Giáo án tự chọn toán 9 giúp HS củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu kiến thức, kỹ năng; nâng cao kiến thức, kỹ năng môn toán và hoạt động giáo dục nhằm thực hiện mục tiêu giáo dục, góp phần hướng nghiệp cho học sinh THCS.
Trang 1Tiết 19
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
a) ab’ – a’b 0: hệ có nghiệm duy nhất
b) ab’ – a’b 0: hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm
II Bài tập
Bài 1: Vẽ hai đường thẳng (d1): x + y = 2 và (d2): 2x + 3y = 0 Hỏi đường thẳng
(d3): 3x + 2y = 10 có đi qua giao điểm của (d1) và (d2) không ?
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
Bài 4: Tìm giá trị của a và b để hai đường thẳng (d1): và
(d2): cắt nhau tại điểm M(2; - 5)
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:
Trang 2(I) hoặc (II)
Giải (I) ta được nghiệm (x; y) = (1; - 3)
Giải (II) ta được nghiệm (x; y) = (3; 1)
Tiết 20
GÓC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
I Kiến thức cần nhớ
*/ Góc ở tâm Số đo cung
- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm
- Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó
- Số đo của cung lớn bằng 3600 trừ đi số đo cung nhỏ
- Số đo của nửa đường tròn bằng 1800
- Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
+ Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau
+ Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn
-Nếu C là một điểm trên cung thì: sđ = sđ + sđ
*/ Liên hệ giữa cung và dây
- Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
- Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
2
Trang 3AI AI
AI AI
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
- Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau từng đôi một nhưng các góc xen giữa không bằng nhau thì cạnh thứ ba không bằng nhau và cạnh nào đối diện với góc lớn hơn là cạnhlớn hơn
- Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau từng đôi một nhưng cạnh thứ ba không bằng nhau thì góc xen giữa hai cạnh đó cũng không bằng nhau và góc nào đối diện với cạnh lớnhơn là góc lớn hơn
II Bài tập
Bài 1: Cho tam giác OAO’ vuông cân ở A Vẽ hai đường tròn bán kính OA và O’A cắt nhau tại
điểm thứ hai I (Khác điểm A)
a) Tứ giác OAO’I là hình gì ? Vì sao ?
b) Tính số đo cung nhỏ và cung lớn của mỗi đường tròn
c) Có nhận xét gì về các cung nhỏ và cung lớn của mỗi đường tròn trên ?
Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D Vẽ đường tròn
tâm O ngoại tiếp tam giác BCD
a) So sánh số đo các cung , và
b) Kẻ OI, OH, OK lần lượt vuông góc với DC, DB, BC So sánh các đoạn OI, OH, OK
Bài 3: Cho tam giác ABC, AB < AC Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt ở E và
D Chứng minh BD < CE
Bài 4: Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD vuông góc với nhau Gọi M là trung điểm của
BC Chứng minh rằng OM = AD
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 10cm Một đường thẳng song song với AB
và cách AB 3cm, cắt nửa đường tròn tại C và D (C thuộc )
a) Tứ giác ACDB là hình gì ?
