Độ cong trung bình của siêu mặt trong không gian rn

Lời nói đầuLý thuyết về độ cong nói chung và độ cong trung bình nói riêng đã đợc trìnhbày trong nhiều tài liệu hình học vi phân.. Từ những khái niệm cơ bản của mặt trong Rn, một cách tơn

Lời nói đầu

Lý thuyết về độ cong nói chung và độ cong trung bình nói riêng đã đợc trìnhbày trong nhiều tài liệu hình học vi phân

Từ những khái niệm cơ bản của mặt trong Rn, một cách tơng tự nh lý thuyếtmặt trong R3 Trong luận văn này bằng việc sử dụng tích có hớng của (n-1) véctơtrong Rn chúng tôi đã đi vào nghiên cứu một cách có hệ thống độ cong trung bìnhcủa siêu mặt trong Rn

Luận văn đợc trình bày với bố cục sau:

Đ1 Tích có hớng của (n-1) véctơ trong Rn

Trong mục này chúng tôi trình bày định nghĩa tích có hớng của (n-1) véctơtrong Rn và chứng minh một số tính chất của chúng

Đ 2 ánh xạ Weingarten trên siêu mặt S trong Rn

Trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm về đạo hàm của trờngvéctơ và khái niệm cơ bản về siêu mặt trong Rn Sử dụng tích có hớng của (n-1)véctơ trong Rn để định nghĩa ánh xạ Weingarten, định nghĩa độ cong chính, độcong Gauss và độ cong trung bình của siêu mặt trong Rn

Đ3 Các dạng cơ bản

Bằng việc sử dụng ánh xạ Weingarten trên S trong Rn chúng tôi trình bàykhái niệm dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai và một số tính chất, đa racông thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của siêu mặt S trong Rnthông qua các dạng cơ bản, trong mỗi phần ở các mục đều có ví dụ minh hoạ

Đ4 Một số tính chất về độ cong trung bình

Mục này đa ra một số tính chất của độ cong trung bình của một mặt bất kỳtrong Rn nh:

) 1 , 1 ( )

) (

~ 1

1 )

n i

k n

(

)

(

)

( 1 )

)(

1 (

1

1 2

1

2 2

1 1

2 2

n X

n

X X

X

Z D X

X X X

X Z D Z X

X n

Luận văn này thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán trờng đại học Vinh, dới

sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, tôi xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, đồng thời cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa

đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

§ 1 TÝch cã híng cña (n− 1 ) vect¬ trong Rn

1112 11 1

112 11

223 21

113 11

n

n n

nnn n

n n

uuu

uuu uuu

i) u1∧u2 ∧ ∧ λu i ∧ ∧u n−1= λ (u1∧u2 ∧ ∧u i ∧ ∧u n−1)

ii)

)

'

( )

(

) ' (

1 ∧ ∧u i +u i ∧ ∧u =u ∧ ∧u i ∧ ∧u n− +u ∧ ∧u i ∧ ∧u n−

u

Chứng minh:

i) Theo định nghĩa tích có hớng của (n− 1 ), ta có:

1 2

12 1

1112 11

1

113

11

31

113

11

113

12

32

1312

)1(;;

;

nnn n

ini i

n

n

nnn

n

ini

i

n

nnn

n

ini

i

in

uuu uuu uuu

uuu

uuu

uuu

uuu

uuu

uuu

1112 11

ini i

u































+ + +−

+

++

=

− 11 12 11

1 1 2 2 1 1

11 12

11 1

1 13

12

3

3

2

2

1 13

12

' '

'

)1(;;

'

'

nn n

n

in in i i i i

n

n

nn n

n

in in

i

ii

i

n

u u

u

uu uu uu

u u

u

u u

u

uu uu

uu

u u

u

' ''

)1(; ;

113 12 32 113 12 1112 11 12 1 1112 11 1 113 12 32 113 12         +                 − = −−− −−− − − − + −−− n nnn ini i n nnn n ini i n n nnn n ini i n uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu         − − − − − − − + 1 1 12 11 1 2 1 1 1 12 11 1

'

' '

)1 ( ;

n n n n in i i n n u u u u u u u u u 1 1 1 1 ) ( '

( ∧ ∧ ∧ ∧ − + ∧ ∧ ∧ ∧ − = u u i u n u u i u n ) VËy: ( ) ( ' )

