Đường và mặt trong không gian R4: Khóa luận tốt nghiệp toán học

MỞ ĐẦUĐường tham số và mặt chính quy là những đối tượng cơ bản của hình học vi phân.Liệu rằng trong không gian R4, những đối tượng đó có các tính chất tương tựnhư trong không gian R3 hay

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN NGỌC THẮNG

ĐƯỜNG VÀ MẶT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

BỘ MÔNHÌNH HỌC VI PHÂN

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪNPGS.TS ĐOÀN THẾ HIẾU

HUẾ, THÁNG 5-2011

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn củaThầy giáo, PGS.TS Đoàn Thế Hiếu Tôi xin gửi đến Thầy sựkính trọng, lòng biết ơn sâu sắc cũng như nguyện vọng đượctiếp tục tìm hiểu Toán học dưới sự hướng dẫn của Thầy.Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Hoàng -Trường Đại Học Kiến Trúc Đà Nẵng vì sự tận tình giúp đỡ,góp ý trong suốt thời gian làm khóa luận

Xin gửi sự biết ơn đến nhóm Seminar bộ môn Hình học,nơi tôi đã học hỏi được nhiều điều Tôi cũng xin bày tỏ lòngbiết ơn chân thành tới toàn thể quý Thầy Cô trong khoa Toán,Đại học Sư phạm, Đại học Huế, những người đã dạy bảochúng tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Cuối cùng, tôi gửi sự biết ơn đến tất cả người thân, bạn bè

vì sự quan tâm, động viên, giúp đỡ trong quá trình học tậpvừa qua

Ngày 05 tháng 5 năm 2011Sinh viên thực hiệnNguyễn Ngọc Thắng

MỤC LỤC

1.1 Đường tham số 2

1.2 Công thức Frenet 4

1.3 Điều kiện để đường thuộc một siêu cầu 7

1.4 Một số đường đặc biệt 10

1.4.1 Đường chỉnh lưu 10

1.4.2 Đường xoắn xiên 18

1.4.3 Đường B2-xoắn xiên 21

2 MẶT TRONG KHÔNG GIAN R4 27 2.1 Mặt chính quy 27

2.2 Ellipse độ cong 30

2.2.1 Khái niệm 30

2.2.2 Các bất biến địa phương 33

2.3 Mặt tròn xoay 34

2.3.1 Mặt tròn xoay loại 1 34

2.3.2 Mặt tròn xoay loại 2 35

2.4 Mặt cực tiểu 41

2.4.1 Mặt tròn xoay loại 1 cực tiểu 42

2.4.2 Mặt tròn xoay loại 2 cực tiểu 43

MỞ ĐẦU

Đường tham số và mặt chính quy là những đối tượng cơ bản của hình học vi phân.Liệu rằng trong không gian R4, những đối tượng đó có các tính chất tương tựnhư trong không gian R3 hay không? Được sự hướng dẫn của Thầy giáo, PGS.TS.Đoàn Thế Hiếu, tôi chọn đề tài "Đường và mặt trong không gian R4" để tiếnhành khảo sát

Nội dung của khóa luận được chia thành hai chương

Chương 1 giới thiệu về đường tham số, trường mục tiêu Frenet, từ đó xây dựngcông thức Frenet của đường tham số trong không gian R4 Sau đó, chúng tôi tổngquan điều kiện để đường thuộc một siêu cầu và một số đường đặc biệt có các tínhchất tương tự như trong không gian R3, đó là đường chỉnh lưu, đường xoắn xiên,đường B2-xoắn xiên

Việc khảo sát các đường đặc biệt trong không gian R4 đang được quan tâm nhiềuhiện nay Năm 2008,K ˙Ilarslan,E.Neˇsovi´ckhảo sát đường chỉnh lưu trong khônggian R4 [16] Đường xoắn trụ trong không gian R4 được tìm hiểu bởi A T Ali,

R L´pez năm 2009 và tổng quát trong không gian Rn vào năm 2010 Đường xoắnxiên trong không gian R4 được khảo sát bởi A T Ali, R L´pez (2009) [2] và được

A T Ali, M Turgut tổng quát cho trường hợp Rn (2010) [3] Đường B2-xoắn xiêntrong không gian R4được khảo sát bởiM Onder¨ ,M. Kazaz,H.Kocayiˇgit,O Kilic

(2008) [25] và được˙I.G¨ok,C Cami,H.H Hacisalihoˇglutổng quát cho trường hợp

Rn (2009) [13]

