Siêu mặt trong không gian rn

Lời nói đầuLý thuyết về các độ cong trên đa tạp đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu hình học vi phân.. Lý thuyết này đợc ứng dụng để miêu tả hình dạng hình học của các siêu mặt trong c

Lời nói đầu

Lý thuyết về các độ cong trên đa tạp đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu hình học vi phân Lý thuyết này đợc ứng dụng để miêu tả hình dạng hình học của các siêu mặt trong các không gian R3 và R4

Một cách tơng tự nh lý thuyết siêu mặt trong R3, trong luận văn này bằng việc sử dụng tích của (n - 1 ) véc tơ trong không gian Rn để khảo sát các độ cong của các siêu mặt trong Rn

Luận văn này đợc chia làm 2 chơng:

ánh xạ khả vi trong Rn, các tính chất và phép toán có liên quan Những vấn đề này

là những kiến thức chuẩn bị để chúng tôi trình bày những nội dung chính của luận văn ở chơng II

Chơng II Siêu mặt trong không gian Rn

Đ1 Tích ngoài của (n - 1) véctơ trong Rn

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa của (n - 1) véctơ trong Rn và chứng minh một số tính chất của chúng

Đ2 ánh xạ kiểu weingarten

Trong mục này,chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về siêu mặt trong

Rnvà sử dụng tích ngoài của (n - 1) véctơ trong Rn để định nghĩa ánh xạ kiểu weingarten và xét một số tính chất của chúng

Đ3 Độ cong Gauss và độ cong trung bình của siêu mặt S

Bằng việc sử dụng ánh xạ kiểu weingarten trên S chúng tôi trình bày độ cong Gauss và độ cong trung bình của siêu mặt S trong Rn và xác định công thức

phần ở các mục này chúng tôi đều có ví dụ minh hoạ

Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang

Nhân dịp này chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành cảm

ơn sự hớng dẫn tận tình của thầy cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán, gia đình

và bạn bè trong lớp đã tạo điều kiện và giúp đỡ chúng tôi trong suốt qúa trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Vinh, tháng 5 năm 2005

Tác giả

Chơng I

Nh ta đã biết, không gian Rn là tập tất cả các dãy n phần tử (x1, , x… n) các

số thực xi Các phần tử của tập Rn đợc gọi là các điểm và đợc viết x (xi)

Trong Rn = {x = (x1, , x… n)/ xi∈R, i = 1 ,n} đã đợc trang bị hai phép toán.Phép cộng: x = (x1, , x… n) ∈Rn

y = (y1, , y… n) ∈Rn

x + y = (x1, , x… n) + (y1, , y… n) = ( x1 + y1, , x… n+ yn)Phép nhân với một số:

Với ∀ λ ∈ R, x = (x1, , x… n) ∈Rn thì λx = λ(x1, , x… n) = (λx1, , … λxn)

1.1 Mệnh đề:

Rn cùng với hai phép toán trên lập thành không gian véctơ n chiều

Trong không gian Rn đa vào cấu trúc Afin nh sau:

ϕ: Rn x Rn → Rn

(x, y)  ϕ (x,y) =y−x

1.2 Mệnh đề:

(Rn, ϕ) là một không gian ơclit với nền là không gian véctơ ơclit Rn

Chú ý: Từ nay trở đi trong bài viết này, khi nói đến Rn ta hiểu đó là không gian ơclit n chiều với nền là chính nó (hay Rn ≡ En)

Nh ta đã biết:

+ Hình cầu mở trong Rn là tập hợp S (x, r) = {y/ d(x,y) < r}

+ Hình cầu đóng trong Rn là tập hợp B[x,r] = { y/ d(x,y) ≤r}

+ Một tập U ⊆ Rn đợc gọi là tập mở nếu U = φhoặc nếu U ≠ φthì với

1.3 Mệnh đề:

(Rn, T) là không gian tôpô vớiT = {U/U mở trong Rn}

Chứng minh: Ta cần kiểm tra các tiên đề về không gian tôpô

T1: * φ ⊂ T (hiển nhiên) vì φ là tập mở trong Rn

* X = Rn ⊂ TVì với ∀ x ∈Rn thì ∃S(x,1) ⊂ Rn ⇒Rn mở ⇒Rn ⊂ T

T2: Giả sử Ui mở trong Rn, i ∈I Khi đó ∪i∈I Ui mở trong Rn

Thật vậy: x ∈∪i∈I Ui ⇒x ∈Uj (j ∈I)