) ' (

1 ∧ ∧u i +u i ∧ ∧u n− =u ∧ ∧u i ∧ ∴ ∧u n− + u ∧ ∧u i ∧ ∧u n−

u

1.2.2 Mệnh đề

Tích có hớng của (n− 1 ) vectơ trong R n có tính chất phản giao hoán, tức là:

1 2

1 ∧u ∧ ∧u j ∧ ∧ u n−

u

1 2

−

j i n j i R u

1 2 1

11 12 11

1

1 13

jn j j

in i i n

n

nn n

n

jn j

j

in i

i

n

u uu

u uu

u uu

u uu

u uu

u uu

u uu

u uu

1 2 1

11 12 11

in i i

jn j j n

u uu

u uu

u uu

1 2 1

11 12 11

in i i

jn j j n

u uu

u uu

u uu

)

{ u1 u n − 1 là hệ phụ thuộc tuyến tính thì u = 0

(Trong đó u =u1 ∧ ∧u n− 1)

Thật vậy: Do { u1, , u n − 1 } là hệ phụ thuộc tuyến tính nên

) 1 , 2

1 3

( 2 + 3 + + − − ∧ 2 ∧ ∧ −

= λ u λ u λn u n u u n

1 1

1 1

2

= λ u u u n λn u n u n (1.1)Theo định nghĩa tích có hớng của (n− 1 ) vectơ trong R n ta có:

−

=

12 22 21

12 22 21 1

1 13

12

2 23

22

2 23

22

)1(; ;

nn nn n n n nn nn n n uu u uu u uu u uu u uu u uu u 0 ) 0

,

0 ( = = Vậy λ2 u2 ∧u2 ∧ ∧u n− 1 = λ2(u2∧u2∧ ∧u n−1) = λ20 = 0 Tơng tự ta cũng có: 0 1

3 2 3 3u ∧u ∧u ∧ ∧u n− = λ …………

0 1

1 1 − ∧ 2 ∧ ∧ − = − n n n u u u λ Thay các đẳng thức trên vào (1.1) ta có: 0 0

0 0 + + + = = u Vậy nếu } 1 1 , ,

{ u u n − phụ thuộc tuyến tính thì u = 0

* Điều kiện đủ: giả sử u=u1∧ ∧u n−1 = 0 thì { u1, , un−1}là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

Thật vậy, giả sử ngợc lại hệ { u1, , u n − 1 } là hệ độc lập tuyến tính khi đó hạngcủa hệ vectơ { u1, , un−1} bằng (n− 1 ) tức là hạng của ma trận

n

u u u

u u

1 ,{ uu , , u n − phụ thuộc tuyến tính thì vectơ u=u1 ∧u2 ∧ ∧u n−1= 0

1.2.4 Mệnh đề

Giả sử u1 ,u2 , ,u n−1 là các vectơ trong R n và u=u1 ∧u2 ∧ ∧u n−1 khi đó u

trực giao với các vectơ u i(i= 1 ,n− 1).

Chứng minh:

Giả sử u i(u ij) (i = 1 ,n− 1 ,j = 1 ,n) là các vectơ trong R n.Theo định nghĩa tích

có hớng của (n− 1 )vectơ và tích vô hớng của 2 vectơ, ta có:

2 2321

1 1311

uu u

uu u

n n

n

n

u u u

u u u

u u u

1

11.1211

122221

1112111

11

1 1 1 12 11

2 1 2 22

21

1 1 1 12

n n n n n

n

n n

n n

u u u

u

u u u

u

u u u

u

u u u

u

(vì định thức có hai hàng bằng nhau)

Tơng tự ta cũng chứng minh đợc:

0

.u2 =u u3 = =u u n− 1 =

u

Vậy u⊥u i (i= 1 ,n− 1 ) hay u trực giao với các vectơ u i(i= 1 ,n− 1 )

∃ thì giá trị đó đợc gọi là đạo hàm của hàm

số ϕ theo vectơ tiếp xúc αp Ký hiệu [ ] ( )(t0)

dt

d

p

ρ ϕ ϕ

2.1.2 Định nghĩa:

Cho cung tham sốρ :J →U ⊂R n và X là trờng vectơ dọc cung ρ

J t t X t t

P

P+β = α + ò

α

+ Dλα X = λDα X

1 2

u

u u

u

R R

R

R R

R n

1) n xác định nh trên là trờng véctơ pháp tuyến của siêu mặt S

T n D n n

D

n n D n

D n n n D

n n n

α

α α

α

α α

0 0

.

