Chặn đều chỉ số khả quy cho iđêan tham số của môđun hữu hạn sinh trên vành noether địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THÀNH TRUNG CHẶN ĐỀU CHỈ SỐ KHẢ QUY CHO IĐÊAN THAM SỐ CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Ngành: Đại số và Lý thuyết

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THÀNH TRUNG

CHẶN ĐỀU CHỈ SỐ KHẢ QUY CHO IĐÊAN THAM SỐ CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH

TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG

Ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Đỗ Minh Châu

THÁI NGUYÊN - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bị

trùng lặp với các luận văn trước đây Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành

luận văn là các nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được

ghi rõ nguồn gốc

4 ăm 2019

T giả ận n

Nguyễn Thành Trung

LỜI CẢM ƠN

Luận văn "Chặn đều chỉ số khả quy cho Iđêan tham số của môđunhữu hạn sinh trên vành Noether địa phương" được hoàn thành sau thờigian 2 năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm - Đại họcThái Nguyên Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tôi xin được bày tỏlòng biết ơn chân thành tới cô giáo của tôi - TS Trần Đỗ Minh Châu,người cô kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, động viên và tạo mọi điềukiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luậnvăn

Tôi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên, lãnh đạo khoa Toán, lãnh đạo khoa Sau đại học của Trường đãtạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tậpcủa mình

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạycho lớp Cao học chuyên ngành Toán khóa 25

Cuối cùng tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình, bạn

bè đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và nghiên cứu thật tốt

như một hàm theo biến n trong đó e(x; M ) là số bội của M ứng với dãy

x Mặc dù IM,x(n) không là đa thức với n1, , nd đủ lớn nhưng nó bịchặn trên bởi các đa thức Trong [7], N T Cường đã chứng minh đượcbậc bé nhất của tất cả các đa thức theo biến n chặn trên IM,x(n) là khôngphụ thuộc vào việc chọn x Bậc này được gọi là kiểu đa thức của M,

kí hiệu là p(M ) Chú ý rằng M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉnếu `(M/qM ) = e(q; M ), với một (và do đó với mọi) iđêan tham số qcủa M Vì thế nếu ta quy ước bậc của đa thức 0 là −1 thì M là môđunCohen-Macaulay khi và chỉ khip(M ) = −1.Để mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay, J Stuckrad và W Vogel đã giới thiệu lớp môđun Buchsbaum.Một R-môđun M được gọi là Buchsbaum nếu và chỉ nếu với mọi iđêantham số q, hiệu `(M/qM ) − e(q; M ) là không đổi Sau đó, N T Cường,

P Schenzel và N V Trung [9] đã giới thiệu lớp môđun Cohen-Macaulay

`(M/qM ) − e(q; M ) bị chặn trên với mọi iđêan tham số q của M Dễ

dàng thấy rằng M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu

p(M ) ≤ 0 Cho đến nay vẫn còn rất ít thông tin về cấu trúc của M khi

p(M ) > 0

Cho q là iđêan tham số của M Số thành phần bất khả quy xuấthiện trong một phân tích bất khả quy thu gọn của qM được gọi là chỉ

số khả quy của q trong M và kí hiệu là irM(qM ) Chú ý rằng ta luôn có

irM(qM ) = dimR/mSoc(M/qM ), trong đó với mỗi R-môđun N tùy ý,

Soc(N ) = (0 :N m) Một kết quả cổ điển của D G Northcott phát biểurằng chỉ số khả quy của các iđêan tham số đối với môđun Cohen-Macaulay

là một bất biến của môđun M Trong [11], S Endo và M Narita đã đưa

ra ví dụ chứng tỏ chiều ngược lại là không đúng Khi M là môđun Macaulay suy rộng, S Goto và N Suzuki [13] đã chứng minh rằngirM(qM )

Cohen-có chặn trên cho bởi công thức

!