Do Uj mở (gt) ⇒ ∃S(x,r) ⊂ Uj ⇒S(x,r) ⊂i∪∈IUi ⇒ ∪i∈I Ui mở trong Rn.T3 Lấy U1, U2 mở trong Rn, ta chứng minh U1 ∩ U2 = V mở trong Rn

* V = φ ⇒V mở trong Rn (hiển nhiên)

* V ≠ φLấy x ∈V ⇒x ∈U1, x ∈U2

Do U1, U2 mở (theo gt) ⇒ { (( 1)) 1

2 2

, ,

U r x S

U r

x S

⊂

∃

⊂

∃

Gọi r = min(r1, r2) ⇒S(x,r) ⊂ U1 ∩ U2= V ⇒V mở trong Rn

Vậy (Rn, T) là không gian tôpô T đợc gọi là tôpô tự nhiên trong Rn

Nh vậy x và y có hai lân cận rời nhau S1 và S2

Đ2.Véctơ tiếp xúc Trờng véctơ trong R n

Giả sử U là tập mở trong Rn

Đặt TU = U x R→n=p, α→p∈U, α→∈R→n

) , ( α

Trờng véctơ X đợc gọi là khả vi nếu mọi ϕi( i= 1,2, ,n) đều khả vi trên…

Rn

2.2 Các phép toán trên tập các trờng véctơ khả vi.

Cho X, Y là các trờng véctơ khả vi trên Rn; ϕ là hàm số liên tục trên Rn

∈

∀ p Rn

+ Trờng véctơ X + Y đợc xác định bởi: (X+Y) (p) = X(p) + Y(p)

+ Trờng véctơ ϕX trên Rn đợc xác định bởi : (ϕX) (p) = ϕ(p)X(p)

+ Hàm số XY trên Rn đợc xác định bởi: (XY) (p) = X(p) Y(p)

+ Trong E3 (n=3) thì trờng véctơ XxY xác định bởi

(XxY)(p) = X(p)xY(p)

2.3 Đạo hàm của trờng véctơ theo một véctơ tiếp xúc và dọc một trờng

2.3.1 Đạo hàm của trờng véctơ theo một véctơ tiếp xúc trong R n

Cho trờng véctơ X trong Rn và αp∈T pRn

Nhận xét: Nếu {E1, , E… n} là trờng mục tiêu song song tơng ứng với hệ toạ

2.3.2 §¹o hµm cña trêng vÐct¬ theo mét trêng vÐct¬ trong R n

Cho X, Y lµ c¸c trêng vÐct¬ trong Rn

= (2xy.1 + 0.0+xyz.0)E1-(2xy.0+0.z+xyz.y)E2 + (2xy.2x + 0.0 + xyz.0)E3

= 2xyE1- xy2zE2 + 4x2yE3

u + ; u1- u2)

Ta đặt: f1(u) = u1+ u2; f2(u) = 2

2 2

1

2 1

ánh xạ Tpf gọi là ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi f tại điểm p, còn đợc ký hiệu là f*p

3.2.2 Nhận xét.

Định nghĩa trên là phù hợp, tức là (fo ρ)(to) không phụ thuộc vào cung ρ.