0 2

2.3.2 Định nghĩa:

Xét ánh xạ hp: TpS TpS

α hp(α) = −Dαn

đợc gọi là ánh xạ Weingarten của S tại p

Khi p thay đổi, ký hiệu chung các ánh xạ hp đó là h và ta có:

(

) (

) (

)

(

) ( ) ( ) (

) ( ) (

) (

) (

α λ α λ

α λ

λ λ

α

λ

β α

β α

β α

β α

α α

α λ

β α

β α

β α

p p

p p

p p

p

p p

p

h h

h

n D n

D n

D h

h h

h

h h

n D n D

n D n D

n D h

là tham số hoá địa phơng của S

Với p ∈ S, p = r(u01, u02,…, u0n-1) thì

,

' 1

0 02 01

0 02 01 '

(theo tính chất của đạo hàm)

) ( )) ( (

.

) ( )) ( (

' '

1 1

2 2

i u i u

i u i u

u r u r R

u r u r R

R u

u r n D n D p

R h

i u i

) )(

(

) (

( ' ) )(

( )

( )).

(

i i

u i

i u

u

du

r n D u

r du

u r n D p

R p R

h

j j







) 4 (

) (

"

).

( )

( '

)

)(

(

0 )

(

"

).

( )

( '

)

)(

(

i u

u i

i u

i

i

i u

u i

i u

i

i

u r

u r

n u

r du

u r

n D

u r

u r

n u

r du

u r

n D

i j

j

i j

⇒

) 5 ( )

(

"

).

( )

( )).

"

).

( )

( )).

(

(

j i i

(

"

) (

1

1 2

1

1 2

1

1 2

=

+ + +

=

n

n

u n u

u

u n u

u

R R

R

R R

β

β

α α

α

α

¸p dông kÕt qu¶ trªn ta cã:

ii i

.

.

) (

1

1 1

i

i n

i

ii D n n

Cho đa tạp (n− 1 ) chiều S có hớng trong R n, h P là tự đồng cấu tuyến tính

đối xứng trong không gian vectơ Ơclit (n− 1 ) chiều T p S

- Các giá trị riêng của h P đợc gọi là độ cong chính tại p của S mỗi vectơriêng xác định một phơng gọi là phơng chính tại p của S

- Định thức của tự đồng cấu tuyến tính h P gọi là độ cong Gauss của S tại

2.4.2 Mệnh đề

Giả sử siêu mặt S có (n− 1 )độ cong chính là k1 ,k2 , ,k n−1 mà đôi một khác nhau thì các phơng chính đôi một vuông góc với nhau.

Chứng minh: Giả sử k i ≠k j( ∀i,j = 1 ,n− 1 ) và αi, αj là các phơng chính tơngứng với các độ cong chính k , i k j

Khi đó ta có: h P( αi) =k iαi (i= 1 ,n− 1 ) (1)

) 1 , 1 ( )

h P αj jαj (2)

Nhân vô hớng hai vế của (1) với αj

j i i j i

2.4.3 Mối quan hệ giữa các độ cong trên siêu mặt S

Vì h P là tự đồng cấu đối xứng nên chỉ có một trong hai trờng hợp sau: 1) h P có (n− 1 ) giá trị riêng thực (không hoàn toàn trùng nhau) khi đó

)

1

(n− phơng chính tại p hoàn toàn xác định và đôi một vuông góc với nhau Gọi (n− 1 ) giá trị riêng đó là k1 ,k2 , ,k n−1 thì có hệ (n− 1 ) vectơ trựcchuẩn của T p S là {e1,e2, ,e n−1} là các véctơ riêng

1 1 1

)(

)(

)(

n n n

P

P P

e k e

h

e k e h

e k e h

Khi đó theo định nghĩa: Độ cong trung bình và độ cong Gauss tại p là :