b) Tính độ dài AC, CD, DB
Bài 6: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD song song với AB (C thuộc cung )
Qua M là điểm chính giữa cung kẻ các dây ME, MF sao cho ME // AC, MF // BD Chứng minh rằng
a) Tam giác MEF cân
b) Tam giác MEF và hình thang ABCD có diện tích bằng nhau
III Hướng dẫn
Bài 1:
a) Tứ giác OAO’I là hình vuông
b) Tứ giác OAO’I là hình vuông
c) Hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau vì có bán kính bằng nhau Do đó
- Cung nhỏ của đường tròn (O) = cung nhỏ của đường tròn (O’)
3
Trang 4DB DC BC
_ _
O
K H
O
I D
C B
A
M
O
E D
C
B A
AD BE
I
H N
B A
= BF AE
= AE MC
= FB MD
= MD
MC
= BD AC
a) Tam giác cân ABC cân ở A nên
=> nên trong tam giác BCD có BD < CD và
Gọi I là điểm đối xứng với B qua AC, F là điểm đối
xứng với C qua AB, ta có ,
B A
Trang 5Từ (1) và (2) => => OID = FHO => FH = OI; ID = OH (3)
Mà SABDC = (OB + DI).OI
SMEF = (MO + OH).FH
Bài 5: Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình
cũng là nghiệm của phương trình 3mx - 5y = 2m + 1
Bài 6: Nghiệm chung của ba phương trình đã cho được gọi là nghiệm của hệ gồm ba phương
trình ấy Giải hệ phương trình là tìm nghiệm chung của tất cả các phương trình trong hệ Giải các hệ phương trình sau:
5
Trang 6b) Hệ phương trình vô nghiệm
c) Hệ phương trình vô nghiệm
Bài 5: Giải hệ ta được
Thay giá trị của x, y vào phương trình 3mx - 5y = 2m + 1 tìm được m = 1
Bài 1:Một ca nô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định Nếu vận tốc ca nô tăng 3
km/h thì ca nô đến nơi sớm hơn 2 giờ Nếu vận tốc ca nô giảm 3km/h thì ca nô đến nơi chậm 3 giờ Tính chiều dài khúc sông AB
Bài 2: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng 63km Một lần
khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km Tính vận tốc riêngcủa ca nô và vận tốc của dòng nước (biết vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước trong cả hai lần là như nhau)
6
Trang 7Bài 3: Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km, một đoạn xuống dốc dài 5km Một
người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc và vận tốc xuống dốc lúc đi và về như nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc
Bài 4: Một ca nô xuôi khúc sông dài 40km rồi ngược khúc sông ấy hết 4 giờ rưỡi Biết thời gian
ca nô xuôi 5km bằng thời gian ca nô ngược 4km Tính vận tốc của dòng nước
Dạng toán phần trăm
Bài 1: Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ vào lớp 10, với tỉ lệ trúng
tuyển 84% Tính riêng thì trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90% Tính xem mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi
Bài 2: Hai tổ sản xuất phải làm được 900 sản phẩm trong một thời gian quy định Do tổ một
làm vượt mức kế hoạch 20%, tổ hai làm vượt mức kế hoạch 30% nên hai tổ làm được 1130 sản phẩm Tính số sản phẩm mỗi tổ làm theo kế hoạch
Dạng toán về công việc, về vòi nước (chung – riêng)
Bài 1: Hai người làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong việc Nếu người thứ nhất làm
một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai người làm được công việc Tính thời gian mỗi người làm một mình xong toàn bộ công việc
Bài 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể Nếu
mở một mình vòi 1 trong 15 phút khoá lại rồi mở tiếp vòi 2 trong 20 phút thì cả hai vòi chảy được bể Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể
Bài 3: Hai tổ cùng làm chung một công việc thì trong 12 giờ thì xong Nhưng hai tổ cùng làm
trong 4 giờ thì tổ (I) đi làm việc khác, tổ (II) làm nốt trong 10 giờ thì xong công việc Hỏi mỗi
tổ làm riêng trong bao lâu thì xong công việc ?
Bài 4: Hai vòi nước chảy vào một bể không có nước Nếu cho vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ rồi
khoá lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào bể 8 giờ nữa thì đầy bể Nếu vòi thứ nhất chảy vào bể trong 1 giờ rồi mở thêm vòi thứ hai chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì được bể Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể
Dạng toán về diện tích
Bài 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 3m Nếu tăng chiều dài
thêm 2m và giảm chiều rộng 1m thì diện tích mảnh đất không đổi Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh đất
Bài 2: Một miếng đất hình chữ nhật Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và chiều dài thêm 2m thì
diện tích tăng thêm 60m2, nếu giảm chiều rộng đi 3m và chiều dài đi 5m thì diện tích giảm đi 85m2 Tính kích thước miếng đất
II Hướng dẫn
Dạng chuyển động
Bài 1:Gọi vận tốc dự định của ca nô là x km/h, thời gia dự định đi khúc song AB là y giờ, thì
khúc sông AB dài xy km (x > 3, y > 2)
Theo đầu bài ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được x = 15, y = 12 (tmđk) => Khúc sông AB dài 15.12 = 180km
Bài 2:
Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là x km/h và y km/h (x > y > 0)
Vận tốc khi ca nô xuôi dòng là x + y km/h, vận tốc khi ca nô ngược dòng là x - y km/h
7
Trang 8Theo đầu bài ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta có x = 24, y = 3 (tmđk x > y > 0)
Bài 3: Gọi vận tốc lên dốc và xuống dốc theo thứ tự là x và y km/h (x > 0, y > 0)
Theo đầu bài ta có hệ phương trình
Bài 1: Gọi số học sinh của trường A và trường B dự thi theo thứ tự là x và y
Số học sinh của cả hai trường là 210 = 250
Theo đầu bài ta có hệ phương trình:
Dạng toán về công việc, về vòi nước (chung – riêng)
Bài 1: Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x giờ (x > 16)
thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y giờ (y > 16)
Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được x = 24; y = 48 (tmđk)
Bài 2: Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x giờ (x > )
thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 9 giờ (y > ) Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được x = 3,75 = 3 giờ 45 phút, y = 2,5 = 2 giờ 30 phút
Bài 3: Gọi thời gian tổ (I) làm một mình hoàn thành công việc là x giờ (x > 12)
thời gian tổ (II) làm một mình hoàn thành công việc là y giờ (y > 12)
Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được x = 60; y = 15 (tmđk)
Bài 4: Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x giờ (x > )
thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 9 giờ (y > 0 ) Ta có hệ phương trình
8
Trang 9Giải hệ phương trình ta được x = 9; y = 12
Dạng toán về diện tích
Bài 1: Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh đất ban đầu lần lượt là x và y (m) (x > 0, y > 1)
Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được x = 8, y = 5
Bài 2: Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh đất ban đầu lần lượt là x và y (m) (x > 5, y > 3)
- Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn
- Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn
- Trong một đường tròn:
9
Trang 10+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
+ Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
*/ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và một cạnh là tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn đó
Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn
*/ Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Bài 2: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm)
Gọi M là trung điểm AC Đoạn thẳng MB cắt đường tròn tại K (khác B) Tia AK cắt đường tròn tại D (khác K) Chứng minh rằng BD // AC
Bài 3: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai đường
tròn ( C (O), D (O’))
a) Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quanh điểm A thì có số đo không đổi
b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc có số đo không đổi khi cắt tuyến CAD quay xung quanh điểm A
Bài 4: Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát
tuyến MAB của đường tròn đó
a) Chứng minh rằng ta luôn có MT2 = MA.MB và tích này không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến MAB
b) Khi cát tuyến MAB đi qua tâm O, tính bán kính của đường tròn nếu MT = 20cm,MB = 50cm
Bài 5: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD với
đường tròn (O) Gọi I là giao điểm của AB và CD Chứng minh rằng:
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại D
Đường tròn (D; DB) cắt AB, AC lần lượt tại Q, P Chứng minh AO PQ
Bài 7: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c nội tiếp đường tròn (O; R).
Chứng minh: ABC 4
abc S
R
Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm M bất kì trong tam giác, các tia
AM, BM, CM cắt đường tròn tại I, K, H Chứng minh:
IHK ABC
10
Trang 11) )
O F
E
C B
A
= CE BE
/ /
c) Ta có và nên AEB ACF (g.g)
=> hay AB.AC = AE.AF (1)
Vì �AnB và �AmB cố định nên C D� �, có giá trị không đổi
=> có giá trị không đổi, không phụ thuộc vào
vị trí của cát tuyến CAD khi cát tuyến đó quay xung
quanh điểm A
b) Gọi M là giao điểm của hai tiếp tuyến tại C và D của
(O) và (O’) Ta có:
= (1) (củng chắn cung nhỏ CA của (O))
= (2) (củng chắn cung nhỏ DA của (O’))
Vì cát tuyến MAB kẻ tuỳ ý nên ta luôn có MT2 = MA.MB
không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến MAB
11
Trang 12R O
B
A
T M
A
I O
C
A D
A
I
K H
M O
C B
Trang 13GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN.
GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
I Kiến thức cần nhớ:
Số đo góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
Số đo góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
II Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Kẻ dây DM song song với dây BC sao cho
DM cắt đoạn AC ở F và O, M nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC và AM
a) Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác AEC, tam giác ABE đồng dạng với tam giác ADC
b) Chứng minh tam giác AFD đồng dạng với tam giác AMB
Bài 2: Cho tam giác ABC (AC < AB) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Đường phân giác
trong và ngoài của góc A cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại D, E và AD = AE
Hãy tính AB2 + AC2 theo bán kính R của đường tròn tâm O
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm
chính giữa các cung AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng MP NQ
13
Trang 14M
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Lấy M thuộc tia đối của tia BC Gọi
I là giao điểm của MA với đường tròn, K là giao điểm của CI với AB Chứng minh rằng AC2 = AI.AM
Bài 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B sao cho Lấy điểm M thuộc đường tròn
(O) Kẻ MA, MB cắt đường tròn (O’) tại C và D (A nằm giữa M và C; B nằm giữa M và D) Chứng minh rằng khi M di động thì độ dài CD không đổi
=>
Lại có => AFD AMB(g.g)
Bài 2:
Gọi AD cắt đường tròn tại M Kẻ đường kính BF
Ta có ADE vuông cân tại A nên
=>
0452
Trang 15K I
C B
Mà chung nên AMC ACI (g.g)
Mà không đổi, �AB không đổi nên sđ �CD
=> độ dài CD không đổi
Tiết 27
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ
I Bài tập:
Bài 1: Cho hệ phương trình (I)
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất ? Vô nghiệm ? Hệ có thể có vô
số nghiệm được không ?
Bài 2: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình với a = 2
b) Tìm các giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 3: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình với m = - 2
b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà x và y đều là số nguyên
15
Trang 16Bài 4: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình với m = 3
b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm x > và y < 0
Bài 5: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y với m là tham số:
1) Giải hệ phương trình với m = -
2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét hai đường thẳng có phương trình (1) và (2)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (1) đi qua điểm cố định B và đường thẳng (2) đi qua điểm cố định C
b) Tìm m để giao điểm A của hai đường thẳng thoả mãn điều kiện góc BAC vuông Tính diện tích tam giác ABC ứng với giá trị đó của m
۹
Để hpt có nghiệm duy nhất thì (d1) // (d2)
12
Trang 17Tương tự với đường thẳng (2) ta có C(- 1; 2)
Vậy đường thẳng có phương trình (1) luôn đi qua điểm cố định B(0; -2) và đường thẳng có phương trình (2) luôn đi qua điểm cố định C(- 1; 2)
b) Hệ số góc của hai đường thẳng đã cho là k1 = m, k2 = m – 2
ta có góc BAC vuông nên m(m – 2) = - 1 => m = 1
khi đó đường thẳng (d1): y = x – 2, (d2): y = - x + 1 cắt nhau tại A
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc thì nội tiếp được đường tròn
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) thì nội tiếp được đường tròn Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
- Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn
II Bài tập
Bài 1: Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba
đường tròn đó là A, B, C Từ một điểm D (khác điểm P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB,
DC cắt các đường tròn (PAB) và (PAC) lần lượt tại M và N Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng
17