`R(Hmj(M )) + dimkSoc Hmd(M )

với mọi iđêan tham số q của M Trong trường hợp M là môđun baum, S Goto và H Sakurai [12] đã chứng minh dấu bằng trong bất đẳngthức trên xảy ra với mọi iđêan tham số q nằm trong lũy thừa đủ lớn của

Buchs-m Tiếp theo, N T Cường và H L Trường [10] đã mở rộng kết quả củaGoto, H Sakurai cho trường hợp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Gầnđây, N T Cường và P H Quý đã sử dụng kỹ thuật chẻ ra của đối đồngđiều địa phương để chứng minh lại kết quả này

Mục đích của luận văn là trình bày lại kết quả của P H Quý trongbài báo "On the uniform bound of the index of reducibility of parameter

ideals of a module whose polynomial type is at most one" Kết quả khẳngđịnh nếu M là R-môđun hữu hạn sinh sao cho p(M ) ≤ 1 thì irM(qM ) bịchặn trên với mọi iđêan tham số q của M Ngoài phần mở đầu, kết luận

và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn gồm 2 chương

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản của môđun hữu hạn sinhgồm chiều, độ sâu và số bội; khái niệm và tính chất của Đối ngẫu Matlis,môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại và kiểu đa thức

Chương 2 trình bày khái niệm chỉ số khả quy, chặn đều số phần tửsinh tối tiểu của môđun con trong trường hợp chiều 1 và chặn đều chỉ sốkhả quy trong trường hợp p(M ) ≤ 1

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết (R,m) là vành giao hoánNoether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d, L là R-môđuntùy ý không nhất thiết hữu hạn sinh

1.1 Chiều, hệ tham số và số bội của môđun hữu hạn sinh

Mục đích của tiết này là nhắc lại khái niệm và một số kết quả vềcác bất biến của R-môđun hữa hạn sinh M gồm chiều, độ sâu và số bộiứng với một hệ tham số

Định nghĩa 1.1.1 Ta nói dãy các iđêan nguyên tố q0 ⊂ q1 ⊂ ⊂ qncủa R có độ dài n nếu qi 6= qi+1 với mọi i Chiều Krull của vành R là cậntrên đúng của tất cả độ dài của dãy các iđêan nguyên tố trong R ChiềuKrull của R được kí hiệu là dim R

Ví dụ 1.1.2 (i) Cho k là một trường Vành các đa thức vô hạn biến

R = k[X1, X2, , Xn, ] có chiều là ∞ vì xích các iđêan nguyên tố

(X1) ⊂ (X1, X2) ⊂ ⊂ (X1, X2, , Xn) ⊂

tăng vô hạn

(ii) Nếu R là vành Artin thì dim R = 0, vì mỗi iđêan nguyên tố của

R đều là một iđêan cực đại Đặc biệt, mỗi trường đều có chiều bằng 0

(iii) Vành các số nguyên Z có dimZ = 1, vì 0 là một iđêan nguyên

tố, còn mọi iđêan nguyên tố khác không là cực đại và có dạng pZ với p là

Chú ý rằng iđêan nguyên tố p ∈ AssRM nếu và chỉ nếu M chứamột môđun con đẳng cấu với R/p Hơn nữa, tập các iđêan nguyên tố tốitiểu chứa AnnRM và tập các iđêan tối tiểu của AssRM là bằng nhau Vìthế ta có công thức tínhdim M qua chiều của các iđêan nguyên tố liên kếtcủa M như sau