1

) ( 1 2 1

−

+ + +

n

k k

k p

1 2

1

) (p =k k k n−

2) h P có đúng một giá trị riêng thực (bội (n− 1 )), khi đó mọi phơng là

ph-ơng chính nên mọi cơ sở trực chuẩn {e1, ,e n− 1 } của T p S

1 1 1

)(

)(

)(

n n n

P

P P

e k e

h

e k e h

e k e h

trong đó: k1 =k2 = =k n−1, khi đó theo định nghĩa: H(p) =k1 và

- Điểm p mà tại đó k1 =k2 = =k n−1 gọi là điểm rốn của S, khi k1 = k2 = … = kn-1 =

0 điểm p gọi là điểm dẹt và khi k1=k2 = =k n−1 ≠ 0 điểm p đợc gọi là điểm cầu

2.4.4 Ví dụ

Trong R4 giả sử cho siêu trụ S có phơng trình x2 + y2 + z2 = 1

Hãy tính độ cong Gauss, độ cong trung bình của S

Giải:

Ta đặt:

R t v u t

h

v z

v u y

v u x

0, 2

0;

cos

sin sin

sin

cos

π π

Khi đó tham số hoá của (S) là:

) , cos , sin sin , sin (cos )

, , ( ) , , (

t v v u v u t

v u r t v u

R R U r

Ru p = r'u p = (-sinu sinv, cosu sinv, 0, 0)

Rv p = r'v p = (cosu cosv, sinu cosv, -sinv, 0)

Rt p = r't p = (0, 0, 0, 1)

khi đó vectơ pháp tuyến của siêu trụ đợc tính

t v u

t v u

R R R

R R R n

1 u 2v u 2v v v

v

) 0 , cos , sin sin , sin cos ( u v u v v

⇔

Khi đó:

) 0 , 0 , sin cos , sin (sin '

| '

)

(

0 0

)

(

0 0 )

(

R tv

u R

R R

Rt

h

p R

R R Rv

h

R R R R

h

t v u P

t v u P

t v u u

=

∀ +

−

=

+ +

00 0

01 0

H và độ cong Gauss K(p) = 0

Đ3 các dạng cơ bản của siêu mặt S trong

không gian Rn

3.1 Định nghĩa:

S là mặt định hớng trong R n có tham số hóa địa phơng,

n

R U

) , , ( ) , ,

,

Ip, IIp là những dạng song tuyến tính đối xứng trên T p S Chúng đợc gọi theo

thứ tự là dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ bản thứ hai của S tại p

Ký hiệu: I p( α , α ) =I p( α ) ; II p( α , α ) =II p( α )

Khi p thay đổi ta ký hiệu là I và II

3.2 Các hệ số của dạng cơ bản I và II.

Trong tham số hóa địa phơng,

r : (u1,u2, ,u n−1)  r(u1,u2, ,u n−1) của siêu mặt S ta xét các hàm số trên U sau:

g ij =r'u i.r'u j

ij

g gọi là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất đối với tham hoá địa phơng r

j i

i j

12 22 21

11 12 11

11 12 11

12 22 21

11 1211

n n

nn n n

n n

hh h

h hh

h hh Q gg

g

g gg

g gg P

Ta gọi P, Q là ma trận các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ bản thứhai

u i

R là ma trận của P -1 Q.

Hay ( ) ( )= −1 ( , = 1 , − 1 )

n j i h g

Chứng minh:

Giả sử:

)1 4 3 (

1 1

1 2

1 2

1 2

1 1

1 1 12

11

1 2 22

21

1 1 12

=

+ + +

=

+ + +

n n

u n n u

n u n u

u n u

u u

u n u

u u

R a R

a R a R

h

R a R

a R a R

h

R a R

a R a R

h

Suy ra ma trận của ánh xạ Weingarten đối với cơ sở { }R u ,i= 1 ,n− 1 là:

+ + +

=

+ + +

2 1

1 1

2 1 1

2 2

1 2

1 1 1

2 1

1 1

1 2

1

1 2

1

1 2

n n

i

n i

n i

u u in u

u i u u i u

u

u u in u

u i u u i u

u

u u in u

u i u u i u

u

R R a R

R a R R a R

R

h

R R a R

R a R R a

R

R

h

R R a R

R a R R a

R

R

h

11 12

n

n n

g gg

g gg

12 2221

11 1211

11 1211

12 2212

11 2111

11 121

1

12 2212

11 2111

ggg

gg g ggg

aaa

aaa aaa

n n

nn nn

n n

nn nn

n n

u i

R độc lập tuyến tính

Do định thức Gram:

1 , 1 , ,

0 )

Từ (3.4.2), ta có:

.

