Chỉ số thu gọn của iđêan tham số trong vành địa phương

Noether đã chứng minh rằng mọi iđêan trong một vành Noether có thể biểu diễn được bằng giao của một số hữu hạn các iđêan bất khả quy.Noether cũng chứng minh rằng nếu sự biểu diễn này là

MỤC LỤC

1.1 Hệ tham số, số bội, đối đồng điều địa phương 51.2 Môđun Cohen Macaulay và các mở rộng 71.3 Chỉ số thu gọn 10

2.1 Môđun tựa Buchsbaum 142.2 Đẳng thức I2 = QI trong vành tựa Buchsbaum 222.3 Đẳng thức I3 = QI2 trong vành Gorenstein 26

3.1 Chỉ số đối thu gọn 313.2 Phủ xạ ảnh 343.3 Phân tích thứ cấp của môđun nội xạ 37

LỜI NÓI ĐẦU

Cho (A, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan tối đại duynhất m và trường thặng dư là k = A/m; M là A-môđun hữu hạn sinh có chiềuKrull dim M = d, q là iđêan tham số của M sinh bởi hệ tham số (x1, , xd).Năm 1921, E Noether đã chứng minh rằng mọi iđêan trong một vành Noether

có thể biểu diễn được bằng giao của một số hữu hạn các iđêan bất khả quy.Noether cũng chứng minh rằng nếu sự biểu diễn này là thu gọn tức là khôngthể bỏ được bất cứ thành phần bất khả quy nào trong biểu diễn, khi đó số cáciđêan bất khả quy xuất hiện trong giao chỉ phụ thuộc vào iđêan chứ khôngphụ thuộc vào một biểu diễn cụ thể nào Kết quả này sau đó được mở rộngtới môđun Noether Với mỗi môđun con N của M , ta gọi số các môđun conbất khả quy xuất hiện trong mọi sự phân tích thu gọn của N như là giao củacác môđun con bất khả quy là chỉ số thu gọn của N Với iđêan tham số qcủa M , ta định nghĩa chỉ số thu gọn của q đối với M là chỉ số thu gọn củamôđun con qM ; ký hiệu là NA(q; M ) Từ q là iđêan tham số của M , ta cóM/qM có độ dài hữu hạn Khi đó chỉ số thu gọn của iđêan tham số q đối với

M chính là chiều đế của M/qM xét như là không gian véctơ trên trường k;tức là NA(q; M ) = dimkHomA(k, M/qM ), trong đó đế của M là tổng của tất

cả các môđun con đơn của M, ký hiệu là Soc(M )

Năm 1956, D G Northcott đã chứng minh rằng chỉ số thu gọn của mỗiiđêan tham số trong vành Cohen Macaulay địa phương chỉ phụ thuộc vàovành mà không phụ thuộc vào iđêan tham số ([N], Theorem 3) Kết quả nàyđược mở rộng tới môđun và chỉ số thu gọn của các iđêan tham số trong mộtmôđun Cohen Macaulay gọi là kiểu của môđun

Mặc dù Northcott và D G Rees đã chứng minh vào năm 1956 rằng nếumọi iđêan tham số của một vành Noether địa phương A là bất khả quy thì A

là vành Cohen Macaulay, nhưng tính bất biến của chỉ số thu gọn của các iđêantham số không đặc trưng cho vành Cohen Macaulay địa phương Năm 1964,

S Endo và M Narita đưa ra một ví dụ về một vành Noether địa phương

không Cohen Macaulay nhưng có chỉ số thu gọn của các iđêan tham số làhằng số [EN].

Năm 1984, S Goto và N Suzuki tiếp tục nghiên cứu về chỉ số thu gọn củacác iđêan tham số và đã tổng quát ví dụ của Endo-Narita, từ đó chỉ ra đượcmột chặn trên của chỉ số thu gọn của các iđêan tham số Năm 2003, Goto và

H Sakurai đã chứng minh rằng nếu M là môđun Buchsbaum, khi đó tồn tạimột luỹ thừa bậc l của m sao cho mọi iđêan tham số của M nằm trong ml cócùng một chỉ số thu gọn đối với M ([GSa], Corollary 3.13)

Tiếp theo những kết quả này, năm 2004, Jung Chen Liu và M W Roger đãchứng minh rằng nếu M là môđun Cohen Macaulay suy rộng (một lớp môđun

mở rộng của môđun Buchsbaum) thỏa mãn tính chất là hầu hết các môđunđối đồng điều địa phương Him(M ) của M bằng 0 trừ các giá trị i ∈ {0, r, d}với 0 6 r 6 d, khi đó tồn tại một số nguyên l sao cho chỉ số thu gọn củamọi iđêan tham số của M nằm trong ml là hằng số Kết quả này đòi hỏi hầuhết các môđun đối đồng điều địa phương của M đều triệt tiêu Có một câuhỏi được đặt ra là nếu có nhiều môđun đối đồng điều địa phương khác khôngthì M có còn tính chất này nữa hay không? Từ đó chúng tôi đặt ra vấn đềchính trong luận văn này là nghiên cứu chỉ số thu gọn của lớp môđun rộnghơn môđun Buchsbaum là lớp môđun tựa Buchsbaum; xây dựng khái niệmđối ngẫu là khái niệm chỉ số đối thu gọn và trình bày một số tính chất banđầu của chỉ số đối thu gọn

Với mục đích trên, luận văn được chia làm 3 chương

Chương 1 Các khái niệm và tính chất cơ bản Trong chương này,chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản liên quan đến nội dung của cácchương sau Cụ thể, chúng tôi trình bày chi tiết chứng minh của các kết quả

cổ điển về chỉ số thu gọn của môđun con, công thức tính của nó trong trườnghợp môđun thương ứng với môđun con có độ dài hữu hạn

Chương 2 Chỉ số thu gọn của iđêan tham số Ở đây, chúng tôi trìnhbày một số kết quả về tính bất biến của chỉ số thu gọn của iđêan tham số củalớp môđun Cohen Macaulay suy rộng trên cơ sở kết quả của M W Roger([R2]), từ đó chứng minh tính chất này vẫn đúng cho trường hợp lớp môđun

là môđun tựa Buchsbaum Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số kết quả củaShiro Goto và các đồng sự trong chứng minh một số đẳng thức cụ thể liên

quan đến việc nghiên cứu tính Cohen Macaulay, tính Buchsbaum của đại sốRees, vành phân bậc liên kết mà trong đó có sử dụng các tính chất của chỉ

số thu gọn

Chương 3 Chỉ số đối thu gọn của môđun Artin Trọng tâm củachương là định nghĩa khái niệm chỉ số đối thu gọn, chứng minh các tính chấtđối ngẫu của nó với các tính chất về chỉ số thu gọn trong trường hợp môđunđược xét là môđun Artin Từ đó tìm công thức tính của chỉ số đối thu gọn vàmối quan hệ của chỉ số đối thu gọn với tính chất của phủ xạ ảnh và sự phântích bất khả tổng của bao nội xạ của môđun hữu hạn sinh

Trong suốt luận văn, ta luôn giả thiết A là vành giao hoán có đơn vị,Noether, địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m, trường thặng dư k =A/m, M là A-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull là d

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình, chu đáo và hết sức nghiêm khắc của thầy giáo, GS TSKH Nguyễn TựCường Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy, người đãchỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập, nghiên cứu khoahọc và cả những bài học trong cuộc sống Tác giả vô cùng biết ơn Thầy giáoPGS TS Ngô Sỹ Tùng, Thầy đã luôn quan tâm nhắc nhở và luôn tạo điềukiện thuận lợi để tác giả có được nhiều thời gian học tập, thực hành nghiêncứu khoa học Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệmkhoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học, các thầy giáo, cô giáo trongkhoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình công tác và họctập tại trường Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, côgiáo trong tổ Đại số, khoa Toán, trường Đại học Vinh đã giúp đỡ trong suốtquá trình học tập và hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn các anh chị,các bạn trong Sêminar "Lý thuyết vành và môđun", các anh chị và các bạnhọc viên Cao học 13 Đại số - Lý thuyết số đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tácgiả hoàn thành nhiệm vụ của mình

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếusót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo,

cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2007

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

Trong toàn bộ luận văn ta luôn giả thiết A là vành giao hoán, có đơn

vị, Noether, địa phương, với iđêan tối đại duy nhất là m, trường thặng dư

k = A/m ở chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất cơ bảncủa Đại số giao hoán được dùng cho nội dung các chương sau

1.1 Hệ tham số, số bội, đối đồng điều địa phương

a) Hệ tham số, số bội

Cho M là môđun hữu hạn sinh với dim M = d trên vành giao hoán,địa phương, Noether (A, m) Một hệ các phần tử x = (x1, , xd) của A saocho `A(M/(x1, , xd)M ) < +∞ được gọi là một hệ tham số của M Iđêan

q= (x1, , xd)A được gọi là iđêan tham số của M Chú ý rằng q + AnnAM

là iđêan định nghĩa của M Ta có một số tính chất sau của hệ tham số.(i) dim(M/(x1, , xi)M = d − i với mọi i = 1, , d

(ii) xi+1 ∈ p với p ∈ Ass/ A(M/(x1, , xi)M ) thỏa mãn dim A/p = d − i,

i = 1, , d − 1

Một hệ các phần tử x = (x1, , xn) của A sao cho

`A(M/(x1, , xn)M ) < +∞

được gọi là một hệ bội của M , trong đó với n = 0 thì ta hiểu điều kiện trên

có nghĩa là `A(M ) < +∞ Khi đó số bội e(x; M ) của M đối với hệ bội x đượcđịnh nghĩa quy nạp theo n như sau:

Giả sử n = 0, ta đặt e(∅; M ) = `A(M )

Với n > 0, `A(M/(x1, , xn)M ) < +∞ do đó

`A((0 :M x1)/(x2, , xn)(0 :M x1)) < +∞,

tức là (x2, , xn) là hệ bội của (0 :M x1) Theo giả thiết quy nạp thìe(x2, , xn; M/x1M ) và e(x2, , xn; 0 :M x1) đã được xác định Từ đó tađịnh nghĩa

e(x; M ) = e(x2, , xn; M/x1M ) − e(x2, , xn; 0 :M x1)

Ta có một số tính chất cơ bản sau đây của số bội e(x; M ):

(i) 0 6 e(x; M ) 6 `A(M/(x1, , xn)M ) Nếu có một giá trị i sao cho

xniM = 0, với n là một số tự nhiên nào đó, khi đó e(x; M ) = 0

(ii)(Định lý cộng tính của số bội ) Giả sử

b) Đối đồng điều địa phương

Cho M là A-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull d, a ⊆ A là một iđêancủa A Khi đó hàm tử a-xoắn Γa(−) từ phạm trù các A-môđun vào phạm trùcác A-môđun được xác định bởi Γa(M ) =

(ii) Cho r là một số tự nhiên Khi đó Hia(M ) là môđun hữu hạn sinh vớimọi i < r nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho anHia(M ) = 0 vớimọi i < r.

(iii) Khi a = m là iđêan cực đại của A thì Him(M ) là A-môđun Artin, hơnnữa Him(M ) = 0, ∀i > d Đặc biệt Hdm(M ) hữu hạn sinh khi và chỉ khi d = 0

1.2 Môđun Cohen Macaulay và các mở rộng

Với mỗi iđêan tham số q của M , q = xA (x là hệ tham số của M ), ta có

`A(M/q) > e(q; M ), trong đó e(q; M ) := e(x; M ) Ký hiệu

I(q; M ) = `A(M/qM ) − e(q; M )

Khi đó I(q; M ) > 0 với mọi iđêan tham số q Năm 1965, D A Buchsbaum

đã đặt ra giả thuyết: "I(q; M ) là hằng số với mọi iđêan tham số q của M ".Tuy nhiên, năm 1973, W Vogel và J St¨uckard đã đưa ra một số ví dụ chứng

tỏ giả thuyết của D A Buchsbaum là sai Nghĩa là I(q; M ) không phải làhằng số với mọi iđêan tham số q

Đặt I(M ) = supqI(q; M ), với sup lấy trên tập tất cả các iđêan tham sốcủa M Khi đó I(M ) có thể hữu hạn hoặc vô hạn Từ đó, ba lớp môđun quantrọng nhất trong Đại số giao hoán được định nghĩa như sau:

trong đó QM(q) := S

t>0

xt+11 , , xt+1d
M :M xt1 xtd
, cũng có nhiều tính chấttương tự hàm I(q; M ) như:

(i) Nếu M là môđun Cohen Macaulay thì J (q; M ) = 0 với mọi iđêan tham

số q của M

(ii) Nếu M là môđun Buchsbaum thì J (q; M ) là hằng số với mọi iđêantham số q của M

(iii) Nếu M là môđun Cohen Macaulay suy rộng thì cận trên đúng của hàm

J (q; M ) với q chạy khắp tập các iđêan tham số của M là J (M ) = supqJ (q; M )cũng là hằng số Khi đó, theo [CL],

Khái niệm hệ tham số chuẩn tắc được Ngô Việt Trung trong [Tr] đưa ranhư sau: Một hệ tham số x = (x1, , xd) được gọi là hệ tham số chuẩn tắccủa M nếu thoả mãn một trong hai điều kiện tương đương:

(i) `A(M/xM ) − e(x; M ) = `A(M/(x21, , x2d)M ) − e((x21, , x2d); M );(ii) `A(M/xM ) − e(x; M ) = `A(M/(xn1

1 , , xnd

d )M ) − e((xn1

1 , , xnd

d ); M )với mọi n1, , nd > 1

Iđêan a của vành A được gọi là iđêan chuẩn tắc của môđun M nếu mọi hệtham số (x1, , xd) của M chứa trong a là hệ tham số chuẩn tắc Khi đó,với 1 6 r 6 d, ta có

((x1, , xr−1) M :M xr) = ((x1, , xr−1) M :M a)

Một số tính chất sau của hệ tham số chuẩn tắc được dùng trong luận văn.(i) x = (x1, , xd) là hệ tham số chuẩn tắc của M khi và chỉ khi x là hệtham số chuẩn tắc của M/ H0m(M ) và xM ∩ H0m(M ) = 0

(ii) M là môđun Cohen Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu M có ít nhấtmột hệ tham số chuẩn tắc Hơn nữa ta có I(M ) = `A(M/xM ) − e(x; M ) nếu

x là hệ tham số chuẩn tắc

(iii) x = (x1, , xd) là hệ tham số chuẩn tắc của M khi và chỉ khi

qHim(M/qj) = 0 với mọi i, j ≥ 0, i + j < d, ở đây qj = (x1, , xj)A và

Một phần tử a ∈ A được gọi là M -chính quy nếu ax 6= 0 với mọi x ∈ M ,

x 6= 0 Dãy các phần tử x1, , xn của A được gọi là M -dãy chính quy nếuthỏa mãn các điều kiện:

(i) M/(x1, , xn)M 6= 0;

(ii) xi là M/(x1, , xi−1)M -chính quy với mọi i = 1, , n

Cho I là một iđêan của A Số phần tử lớn nhất có thể có của một M -dãychính quy nằm trong I được gọi là I − depth của M và ký hiệu là depthI(M ).Nếu I = m, ta ký hiệu depthm(M ) đơn giản hơn bởi depth(M )

Một hệ các phần tử x1, , xr trong m được gọi là M -dãy yếu nếu với mọi

i = 1, , r, ta có

(x1, , xi−1)M :M xi = (x1, , xi−1)M :M m

Rõ ràng một M -dãy là M -dãy yếu

Một hệ các phần tử x1, , xr trong m được gọi là d-dãy của M nếu

(x1, , xi−1)M :M xi = (x1, , xi−1)M :M xixj , với mọi 1 ≤ i ≤ j ≤ r

Giả sử x1, , xr là một d-dãy của M Khi đó, theo [GSa] ta có

(i) (x1, , xi−1)M :M x2i = (x1, , xi−1)M :M xi

= (x1, , xi−1)M :M (x1, , xr),với mọi 1 ≤ i ≤ r

(ii) ((x1, , xi−1)M :M xi)∩(x1, , xr)nM = (x1, , xi−1)(x1, , xr)n−1M ,với mọi số nguyên 1 ≤ i ≤ r và 1 ≤ n ∈ Z

1.3 Chỉ số thu gọn

Cho M là A-môđun hữu hạn sinh Môđun con N của M được gọi là môđuncon bất khả quy nếu không tồn tại các môđun con A, B của M chứa thực sự

N và thoả mãn A ∩ B = N Theo [M1] ta có các tính chất sau:

1.3.1 Mệnh đề Cho M là A-môđun hữu hạn sinh Môđun con bất khả quycủa M là môđun con nguyên sơ và mỗi môđun con nguyên sơ đều phân tíchđược thành giao của các môđun con bất khả quy

Cho N là môđun con của M Nếu N biểu diễn được bằng giao của hữuhạn môđun con nguyên sơ thì ta nói N có phân tích nguyên sơ Một phântích nguyên sơ có các thành phần khác nhau từng đôi một và không có thànhphần nguyên sơ nào có thể bỏ đi được gọi là phân tích nguyên sơ thu gọn

1.3.2 Định lý (Định lý phân tích nguyên sơ) Cho M là A-môđun Noether.Khi đó ta có

(i) Mọi môđun con N của M đều biểu diễn được bằng giao của các môđuncon nguyên sơ (N có sự phân tích nguyên sơ)

(ii) Giả sử N = Q1 ∩ ∩ Qn là một phân tích nguyên sơ thu gọn của Nvới Qi là Pi-nguyên sơ Khi đó tập {P1, , Pn} là xác định duy nhất bởi N (iii) Giả sử N = Q1 ∩ ∩ Qn là một phân tích nguyên sơ thu gọn của

N với Qi là Pi-nguyên sơ Khi đó nếu Pj là một phần tử tối tiểu trong tập{P1, , Pn} thì Qj là xác định duy nhất bởi N

Thành phần Qj tương ứng với phần tử tối tiểu Pj trong tập {P1, , Pn}được gọi là thành phần cô lập của N Các thành phần còn lại của phân tích

nguyên sơ của N gọi là thành phần nhúng Giao của các thành phần cô lậpứng với các iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu có chiều cực đại (bằng dim N )được gọi là thành phần không trộn lẫn của N và nó không phụ thuộc vào mộtphân tích nguyên sơ cụ thể nào.

1.3.3 Định lý Cho N là môđun con của A-môđun hữu hạn sinh M Khi đó

N có thể biểu diễn được bằng giao của các môđun con bất khả quy của môđun

1.3.5 Định lý Cho N là môđun con của A-môđun hữu hạn sinh M Số thànhphần bất khả quy của một phân tích bất khả quy thu gọn của môđun con N làkhông đổi, tức là chỉ phụ thuộc vào N

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp N = 0

Suy ra t1 − t2 = qi − qi0 ∈ Qi ∩ Qi = 0 Do đó t1 = t2 ∈ T1 ∩ T2 = 0 hay

a = qi ∈ Qi Từ đó Qi = (T1 + Qi) ∩ (T2 + Qi) Vì Qi là môđun con bất khảquy nên hoặc T1 + Qi = Qi hoặc T2 + Qi = Qi Suy ra T2 ⊆ Qi ∩ Qi = 0 hay

Qi ∩ L1 = 0

Đặt L12 j = Lj+1∩ ∩ Ls Tương tự chứng minh ở trên, nếu Qi∩ L2 = 0thì khẳng định là đúng Ngược lại Qi∩ L12 = 0 Tiếp tục như trên ta có quátrình sẽ dừng do Ls = L12 s Vậy tồn tại j sao cho Qi ∩ Lj = 0

Sử dụng phép thay thế Qi bởi Lj trong phân tích bất khả quy của 0 ta cótồn tại i1, i2, , im ∈ {1, , s} sao cho

1.3.7 Bổ đề Cho K là môđun con của A-môđun có độ dài hữu hạn M Khi

đó K ∩ Soc(M ) = 0 nếu và chỉ nếu K = 0

Chứng minh Điều kiện đủ là hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện cần.Giả sử tồn tại 0M 6= x ∈ K Do `A(M ) < ∞, M là môđun Artin Do đó dãygiảm sau sẽ dừng

0 6= mx ⊇ m2x ⊇ m3x

Suy ra tồn tại số tự nhiên n sao cho mnx = mn+1x Theo Bổ đề Nakayama ta

có mnx = 0

Giả sử n là số nhỏ nhất thoả mãn mnx = 0 và mn−1x 6= 0 Khi đó,m(mn−1x) = 0, suy ra mn−1x ∈ Soc(M ) Do đó 0 6= mn−1x ∈ K ∩ Soc(M ) = 0(vô lý) Từ đó K = 0.

1.3.8 Bổ đề Cho K1, K2, , Ks là các môđun con của A-môđun có độ dàihữu hạn M , Hi = Ki ∩ Soc(M ), i = 1, s Khi đó H1 ∩ H2 ∩ ∩ Hs = 0 nếu

và chỉ nếu K1 ∩ ∩ Ks = 0

Chứng minh Sử dụng Bổ đề 1.3.7 với K = K1 ∩ ∩ Ks

1.3.9 Mệnh đề Chỉ số thu gọn của môđun con đối hữu hạn N của môđunNoether M được cho bởi công thức

NA(N ; M ) = dimk(k; M/N ) = dimkSoc(M/N )

Chứng minh Do NA(N ; M ) = NA(0M/N; M/N ) nên ta chỉ cần chứng minh

NA(0M; M ) = dimkSoc(M ) trong trường hợp `(M ) < ∞

Giả sử dimkSoc(M ) = n và e1, , en là một cơ sở của Soc(M ) Đặt

Hi =< e1, ,ebi, , en >, i = 1, n Do tính Noether của M nên tồn tại

Ki ⊂ M là môđun con tối đại chứa Hi nhưng không chứa ei, i = 1, n Khi đó

Ki là môđun con bất khả quy (vì nếu tồn tại các môđun con U, V của M chứathực sự Ki và U ∩ V = Ki, do Ki là môđun con tối đại không chứa ei nên

ei ∈ U, V Suy ra ei ∈ U ∩V = Ki (vô lý)) Mặt khác, ta có H1∩ .∩Hn = 0M

Từ Hi = Ki∩Soc(M ), theo Bổ đề 1.3.8 suy ra K1∩ .∩Kn = 0M là một phântích bất khả quy thu gọn của 0M Vậy N(0M; M ) = n = dimkSoc(M )

CHƯƠNG 2

CHỈ SỐ THU GỌN CỦA IĐÊAN THAM SỐ

Nội dung chính của chương là tìm hiểu tính bất biến của chỉ số thu gọncủa iđêan tham số đối với lớp môđun tựa Buchsbaum Từ đó chứng minh mộtđiều kiện để vành tựa Buchsbaum là vành Gorenstein

Trong phần này chúng tôi chứng minh chỉ số thu gọn của mọi iđêan tham

số nằm trong một lũy thừa đủ lớn của m là hằng số

2.1.1 Mệnh đề ([R2], Proposition 3.1) Cho M là môđun tựa Buchsbaum.Giả sử W = H0m(M ) Khi đó tồn tại một số nguyên n sao cho với mọi iđêantham số q của M nằm trong mn, chỉ số thu gọn của q được cho bởi công thức

Do H0m(W ) = Γm(W ) = W = H0m(M ) Suy ra Hm0(M ) = 0 hay depth(M ) > 0.

Từ đó tồn tại x ∈ A là phần tử M -chính quy Theo Bổ đề Artin- Ress, tồntại b > 0 sao cho với mọi c > 0 ta có

hay Soc(W ) = Soc(M )

Tác động hàm tử Soc(∗) = (0 :∗ m) vào khớp trên ta có khớp trái

Do hàm tử `(∗) có tính chất cộng tính nên ta chỉ cần chứng minh dãy khớp(1) là khớp phải hay ánh xạ Soc(M/qM ) −→ Soc(M /qM ) là toàn ánh.Lấy s ∈ M , ảnh của s trong M là s Ta có

Từ q ⊆ mn, suy ra s ∈ maM , hay s ∈ maM + W Không mất tính tổng quát

ta có thể giả sử s ∈ maM Khi đó ms ⊆ ma+1M và ma+1M ∩ W = 0 Suy ra

ms ⊆ qM hay s ∈ Soc(M/qM ) Vậy ánh xạ Soc(M/qM ) −→ Soc(M /qM ) làtoàn ánh

2.1.2 Định nghĩa Cho N là môđun con của A-môđun hữu hạn sinh M Tanói N là không trộn lẫn tới một thành phần m-nguyên sơ nếu p ∈ Ass M/Nthì hoặc p = m, hoặc dim A/p = dim M/N

2.1.3 Bổ đề Cho N là môđun con không trộn lẫn tới một thành phần nguyên sơ của M Khi đó

m-H0m(M/N ) ∼= U(N )/N

Chứng minh Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: m /∈ Ass(M/N ) Khi đó N = U(N ) và depth(M/N ) > 0 nên

Từ đó U(N )/N ⊆ Γm(M/N )

Mặt khác, với mọi x ∈ (0 :M/N mn), ta có mnx ⊆ N Suy ra mn ⊆ (N : x) ⊆(Qj : x), j = 2, , k Giả sử tồn tại t sao cho x /∈ Qt Đặt I = Qt : x, j =

2, , k, khi đó I.x = Qt Suy ra I.x = 0M/Qt Do đó I ⊆ Zd(M/Qj) ⊆ Pt

(ở đây, Zd(M/Qt) là tập tất cả các linh hóa tử của M/Qt) Điều này dẫnđến mn ⊆ Pt, hay m ⊆ Pt (mâu thuẫn) Vì vậy x ∈ Qj, j = 2, , k Suy ra

x ∈ U(N ), hay x ∈ U(N )/N Vậy U(N )/N = Γm(M/N ) ∼= H0m(M/N )

2.1.4 Mệnh đề (xem [SV], Lemma 2.2, p 71) Cho M là môđun CohenMacaulay suy rộng Khi đó với mọi bộ phận x1, , xr của một hệ tham sốcủa M , môđun con (x1, , xr)M là không trộn lẫn tới một thành phần m-nguyên sơ của M

2.1.5 Bổ đề Cho M là môđun Cohen Macaulay suy rộng, a là iđêan chuẩntắc của M Giả sử x1, , xr (1 6 r 6 d) là một phần của hệ tham số của

2.1.7 Mệnh đề Cho M là môđun Cohen Macaulay suy rộng với chiều Krull

d > 0 Khi đó tồn tại một số nguyên l sao cho với mọi iđêan tham số q ⊆ ml,chỉ số thu gọn của q được cho bởi công thức

!+ Soc dim Hdm(M )
,

trong đó Ui = U ((x1, ,xbi, , xd)M )

Chứng minh Do M là môđun Cohen Macaulay suy rộng nên tồn tại a làiđêan chuẩn tắc của M Với mỗi hệ tham số x1, , xd của M nằm trong a

Bởi ([GSa], Lemma 3.12), ta có thể chọn một số nguyên l đủ lớn sao cho

ml ⊆ a và với mọi iđêan tham số q nằm trong ml, đồng cấu chính tắc

ϕ : M/qM −→ Hdm(M )

là toàn ánh trên đế; tức là HomA(k, − ) là toàn ánh

Giả sử q = (x1, , xd)A là một iđêan tham số của M được chứa trong

ml Gọi K là hạt nhân của đồng cấu chính tắc ϕ : M/qM −→ Hdm(M ) Theođịnh nghĩa của giới hạn thuận, ta có

và sử dụng tính chất toàn ánh trên đế của ϕ ta có dãy khớp mới

0 −→ Soc(K) −→ Soc (M/qM ) −→ Soc(Hdm(M )) −→ 0

!+ Soc dim Hdm(M )

Ta có điều phải chứng minh

2.1.8 Định lý Cho M là môđun tựa Buchsbaum Khi đó tồn tại một sốnguyên l sao cho chỉ số thu gọn của mọi iđêan tham số q = (x1, , xd)Anằm trong ml là bằng nhau và bằng hằng số

Soc dim(Him(M ))

Chứng minh Nếu d = 0, khi đó M là môđun Cohen Macaulay nên định lýđược chứng minh Nếu d > 0 và depth M = 0, đặt W = H0m(M ) và M = M/W Theo Mệnh đề 2.1.1, tồn tại một số nguyên n sao cho chỉ số thu gọn của cáciđêan tham số q nằm trong mn được cho bởi công thức

!+ Soc dim Hdm(M )

Mặt khác, môđun tựa Buchsbaum là môđun Cohen Macaulay suy rộng nên

áp dụng ([SV], Proposition 2.1) ta có m2 chính là một iđêan chuẩn tắc của

Do x là hệ tham số chuẩn tắc của môđun Cohen Macaulay suy rộng M , ta có

I(q; M ) = I(M ), J (q; M ) = J (M )

+ Soc dim Hdm(M )
=

d

X

i=0

 di

Soc dim(Him(M ))

Ta có điều phải chứng minh

2.1.9 Hệ quả Cho M là môđun Cohen Macaulay suy rộng sao cho J (q; M )

là hằng số với mọi iđêan tham số q của M Khi đó tồn tại một số nguyên lsao cho chỉ số thu gọn của mọi iđêan tham số q được chứa trong ml là hằngsố

Chứng minh Theo ([CL], Lemma 4.3) ta cóM = MH0

m(M ) là môđun baum Do đó NA(q; M ) = const Sử dụng Mệnh đề 2.1.1, ta có điều phải chứngminh

Buchs-2.1.10 Mệnh đề Cho M là môđun Cohen Macaulay suy rộng sao cho cómột hệ tham số (x1, , xd) thỏa mãn (x21, , x2d) là M -dãy yếu Khi đó tồntại số nguyên l để với mọi iđêan tham số q ⊆ ml, chỉ số thu gọn của q là hằng

số và được cho bởi công thức

Soc dim(Him(M ))

Chứng minh Được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.1.8 và ([SV], Proposition2.1).

Một vành Cohen Macaulay có tính chất mọi iđêan tham số đều bất khảquy được gọi là vành Gorenstein Hệ quả sau cho ta một điều kiện để vànhtựa Buchsbaum là vành Gorenstein

2.1.11 Hệ quả Cho A là vành tựa Buchsbaum Khi đó A là vành Gorensteinnếu và chỉ nếu mọi lũy thừa của m có chứa một iđêan tham số bất khả quy

Chứng minh Rõ ràng nếu A là Gorenstein vành thì A là vành tựa Buchsbaum

và mọi iđêan tham số của A là bất khả quy Ngược lại, giả sử mọi lũy thừacủa m có chứa một iđêan bất khả quy Theo Định lý 2.1.8, mỗi iđêan tham

số chứa trong một lũy thừa đủ lớn của m có chỉ số thu gọn là

d

X

i=0

 di

Soc dim(Him(A));

và chỉ số này bằng 1 (iđêan tham số là bất khả quy) Do Hdm(A) là môđunkhông Artin nên có đế khác không Từ đó Soc(Him(A)) = 0 (i < d) Vì Him(A)

là môđun Artin có đế bằng 0 nên Him(A) = 0 Suy ra A chỉ có một môđun đốiđồng điều địa phương khác không và do đó A là vành Cohen Macaulay Mặtkhác, tồn tại iđêan tham số là bất khả quy nên A là Gorenstein vành