Bổ đề 1.1.4

dim M = max{dim(R/p) | p ∈ AssRM }

Cho I 6= R là iđêan của R Ta nói rằng I là iđêan nguyên sơ nếu

Cho L là R-môđun không nhất thiết hữu hạn sinh Dãy 0 = L0 &

L1 & L2 & & Lt = L (*) trong đó mỗi Li là môđun con của L đượcgọi là dãy môđun con độ dài t Ta nói L có dãy hợp thành nếu tồn tại dãy(*) mà giữaLi và Li+1 không thể thêm một môđun con nào khác, với mọi

i = 0, , t − 1 Nếu L có dãy hợp thành thì mọi dãy môđun con không

có mắt lặp lại của L đều có thể mở rộng được thành một dãy hợp thành

và các dãy hợp thành của L có chung độ dài Trong trường hợp này ta nói

L có độ dài hữu hạn và độ dài của L, kí hiệu là `R(L), là độ dài của mộtdãy hợp thành Nếu L không có dãy hơp thành thì ta nói L có độ dài vôhạn, ta kí hiệu `R(L) = ∞

Định lý sau cho ta hai bất biến tương đương với chiều Krull của M.Định lý 1.1.5 [14, Định lý 13.4] Cho q là một iđêan m-nguyên sơ Khi

đó `R(M/qnM ) là một đa thức với hệ số hữu tỉ khi n đủ lớn và

{x1, , xd} là một hệ tham số củaM thìxi được gọi là một phần tử tham

số của M và tập con i phần tử {x1, , xi} được gọi là một phần hệ tham

số của M

Chú ý rằng luôn tồn tại hệ tham số của M theo Định lý 1.1.5 Khi

đó (x1, , xd) + AnnRM là iđêan m-nguyên sơ Mệnh đề sau cho ta một

số tính chất của hệ tham số

Mệnh đề 1.1.7 Các phát biểu sau là đúng

(i) Nếu {x1, , xd} là một hệ tham số của M thì {xn1

1 , , xnd

d } cũng làmột hệ tham số của M với mọi n1, , nd ∈ N

(ii) Cho x ∈ m Khi đó x là phần tử tham số của M khi và chỉ khi x /∈ pvới mọi p ∈ AssRM thỏa mãn dim R/p = d

Với hai số tự nhiên k ≤ n, ta đặt nk
là tổ hợp chập k của n phầntử

Định nghĩa 1.1.8 Cho x = (x1, , xd) là hệ tham số của M Đặt

q = (x1, , xd) Khi đó tồn tại các số nguyên e0, e1, , en với e0 > 0 saocho với n đủ lớn ta có

Ta gọi e0 là số bội của M ứng với x và kí hiệu là e(x, M )

1.2 Đầy đủ theo tôpô m-adic và Đối ngẫu Matlis

Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m, L là Rmôđun không nhất thiết hữu hạn sinh Mục tiêu của tiết này là nhắc lạikhái niệm vành đầy đủ bR của R theo tôpô m-adic và một số kết quả vềhàm tử đối ngẫu Matlis D(−) := Hom(−, E(R/m)) Nội dung tiết nàytham khảo trong [4, Chương 10]

-Định nghĩa 1.2.1 Một dãy (xn) ⊂ R được gọi là một dãy Cauchy theotôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 ∈ N để xn− xm ∈ mk,

với mọi m, n ≥ n0 Dãy (xn) ⊂ R được gọi là dãy không nếu với mỗi

k ∈ N cho trước tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ mk, với mọi n ≥ n0

Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Haidãy Cauchy (xn), (yn) được gọi là tương đương nếu dãy (xn − yn) là dãykhông Kí hiệu bR là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy Chú ý

rằng tổng và tích của hai dãy Cauchy là một dãy Cauchy, quy tắc cộng

(xn) + (yn) = (xn + yn) và quy tắc nhân (xn)(yn) = (xnyn) không phụthuộc vào cách chọn đại diện của các lớp tương đương Vì thế chúng làcác phép toán trên bR và cùng với phép toán này bR làm thành một vànhNoether địa phương với iđêan tối đại duy nhất mb Vành bR vừa xây dựngđược gọi là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R

Một dãy (zn) ⊂ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu vớimỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 ∈ N sao cho zn − zm ∈ mkM, với mọi

m, n ≥ n0 Dãy (zn) ⊂ M gọi là dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho trước

tồn tại n0 ∈ N sao cho zn ∈ mk, với mọi n ≥ n0 Ta trang bị quan hệtương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy (zn), (tn)

được gọi là tương đương nếu dãy (zn− tn) là dãy không Kí hiệu cM là tậpcác lớp tương đương của các dãy Cauchy Chú ý rằng tổng của hai dãyCauchy là một dãy Cauchy và tích vô hướng của một phần tử thuộc bR vớimột dãy Cauchy là một dãy Cauchy, quy tắc cộng (zn) + (tn) = (zn+ tn)

và quy tắc nhân vô hướng a(zn) = (azn) với a ∈ R,b không phụ thuộc vàocách chọn đại diện của các lớp tương đương Vì thế nó là các phép toántrên cM và cùng với phép toán này cM làm thành một bR-môđun và đượcgọi là môđun đầy đủ theo tôpô m-adic trên vành bR

Ví dụ 1.2.2 Cho k là một trường, k[x] là một vành đa thức một biếntrên k.Vành S = k[x]không là vành địa phương Chọn P = (x)S là iđêancực đại củaS Do đó vành địa phương hóa R = SP là vành địa phương vớiiđêan tối đại là m = (x)R Ta có thể kiểm tra được vành đầy đủ m-adiccủa R là k[[x]]

Định nghĩa 1.2.3 Cho L 6= 0 là một R-môđun, một R-môđun E đượcgọi là mở rộng cốt yếu của một môđun L nếu L ⊆ E và với mỗi môđuncon khác không N của E luôn có N ∩ L 6= 0 Một R-môđun E được gọi

là bao nội xạ của L nếu E là R-môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của

L Mỗi R-môđun L luôn có ít nhất một bao nội xạ Hơn nữa, nếu E và E0

là những bao nội xạ của L, thì tồn tại một đẳng cấu f : E → E0 sao cho

f (x) = x, với mọi x ∈ L Ta kí hiệu bao nội xạ của môđun L là E(L)

Một giải nội xạ của L là một dãy khớp

0 → L → E0 → E1 → E2 →

trong đó mỗi Ei là R-môđun nội xạ Chú ý rằng mỗi môđun đều có giảinội xạ

Định nghĩa 1.2.4 ĐặtE := E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư

đến chính nó Ta thấy D(−) là hàm tử phản biến, tuyến tính và khớp trái

Vì E là môđun nội xạ nên D(−) là hàm tử khớp Với mỗi R-môđun L, tagọi D(L) là đối ngẫu Matlis của L

Xét µL : L → DD(L) = HomR(HomR(L, E), E) là đồng cấu chobởi(µL(x))(f ) = f (x), với mỗix ∈ L, với mọi f ∈ HomR(L, E) Ta có µL

là đơn cấu Thật vậy, giả sử 0 6= x ∈ L Xét R-đồng cấu f0 : Rx → R/mxác định bởi f0(rx) = r +m với mọir ∈ R Khi đó f0(x) = 1 +m 6= 0.Xétđơn cấu nhúng i : R/m → E Do E là bao nội xạ nên tồn tại f : L → E

sao cho f = f j = if0, trong đó j là đơn cấu nhúng từ Rx → L Vì thế

f (x) = f j(x) = if0(x) = f0(x) 6= 0

Suy ra µL(x)(f ) 6= 0 Vậy µL là đơn cấu

Bổ đề 1.2.5 Giả sử (R,m) là vành địa phương Các phát biểu sau làđúng

(i) AnnRL = AnnRD(L);

(ii) Nếu `R(L) < ∞ thì D(L) ∼= L;

(iii) Nếu L là môđun Noether thì D(L) là môđun Artin;

(iv) (R,m)là vành đầy đủ vàL là môđun Artin thì D(L)là môđun Noether

1.3 Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại

Trong tiết này luôn giả thiếtRlà vành giao hoán Noether, I là iđêancủa R và L là R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh) Mục đích củatiết này là trình bày các tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địaphương phục vụ cho chương sau Các kiến thức và thuật ngữ ở đây đượctham khảo từ cuốn sách của Brodmann-Sharp [4]

Định nghĩa 1.3.1 Với mỗi R-môđun L, đặt ΓI(L) = ∪n≥0(0 :L In)

Chú ý rằng ΓI(L) là môđun con của L Nếu f : L → L0 là đồng cấu các

R-môđun thì f∗ : ΓI(L) → ΓI(L0) cho bởi f∗(x) = f (x) cũng là đồngcấu Do đó ta có hàm tử ΓI(−) từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù

R-môđun Rõ ràng, ΓI(−) là hàm tử hiệp biến, khớp trái và ta gọi nó làhàm tử I-xoắn

Định nghĩa 1.3.2 Môđun dẫn xuất phải thứn của hàm tửI-xoắn ΓI(−)

ứng với R-môđun L được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ n

của L với giá I, và được kí hiệu bởi HIn(L) Cụ thể để tính HIi(L) ta lấy

−→ Γ(E1) u

∗ 1

Mệnh đề 1.3.3 Các phát biểu sau đây là đúng:

(i) HI0(L) ∼= ΓI(L);

(ii) Nếu L là nội xạ thì HIi(L) = 0 với mọi i ≥ 1;

(iii) Nếu L là I-xoắn thì HIi(L) = 0 với mọi i ≥ 1;

(iv) HIi(L) là môđun I-xoắn với mọi I;

Định lý 1.3.4 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của

R Khi đó HIi(M ) = 0 với mọi i > dim M

Ví dụ 1.3.5 Cho R =Z là vành các số nguyên, M = Z/6Z là R-môđunhữu hạn sinh với dim = 0 và I = 12Z Ta có HI0(M ) = M và theo Định

lý triệt tiêu của Grothendieck thì HIi(M ) = 0 với mọi i > 0

Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạnsinh nhìn chung không Artin Sau đây là một kết quả về tính Artin củamôđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại, chứng minh bởi I G.Macdonald và R Y Sharp

Định lý 1.3.6 (Xem [4, Định lý 7.1.3]) Cho M làR-môđun hữu hạn sinh.Khi đó Hmi(M ) là R-môđun Artin với mọi số nguyên i ≥ 0

1.4 Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy rộng

Trong tiết này chúng ta nhắc lại khái niệm và một số kết quả thường

sử dụng trong chương 2 về lớp môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulaysuy rộng Trước hết ta nhắc lại khái niệm độ sâu của môđun

Định nghĩa 1.4.1 (i) Một phần tử x ∈ R được gọi là phần tử không làước của không đối với M nếu 0 :M x = 0, tức là xm = 0 kéo theo

m = 0 với mọi m ∈ M

(ii) Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử M-chính quy nếu ta có 0 :M x = 0

và M 6= xM, tức là x không là ước của không đối với M vàxM 6= M

(iii) Một dãy các phần tử (x1, , xk) trong vành R được gọi là M-dãychính quy hay M-dãy nếu xi là M/(x1, , xi−1)-chính quy với mọi

i = 1, , k, tức là M 6= (x1, , xk)M và

((x1, , xi−1)M :M xi) = (x1, , xi−1)M với mọi i = 1, , k

Ví dụ 1.4.2 ChoR = k[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức babiến x, y, z trên một trường k Khi đó x, y, z là R-dãy vì R 6= (x, y, z)R,

và ta có

(0 :R x) = 0, (0 :R/xR y) = 0, (0 :R/(x,y)R z) = 0

Định nghĩa 1.4.3 Một M-dãy (x1, , xk) các phần tử trong I được gọi

là M-dãy tối đại trong I nếu không tồn tại một phần tử y ∈ I sao cho

(x1, , xk, y) là M-dãy

rộng được thành M-dãy tối đại trong I và hai M-dãy tối đại trong I cóchung độ dài

Định nghĩa 1.4.5 Độ dài của mộtM-dãy chính quy tối đại trongI đượcgọi là độ sâu của M trong I và được kí hiệu là depth(I; M ) Độ sâu của

M trong iđêan cực đại m, được kí hiệu là depth M và được gọi là độ sâucủa M.

Ta luôn có bất đẳng thức depth M ≤ dim M Từ đó, ta có địnhnghĩa vành và môđun Cohen-Macaulay như sau

Định nghĩa 1.4.6 M là môđun Cohen-Macaulay nếuM = 0hoặc M 6= 0

và depth M = dim M Nếu R là môđun Cohen-Macaulay trên chính nóthì ta nói R là vành Cohen-Macaulay

Một trong những ví dụ quan trọng về vành Cohen-Macaulay là vành

K[[x1, , xn]] các chuỗi lũy thừa hình thức n biến trên một trường K

Vành này có chiều và độ sâu đều là n vì ta có dãy chính quy x1, , xn

của R = K[[x1, , xn]] Sau đây là một số tính chất của môđun Macaulay

Mệnh đề 1.4.8 Các điều kiện sau là tương đương

(i) M là môđun Cohen-Macaulay

(ii) cM là Cohen-Macaulay

(iii) M/xM là Cohen-Macaulay với mọi phần tử M-chính quy x ∈ m

(iv) Hmi(M ) = 0 với mọi i = 0, , d − 1

Giả sửe(x, M ) là số bội củaM ứng với hệ tham sốx = (x1, , xd).

Ta luôn có e(x, M ) ≤ `R(M/xM ) Dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu x là

M-dãy Từ đó ta có kết quả sau

e(x, M ) = `R(M/xM )

với mọi hệ tham số x

suy rộng nếu:

supx(`R(M/xM ) − e(x, M )) < ∞,

trong đó cận trên lấy trên tất cả các hệ tham số x của M

Định nghĩa 1.4.11 Vành R gọi là vành Cohen-Macaulay suy rộng nếu

R-môđun R là Cohen-Macaulay suy rộng

Sau đây là một đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng.Định lý 1.4.12 Các phát biểu sau đây là tương đương:

(i) M là Cohen-Macaulay suy rộng

(ii) `R(Hmi (M )) < ∞, với mọi i < d

(iii) cM là môđun Cohen-Macaulay suy rộng

trong đó e(x, M ) là bội của M ứng với hệ tham số x Nhìn chung, IM,x(n)

xét như một hàm số với các biếnn1, , nd không là đa thức với n1, , nd

đủ lớn nhưng nó luôn nhận giá trị không âm và bị chặn trên bởi các đathức

Định nghĩa 1.5.1 Bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo biến n chặntrên hàm số IM,x(n) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x Bấtbiến này được gọi là kiểu đa thức của M và được kí hiệu là p(M )

Kiểu đa thức của một môđun có thể cho ta biết nhiều thông tin vềcấu trúc của môđun đó Chẳng hạn, nếu quy ước bậc của đa thức 0 là

−1 thì rõ ràng M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p(M ) = −1 và M

là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi p(M ) ≤ 0 Kiểu đa thức củamột môđun có thể coi là một độ đo tốt để xem môđun đó gần với tínhCohen-Macaulay như thế nào Sau đây là một số tính chất cơ bản của kiểu

a(M ) = a0(M ) ad−1(M )

Kí hiệu nCM(M ) = {p ∈ Supp(M ) | Mp không Cohen-Macaulay} Chú

ý rằng M được gọi là đẳng chiều nếu dim R/p = dim M với mọi iđêannguyên tố tối tiểu p của M Định lý sau cho ta thấy ý nghĩa của kiểu đathức Nhắc lại rằng, vành R được gọi là vành Gorenstein địa phương nếu