1 , 1 , ),

.(

) ( ) (

1 1

Q P A

n j i h

3.5 Công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình

S là siêu mặt định hớng trong R n, lấy { αi/i= 1 ,n− } là một cơ sở của T p S,giả sử:

1 1 1 2

12 1 11

22 1 21

12 1

1 )(

) (

(

)

( 11 1+ 12 2 + + 1 −1 −1 ∧ ∧ −11 1+ −12 2 + + −1 −1 −1

= a α a α a n αn a n α a n α a n n αn

)

(

(Vì αi ∧ αi = 0 ∀i= 1 ,n− 1 và tích có hớng của (n− 1 ) vectơ trong R n có tính tuyến tính)

1 2

1 1

∧

∧

∧ +

+ +

+ +a n−1n−1αn−1)

1 2

1 1 1 1

2 1

).

( )

)

(

1 2

1

1 2

1 1 1 22

11

1 2

1 1 2 1

+ +

=

∧

∧

∧ +

n

n p n

p

p H

n

a a

a

h h

α α

α

α α

α

α α

α α α α

thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của siêu mặt S trong Rn thông quadạng cơ bản I và II là:

) , ( )

, ( ) , (

, ( ) , (

) , ( )

, ( ) ,

(

) , ( )

, ( ) , (

) , ( ) ,

(

) (

) ( ) ,

(

)

(

112

11

1

122

21

2

112

11

1

112

11

1

122

21

2

112

11

n

n n

n n n

n

n n

I I

I

I I

I

I I

I

II II

II

II II

II

II II

II

p

K

α α α

α α α

α α α

α α

α

αα αα

αα

α α α

α α

α

α α α

α α

α

αα αα

( )

.

), ( ) ,(

), (

), ( ) ,() ,(

1

), ( ) ,(

), (

), ( ) ,() ,(

), ( ) ,()

,(

), ()

,()

,(

)(

1 1 21 11

1 2 22 12

1 1 21 11

1 1 21 11

1 2 22 12

1 1 21 11

1 1 21

11

1 2 22

12

1 1 21

n n

n n n n

n n

n n n

n

n n

I I I

I I I

I I I n

II II II

I I I

I I I

I I

I

I I

I

II II

II

pH

αα αα αα

αα αα αα

αα αα αα

αα αα αα

αα αα αα

αα αα αα

αα αα

αα

αα ααα

α

αα αα

1 2 2 2 1

1 1 2 1

1 2

1 1 2

n n

n n

b a b a b a

ba ba ba

ba ba ba b b b a a

Ta đợc:

)

)(

(

) (

)

(

(h p α1 ∧h p α2 ∧ ∧h p αn−1 α1 ∧ α2 ∧ ∧ αn−1

)

Theo chú ý trên ta có:

1 1 21 11

1 2 22 12

1 1 21 11

1 1 2

1

1

1

1 2 2

2

1

2

1 1 2

1

1

1

.

)(

n

n n

n n p n

p

n

p

n p p

p

n p p

p

pK h

h

h

h h

h

h h

h

αα ααα

α

αα ααα

α

αα ααα

α

αα αα

αα

αα αα

αα

αα αα

αα

Hay :

) , ( )

, ( ) , (

, ( ) , (

) , ( )

, ( ) , (

) , ( )

, ( ) , (

) , ( ) , (

) (

) ( ) , (

)

(

112

11

1

122

21

2

112

11

1

112

11

1

122

21

2

112

11

n

n n

n n n

n

n n

I I

I

I I

I

I I

I

II II

II

II II

II

II II

II

p

K

α α α

α α α

α α α

α α

α

α α α

α α

α

α α α

α α

α

α α α

α α

α

αα αα

α α

(3.5.1)

Trong trờng hợp = R theo ( )3 2 ⇒

i

u i

Nhân vô hớng 2 vế của (2) với α 1 ∧ α 2 ∧ ∧ αn−1,ta đợc:

( )

1 1 21 11

1 2 22 12

1 1 21 11

1 1 2 1 11

1 2 22

12

1 1 21 11

1 1 21 11

1 2 22 12

1 1 2 1 11

.

