Viết phương trình đường tròn C có tâm I thuộc đường thẳng d, C cắt Ox tại A, B, cắt Oy tại M, N sao cho diện tích của hai tam giác IAB và IMN đều bằng 12.. D sao cho ABCD là một hình tha[r]
Trang 1TT LUYỆN THI TẦM CAO MỚI ĐỀ THAM KHẢO THI ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM HỌC 2013
Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y x 3 2 x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc (C) (khác gốc tọa độ O) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng OM.
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình
2.
1 cos
x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 2x3.3x 5 x2 x 6 (x ).
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân I
2
2
cos x 0
(sin 4x sin 2x).e dx.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a Gọi G là trọng
tâm của tam giác ABC Biết rằng A’G vuông góc với mặt đáy (ABC) và A’B tạo với mặt đáy một góc bằng
600 Tính thể tích khối chóp A’.BCC’B’ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AG và A’C theo a
Câu 6 (1,0 điểm) Cho x, y là hai số thực không âm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
3 3
3
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y: 1 0 Viết phương trình
đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng d, (C) cắt Ox tại A, B, cắt Oy tại M, N sao cho diện tích của hai tam giác IAB và IMN đều bằng 12
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1),B(2;3; 1) , đường thẳng
:
x y z
và mặt phẳng ( ) :P x y z 2 0. Viết phương trình đường thẳng d cắt (P) tại C, cắt tại
D sao cho ABCD là một hình thang vuông tại các đỉnh A, B.
Câu 9.a (1,0 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C n32A n2 44 Tìm số hạng không phụ thuộc vào x
1
n x
x
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn ( ) :C x2(y1)22,
( ') : (C x 4) (y 5) 8 Cho AB là một đường kính thay đổi của đường tròn ( ')C và M là một điểm di động trên đường tròn (C) Tìm tọa độ các điểm M, A, B sao cho diện tích của tam giác MAB lớn nhất
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(3;4;0) và đường thẳng
:
x y z
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt tại hai điểm A, B sao cho diện tích của tam giác IAB bằng 12.
Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà và các huyện lân cận các lớp 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 15 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm miến phí
TCM-ĐH-T25A
Trang 2Câu 9.b (1,0 điểm) Viết dạng lượng giác của số phức z biết z z 2. 2 16 và .i z có một acgumen bằng 6.
điểm a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x 3 2 x
* Sự biến thiên: y3x2 2; y0 x =
6 3
hoặc x =
6 3
* Hàm số đồng biến trên
6 ( ; ) 3
và
6 ( ; )
3 ; nghịch biến trên
6 6 ( ; )
3 3
;
yCĐ =
4 6
9 ; yCT =
4 6 9
* Bảng biến thiên
x
6 3
6
3
y’ + 0 0 +
4 6
9
y
4 6 9
* Vẽ đúng đồ thị
-
-b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) (khác gốc tọa độ O) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông
góc với đường thẳng OM.
Gọi M m m( , 3 2 )m Ta có OM ( ,m m3 2 )m
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại M Hệ số góc của đường thẳng d là
k f m m n m u m Theo giả thiết ta có
d
m0 hoặc m 1 hoặc
15 3
m
Đáp số
1 điểm
0,25đ
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
-1 điểm 0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ
điểm
Giải phương trình
2.
1 cos
x
Trang 3Điều kiện cosx 1 x k2
Phương trình
(sinx 5) (cosx 4)
+) Với
9
x x x
(Vô nghiệm)
+) Với
1 4 4
Đáp số x 2 k2
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
điểm Giải phương trình
2 3
2x 3. x 5 x x 6 (x ).
Điều kiện
3 2
x
Phương trình
2
3
2 3 3
3
2 3 3
3
2 3 3
3
4 (*).
x
x
x
Ta có
3 3
2
2
3
x x
x x
x
Từ đó 2x 3 (x5) ( x 2) x 5 1 2x 3 x53 x5 Do đó
3
2
x x
1 4 (x 5) 2 x 5 4 .
Suy ra VT(*) 3 x 4. Vậy phương trình (*) không xảy ra
Đáp số x 3.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
điểm
Trang 4Tính tích phân I
2
2
cos x 0
(sin 4x sin 2x).e dx.
Ta có I
Đặt tcos2x dtsin 2xdx và x 0 t 1; x 2 t 0
Ta có
I t e dt t e dt
Đặt
dv e dt v e
Ta có
1
0
5 e.
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
điểm
Tính thể tích khối chóp A’.BCC’B’ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AG và A’C
theo a
B’ M’ C’
A’
M
B C
G A
Theo giả thiết ta có A BG ' 600
Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ Trong tam giác ABC ta có
Từ đó
3 ' ' ' ' ' ' '.
a
0,25đ
Trang 5Ta có
' ' ' '
3
A CM
V
d AG A C d AG A CM d A A CM
S
Ta có
3 ' ' '.ACA ' ACA ' '.
a
Ta có
Ta có BCAM BC, A G' BC(AA M' ) BCAA' BCCC'
Do đó
Từ đó
A C A M
' '
CA M
a
Vậy
3
2
15
36
39 12
a
a
a
Chú ý: Có thể tính d AG A C( , ' ) bằng cách dựng hình bình hành CMGN, sau đó hạ GH A N' và
chứng minh GH( 'A NC) Từ đó
65
13
a
d AG A C GH
0,25đ
0,25đ
0,25đ
điểm
Cho x, y là hai số thực không âm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
3 3
3
Ta có
3
(e x e y)(e x e y) 0 e e y e e e x (y x e y) 4(e e y) e e y 3e e e x y( xe y) e xe y
3x 3
3 4( y) x y.
Mặt khác ta có
(1 2 ) (1 2 )
2
Suy ra
3
Xét hàm số
3
(1 2 ) ( )
3
f t e
với t 0.
0,25đ
Trang 6Ta có
2
3 (1 2 ) 2 2
3
,
0
t
Do đó
2
3
Vậy
4
3
Pf x f y x y
Khi x = y = 0 thì
4 3
P
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
4
3
0,25đ 0,25đ
0,25đ
điểm Cho đường thẳng d x y: 1 0 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d, (C) cắt
Ox tại A, B, cắt Oy tại M, N sao cho diện tích của hai tam giác IAB và IMN đều bằng 12
Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C) Ta có I d I t t( ; 1). Gọi H và K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của I trên Ox, Oy Ta có
1
2
IAB
và
2 2
1
2
IMN
Từ (1) và (2) ta suy ra
1
2
t
Trường hợp 1:
( ; )
t I
Thay vào (2) ta suy ra
2 2305 4
R
Vậy phương trình (C) là
Trường hợp 2: R2 t2 (t1) 2 Thay vào (2) ta suy ra t t. 1 12 t2 t12 hoặc
t2 t 12 (Vô nghiệm) Vậy t 3 hoặc t 4
+) Với t 3 ta có I( 3; 4), R5 Vậy phương trình của (C) là
(x 3) (y 4) 25.
+) Với t 4 ta có I(4;3),R 5 Vậy phương trình của (C) là (x 4)2(y 3)225.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
điểm
Cho A(1;1;1),B(2;3; 1) , đường thẳng
:
x y z
và mặt phẳng ( ) :P x y z 2 0. Viết
phương trình đường thẳng d cắt (P) tại C, cắt tại D sao cho ABCD là một hình thang
vuông tại các đỉnh A, B.
Trang 7Ta có D D(1t t; ; 1 2 ) t
Ta có AB(1;2; 2), AD( ;t t1;2t 2).
Theo đề bài
BAD AB AD t t t t D
Từ đó ta được u BC AD(2;1;2).
Vậy phương trình của đường thẳng BC là
Thay
2 2
1 2
Mặt khác do C thuộc mp(P) nên ta có
2 2 c (3 c) ( 1 2 ) 2 0 c c 2 C(6;5;3)
Ta có CD ( 3; 3;0) u d (1;1;0).
Vậy phương trình của d là
3 2 3.
z
0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ
điểm
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 4
1
n x
x
Điều kiện n 3. Ta có
C n32A n2 44
6
2
(n 12).(n 3n 22) 0
Với n = 12 ta có
4
1
.
x
Số hạng không phụ thuộc vào x ứng với k thỏa mãn
24 3
4
k
k
Vậy số hạng không chứa x là C 128 495.
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
điểm Cho hai đường tròn ( ) :C x2(y1)2 2, ( ') : (C x 4)2(y 5)28 Cho AB là một đường kính
thay đổi của đường tròn ( ')C và M là một điểm di động trên đường tròn (C) Tìm tọa độ các
điểm M, A, B sao cho diện tích của tam giác MAB lớn nhất
Đường tròn (C) có tâm I(0;1) và có bán kính R 2. Đường tròn (C’) có tâm I'(4;5)và có
bán kính R ' 2 2. Ta có II' 4 2 R 2 Do đó I’ nằm ngoài đường tròn (C).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng AB Ta có
MAB
Mặt khác ta có MH MI 'MI II ' 2 4 2 5 2.
Do đó S MAB 2.MH 2.5 2 10.
0,25đ
0,25đ
Trang 8Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H I'và M là giao điểm của đường thẳng II’ với (C) và I thuộc
đoạn thẳng I’M Như vậy AB là đường kính của (C’) vuông góc với II’.
Phương trình đường thẳng II’ là
( ;1 ).
1
x t
M t t
Thay M( )C ta được t 1 Suy ra M(1;2) hoặc M ( 1;0)
Ta có I M' II' M( 1;0)
Phương trình đường thẳng AB là x y 9 0 Suy ra tọa độ các điểm A, B thỏa mãn hệ
Vậy A(2;7), (6;3),B M ( 1;0) hoặc A(6;3), (2;7),B M ( 1;0).
0,25đ
0,25đ
điểm
Cho điểm I(3;4;0) và đường thẳng
:
x y z
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt tại hai điểm A, B sao cho diện tích của tam giác IAB bằng 12.
Gọi H là trung điểm của AB Ta có đi qua M(1;2; 1) và có u(1;1; 4).
Ta có
3 2
u MI
IH d I
u
Suy ra
8 3
IAB AB
IH
Do đó
2
AB
AH R AH IH
Vậy phương trình của mặt cầu (S) cần tìm là (x 3)2(y 4)2z225.
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
điểm
Viết dạng lượng giác của số phức z biết z z 2. 2 16 và .iz có một acgumen bằng 6.
.
Gọi là một acgumen của z Ta có z2(cosi.sin )
Từ đó suy ra
i z i i i i
Vậy z có dạng lượng giác là
0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