tiểu luận Iđêan nguyên tố và tập bất khả quy

LỜI NÓI ĐẦU Hình học đại số là bộ môn toán học dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình học .Các hình học trong không gian thường được biểu diễn bởi tập nghiệm các hệ phương trình đa thức

MỤC LỤC

Lời nói đầu 2 Phần I Một số kiến thức chuẩn bị 3 Phần II Iđêan nguyên tố và tập bất khả quy Phần III Một số ví dụ ứng dụng Iđêan nguyên tố và tập bất khả quy trong

Tài liệu tham khảo

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học đại số là bộ môn toán học dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình học Các hình học trong không gian thường được biểu diễn bởi tập nghiệm các hệ phương trình đa thức Do đó để nghiên cứu các tính chất hình học người ta thường nghiên cứu các phương trình đa thức để mô tả các hình học và quy các vấn đề hình học về việc nghiên cứu tập nghiệm của các hệ phương trình đa thức hay chính là nghiên cứu tập đại số và khi đó Iđêan nguyên tố và tập bất khả quy là vấn đề mà chúng ta cũng cần phải quan tâm đến

Trong bài tiểu luận này tôi sẽ trình bày một số tính chất của iđêan nguyên tố và tập bất khả quy sau đó nêu một số ví dụ ứng dụng Iđêan nguyên tố và tập bất khả quy trong

Bài tiểu luận được mang tên “Iđêan nguyên tố và tập bất khả quy trong ”

Bố cục bài tiểu luận này gồm 3 phần :

Phần I Một số kiến thức chuẩn bị

Phần II Iđêan nguyên tố và tập bất khả quy

Phần III Một số ví dụ ứng dụng trong

Bài tiểu luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS-TS Nguyễn Huỳnh Phán Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

đã tận tình giúp đỡ các học viên trong qua trình học tập và nghiên cứu

Vinh,tháng 7 năm 2012

PHẦN I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I.TẬP ĐẠI SỐ

1.Đa thức nhiều biến

a.Định nghĩa Cho k là một trường (trong bài này ta xét k=R ,C) và n là số

nguyên dương Vành đa thức k của n biến trên k được định

là vành đa thức của biến xn trên vành k .Kí hiệu k = k Khi

đó k là vành giao hoán có đơn vị

Các phần tử của k được gọi là đa thức Mọi đa thức f đều có dạng :

f =

với m và k.Các phần tử 0 được gọi là các hệ số và các biểu

bậc của f

b Nhận xét :

1/deg(f.g) =deg f +deg g, f,g k

2/f k ,thì :

3/f k ,degf=1 f là đa thức bậc nhất

Điểm a được gọi là nghiệm của f nếu f(a)=0.Khi đó ta nói f triệt tiêu tại a

2.Tập đại số

a.Định nghĩa Giả sử k là một trường vô hạn phần tử

Tập V kn gọi là tập đại số nếu V là nghiệm của một họ các đa thức k

V={ x=( ) kn / fi (x) =0 fi S k }

ta có thể coi các tập đại số là các hình học trong kn và là tập đóng trong kn

b.Một số ví dụ về tập đại số

-Tập là tập đại số vì tập là nghiệm của phương trình 1=0

- Mọi điểm a=( ) là tập đại số vì a là nghiệm của hệ phương trình

xi-ai =0, i=1, ,n

-Đường thẳng trong Rn là tập đại số

-Mặt phẳng trong Rn là tập đại số

-Không gian kn là tập đại số vì phương trình 0=0 đúng với điểm của kn.

-Tập các điểm nằm trên trục ox trong là tập đại số

c.Nhận xét :

Mọi tập đại số V R1 đều là tập hữu hạn ,ngược lại nếu V R là tập hữu hạn thì V

là tập đại số

Chứng minh :

1/ V Rn V={ x Rn / fi (x) =0 fi S k } là tập hữu hạn (vì phương trình bậc n ,n ẩn có hữu hạn nghiệm

2/ Nếu V R là tập hữu hạn ,giả sử V={ } thì V là nghiệm của đa thức

f(x)=(x- ) (x- ),do đó v là tập đại số

d.Một số tính chất của tập đại số

+) Kí hiệu

Cho f k ,kí hiệu Z(f) = {x kn / f(x)= 0 } được gọi là tập đại số Zariski

Cho S k ,kí hiệu Z(S):= Z(f) ,f S Z(S) được gọi là tập Zariski của tập S

b)Tính chất

Tính chất 1: Nếu S1 S2 thì Z(S1) Z(S2)

Tính chất 2: Hợp hữu hạn các tập đại số là tập đại số , Z(S1) Z(S2) = Z(S) ;

S = { f h /f S1 , g S2 }

Tính chất 3: Giao tùy ý của các tập đại số là một tập đại số

Tính chất 4 :Z(1)= ;Z(0) =kn do đó , kn là tập Zariski

3.Iđêan

Định nghĩa 1 :Cho A là vành giao hoán có đơn vị,tập I của vành A được gọi là

Iđêan của A nếu I và I thỏa mãn các điều kiện :

i) f+g I , f,g I

ii) h.f I , h A , f I

Ví dụ : I=(x) là iđêan

Định nghĩa 2 : Cho S là tập bất kì ,S A

Xét (S) := {g1f1 + g2f2 + +grfr / r N ,fi S ,gi A }.Khi đó (S) là iđêan và là iđêan

bé nhất chứa S ,gọi là iđêan sinh bởi tập S

Định nghĩa 3: Cho V kn , Iv : = { f k /f 0 trên V}

Ta thấy Iv là một iđêan trong k và gọi là iđêan của tập V

Định nghĩa 4:Bao đóng của V trong không gian tôpô X là tập đóng bé nhất chứa V

Kí hiệu là :

Mệnh đề 1 : Cho V là tập bất kì trong kn ,ta có :

a) = .

b) =IV

Chứng minh :

a)Vì là tập đóng bé nhất chứa V mà là tập dóng chứa V nên (1)

Ngược lại,vì = {mọi tập đóng chứa V} nên là tập Zariski ,từ đó ta co thể giả

thiết = Z(S), S k[X]

Vì mọi đa thức trong S đều triệt tiêu trên V nên S IV = {f k[X]/ f(a)=0 , a V }

Z(S) = (2)

Từ (1) và (2) ta có : =

b) Chứng minh : ta phải chứng minh IV và IV

+)Vì V nên IV

+)Lấy f IV ,theo a) thì = nên f(a) =0 , a f IV

Nhận xét :Nếu V kn là một tập đại số thì V =

Định nghĩa 5: Cho I là iđêan của vành A ,kí hiệu = { f A ,sao cho số tự

nhiên r sao cho f r I } ,gọi là căn của iđêan I

Nhận xét : là iđêan

Nếu iđêan I mà I= thì I được gọi là iđêan căn

PHẦN II IĐÊAN NGUYÊN TỐ VÀ TẬP BẤT KHẢ QUY I.Iđêan nguyên tố và tập bất khả quy.

1.Định nghĩa

a.Tập đại số bất khả quy

Tập đại số V kn gọi là tập đại số bất khả quy nếu V không thể là hợp của hai tập đại số bé hơn thật sự

b Iđêan nguyên tố

Iđêan I của vành A gọi là Iđêan nguyên tố nếu có f.g I thì hoặc f I hoặc g I c.Vành nhân tử hóa

Miền nguyên A được gọi là vành nhân tử hóa nếu mọi f A không khả nghịch thì tồn tại cách viết duy nhất f=f1.f2 fr ;fi A là những phần tử bất khả quy

2.Ví dụ

+ Z(x2-y) là tập bất khả quy

+ Iđêan 0 A là nguyên tố khi A là miền nguyên

+Vành đa thức k[X] là vành nhân tử hóa.

3.Định lý

Bổ đề 1 : Iđêan nguyên tố là iđêan căn

Chứng minh : Giả sử I là iđêan nguyên tố Ta cần chứng minh I = .Vì I nên ta chỉ cần chứng minh I

Giả sử f ,khi đó tồn tại số tự nhiên r sao cho f r I

f.(f )r-1 I ,vì I là iđêan nguyên tố nên

-Nếu f I thì ta có I

-Nếu ,tương tự cách phân tích f r ,ta cũng có f I và do đó I

Bổ đề 2: Iđêan căn của vành A là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I không là giao

của hai iđêan căn lớn hơn I thực sự

Chứng minh :

Điều kiện cần: Giả sử I là iđêan căn, nguyên tố và I= ,với J1 và J2 là hai iđêan căn lớn hơn I thực sự

Vì J1 và J2 là các iđêan nên J1 J2 J1 và J1 J2 J2 J1 J2 J1 =I

J1 và J2 không thể đồng thời chứa cá phần thử không thuộc I ,tức là hoặc J1 I hoặc J2 I ,mâu thuẫn với giả thiết với J1 và J2 là hai iđêan lớn hơn I thực sự

Do đó nếu I là iđêan của vành A là iđêan nguyên tố thì I không là giao của hai iđêan căn lớn hơn I thực sự

Điều kiện đủ :Giả sử I là iđêan căn của vành A và I không là giao của hai iđêan căn lớn hơn I thực sự ,ta cần chứng minh I là iđêan nguyên tố

Giả sử I không là I iđêan nguyên tố ,khi đó tồn tại f,g I nhưng f.g

Đặt J1 = ; J2 = thì I J1 , J2 suy ra I J1 J2 (1)

Lấy h J1 J2 suy ra

tồn tại số tự nhiên m1 sao cho và m2 sao cho

tồn tại số tự nhiên m sao cho

h2m =I2 +I(g)+I(f) +(fg) I

h I và I là iđêan căn J1 J2 I (2)

Từ (1) và(2) ta có I J1 J2 ,mâu thuẫn với giả thiết.Do đó I phải là iđêan nguyên tố

Ví dụ :

+Tập chỉ gồm một điểm là tập bất khả quy do nó chỉ có tập rỗng là tập đại số nhỏ hơn

+Kn là tập bất khả quy vì nếu nó là hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thì giao của 2 tập

mở là phần bù tương ứng phải là tập rỗng, nhưng điều này là không thể vì 2 tập mở thực sự Zariski luôn giao nhau

Nhận xét 1:Iđêan lớn nhất trong họ các iđêan thực sự của vành A là iđêan nguyên

tố.Những iđêan như vậy gọi là iđêan cực đại

Chứng minh : Giả sử e là đơn vị của A và I là iđêan lớn nhất trong họ các iđêan thực

sự của vành A.Giả sử u,v A sao cho uv I và u I.Thế thì J =I+Au cũng là một iđêan chứa I và khác I mà theo giả thiết I là iđêan lớn nhất trong họ các iđêan thực

sự của vành A nên J=X Do đó ta có thể viết :

e=a+xu ,a I ,x A

Nhân hai vế với v ta được :v=av + xuv

Vì a I nên av I mà uv I v I.Vậy I là iđêan nguyên tố

Ví dụ :

1/ I cực đại khi và chỉ khi (I, f) = A với mọi f ∉ I;

2/ Ia = (x1 – a1, x2 – a2,…., xn – an) là iđêan cực đại trong K[X]

Thật vậy, giả sử 0 = (0, 0, …, 0) Khi đó Ia = (x1, x2,…., xn) Với một đa thức f

∈ K[X] ta viết được

f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn + c

Nếu f ∈ Ia thì c ∈ K là hằng số khác không Vì vậy c ∈ (Ia, f) và do đó (Ia, f)

= K[X]

Nhận xét 2 : Nếu I1 ⊆ I2 ⊆… ⊆ Ij ⊆ …… là một dãy tăng các iđêan thực sự thì

hợp I j

j

U cũng là một iđêan thực sự Vì vậy, áp dụng Bổ đề Zorn ta nhận được: Mọi

iđêan thực sự đều nằm trong một iđêan cực đại Do đó mọi iđêan cực đại đều nằm trong một iđêan nguyên tố

Chứng minh :

Định lý 1: Tập V kn là tập đại số bất khả quy khi và chỉ khi iđêan I là nguyên tố

Chứng minh :

Điều kiện cần :Giả sử V kn là tập đại số bất khả quy nhưng Iv không nguyên tố

Vì Iv là iđêan căn nên theo mệnh đề 2 ta có Iv= ,với J1 và J2 là hai iđêan căn lớn hơn Iv thực sự

Ta có : = = Vì V là tập đại số nên V=

-Nếu thì J1 I V

-Nếu V = thì J2 I V

Vô lý vì J1 và J2 là hai iđêan căn lớn hơn Iv thực sự

Vậy iđêan Iv là nguyên tố

Điều kiện đủ :Giả sử Iv là nguyên tố ,ta cần chứng minh V là tập bất khả quy

Giả sử V không bất khả quy ,khi đó V= V1 V2 ,với V1 và V2 là tập đại số bé hơn thật sự của V

Kí hiệu I1 : = , I2 : =

I V = = I1 I2 I V I1 , I V I2 mà I V là nguyên tố nên hoặc IV =I1

hoặc IV = I2 hoặc V=V1 hoặc V =V2 ,mâu thuân với giả thiết

Vậy V là tập bất khả quy

Ví dụ :

1/Tập chỉ gồm một điểm a K1 bất khả quy vì Ia là iđêan cực đại và do đó là nguyên tố

2/Không gian Kn là tập bất khả quy vì =0 là iđêan nguyên tố

Nhận xét :Không phải iđêan nguyên tố nào trong K[X] cũng là iđêan của một tập bất khả quy

Ví dụ :Lấy iđêan nguyên tố trong R[X] mà nó chứa đa thức x2 +2

Bổ đề 3:Cho vành A là vành nhân tử hóa Thế thì iđêan chính (f) là iđêan nguyên tố

khi và chỉ khi f là bất khả quy

Chứng minh

Điều kiện cần :Cho f là tập bất khả quy ta cần chứng minh (f) nguyên tố.

Giả sử h,g A và h.g (f) Vì h.g (f) nên h.g =f.l ,l A

Từ sự phân tích của hg thành tích của các phần tử bất khả quy suy ra f là một ước

Điều kiện đủ : Cho (f) nguyên tố ,nhưng không phải là phần tử bất khả quy f= h.g

với g,h là những phần tử không khả nghich Vì (f) nguyên tố nên g hoặc h phải chia hết cho f

f=h.g =g.f.u =f(gu) gu=1 g khả nghịch ,mâu thuẫn Vậy (f) nguyên tố thì f là phần tử bất khả quy

Ví dụ :Trong R[x,y] ,iđêan chính (x2+y2) là iđêan nguyên tố vì x2+y2 là bất khả quy trong R[x,y]

Trong [X] , iđêan (ax+b) (a,b )là iđêan nguyên tố vì ax+b là bất khả quy trong

[x]

Một số kết quả về đại số giao hoán sau đây có thể tìm thấy chứng minh trong [ 2]

Định lý 1: Nếu A là vành nhân tử hóa thì vành đa thức A[x 1 , x 2 ,…., x n ] là vành nhân tử hóa.

Định lý 2:Nếu A là vành nhân tử hóa thì A[x] là vành nhân tử hóa

Định lý 3: Vành idean chính là vành nhân tử hóa.

Bổ đề 4:Cho K là trường, thế thì mọi dean I ≠ 0 của K[x] đều là idean chính và I

= (g) với g là đa thức có bậc nhỏ nhất trong I.

Chứng minh: Dùng thuật toán Euclide, ta viết mọi f ∈ I dưới dạng f = gh + u với degu < deg g Vì u = gh – f ∈ I nên u = 0, suy ra f = gh Điều này chứng tỏ I

= (g)

Nhận xét: Mọi đa thức f ∈ K[X] đều phân tích được thành tích các đa thức bất khả

quy:

f = g1 g2… gr

Khi đó Z(f) = Z(g1) UZ(g2) U… U Z(gr)

Kết quả sau cho một tiêu chuẩn để nhận biết tập đại số bất khả quy

Bổ đề 5:Cho f là đa thức bất khả quy trong K[X] Nếu I Z(f) = (f) thì Z(f) là tập bất khả quy.

Chứng minh Vì f bất khả quy nên (f) là iđêan nguyên tố Do vây Z(IZ(f)) = Z((f)) là tập bất khả quy

Ví dụ : Đa thức xp-yq là bất khả quy trong K[x] Mặt khác

nên đường cong (tập đại số) xp-yq =0 là bất khả quy

Chú ý Điều kiện IZ(f) = (f) trong Mệnh đề trên là không bỏ được, thật vậy, có những

đa thức bất khả quy nhưng Z(f) không phải là tập bất khả quy, như f = x2 + 1 bất khả quy trong R[x] nhưng Z(f) = φ không phải là tập bất khả quy

PHẦN III MỘT SỐ VÍ DỤ ỨNG DỤNG TRONG

1.Đường thẳng trong : :

Cho f = ax+by+c và g= ta có V=Z(f) Z(g)= {(x,y,z) /

} là tập đại số bất khả quy

Vì f,g bất khả quy nên (f,g) là iđêan nguyên tố

2.Mặt cầu trong (R 3 ) : (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 =R 2

Cho f=(x-a)2 +(y-b)2 +(z-c) 2 - R2 ta có

khả quy

A Z(f) (1)

Mặt khác ,giả sử (x,y,z) Z(f)(z>0) (x-a)2 +(y-b)2 +(z-c) 2 - R2=0

(z-c) 2 = R2-(x-a)2 -(y-b)2 z-c =

Từ (1) và (2) ta có Z(f)=A

+)Chứng minh Z(f) là tập bất khả quy

Vì f bất khả quy nên (f) = ((x-a)2 +(y-b)2 +(z-c) 2 - R2)là iđêan nguyên tố

Mặt khác ta chứng minh được IV=( (x-a)2 +(y-b)2 +(z-c) 2 - R2)

+) ( (x-a)2 +(y-b)2 +(z-c) 2 - R2)

Với mọi f ta chứng minh f ((x-a)2 +(y-b)2 +(z-c) 2 - R2)

Với mọi f(x,y,z) k[x,y,z],ta coi f(x,y,z)là đa thức biến y với hệ số trong k[x,y],ta

có :

f=( (x-a)2 +(y-b)2 +(z-c) 2 - R2)g +v trong đó v k[x,y] Vì f nên f(

)=0 v( )=0; v k[x,y] với vô hạn số( ) nên v 0

f=( (x-a)2 +(y-b)2 +(z-c) 2 - R2)g f ((x-a)2 +(y-b)2 +(z-c) 2 - R2).

+( (x-a)2 +(y-b)2 +(z-c) 2 - R2 )

Lấy f ( (x-a)2 +(y-b)2 +(z-c) 2 - R2),f k[x,y,z] f= ((x-a)2 +(y-b)2 +(z-c) 2 - R2)g , g

k[x,y,z]

Với mọi v V v=( ) f(v)=0 f

((x-a)2 +(y-b)2 +(z-c) 2 - R2)

Do vây Z(IZ(f)) = Z((f)) là tập bất khả quy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Ngô Bảo Châu (2003) Giáo trình Hình học đại số

2 Ngô Việt Trung (2006) Nhập môn Đại số giao hoán và Hình học đại số

http://thuvientaonhoc.net.vn

3.Nguyễn Huỳnh Phán (2012) Nhập môn hình học đại số

4.Bộ Giáo Dục và Đào Tạo Sách giáo khoa 10,11,12 (2009)