Thật vậy: Trong Rn xét mục tiêu Afin và {E1,E2, , E… n} là trờng mục tiêu song song tơng ứng, giả sử f = (f1, f2, , f… n)

Ta có (foρ)(to) = f(ρ(t)) = (f1(ρ(t)), f2(ρ(t)), ,f… n(ρ(t)))

⇒(fo ρ)’(to) = (f1 o ρ)’(to)E1(f(p)) + (f2 o ρ)’(to)E2(f(ρ))+ +(f… noρ ) ’(to)En(f(p))

… n(f(p)) là cơ sở của Tf(p)Rn

Theo công thức (*) ta có: Tpf(Ui(p)) = Ui(p)[f1]E1(f(p)) + + U… i(p)[fn].En(f(p))

∂

p i

j

u f

gọi là ma trận Jacobi của f tại p tơng ứng với

ánh xạ khả vi f: Rm →Rn gọi là trải tại p nếu hạng J = dim Rm = dim Rn

3.3 Định lý về hàm ngợc: (Xem [6])

Ta giả sử rằng f: Rm →Rn là hàm khả vi liên tục trên một tập mở nào đấy chứa a và det(f’(a)) ≠0 Khi đó tồn tại một tập mở V chứa a và tập mở W chứa f(a) sao cho ánh xạ f: V →W có ánh xạ ngợc liên tục f-1: W →V khả vi đối với mọi y

(f-1)’(y) = [f’(f-1(y))]-1

3.4 Định lý về hàm ẩn: (Xem [6])

Giả sử rằng f: Rn x Rm →Rm khả vi liên tục trong một tập mở nào đó chứa

(a,b) ∈Rnx Rm và f(a,b) = 0 Giả sử M là (m x n)- ma trận ( )

f j n

i

, 1 ≤i≤j≤

m

Khi đó nếu detM≠ 0 thì tồn tại một tập mở A⊂ Rn chứa a và một tập mở B

⊂ Rm chứa b với tính chất sau đây: Đối với bất kỳ x ∈A sẽ có duy nhất g(x) ∈B sao cho f(x,g(x))=0 ở đây hàm g:A→B là khả vị Ta gọi g là hàm ẩn xác định bởi phơng trình: f(x,y)=0

Ch¬ng II

Trong môc nµy ta xÐt kh«ng gian vÐct¬ ¬clit Rn víi tÝch v« híng tù nhiªn.Gi¶ sö e→1 ,e→2 , ,e→nlµ c¬ së trùc chuÈn trong Rn vµ U→i (uij) víi

n j n

12 2221

11 1211 1

113 11

223 21

113 11

113 12

223 22

113 12

nnn n

n

n n

nnn n

n n

nnn n

n n

uuu

uuu uuu

uuu

uuu uuu

uuu

uuu

uuu

U

Chó ý: Víi n =3 th× tÝch ngoµi cña hai vÐct¬ u→1 (u11,u12,u13) vµ u→2 (u21,

1311 2322

1312

uu

uu uu

uu uu

uu uuu

1 1

=

1 21

11 1211

1

113 11

31

1 1311

113

12

32

1

1312

)1 (;

;

nn nn

in ii

n

n

nn nn

in ii n

nn

nn

in

ii

n

uuu uuu uuu

uuu uuu uuu

uuu

uuu

uuu

=

1 21

11 1211

1

113 11

31

113 11

113

12

32

113

12

)1( ;

;

nn nn

in ii

n

n

nn nn

ini i

n

nn

nn

ini

i

n

uuu uuu uuu

uuu uuu uuu

uuu

uuu

uuu

= λ

1 21

11 1211

1

113 11 31

1 1311

113

12

32

1

1312

)1 (;

;

nn nn in ii n n nn nn in ii n nn nn in ii n uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu = λ(→ u1∧ ∧ →

ui∧ ∧ →

un-1) Vậy → u1∧ ∧ λ→ ui∧ ∧ →

un-1= λ(→ u1∧ ∧ →

ui∧ ∧ →

un-1) Bây giờ ta sẽ đi chứng chứng minh ii) Theo định nghĩa tích ngoài của (n-1) véctơ ta có: → u1∧ ∧ (→

ui + → u’i) ∧ ∧ →

un-1=

=





































+ + +

− + +

+

−−

−

−

−

−

−

−

−

1

' 1

' 2 2 1

' 1

11 12

11

1 13

12

'

' 3 3

3

'

2

1 13

12

.

)1 (

;

nn n n in in i i i i n n nn n n in in i i i i n u u u u uu uu u u u u u u u uu uu uu u u u = +                 − −− − − − − + − − − 11 13 11 1 2 1 11 12 11 1 1 13 12 3 2 1 13 12

)1( ;

;

nn n

n

in i

i

n

n

nn n

n

in i

i

n

u u

u

u u

u

u u

u

u u

u

u u

u

u u

u

+





































−

−−

−

−

−

−

+

−

−

1

'

' 2 1 '

11 12

11

1

1 13

12

'

' 3 2

'

1 13

12

.

)1( ;;

nn n n in i i n n nn n n in i i n u u u u u u u u u u u u u u u u u u = (→ u1 ∧ ∧ →

ui∧ ∧ →

un-1) + (→ u1∧ ∧ →

u’i ∧ ∧ →

un-1) Vậy: (→ u1∧ ∧ (→

ui+ → u’i) ∧ ∧ →

un-1= (→ u1∧ ∧ →

ui∧ ∧ →

un-1) + (→ u1 ∧ ∧ →

u’i ∧ ∧ →

un-1) 2.3 Mệnh đề: Tích ngoài của (n-1) véctơ trong Rn có tính chất phản giao hoán (phản đối xứng) Chứng minh: Giả sử → ui(uij) (i = 1, n− 1; j=1 ,n) là các véctơ trong Rn Ta sẽ chứng minh: → ∧ ∧ →∧ ∧ →∧ ∧ →

= -→ ∧ ∧ →∧ ∧ →∧ ∧ →

















































−

−−

−

−

−

−

−

+

−

−

1 2

1

1 2

1

11 12

11

1

1 13

12

3

2

3

2

1 13

12

.

)1( ;;

nn n

n

jn j

j

in i

i

n

n

nn n

n

jn j

j

in i

i

n

u u

u

u u

u

u u

u

u u

u

u u

u

u u

u

u u

u

u u

u

=

















































−

−

−−

−

−

−

−

−

+

−

−

1 2

1

1 2

1

11 12

11

2

1 13

12

3

2

3

2

1 13

12

.

)1( ;;

nn n

n

in i

i

jn j

j

n

n

nn n

n

in i

i

jn j

j

n

u u

u

u u

u

u u

u

u u

u

u u

u

u u

u

u u

u

u u

u

= -

















































−

−−

−

−

−

−

−

+

−

−

1 2

1

1 2

1

11 12

11

1

1 13

12

3 2

3 2

1 13

12

.

)1( ;;

nn n n in i i jn j j n n nn n n in i i jn j j n u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u = - (→ u1∧ ∧ →

uj∧ ∧ →

ui∧ ∧ →

un-1) Vậy → u1∧ ∧ →

ui∧ ∧ →

uj∧ ∧ →

un-1= - (→ u1∧ ∧ →

uj∧ ∧ →

ui∧ ∧

→ un-1) 2.4 Mệnh đề: Giả sử → u1, , … u→n-1 là (n-1) véctơ trong Rn Hệ véctơ {→ u1, , … u→n-1}phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi → u= →u1∧ ∧ →

un-1 = 0

Chứng minh:

* Điều kiện cần: Giả sử →

ui (uij)(i= 1 ,n− 1; j = 1 ,n) là (n-1) véctơ trong Rn

u1, , … u→n-1} là hệ phụ thuộc tuyến tính Ta phải chứng minh →

0

u1, , …

→

un-1} phụ thuộc tuyến tính nên ∃ λk∈R(k = 2 ,n− 1 )sao cho : →

u

12 22 21 1

1 13 12

2 23 22

2 23 22

n

n n

nn n n

n n

uu u

uu u

uu u

u uu

uu u

uu u

ThËt vËy, gi¶ sö ngîc l¹i hÖ {→

u

u u

u

1 12

11

1 12

12

2 23

22

1 13

u

u u

u

u u

u

n n n

n

n n

11

2 23

21

1 13

u

u u

u

u u

u

n n n

n

n n

+ (-1)n+1

11 1 1 12

11

1 2 22

21

1 1 12

u u

u u

u

u u

u

n n n

n

n n

n n n n n

n

n n

n n

u u

u u

u u

u u

u u

u u

u u

u u

1 1 1 12

11

1 1 1 12

11

2 1 2 22

21

1 1 1 12

n n

u u

u

u u

u

u u

2 22

21

1 12

n

n n

u u

u

u u

u

u u

3 33

32

2 23

22

u12

nn n

n

n n

u u

u

u u

u

u u

3 33

31

2 23

1 3 31

1 2 21

n n

u u

u u

u u

=

nn n

n

n n

u u

u

u u

u

u u

2 22

21

1 12

Sau đây chúng ta sẽ ứng dụng tích ngoài của (n-1) véctơ trong Rn để xét ánh xạ kiểu weingarten và độ cong Gauss, độ cong trung bình của siêu mặt S trong Rn.

Đ 2 ánh xạ kiểu weingarten trên siêu mặt S.

Nh chúng ta đã biết tập con S trong Rn gọi là mảnh hình học trong Rn nếu

nó là ảnh của một dìm, đồng phôi lên ảnh r: U⊂ Rn-1→Rn

(u1, ,u… n-1)  r(u1, ,u… n-1)Trong đó:

- Một dìm r là ánh xạ khả vi và {r’

1

u p , , r… ’u n−1 p } độc lập tuyến tính với ∀p∈S

- r đồng phôi lên ảnh nghĩa là: r: U  r(U)=S là ánh xạ đồng phôi (r là ánh xạ song ánh cùng với r, r-1 là ánh xạ liên tục đối với tôpô cảm sinh)

Ta thờng gọi r là tham số hoá của siêu mặt S

- Siêu cầu trong Rn là siêu mặt

- Siêu trụ trong Rn là siêu mặt

+ + +

=

+ + +

n n u

E a E

a E a R

E a E

a E a R

E a E

a E a R

2 2

22 1 21

1 2

12 1 11

i R

n=

2

1 1 11

1 1 11

) 1 ( 2 2

1 12

1 12

1 1 11

1 1 11

1 1

13 11

1 13

11

1 12

1 12

;

n n

n n n

n

n n n

n n

n n n

n

n

n n n

n

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a

a a

a a

a

a a

Xét ánh xạ hp: TpS → TpS đợc gọi là ánh xạ kiểu Weingarten của S tại p

n D

1 Với trờng véctơ n đợc định nghĩa nh trên, rõ ràng n là trờng véctơ pháp tuyến của siêu mặt S.

hay n = '

'

1 2

1

1 2

R R

R R

R

n n

u u

u

u u

n

n n

a a

a a

a a

a a

a a

a a

1 1 2

1

12 12 22

12

11 11 21

n .

0

= Ru

n

2

1-Từ đó ta đợc n Rui =0 (i=1 ,n− 1) hay n⊥Ru i (i=1 ,n− 1)

Vậy n chính là trờng véctơ pháp tuyến của siêu mặt S

2 Rõ ràng việc định nghĩa ánh xạ hp nh trên là đúng kiểu, vì rằng: n là véctơ pháp tuyến đơn vị của S nên n =1⇒n2 =1 (1)

Với ∀ α→p∈T p S, lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo α→pta có:

1

1 13

11

1 13

11

1 12

1 12

)1(

;

n n

n n n

n

n

n n n

n

a a

a a

a a

a

a a

a a

a

a a

Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức trên theo Ru j ta có:

DRu j n Ru i+n DRu j Ru i =0

⇔ hp(Ru j ) Ru i =n DRu j Ru i (2)Tơng tự ta cũng có: n Ru j =0

Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức này theo Ru i ta có:

α

1 2

- Các giá trị riêng của hp đợc gọi là các độ cong chính của S tại p

- Các véctơ riêng của hp đợc gọi là các phơng chính của S tại p

2.7 Mệnh đề:

Giả sử siêu mặt S có (n-1) độ cong chính (giá trị riêng) là k1, k2, , k… n-1 mà

đôi một khác nhau thì các phơng chính (véctơ riêng) vuông góc với nhau

v z

v u y

v u x

cos

sinsin

sincos

0 sin cos

sin

0 0 sin

cos

v v

u

v u

0 sin cos

cos

0 0 sin

sin

v v

u

v u

−

−

0 0

0

sin cos

sin cos

cos

0 sin

cos sin

sin

v v

u v

u

v u v

2

D C

B

A + + + = cos 2 u sin 4v+ sin 2usin 4v+ sin 2v.co

= sin 4v+ sin 2v cos 2v

Râ rµng n lµ trêng vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña (S)

V× r»ng: n.Ru=(cosusinv, sinusinv, cosv,0).(-sinusinv, cosusinv,0,0)

= -cosu.sinu.sin2v + sinu.cosu.sin2v +0 +0 = 0

⊥

⇒ n Ru

n.Rv = (cosusinv, sinusinv, cosv, 0) (cosucosv, sinucosv, -sinv,0)

= cos2 u.sinv.cosv + sin2u.sinv cosv - sinv.cosv + 0

v u y

v u x

Ta có tham số hoá của (S) là:

u v

u v

v u v

v u

v u

sin sin sin

cos

cos cos cos

sin , sin cos cos

cos sin 0

, cos sin

sin

0 cos

cos

= (cosucos2 v, sinucos2v, sinucosv)

v v u

u v R

R u ∧ v = cos 4 (cos 2 + sin 2 ) + sin 2 cos 2 = cos 2 (cos 2 sin 2 )

v v

v u

v u

cos

cos sin , cos sin , cos (cos 2 2

=

∧

∧

= (cosucosv, sinucosv,sinv)

Với n xác định nh trên thì n là véctơ pháp tuyến của mặt cầu (S)

Vì: n.Ru= (cosucosv, sinucosv, sinv)(-sinucosv,cosucosv, 0)

= -sinucosucos2v + sinucosucos2v + 0 = 0

⊥

⇒ n Ru

Và n.Rv = (cosucosv, sinucosv, sinv) (-cosusinv, -sinusinv, cosv)

= -cos2ucosvsinv - sin2 usinvcosv+ cosvsinv = 0

S là một đa tạp (n-1) chiều trong Rn định hớng bởi trờng véctơ pháp tuyến

B(S) = {X/X là trờng véctơ tiếp xúc với S}

Thật vậy: xét 2 trờng véctơ bất kỳ X, Y ∈B(S)

1 1 1

1

) (n

j

n

j i i i

j i n

X x

Y X

(Xem chơng V Đ4.4.5 Hình học vi phân - Đoàn Quỳnh)

1 1

1 1 1 1

]

[ )

n j

n

j n

n i j j j

j

x x

Y X x

Y X x

1 1

1 1 1 1

]

[ )

i j n

j i i i

j

x x

X Y x

X Y x

X

Với mọi f - là hàm khả vi trên S Ta có:

(DXY - DYX)[ f ] = (

i i i n

n j i j j n

n

X Y x

x

Y X

1 1

=

i i i n

n j i j j n

n

f x

X Y x

f x

Y X

1 1 1

=

i i

i j n j j j n

n

f x

X Y x

Y X

1 1

1 1

1 1

i j n j j j n

n

X Y x

Y X

Do đó [X,Y].n = 0

⇒[X,Y] là trờng véctơ tiếp xúc với S hay [X,Y] ∈B(S)

Chúng ta đã xây dựng đợc ánh xạ kiểu Weingarten trên S

X  -DX.nGiả sử {U1, U2, ,U… n-1}là trờng mục tiêu trực chuẩn trên S, n là trờng véctơ pháp tuyến đơn vị xác định hớng của S.khi đó ta có biểu diễn duy nhất nh sau: