii) Iđêan mcủa R được gọi là iđêan cực đại nếu mR và nếu I là một

iđêan của R, I mÙ thì I=R.

Kí hiệu J R là giao tất cả các iđêan cực đại của vành R Khi đó   J R 

Vành R được gọi là nửa địa phương nếu R có hữu hạn iđêan cực đại, vành R được gọi là vành địa phương nếu R có duy nhất một iđêan cực đại.

(iii) Iđêan q của R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu qRvà x y R, 

mà xy q và nếu xq thì   n sao choy nq

1.2 Môđun Noether và môđun Artin

1.2.1 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun.

Môđun M được gọi là môđun Noether nếu thỏa một trong các điều kiện tương

đều dừng, nghĩa là M k M k1 với mọi kđủ lớn

(iii) Mỗi môđun con của M đều hữu hạn sinh.

Vành R được gọi là vành Noether nếu nó là một R- môđun Noether.

1.2.2 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun.

Môđun M được gọi là môđun Artin nếu thỏa một trong các điều kiện tương

đều dừng, nghĩa là M k M k1 với mọi kđủ lớn

Vành R được gọi là vành Artin nếu nó là một R- môđun Artin.

1.2.3 Mệnh đề Cho R là vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớp ngắn các

và chỉ nếu N và P là Noether (tương ứng Artin).

1.2.4 Hệ quả Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các R- môđun Noether

(tương ứng Artin) là một R- môđun Noether (tương ứng Artin).

1.2.5 Định lí (Định lí cơ sở Hilbert) Nếu R là một vành Noether thì vành đa

Noether R và I là một iđêan của R, N là môđun con của M Khi đó tồn tại số

nguyên q 0sao cho I n q I M q N I M n N,

1.2.9 Định lí Giả sử M là một R- môđun Noether và I là một iđêan được

chứa trong căn Jacobson của R Khi đó

1

0

n n

1.3 Môđun có độ dài hữu hạn

1.3.1 Định nghĩa Một R-môđun khác môđun không được gọi là môđun đơn,

nếu nó chỉ có hai môđun con là môđun con không và chính nó

1.3.2 Định nghĩa Một dãy hợp thành của R-môđun M là một dãy giảm gồm

một số hữu hạn các môđun con

 

sao cho M M i / i10  i n 1là các môđun đơn Khi đó số n được gọi là độ

dài của dãy hợp thành Môđun M có một dãy hợp thành được gọi là một môđun

có dãy hợp thành

1.3.3 Định lí (Định lí Jordan- Holder) Nếu R-môđun M có một dãy hợp

thành với độ dài n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các môđun con của M đều có

độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành.

1.3.4 Định nghĩa Nếu R-môđun M có dãy hợp thành, thì tất cả các dãy hợp

thành của M có cùng độ dài Khi đó độ dài của các dãy hợp thành của M được

dãy hợp thành thì ta quy ước độ dài ( )l M và gọi là môđun có độ dài vô hạn R

1.3.5 Định lí Một R-môđun M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là

Noether vừa là Artin.

1.3.6 Định lí (Tính cộng tính của độ dài) Cho R là một vành giao hoán có

có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và P có độ dài hữu hạn và ta luôn có

(ii) Môđun thương M/N cũng có dãy hợp thành với ( l M N R / )l M R( )

1.3.10 Định nghĩa Cho R là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m

xác định của M (hay còn gọi là iđêan định nghĩa) nếu l M IM hữu hạn R / 

1.3.11 Mệnh đề Nếu I là một iđêan xác định của M thì I cũng là iđêan xác

định của các môđun con và môđun thương của M.

1.3.12 Mệnh đề Cho N là một R-môđun con của M và x là một phần tử của

1.4 Chiều Krull của vành và môđun

Một xích các iđêan nguyên tố của R là một dãy hữu hạn, tăng thực sự các iđêan nguyên tố của vành R có dạng p0 p1  pn trong đó pi-1 pi

với mọi 1,2, ,i n Số nguyên n được gọi là độ dài của xích.

1.4.1 Định nghĩa Chiều Krull của một vành R là cận trên đúng của tất cả các

(hoặc dimM), là dimR/AnnM nếu M khác môđun không, và nếu M là môđun

để lR(M/(a1,a2 ,…,a r )M) <  Ta có khái niệm sau

1.4.2 Định nghĩa Cho (R,m) là một vành địa phương Noether với iđêan cực

gọi là cực điểm của môđun M.

(ii) Chiều Chevalley, kí hiệu s(M) của M, là số nhỏ nhất r sao cho tồn

tại a1, a2,…,ar  m để lR (M/ ( a1,a2,…,ar )M) < 

Nếu M là môđun 0, thì người ta quy ước s(M) = -1.

Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether R, khi đó ba bất biến của M: cực điểm d(M); chiều Krull dimM; chiều Chevaley s(M) được thống nhất qua định lí cơ bản sau đây.

1.4.3 Định lí (Định lí cơ bản về chiều) Cho M là một R- môđun hữu hạn

sinh trên một vành địa phương Noether R Khi đó ta có

dim M = d(M) = s(M).

Chương II HỆ THAM SỐ VÀ SỐ BỘI

2.1 Hệ tham số

Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại

Khi đó theo Định lí cơ bản về chiều, thì sẽ tồn tại một hệ gồm d phần tử

x  x x x của m sao cho R( M / ( , , ) ) x1 x M  d

2.1.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương

Noether với iđêan cực đại duy nhất m; có chiều Krull dimM  d 0.

Khi đó hệ gồm d phần tử x: x x1, , ,2 xd của m sao cho

R M x x M  d

Iđêan  x x1, , ,2 xd được sinh bởi một hệ tham số được gọi là iđêan tham số Nếu x: x x1, , ,2 xd là một hệ tham số của môđun M thì hệ các phần tử

 x x1, , ,2 xi (i d ) được gọi là một phần hệ tham số của M.

2.1.2 Nhận xét Từ định nghĩa ta thấy rằng nếu x: x x1, , ,2 xd là một hệ

tham số của môđun M thì mọi hoán vị của của nó cũng là một hệ tham số của môđun M Hơn nữa, nếu x x1, , ,2 x là một hệ tham số của M, và d x x1, , ,2 x d

tương ứng là ảnh của x x1, , ,2 x trong d S R AnnM / Khi đó bởi

dimM dimS d , và iđêan (x x1, , ,2 x ) là mS-nguyên sơ, nên d x x1, , ,2 x d

cũng là hệ tham số của S

2.1.3 Ví dụ Với K là trường, thì vành các chuỗi lũy thừa hình thức với các

biếnX X1, , , ;2 X R K X X n  [[ , , , ]]1 2 X là một vành địa phương Noether chiều n

n Khi đó X X1, , ,2 X là một hệ tham số của R n

Sau đây là một số tính chất của hệ tham số

2.1.4 Mệnh đề Nếu x: x x1, , ,2 xd là một hệ tham số của môđun M và

cũng là một hệ tham số của môđun M.

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp.

Bây giờ giả sử d 1 Đặt 1

2.1.5 Mệnh đề Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương

Noether (R, m) với m là iđêan cực đại của R, và dimM  d 0 Khi đó nếu

khi và chỉ khi x x1, , 2 x là một phần của hệ tham số i

Chứng minh Trước hết ta thấy rằng nếu I, J là các iđêan của vành R và đặt

Từ đó suy ra nếu N = M/aM, thì N/( x x1, , 2 x )N i  M/( x x1, , 2 x )M i

đặt N M x M / 1 Giả sử dim N s và y y1, , ,2 y là một hệ tham số của N s

Khi đó N y y/ ( , , , )1 2 y N M x y y s  / ( , , , , )1 1 2 y M s có độ dài hữu hạn

Từ đó suy ra dim /M x M1 dim  N s và s1 dim  M

Vậy dim /M x M1 dimM 1 Với i 1 và giả sử bất đẳng thức đúng

với mọi giá trị nhỏ hơn i, ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với i.

Tiếp theo ta giả sử dim / ( , , , ) dimM x x1 2 x M i  M i Gọi

có độ dài hữu hạn Như vậy x x1, ,2 x x i1, i2 ,x d là một hệ tham số của M.

Do đó x x1, , ,2 x là một phần hệ tham số của M Ngược lại, giả sử i x x1, , ,2 x i

là một phần hệ tham số của M Khi đó tồn tại x x i1, i2 ,x d sao cho

hệ số của f nằm trong m

Chứng minh Giả sử G(Q) là vành phân bậc liên kết của Q Khi đó

1 2



G Q R Q x x x với x x1, , ,2 x tương ứng là ảnh của d x x1, , ,2 x d

trong Q Q Xét toàn cấu phân bậc bậc không / 2

Từ giả thiết về f ta suy ra f kerF , lại vì f không là ước của không trong S.

Nên trong trường hợp này ta có:

2.1.7 Hệ quả Cho (R, m) là vành địa phương Noether chiều d với iđêan cực

đại m và trường thặng dư R/m Cho K R là một trường đẳng cấu với trường con của trường R/ m Giả sử x x1, , ,2 x là một hệ tham số của R d Khi đó x x1, , ,2 x độc lập đại số trên K d

Chứng minh Giả sử trái lại x x1, , ,2 x không độc lập đại số trên K Khi đó d

tồn tại

là một đa thức khác không, để f x x( , , , )1 2 x  Viết đa thức d 0 f g q  với g

là tổng của tất cả các hạng tử bậc s thấp nhất của f, còn q là đa thức bậc không hoặc là tổng tất cả các hạng tử có bậc lớn hơn s của f Khi đó g là đa thức khác không thuần nhất bậc s Lại vì

đề 2.1.6 thì các hệ số của g nằm trong m Điều này mâu thuẫn với giả thiết về

các hệ số của f nằm trong K Vậy f 0và do đó x x1, , ,2 x độc lập đại số d

2.2.1 Định nghĩa Cho M là một R- môđun và x x1, , ,2 x t  là các phần tử t 0

của vành R Khi đó hệ các phần tử x: x x1, , ,2 x t được gọi là hệ bội của M nếu R- môđun M /x M1 x M2  x M t có độ dài hữu hạn Khi t 0 điềukiện này được hiểu là l M   R 

Từ định nghĩa trên ta thấy, mỗi hệ tham số của M cũng là hệ bội của M

2.2.2 Bổ đề Giả sử M là một R- môđun và x x1, , ,2 x là các phần tử của t vành R Khi đó

l M x n M R /    n n n l M xM1 2 t R /  (a) với n n1, , ,2 n là các số nguyên dương tùy ý t

Chứng minh Trước hết ta chứng minh

2.2.3 Hệ quả Giả sử các phần tử x x1, , ,2 x là một hệ bội của M t

(i) Nếu x M  thì các phần tử i 0 x x1, , ,2 x i1,x i1, ,x t cũng là hệ bội của M.

ii) Với các số nguyên dương tùy ý n n1, , ,2 n Khi đó t x n cũng là hệ bội 

2.2.4 Bổ đề Giả sử 0 M' M  M" 0 là một dãy khớp các R- môđun

Và nếu x là hệ bội của M’ và M” thì từ (*) suy ra l M xM   R / 

Hay x cũng là hệ bội của M 

2.2.5 Mệnh đề Giả sử 0 M ' M  M" 0là dãy khớp các R- môđun Noether và x x1, , ,2 x các phần tử của vành R Khi đó t x: x x1, , ,2 x t là hệ bội của M khi và chỉ khi x là hệ bội của M’ và M”.

Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử M’ là môđun con của M và M”=M/M’.

Điều kiện đủ đã có (do Bổ đề 2.2.4).

Ta chứng minh điều kiện cần Đặt I x R x R1  2  x R t Khi đó theo

Vậy x:x x1, , ,2 x t là hệ bội của M’ 

của môđun con và môđun thương của M.

2.2.6 Chú ý Giả sử x: x x1, , ,2 x t là một hệ bội của R- môđun M và I là

R- môđun Ta kí hiệu x là ảnh của i x trong i R Khi đó do x M i x M i nên

2.3.1 Định nghĩa Giả sử M là một R- môđun Noether và x: x x1, , ,2 x t là

hệ bội của M Số bội hình thức của M đối với hệ bội trên là một số nguyên

không âm, kí hiệu là e x M và được định nghĩa bằng qui nạp sau đây R ; 

Với t 0, trong trường hợp này tập rỗng cũng là hệ bội của M,

nên l M   Do đó đặt R 

Với t 1, ta có môđun thương M x M và môđun con / 1 0 :M x cũng là1

Noether Bởi Mệnh đề 2.2.5 thì xcũng là hệ bội của hai môđun trên.

Nhưng x làm triệt tiêu môđun 1 M x M do đó / 1 x x2, , ,3 x cũng là hệ bội của t

Như vậy số bội hình thức đã được xác định bởi (1) và (2)

Đặt R R I / và gọi x là ảnh của i x trong R qua phép chiếu chính tắc Khi đó i

M có cấu trúc là R- môđun Noether và theo Chú ý 2.2.6 thì x x1, , ,2 x cũng t

là hệ bội của R - môđun M, hơn nữa x và x x1, , ,2 x đều là hệ bội của M, do t

đó ta có e x M R ;  e x x R 1, , , ;2 x M t 

Thật vậy với t 0 thì e x M R ;  l M R  l M R  e x x R 1, , , ;2 x M t 

minh đúng với số phần tử của hệ bội là t Lại do M x M/ 1 M x M/ 1

xạ hạn chế của với ': 0 :M'x 0 :M x và nó cảm sinh một ánh xạ

1

m thỏa m1 m" khi đó m m 1M ' xm xm 1xM' vì vậy xmvà xm1

có cùng ảnh trong M xM'/ ' điều này chứng tỏ f là ánh xạ và kiểm tra thấy rằng

f cũng là ánh xạ tuyến tính Như vậy các ánh xạ trong (3) đã được định nghĩa.

Chúng ta chỉ cần chứng tỏ (3) là dãy khớp Trước hết ta chứng minh

Ta cần chứng minh kerj * Im f Giả sử nkerj *và n là ảnh của m”

trong M xM'/ ' Khi đó j * n là ảnh của m’ trong M xM/ Từ chổ j * n ,

'

m xm với m M Đặt m"y m khi đó xm"yxm y m' 0.Điều này chứng tỏ m"0: M"x Hơn nữa ta có f(m”) là ảnh của xm m '

trong M xM'/ ' hay f(m”)=n Vì vậy nImf và do đó kerj * Im f Hay kerj * Im f 

Định lý sau đây cho thấy rằng số bội hình thức có tính chất cộng tính

2.3.3 Định lý Cho 0 M' M M" 0 là dãy khớp các R- môđun Noether và x là hệ bội của M’, M và M” Khi đó ta có

Hơn nữa, Cho 0 M P M p1  M0  0 là dãy khớp các R- môđun

Noether và x là hệ bội của M , i  i 0,p Khi đó ta có    

e x M Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo t.

Khi t 0 do tính chất cộng tính của hàm độ dài (Định lí 1.3.6), ta có

quy nạp đúng với t  1 phần tử nên từ dãy khớp trên ta có: