Tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng, trong không gian và iđêan của chúng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHPHAN THỊ HUYỀN TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG THẲNG, TRÊN MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHPHAN THỊ H

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN THỊ HUYỀN

TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG

THẲNG, TRÊN MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN

VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN THỊ HUYỀN

TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG

THẲNG, TRÊN MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN

VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG

Chuyên ngành: Hình học - Tôpô

Mã số: 62.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGUYỄN HUỲNH PHÁN

NGHỆ AN - 2014

Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc của mình tới Phó Giáo sư - Tiến sĩ Nguyễn Huỳnh Phán, người

đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài: từviệc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương phápthực hiện và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình họctập và thực hiện nghiên cứu để viết luận văn đến việc chỉnh sửa và hoànchỉnh nội dung của bài luận

Tác giả cũng xin được chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán Trường Đại học Vinh, nơi tác giả học tập đã nhiệt tình đóng góp các ý kiếnquý báu Bên cạnh đó tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp

-đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn

Mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giảrất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn Xin chân thành cảm ơn !

Vinh, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Phan Thị Huyền

LỜI MỞ ĐẦU 7

1 Lý do chọn đề tài

2 Đối tượng nghiên cứu

3 Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

5 Dự kiến đóng góp

6 Kết cấu luận văn

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9

PHẦN I TẬP ĐẠI SỐ 9

1.1 Khái niệm tập đại số

1.2 Một số tính chất cơ bản của tập đại số

PHẦN II IĐEAN 13

2.1 Định nghĩa

2.2 Ví dụ

2.3 Tính chất

PHẦN III ÁNH XẠ ZARISKI 16

3.1 Ánh xạ Zariski

3.2 Một ví dụ về ánh xạ Zariski

PHẦN IV TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN TRONG TẬP ĐẠI SỐ.19 4.1 Nhận xét

4.3 Định lí

4.4 Ví dụ

PHẦN V MỐI QUAN HỆ GIỮA IĐÊAN NGUYÊN TỐ VÀ

TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUY 23

5.8 Ví dụ

5.10 Ví dụ

5.17 Hệ quả

Chương 2 CÁC TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUI TRÊN ĐƯỜNG THẲNG, TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG 27

2.1 Tập đại số trên đường thẳng và iđêan của chúng

2.2 Tập đại số trên mặt phẳng và iđêan của chúng

2.3 Tập đại số trong không gian và iđêan của chúng

2.4 Thêm một số tập đại số khác trong chương trình toán phổ thông

KẾT LUẬN 43

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

Hình học đại số có vai trò hết sức quan trọng trong toán học hiện đại và

nó kết nối nhiều ngành toán học như Giải tích, Đại số, Hình học, Tôpô,… lạivới nhau Chẳng hạn, có thể thấy hầu hết các hình hình học trong hình họcphổ thông, Hình học afin, Hình học xạ ảnh và nhiều hình thường xét trong cácngành toán học khác… đều là các tập đại số

Hình học afin, Hình học Ơclit, Hình học xạ ảnh đã dùng công cụ đại số

là Đại số tuyến tính để nghiên cứu, còn Hình học đại số dùng Đại số giaohoán để làm công cụ nghiên cứu Công cụ chính của hình học đại số là đại sốgiao hoán nên đòi hỏi người học cũng phải nắm vững không chỉ kiến thức vềhình học mà cả kiến thức cơ bản về đại số giao hoán như nhóm, vành, trường,

mô đun, iđêan,…

Iđêan là một khái niệm cơ bản và quan trọng của Đại số và có rất nhiềutính chất quan trọng trong Hình học đại số Qua quá trình học Chuyên đềNhập môn Hình học đại số tôi thấy rằng tính chất của iđêan thể hiện tronghình học đại số rất nhiều và rất quan trọng

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về hình học đại số thông qua việc nghiêncứu, phân tích một số yếu tố của nó trong R1, R2, R3 và Iđêan của chúng, tác giả đãchọn đề tài : “Tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng, trong không gian và iđêan của chúng”.

Sau khi tìm hiểu, lựa chọn lĩnh vực Hình học đại số, tôi nhận thấy tậpđại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng , trong không gian có ứngdụng giải toán phổ thông, cùng với sự động viên, khích lệ của Thầy NguyễnHuỳnh Phán là phương châm để tôi thực hiện đề tài này

2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các tập đại số bất khả qui trong chương trìnhtoán phổ thông hiên nay

3 Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu

Tác giả nghiên cứu các tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặtphẳng, trong không gian và iđêan của chúng

4 Phương pháp nghiên cứu

Chủ yếu là phương pháp nghiên cứu lý thuyết và minh họa qua các ví

dụ Cụ thể luận văn dùng phương pháp so sánh, phân tích, tương tự hóa, kháiquát hóa, tổng hợp…đánh giá các tập đại số bất khả qui của các hàm số trongtoán phổ thông

5 Dự kiến đóng góp

Hệ thống các tập đại số bất khả qui trên đường thẳng ,trên mặt phẳng,trong không gian và iđêan của chúng

6 Kết cấu luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận vănđược kết cấu thành hai chương :

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Chương 2:Các tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng,

trong không gian và iđêan của chúng

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ PHẦN I TẬP ĐẠI SỐ

1.1 Khái niệm tập đại số

1.1.1 Định nghĩa

Cho A là vành giao hoán có đơn vị 1≠ 0 Vành đa thức n biến ,x x1 2, ,xn

trên A là tập A[X] : = A[x x1 2, , ,xn ] Mỗi phần tử f của A[X] được gọi là đa thức,

với d là một số tự nhiên nào đó và λr r1, , ,2 r n ∈ A gọi là các hệ tử Khi A là

trường ta gọi chúng là các hệ số Các biểu thức x x1 2r1 r2 xn r n được gọi là các

đơn thức Bậc của đơn thức x x1 2r1 r2 xn r n là tổng các số mũ r1 + r2 +… + rn.

Bậc của f ≠ 0 là bậc lớn nhất của các đơn thức trong f và ký hiệu là degf Nếu f

= 0, ta quy định degf = −∞ Nếu 0 ≠ f ∈ A, ta nói degf = 0 Khi degf = 1, ta

nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng f = a x1 1+a x2 2+ + a x n n+a n+1 ,

trong đó ít nhất phải có một hệ tử gắn biến khác không

2 Tập 1 điểm a = (a1, a2,…., an) là tập đại số vì đó là nghiệm của hệ nphương trình tuyến tính

- a = 0 = 1, 2, , n

xi i i

Nói riêng, đường thẳng ,mặt phẳng đều là tập đại số

4 Kn là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình 0 = 0

Chú ý Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc và việc chọn tọa độ,

nghĩa là nếu V là nghiệm của một hệ các đa thức f(x1, x2,…., xn ) ∈ S, thì với

tọa độ mới (y1, y2,…., yn ), ta có = c + c0 1 1 + c 2 2 + + c

Cho S là tập con bất kỳ của K[X] Ký hiệu Z(S) là tập nghiệm của tất cả

các đa thức trong S (thường gọi vắn tắt là tập nghiệm của S), nghĩa là Z(S) là

một tập đại số Ta có Z(S) = If S∈ Z f( ).

Chú ý: Tương ứng S a Z(S) cho một ánh xạ từ họ tất cả các tập concủa vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin Kn

1/ Nếu f là đa thức 1 biến, thì các tập đại số Z(f) chỉ có thể là : tập rỗng ;

là tập hữu hạn hoặc toàn bộ K vì các đa thức một biến trên trường K có thể

vô nghiệm, hữu hạn nghiệm hoặc tập nghiệm là K

Thật vậy, đặt V :={ (a a2, 3);a K∈ } Chứng minh tương tự như trên,

1.2 Một số tính chất cơ bản của tập đại số

1.2.1 Mệnh đề (về một số tính chất đơn giản của ánh xạ Z)

Chứng minh:Xem tài liệu [6]

1.2.2 Bổ đề: Nếu A là miền nguyên thì deg fg = deg f + deg g.

Chứng minh:Xem tài liệu [6]

1.2.3 Bổ đề

Nếu A là miền nguyền thì vành đa thức A[X] cũng là miền nguyên và các phần tử khả nghịch của A[X] là phần tử khả nghịch của A.

Chứng minh: Xem tài liệu [6]

1.2.4 Bổ đề: Nếu trường K vô hạn thì f(a) = 0 với ∀ ∈a K n ⇔ =f 0

Chứng minh: Xem tài liệu [6].

Hệ quả

Nếu trường K vô hạn và f (a) = g(a) với mọi a = (a 1 , a 2 ,., a n )

∈K n thì f = g.

Chú ý Nếu K là trường hữu hạn thì các tính chất trên không còn đúng.

Ví dụ Nếu K = { a1, a2,…., as} và f (x) = (x - a1) (x - a2)… (x - as) thì ftriệt tiêu trên K nhưng f ≠ 0

Từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn.

Tập con I của vành A được gọi là iđêan nếu nó là vành con của A và cótính chất hf ∈ I với mọi h ∈ I và f ∈ A.

4/ IJ ⊂ I J I và nói chung hai iđêan IJ và I∩J này khác nhau;

5/ M(I + J) = MI + MJ vói mọi iđêan I, J, M

Chứng minh Xem tài liệu [6]

Chú ý rằng, IJ chính là iđêan sinh bới các phần từ fg với f ∈ I và g ∈J

2.3.2 Ví dụ

1/Cho I = (x, y2) và J = (y) là hai iđêan trong vành đa thức hai ẩn K[x, y],

I : S : = { f ∈ A; sao cho fg ∈ I với mọi g ∈ S } là một iđêan Nếu S chỉ có

1 phần tử g, ta ký hiệu iđêan này là I : g

2/ 1/ (x, y)d = (xd, xd-1y, xd-2y2,……, xyd-1, yd)

2/ Cho I = (xy, y3), thì I : x = (y) và I : y = (x, y2)

Kết qủa sau cho ta thấy mọi tập đại số đều là nghiệm của một iđêan Do

đó ta có thể thay hệ phương trình đa thức xác định tập đại số bằng iđêan và ápdụng các tính chất đại số liên quan đến iđêan để nghiên cứu tính chất hình họccủa các tập đại số

IV : = { f ∈ K[X]; f(a) = 0 với mọi a ∈ V}.

Thế thì IV làiđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V Ta gọi nó là iđêancủa tập V Khi V chỉ có 1 điểm, ta viết Ia thay cho I{ a }

2.3.5 Ví dụ

1/ Iφ = K[X];

2/ IKn = 0 ;

3/ Ia = (x1 – a1, x2 – a2,… , xn – an) với a = ( a1, a2, … , an );

4/ Nếu V ⊆ K2 là tập vô hạn điểm trên parabol y = x2 thì IV = (x2 – y) ;5/ Nếu V ⊆ K2 là tập vô hạn điểm trên đường cong x3 – y2 = 0 thì IV = (x3 – y2) ;6/ Nếu V là d- phẳng trong Kn mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng

*) Cho I là iđêan của vành A Ký hiệu

PHẦN III ÁNH XẠ ZARISKI

Trong phần này trình bày một số tính chất của iđêan thể hiện trong tậpđại số Zariski, đưa ra và chứng minh một số bổ đề và định lý về sự biểu hiệncủa iđêan trong tập đại số

3.1 Ánh xạ Zariski

Cho K là trường Nhắc lại rằng, tập con V⊆ Kn được gọi là tập đại số

nếu nó là nghiệm của một họ các đa thức n biến trong K[X]

đa thức trong S và b là nghiệm của đa thức trong T.

)

⇐ hiển nhiên

PHẦN IV TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN TRONG TẬP ĐẠI SỐ

Trong phần này, chúng tôi trình bày tính chất (có chứng minh chi tiết),các phép toán về iđêan và các tính chất của tập đại số liên quan đến chúng

4.1 Nhận xét

1) Phép cộng và phép nhân các iđêan thỏa mãn tính chất kết hợp, giaohoán và phân phối;

2) Phần tử 0 ∈ I vì 0 = 0.x với ∀x ∈ V;

3) Phần tử đơn vị 1 ∈ I khi và chỉ khi I = V;

4) I ≠ V thì I được gọi là iđêan thực sự của V;

( )S = {a f1 1+a f2 2+ + a f n n i|a ∈V f, i∈S i, = 1, 2, , }n .

Lúc đó (S) là iđêan và là iđêan nhỏ nhất chứa S, người ta gọi là iđêansinh bởi S

Đặc biệt khi S có hữu hạn phần tử thì ( )S =( f f1 2, , , fn), nếu S có một

phần tử thì ( ) ( )S = f = { |fh h V∈ } được gọi là iđêan chính.

4.2 Ví dụ Cho I = (x, y2) và J = (y) là hai iđêan trong vành đa thức hai

ẩn K[x, y], ta có

1) I + J = (x y vì I = {xf + yg | f, g , ) ∈ K[x, y], J = {yh | h ∈ K[x, y]} nên

I + J = {xf + yg + yh | f, g, h ∈ K[x, y]} = {xf + ey | f, e ∈ K[x, y]} 2) IJ = ( )xy y, 3 do IJ = {(xf + yg)yh | f, g, h ∈ K[x, y]}

Ta sẽ chứng minh Z(S) = Z(I), nghĩa là khi đó tập đại số của tập S chính

là tập đại số của iđêan I Thật vậy:

Chứng minh Để chứng minh I là iđêan ta kiểm tra hai điều kiện sau:

i) Với mọi f, g ∈ I thì f + g ∈ I:

Thật vậy: Do f, g ∈ I nên f( a ) = 0 và g( a ) = 0 với ∀v a ∈ V, suy ra

(f + g)( a ) = f( a ) + g( a ) = 0 với ∀a ∈ V Do đó f + g ∈ I (đpcm).ii) Với mọi f ∈ I và h ∈ K[X] thì fh ∈ I:

Vì f ∈ I nên f( a ) = 0 với ∀a ∈ V Do đó (fh)( a ) = f( a )h( a ) = 0 với ∀a ∈

V

Vậy fh ∈ I

Kết luận: I là iđêan trong K[X]

Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập IV cảm sinh hai ánh xạ Z và I

được cho trong sơ đồ sau ( ) Z ( )

Về sau ta sẽ thấy, nếu thu hẹp trên các tập con nào đó, Z và I là cácsong ánh ngược nhau.

4.4 Ví dụ

1) I φ = K[X];

2) IKn = {0};

3) Ia = (x1 – a1, x2 – a2,… , xn – an) với a = ( a1, a2, … , an );

4) Nếu V ⊆ K2 là tập vô hạn điểm trên parabol y = x2 thì IV = (x2 – y) ;5) Nếu V là d- phẳng trong Kn mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng

b∈ K Nhưng f(0, 0,…,0) = 0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f có dạng

f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn, nghĩa là khi và chỉ khi f ∈ (x1, x2 ,…., xn ) VậyI0 = (x1, x2 ,…., xn )

4) Ta chỉ cần chứng minh IV ⊆ (x2 – y) Coi mọi đa thức f ∈ K[x, y]

là đa thức của ẩn y với hệ số trong K[x] Tương tự như thuật toán Euclide ta cóthể viết f = h(x2 – y) + g với g ∈ K[x]

Do V ⊆ Z(x2 – y) = { (a, a2) ; a ∈ K } nên với f ∈ IV thì f(a, a2) =g(a) = 0 với mọi a thuộc tập vô hạn trong K nên g là đa thức 0, nên f = h(x2 –y), nghĩa là f ∈ (x2 – y)

5)Ta có thể viết mọi đa thức trong K[X] dưới dạng

f = hd+1xd+1 + hd+2xd+2 +……+ hnxn + gtrong đó g ∈ K[x1, x2 ,…., xd] Thế thì f ∈ IV khi và chỉ khi

f(a1, a2 ,…., ad, 0, 0,….,0) = g(a1, a2 ,…., ad) = 0

với mọi a1, a2 ,…., ad ∈ K Điều này có nghĩa là g = 0, nên khi đó

f = hd+1xd+1 + hd+2xd+2 +……+ hnxn ∈ (xd+1, xd+2 ,… , xn).(đpcm).

Cho I là iđêan của vành A Ký hiệu I : = f A ; f I, r N{ ∈ r ∈ ∈ *}

PHẦN V MỐI QUAN HỆ GIỮA IĐÊAN NGUYÊN TỐ

VÀ TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUY

5.1 Định nghĩa iđêan thực sự I của vành A gọi là iđêan nguyên tố nếu

fg ∈ I thì hoặc f ∈ I hoặc g ∈ I

5.2 Ví dụ Cho A là vành Phần tử 0 ≠ x ∈A gọi là ước của không,

nếu tồn tại 0 ≠ y ∈A sao cho xy = 0 Vành A giao hoán gọi là miền nguyên nếu nó không có ước của không, nghĩa là nếu có xy = 0 thì hoặc x = 0

hoặc y = 0

1/ Iđêan 0 là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi A là miền nguyên ;

2/ Iđêan 0 của vành đa thức K[X] trên trường K là nguyên tố ;

3/ Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan căn Thật vậy, ta chỉ cần chứngminh I ⊆ I Nhưng điều này là hiển nhiên vì I nguyên tố Dưới đây ta cómột tiêu chuẩn để iđêan căn là nguyên tố

5.3 Bổ đề Iđêan căn I ≠ A là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I không là giao của 2 iđêan lớn hơn thực sự.

5.4 Định nghĩa Iđêan thực sự I của A gọi là iđêan cực đại nếu I không

bị chứa trong một iđêan thực sự nào khác của A

5.5 Ví dụ.

1/ I cực đại khi và chỉ khi (I, f) = A với mọi f ∉ I;

2/ Ia = (x1 – a1, x2 – a2,…., xn – an) là iđêan cực đại trong K[X]

Thật vậy, giả sử 0 = (0, 0, …, 0) Khi đó Ia = (x1, x2,…., xn) Với một đathức f ∈ K[X] ta viết được f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn + c

Nếu f ∈ I thì c ∈ K là hằng số khác không Vì vậy c ∈ (Ia, f) và do đó(Ia, f) = K[X]

5.6 Nhận xét

1/ Nếu I ≠ A thì I ≠ A và do I ⊆ I nên nếu I là iđêan cực đại thi

I = I , nghĩa là mọi iđêan cực đại là iđêan căn Mặt khác, mỗi iđêan cực đại

chỉ có một một iđêan căn lớn hơn là cả vành A nên nó không thể là giao của 2iđêan căn lớn hơn Vậy mọi iđêan cực đại phải là iđêan nguyên tố.

2/ Nếu I1 ⊆ I2 ⊆… ⊆ Ij ⊆ …… là một dãy tăng các iđêan thực sự thì

hợp I j

j

U cũng là một iđêan thực sự Vì vậy, áp dụng Bổ đề Zorn ta nhậnđược: Mọi iđêan thực sự đều nằm trong một iđêan cực đại Do đó mọi iđêancực đại đều nằm trong một iđêan nguyên tố

5.7 Định nghĩa (tập bất khả quy) Tập đại số gọi là bất khả quy nếu nó

không phân tích được thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thực sự

Ta sẽ thấy khái niệm đại số tương ứng với khái niêm tập bất khả quy làiđêan nguyên tố qua kết quả sau

5.9 Định lý Tập đại số V là bất khả quy khi và chỉ khi I V là iđêan nguyên tố.

Chứng minh Nếu V bất khả quy mà IV không nguyên tố thì IV = I1 I I2với I1 và I2 là 2 iđêan thực sự lớn hơn I

Khi đó V = Z(IV) = Z(I1I I2) = Z(I1)UZ(I2) Vì vậy V = Z(I )1

Đảo lại, giả sử V không bất khả quy thì V = V1UV2 với V1 , V2 là 2 tập đại

số thực sự bé hơn V Khi đó, ta có IV1 và IV2 là 2 iđêan thực sự lớn hơn IV nên tồntại f ∈ IV1 \ IV và g ∈IV2 \ IV Khi đó fg ∈IV1I IV2 = IV nên IV không thể là iđêannguyên tố