1

).(

).

( ).(

.

.

.

).(

).

( ).(

n n

n np np np

n n

n n n n

n

n p p p

n

h h h

h h h

pH

αα ααα α

αα ααα α

αα ααα α

αα αα αα

αα αα

αα

αα αα

αα

αα αα αα

αα αα αα

αα αα αα

Hay

( )

) 2 5 3 (

) , (

) , ( ) , (

) , ( ) , (

) , (

) , ( ) , ( 1

) , (

) , ( ) , (

) , ( ) , (

) , (

) , ( ) , (

) , (

) , ( ) , (

) , ( ) , (

) , ( )

, ( ) , (

)

(

1 1 2

1 1

1

1 2 2

2 1 2

1 1 2

1 1 1

1 1 2

1 1 1

1 2 2

2 1 2

1 1 2

1 1 1

1 1 2

1 1 1

1 2 2 2 1 2

1 1 2 1 1 1

=

n n n

n

n n

n n n

n

n n

n n n

n

n n

I I

I

I I

I

I I

I n

II II

II

I I

I

I I

I

I I

I

I I

I

II II

II

p

H

α α α

α α α

α α α

α α α

α α α

α α α

α α α

α α α

α α α

α α α

α α α

α α α

α α α

α α α

α α α α α α

α α α α α α

Công thức (3.5.1) và (3.5.2) là các công thức tính độ cong Gauss và độ congtrung bình của siêu mặt S thông qua dạng cơ bản I và II

3.6 Ví dụ: Siêu mặt S trong R4 xác định bởi tham số hoá kiểu đồ thị

r: (u,v,t)  r(u,v,t) = (u,v,t, 1 −u2 −v2 −t2 )

Tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của siêu mặt S tại p(0, 0, 0,1)

Gi¶i: Ta cã: )

1 , 0 , 0 , 1 ( '

2 2 2

t v u

, 0 , 1 , 0 ( '

2 2

, 1 , 0 , 0 ( '

2 2 2

t v u

2 2 2

2 2 2

2

1

; 1

; 1

; 1

(

t v u t

v u

t t

v u

v t

v u

2 2 2

2 2 2

2 2

2 33

2 2 2 32

23

2 2 2

2 2 2

2 2

2 22

2 2 2 31

13

2 2 2 21

12

2 2 2

2 2 2

2 2

2 11

1

1 1

'

1

1 1

1 '

.

'

1

'

'

1

'

'

1

1 1

1 '

.

'

t v u

v u t

v u

t r

r

g

t v u

t v r

r

g

g

t v u

t u t

v u

v r

r

g

t v u

t u r

r

g

g

t v u

v u r

r

g

g

t v u

t v t

v u

u r

v

v

t u

v u

01 0

(

1 ,

0 , 0 , 0 (

2 2

t v u

t v

=



) ) 1

(

,

0 , 0 , 0 ( ''

) ) 1

(

,

0 , 0 , 0 ( ''

2 / 3 2 2 2

2 / 3 2 2 2

t v u

t u r

t v u

v u r

ut uv

(

1 ,

0 , 0 , 0 ( ''

) ) 1

(

,

0 , 0 , 0 ( ''

) ) 1

(

1 ,

0 , 0 , 0 ( ''

2 / 3 2 2 2

2 2

2 / 3 2 2 2

2 / 3 2 2 2

2 2

t v u

v u r

t v u

t v r

t v u

t u r

tt vt vv

−

−

−

− +

5 2

2 2

"

21

2 /

5 2

2 2

1 3

) 1

(

.

) 1

u

v u

r n

h

t v

u

t u

r n

5 2

2 2

2 2

3 3

2 /

5 2

2 2

3 2

2 /

5 2

2 2

3 1

2 /

5 2

2 2

23

2 /

5 2

2 2

2 2

22

) 1

u

v u

r n

h

t v

u

v t

r n

h

t v

u

u t

r n

h

t v

u

t v

r n

h

t v

u

t u

r n

h

t t tv tu vt

2 / 5 2 2 2 2 11

) 1

(

"

.

) 1

n

h

t v u t v r

n

h

uv uu