Giáo án tự chọn nâng cao toán 8 rất hay

HS ;để chứng minh đẳng thức ta có thể làm theo cách sau: Thay a, b, c bằng các biểu thức đã cho vào đẳng thức 1 thực hiện phép tính rút gọn vế trái của 1 hs lên bảng trình bày cách làm b

Trờng THCS Hải Chánh Chủ đề tự chọn nâng cao Toán 8

Tiết1 Hoạt động 1 : lý thuyết

rộng và lu ý hs dấu của các hạng tử trong

các hằng đẳng thức sau đó giới thiệu tam

giác pascal

.hs ghi lại 7 hằng đẳng thức đáng nhớ( A B)± 2 = A2 2AB + B± 2

(a - b + c)2=a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc(a - b - c)2=a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc.Bình phơng của một tổng n hạng tử (a1+a2+ +a… n) 2=a12+a22… +an2+2a1a2++ 2a

… 1an+ 2a2a3+ 2a2a4+ + 2a… 2an+…+2an-1an

Hs ghi các hằng đẳng thức mở rộng tổng quát từ hằng đẳng thức 3 và 7

an– bn = (a – b)(an-1+ an-2b + an-3b2+ .+abn-2 + bn-1) với mọi số nguyên dơng n

… n-2 + bn-1) với mọi số lẻ ntam giác pascal

GV gọi hs lên bảng trình bày lời giải

Gọi hs nhận xét và sửa chữa sai sót

Gv chốt lại cách làm dạng bài chứng minh

Hs nhận xét kết quả làm bài của bạn , sửa chữa sai sót nếu có

KQ : A ; 2a2 ; B;4( a2 + b2 +c2);

C ; -3x4 – 6x2 + 120

Hs cả lớp làm bài tập số 2

HS ;để chứng minh đẳng thức ta có thể làm theo cách sau:

Thay a, b, c bằng các biểu thức đã cho vào đẳng thức (1) thực hiện phép tính rút gọn vế trái của (1)

hs lên bảng trình bày cách làm bài tập

số 2

Hs nhận xét bài làm và sửa chữa sai

hs cả lớp làm bài tập số 3

2 hs lên bảng trình bày lời giải

Hs nhận xét kết quả bài làm của bạn

a áp dụng hằng đẳng thức

Trờng THCS Hải Chánh Chủ đề tự chọn nâng cao Toán 8Tính giá trị của biểu thức x3 + y3

B, Cho x2 + y2 = 1 chứng minh rằng biểu thức

sau không phụ thuộc vào x, y

2(x6 + y6) – 3(x4 + y4)

Nêu cách làm bài tập số 3

GV gọi 2 hs lên bảng trình bày lời giải

Gọi hs nhận xét bài làm của bạn

Gv chốt lại các cachds chứng minh đẳng thức

Bài tập số 5 Chứng minh rằng nếu

(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 với x,y khác 0

Hs cả lớp làm bài tập số 4

Nêu các cách chứng minh đẳng thức C1 Biến đổi vế trái để bằng vế phải hoặc ngợc lại

C2 chứng minh hiệu vế trái trừ đi vế phải bằng 0

Về nhà xem lại các bài tập đã giải và làm các bài tập sau:

1.Chứng minh rằng a = b = c nếu có một trong các điều kiện sau

áp dụng hằng đẳng thức hs biết tính giá trị của các biểu thức có điều kiện ràng buộc

II) các hoạt động dạy học

Hoạt động 1 : chữa bài tập về nhà

Từ a + b+ c = 0 ta có a2 + b2 + c2+ 2ab + 2bc + 2ac = 0 ⇒2ab + 2bc + 2ac = -2 ⇒

Gv cho học sinh làm bài tập

Bài số 1: cho a + b = 1 Tính giá trị của biểu

Hs cả lớp làm bài tập vào vở nháp Giải : M = (a + b)(a2 – ab +b2) + 3ab(

Trờng THCS Hải Chánh Chủ đề tự chọn nâng cao Toán 8thức :

Biến đổi biểu thức A và B để làm xuất hiện x

– y sau đó thay giá trị của x – y vào các

biểu thức để tính giá trị của biểu thức

Hớng dẫn Biến đổi biểu thức A làm xuất hiện x2 + x + 1 ta có kết quả A = ( a + 1)2

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

I) Mục tiêu :

Luyện các bài tập vận dụng kiến thức về hình thang, hình thang cân, đờng trung bùnh của tam giác của hình thang

II) các hoạt động dạy học :

Hoạt động 1 : ôn tập lý thuyết

Gv cho hs nhắc lại các kiến thức về hình thang

về định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết của

hình thang, hình thang cân, hình thang vuông và

đờng trung bình của tam giác của hình thang

Hs nhắc lại các kiến thức cơ bản về hình thang

Hs nhận xét và bổ sung

Hoạt động 2 : bài tập áp dụng

Bài tập số 1: Cho hình thang ABCD ( AB//CD)

tính các góc của hình thang ABCD biết :

Gv cho hs làm bài tập số 1: Biết AB // CD thì

kết hợp với giả thiết của bài toán để tính các góc A, B, C , D của hình

thang

Gv gọi hs lên bảng trình bày lời giải

Gv gọi Hs nhận xét kết quả của bạn

Bài tập số 2: Cho hình thang cân ABCD

( AB //CD và AB < CD) các đờng thẳng AD và

BC cắt nhau tại I

a) chứng minh tam giác IAB là tam giác cân

b) Chứng minh IBD = IAC

c) Gọi K là giao điểm của AC và BD

Trờng THCS Hải Chánh Chủ đề tự chọn nâng cao Toán 8 *Để c/m tam giác IAB là tam giác cân ta phải

Bài tập số 3: Cho 3 điểm A, B, C theo thứ tự

ấy nằm trên một đờng thẳng d biết AB > BC

Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng

thẳng d vẽ hai tam giác đều ADB, BEC Gọi M,

N, P, Q, I theo thứ tự là trung điểm của các

đoạn thẳng BD, AE, BE, CD, và DE

đ-Hs : KAD = KBC theo trờng hợp g.c.g

Hs chứng minh các điều kiện sau:

= 600

Gv gọi hs lên bảng trình bày c/m

Bài tập 4: Cho tam giác đều ABC Trên tia đối

của tia AB ta lấy điểm D và trên tia đối của tia

AC ta lấy điểm E sao cho AD = AE Gọi M, N,

P, Q theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn

thẳng BE, AD, AC và AB Chứng minh:

A, tứ giác BCDE là hình thang cân

B, Tứ giác CNEQ là hình thang

C, tam giác MNP là tam giác đều

Gv hớng dẫn hs kẻ thêm điểm F sao cho M là

trung điểm của NF và c/m NF = EB

= EC

Để c/m Tứ giác CNEQ là hình thang

ta c/m EN // CQ(cùng vuông góc với BD)

để c/m tam giác MNP là tam giác đều

ta c/m NM = MP = NP = 1/2 EB

Hs c/m NF = EB Hoạt động 3 : hớng dẫn về nhà :

Về nhà học kỹ lý thuyết về hình thang và xem lại các bài tập đẫ làm trên lớp

Trờng THCS Hải Chánh Chủ đề tự chọn nâng cao Toán 8

B, giả sử AE và BF cắt nhau tại P nằm trên cạnh Cd chứng minh rằng AD + BC = DC

C, với giả thiết của câu b chứng minh rằng E, F nằm trên đờng trung bình của hình thang ABCD

*******************************************

Tuần 3 :

Tiết 7 + 8 + 9: Ngày soạn: ngày dạy: 21/ 10/2008

Phân tích đa thức thành nhân tử

I ) Mục tiêu : giúp học sinh Luyện tập thành thạo các bài tập phân tích đa thức thành nhân

tử bằng các phơng pháp đã học nh đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm bớt cùng một hạng tử

II) Các hoạt động dạy học trên lớp :

Gv chốt lại các phơng pháp đã học tuy nhiên

đối với nhiều bài toán ta phải vận dụng tổng

hợp các phơng pháp trên một cách linh hoạt

Gv giới thiệu thêm phơng pháp đặt biến phụ:

Trong một số trờng hợp để việc phân tích thành

nhân tử đợc thuận lợi ta phải đặt biến phụ thích

- dùng hằng đẳng thức, -nhóm nhiều hạng tử,

- tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm bớt cùng một hạng tử

phơng pháp đặt biến phụ:

Ví dụ : phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2

Giải : đặt y = x2 + 4x + 8 ta có :

A = y2 + 3xy + 2x2 = y2 + 2xy + xy + 2x2 = y(y + 2x) + x( y + 2x)

A= (x + y)(y + 2x)

⇒A = (x2 + 5x +8)(x2 + 6x + 8)

A = (x2 + 5x +8)(x + 2)(x + 4)

Hoạt động 2 : bài tập

Gv cho học sinh làm bài tập

Bài tập số 1: Phân tích các đa thức sau thành

nhân tử :

Hs cả lớp làm bài Lần lợt 7 hs lên bảng trình bày cách làm:

Trờng THCS Hải Chánh Chủ đề tự chọn nâng cao Toán 8

Hãy phân tích các đa thức thành nhân tử sau đó

thay giá trị của biến vào trong biểu thức để tính

nhanh giá trị các biểu thức

C,kq = (a + b – 1)2

D, = (x – 2)2(x + 2)2E,= (x + y)(x + y – 2)

G, =xy(x + y - 2)(x + y + 2)

H, =(x – 1)(x – 2)

Hs nhận xét và sửa chữa sai sót

Hs : để tính giá trị của các biểu thức

tr-ớc hết ta phải phân tích các đa thức thành nhân tử sau đó thay các giá trị của biến vào biểu thức để tính giá trị đ-

ợc nhanh chóngấnh lên bảng làm bài :

A = (x + y)(x – z) thay giá trị của biến

2 0

1 2

0 2

x

x x

Kq = (c –a)(b + c)(a +b)

Hs lµm c¸ch 2 theo híng dÉn cña gv

Trờng THCS Hải Chánh Chủ đề tự chọn nâng cao Toán 8nhóm các hạng tử

Biến đổi A làm xuất hiện x + y sau đó thay x +

y = 1 để tính giá trị của biểu thức

Hs câu a đặt x2 + x + 1 = t khi đó đa thức đã cho trở thành :

T( t + 1) – 12 = t2 + t – 12 = t2 - 3t + 4t – 12 = t(t – 3) + 4(t – 3)

xy

xy xy

xy y x

Hoạt động 3 h ớng dẫn về nhà :

Xem lại các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và làm bài tập sau:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 thì P = (m +1)(m +3)(m +5)(m +7) +15 chia hết cho m +6.

3 Cho đa thức A = a2 + 2ab + b2 – c2 – 2cd – d2 tính giá trị của A

biết a = -1/3, b = 2/3, c = -5/9, d = 2/9

Tuần 4

ôn tập chơng II) Mục tiêu: Hệ thống kiến thức của chơng I Luyện các bài tập về nhân đa thức, các hằng

đẳng thức đáng nhớ, phân tích đa thức thành nhân tử, phép chia đa thức

II) các hoạt động dạy học trên lớp :

Hoạt động 1 : ôn tập lý thuyết

Gv cho hs nhắc lại các quy tắc nhân đa thức

với đa thức, các hằng đẳng thức đáng nhớ, các

phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử,

và các quy tắc chia đơn thức cho đơn thức,

chia đa thức cho đơn thức, chia đa thức cho đa

Câu g lu ý thứ tự thực hiện các phép tính và sử dụng các hằng đẳng thức

Hs lên bảng trình bày bài giải

Trờng THCS Hải Chánh Chủ đề tự chọn nâng cao Toán 8

A,Với giá trị nào của a thì đa thức

g(x) = x3 – 7x2 - ax chia hết cho đa thức x – 2

Hs lên bảng trình bày bài giải

đa thức g(x) chia hết cho đa thức

x – 2 khi g(2) = 0

hs cả lớp cho g(2) = 0 để tìm a

đa thức f(x) chia hết cho đa thức x- 1 và đa thức x + 2 khi f(1) = 0 và f(-2) = 0

kết quả câu a : a = - 10 câu b : a = -8/3, b = -12

H ớng dẫn về nhà

Xem lại các bài tập đã giải ôn tập toàn bộ kiến thức đã học của chơng 1

2, Tìm số nguyên n sao cho

A,2n2 + n – 7 chia hết cho n – 2

B, n2 + 3n + 3 chia hết cho 2n – 1

Luyện tập về hình chữ nhật

i) Mục tiêu:

Củng cố kiến thức về hình chữ nhật, luyện các bài tập chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

và áp dụng tính chất của hình chữ nhật để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau

II) Các hoạt động dạy học trên lớp ;

Hoạt động 1 : ôn tập lý thuyết

Gv cho hs nhắc lại các kiến thức về hình chữ

nhật ( định nghĩa, tímh chất, dấu hiệu nhận

biết)

Hs nhắc lại các kiến thức về hình chữ nhật ( định nghĩa, tímh chất, dấu hiệu nhận biết)

Hoạt động 2 : bài tập áp dụng

Bài tập số 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến

AM và đờng cao AH, trên tia AM lấy điểm D

C, Chứng minh EF vuông góc với AM

Chứng minh tứ giác ABDC, AFHE là hình

chữ nhật theo dấu hiệu nào?

Hs tứ giác ABDC là hình chữ nhật theo dấu hiệu hình bình hành có 1 góc vuông

Tứ giác FAEH là hình chữ nhật theo dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông

Hs c/m EF vuông góc với AM

Trờng THCS Hải Chánh Chủ đề tự chọn nâng cao Toán 8Chứng minh FE vuông góc với AM nh thế nào

?

Bài tập số 2 :

Cho hình chữ nhật ABCD, gọi H là chân

đ-ờng vuông góc hạ từ C đến BD Gọi M, N, I

lần lợt là trung điểm của CH, HD, AB.

A, Chứng minh rằng M là trực tâm của tam

giác CBN.

B, Gọi K là giao điểm của BM và CN, gọi E

là chân đờng vuông góc hạ từ I đến BM

Chứng minh tứ giác EINK là hình chữ nhật.

Chứng minh M là trực tâm của tam giác BNC

Cho tam giác nhọn ABC có hai đờng cao là

BD và CE Gọi M là trung điểm của BC

a, chứng minh MED là tam giác cân.

b, Gọi I, K lần lợt là chân các đờng vuông

⊥BC nên MN ⊥BC vậy M là trực tâm của tamgiác BNC

c/m Tứ giác EINK là hình chữ nhật theo dấu hiệu hình bình hành có 1 góc vuông

Hs để c/m tam giác MED là tam giác cân

Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm là điểm H và giao điểm của các đờng trung trực là điểm

O Gọi P, Q, N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AH, AC

A, Chứng minh tứ giác OPQN là hình bình hành

Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác OPQN là hình chữ nhật

**************************************************

Tuần 5

Tiết 10 – 11 – 12: Ngày soạn: Ngày dạy : 27/10/2008

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

1: giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức

Cho biểu thức f(x,y),ta nói M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x,y) nếu hai điều kiện sau

đ-ợc thoã mãn :

- Với mọi x,y để f(x,y) xác định thì f(x,y) ≤ M ( M là hằng số)

- tồn tại x0,y0 sao cho f(x0,y0) = M

M là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x,y) nếu hai điều kiện sau đợc thoã mãn :

- Với mọi x,y để f(x,y) xác định thì f(x,y) ≥ M ( M là hằng số)

tồn tại x0,y0 sao cho f(x0,y0) = M

2; Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa một biến;

Trờng THCS Hải Chánh Chủ đề tự chọn nâng cao Toán 8

* nếu a < 0 thì a( x + 2b a )2 ≤ 0, do đó P ≤ M max P = M khi và chỉ khi x = −2b a

A nhỏ nhất là 7 khi x = 2Bmin =

Bmax = 95; Cmax = 178 khi x = 45

2.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến

* Hai số dơng a và b có tích không đổi là k thì a + b ≥ 2 k do đó ab nhỏ nhất là 2 k

Cách 1: Biểu thị y theo x rồi đa về tam

thức bậc hai đối với x:

Cách 2: Sử dụng điều kiện đã cho làm

xuất hiện một biểu thức mới có chứa A:

Bài tâp 3 cho x, y là hai số dơng thoả

mãn x + y = 10 tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức S = 1x +1y

Hớng dẫn : Rút x theo y thế vào M đa về

tam thức bậc hai dới mẫu thức

min A = 1 – 2.1/2 1/2 = 1/2 khi x = y = 1/2

hs làm bài tập 2 theo hớng dẫn của giáo viên :

1

y 2 + 81 ≤ 81 max P = 81 khi y =

4 1

x = 21min S = 2/5 khi x = 5, y = 5

1 1

1

1

Trờng THCS Hải Chánh Chủ đề tự chọn nâng cao Toán 8

2 cho x, y là hai số dơng thoã mãn x2 + y2 = 4 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

1 1

Củng cố kiến thức về hình thoi hình vuông, luyện các bài tập chứng minh tứ giác là hình thoi, hình vuông và áp dụng tính chất của hình thoi, hình vuông để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau

II) Các hoạt động dạy học trên lớp ;

Hoạt động 1 : ôn tập lý thuyết

Gv cho hs nhắc lại các kiến thức về hình thoi,

hình vuông ( định nghĩa, tímh chất, dấu hiệu

nhận biết)

Hs nhắc lại các kiến thức về hình thoi, hình vuông ( định nghĩa, tímh chất, dấu hiệu nhận biết)

Hoạt động 2 : bài tập áp dụng

Bài tập 1

Cho tam giác đều ABC, Trực tâm H Kẻ

đ-ờng cao AD Một điểm M thuộc cạnh BC Từ

M kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông

góc với AC Gọi I là trung điểm của đoạn

thẳng AM Chứng minh rằng

A Tứ giác DEIF là hình thoi.

B, đờng thẳng HM đi qua tâm đối xứng của

hình thoi DEIF.

để c/m tứ giác DEIF là hình thoi ta c/m nh thế

nào?

Gv hớng dẫn hs c/m EI = IF = ED = DF bằng

cách c/m tam giác IED và tam giác IFD là các

tam giác đều

A,Hs c/m tam giác IED đều ( IE = ID = 1/2

AM và góc EID = 600)Tam giác IDF đều ( ID = IF = 1/2 AM và

để c/m MH đi qua tâm đối xứng của hình thoi

ta c/m nh thế nào?

Gv hớng dẫn hs c/m ba điểm M, O, H thẳng

hàng

Bài tập 2

Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, kẻ

đờng cao AH và trung tuyến AM đờng phân

giác của góc A cắt đờng trung trực của cạnh

BC tại điểm D Từ D kẻ DE vuông góc với

AB và DF vuông góc với AC.

1 Chứng minh AD là phân giác của góc

HAM

2, Ba điểm E, M, F thẳng hàng.

3, Tam giác BDC là tam giác vuông cân

để c/m AD là phân giác của góc HAM ta c/m

Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lợt là

trung điểm của AB và BC Các đờng thẳng

DN và CM cắt nhau tại I Chứng minh tam

Trong tam giác IDH có OH // IN Suy ra OH trùng với MH nên ba điểm O, M,

H thẳng hàng Bài 2:

để c/m AD là phân giác của góc HAM ta c/m góc HAD = góc HAM

Hs ta có góc BAH = ACH (cùng phụ với góc B) và goc BAD = góc DAC nên góc HAD = góc DAM suy ra AD là phân giác của góc HAM

Bài 3

Trờng THCS Hải Chánh Chủ đề tự chọn nâng cao Toán 8

là trung điểm của ID nên tam giác AID cân tai

A

Bài tập 4.

Cho hình vuông ABCD và E là một điểm

trên cạnh AB Phân giác của góc ECD cắt

để c/m tam giác AID cân ta c/m AK vừa là

đờng cao vừa là đờng trung tuyến ( K là trung điểm của CD)

Hoạt động 2 : Bài tập áp dụng Bài tập 1:

Với điều kiện nào của x các biểu thức sau

Nêu điều kiện của mẫu thức để biểu thức

là phân thức ? (B ≠ 0)