Chương 2 giới thiệu sơ lược về mặt chính quy trong không gian R4, trình bày kháiniệm ellipse độ cong, một số bất biến địa phương trong không gian R4 Sau đó,chúng tôi khảo sát các loại mặt tròn xoay và mặt tròn xoay cực tiểu trong khônggian R4 Từ năm 2008 đến nay, lớp mặt tròn xoay trong không gian R4 đang đượcquan tâm khá nhiều bởi G Ganchev, V Milousheva [8, 9, 10, 11, 12, 21]

Tương tự như vậy, đường cong trong không gian R4 được đặc trưng bởi các độcong của chúng Trong chương này, chúng tôi giới thiệu về đường tham số, trườngmục tiêu Frenet và công thức Frenet của đường tham số trong không gian R4 Cuốichương, chúng tôi giới thiệu một số đường cong trong không gian R4 có các tínhchất tương tự như các đường đặc biệt trong không gian R3.

Định nghĩa 1.1.1 Cho ánh xạ

c: I −→ R4

t 7−→ c(t) = (x1(t), x2(t), x3(t), x4(t)),với I là một khoảng trên R, các hàm thành phần xi : I −→ R, i = 1,4 Gọi

C =c(I)là ảnh của toàn bộ tập I qua ánh xạ c Khi đó, (C, c) được gọi là đườngtham số với tham số hóa c và tham số t trong không gian R4 và C được gọi là vếtcủa đường tham số

Nếu ánh xạ c là hàm khả vi, liên tục lớp Ck thì ta nói c là đường tham số khả vi,liên tục lớp Ck

Từ đây trở về sau, ta luôn giả sử các đường tham số khả vi, liên tục đến lớp cầnthiết Để đơn giản, thay vì dùng ký hiệu đầy đủ(C, c)để chỉ đường tham số, ta cóthể nói C là đường tham số nếu tham số hóa đã biết Khái niệm đường cong trongkhóa luận này được hiểu là vết của một đường tham số nào đó

Ví dụ 1.1.2 Cho hai điểm rời nhau P và Q trong không gian R4, đặt ~v = −→P Q.Xét đường tham số với tham số hóa

2(sint,cost,sint,cost).

Khi đó, α là đường tham số có vết nằm trên siêu cầu đơn vị

Từ đây trở về sau, ta luôn xét các đường tham số chính quy

Định nghĩa 1.1.5 Cho c : I ⊂ R → R4 là đường tham số độ dài cung Khônggian vector trong R4 sinh bởi {c0(s), , c(k)(s)} được gọi là không gian mật tiếp

Φk(s) thứ k của đường cong c tại s, k = 1,3;

Φk(s) = Lin{c0(s), , c(k)(s)}, k = 1,3,với Lin là ký hiệu của không gian vector sinh bởi

k-phẳng mật tiếp của đường cong c tại s là phẳng trong không gian R4 đi qua điểm

Định nghĩa 1.1.8 Đường tham số độ dài cung c : I ⊂ R → R4 được gọi là tamchính quy nếu

dim Φ3(s) = 3, ∀s ∈ I;

tức là hệ gồm ba vector {c0, c00, c000} độc lập tuyến tính tại mọi s

Nhận xét 1.1.9 Đường tham số tam chính quy thì song chính quy và chính quy.1.2 Công thức Frenet

Trong không gian R3, người ta đã xây dựng công thức Frenet của đường, đây làmột công cụ quan trọng để khảo sát các đường tham số Tương tự như vậy, chúngtôi giới thiệu khái niệm trường mục tiêu Frenet và công thức Frenet của đườngtham số trong không gian R4

Mệnh đề 1.2.1 ([19, p 13]) Cho c:I ⊂ R → R4là đường tham số tam chính quy.Khi đó qua mỗi điểm s, tồn tại duy nhất một hệ vector {T(s), N(s), B1(s), B2(s)}trực chuẩn, xác định dương, thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) T(s) =c0(s), N(s) = c

00(s)

kc00(s)k, B1(s)∈Φ3(s),(ii) hc0(s), T(s)i >0, hc00(s), N(s)i >0, hc000(s), B1(s)i >0

B1(s)∈Φ3(s) = Lin{c0(s), c00(s), c000(s)}sao cho B1(s)⊥Φ2(s) Khi đó hc000(s), B1(s)i 6= 0 Chọn vector B1(s) sao cho nóđược xác định bởi điều kiện hc000(s), B1(s)i > 0; vector B1(s) được chọn là duynhất

Chọn vector B2(s) ∈ R4 sao cho {T(s), N(s), B1(s), B2(s)} là hệ hệ vector trựcchuẩn, xác định dương; vector B2(s) được chọn là duy nhất

Định nghĩa 1.2.2 Hệ vector {T, N, B1, B2} được xác định duy nhất trong mệnh

đề trên được gọi là trường mục tiêu Frenet dọc c trong không gian R4 Ta gọi T(s)

là vector tiếp xúc đơn vị, N(s)là vector pháp chính, B1(s)là vector trùng pháp thứnhất, B2(s) là vector trùng pháp thứ hai tại s của đường cong

Định lí 1.2.3 ([19, p 27]) (Công thức Frenet của đường trong không gian R4)Cho c: I → R4 là một đường tam chính quy trong không gian R4 với {T, N, B1, B2}

là trường mục tiêu Frenet dọc c Khi đó, tồn tại các hàm k1, k2, k3 với k1, k2 > 0

N0 =−k1T +k2B1, k2 >0 (1.2.2)

Từ (1.2.1), (1.2.2), (1.2.3) và (1.2.4) ta được công thức trên.

Nhận xét 1.2.4 Nếu c là đường tham số không là độ dài cung thì công thứcFrenet được viết lại

Nhận xét 1.2.6 Nếu k3 = 0 thì đường cong c nằm trong siêu phẳng 3 chiều trựcgiao với trường vector cố định B2.

Thật vậy, giả sử đường cong c có độ cong k3 = 0 Khi đó, theo công thức Frenet

ta có B20 = −k3B1= 0 Suy ra, B2 là một trường vector hằng và c nằm trong siêuphẳng 3 chiều trực giao với B2

Ví dụ 1.2.7 Một đường cong α : I ⊂ R → R4 trong không gian R4 là đườngthẳng khi và chỉ khi hàm độ cong thứ nhất k1(s)bằng 0 tại mọi điểm

Thật vậy, xét đường thẳng tổng quát có tham số hóa dộ dài cung cho bởi

α(t) =a+vs, s ∈ R,với a là một điểm và v là vector đơn vị cố định trong không gian R4 Ta có

α0(s) =T(s) =v = const.Theo công thức Frenet, ta có

0 =T0(s) =k1(s)N(s).Suy ra k1(s) = 0 tại mọi s

Ngược lại, giả sử đường tham số độ dài cung α có độ cong thứ nhất k1 = 0 Khiđó

T0 =k1N = 0.Suy ra T = T0 là một trường vector hằng Do đó

α(s) =

Z s 0

T(u)du+α(0) = s T0+α(0)

là tham số hóa của đường thẳng

Định lí 1.2.8 ([27, p 11]) (Định lý cơ bản của lý thuyết địa phương về đường)Cho k1(s), k2(s), k3(s) là các hàm khả vi với k1, k2 > 0 Khi đó, tồn tại duy nhấtmột đường tham số tam chính quy c: I → R4 nhận các hàm ki(s)làm các độ congtại s

1.3 Điều kiện để đường thuộc một siêu cầu

Điều kiện cần và đủ để một đường cong nằm trên mặt cầu trong không gian R3được nhiều tác giả nghiên cứu như P do Carmo [5], L Haizhong, C Weihuan [14].Gần đây, J Monterde cũng đưa đưa được điều kiện cần và đủ để một đường congnằm trên siêu cầu trong không gian R4 [22]

Mệnh đề 1.3.1 ([5, p 25]) Cho α : I ∈ R → R3 là đường tham số độ dài cungtrong không gian R3 với các hàm độ cong k1, k2; k1> 0, k2 6= 0tại mọi s ∈ I Khi

đó, α nằm trên mặt cầu S2 có bán kính r ∈ R+ nếu và chỉ nếu

1

k2 1

0 1

k2

1k2

2

= r2.Mệnh đề 1.3.2 ([22, p 7]) Cho α : I ∈ R → R4 là đường tham số độ dài cungtrong không gian R4 với các hàm độ cong k1, k2, k3; k1, k2 > 0, k3 6= 0 tại mọi

s ∈ I Khi đó, α nằm trên siêu cầu S3 có bán kính r ∈ R+ nếu và chỉ nếu

1

k21 + k

0 1

0 1

k12k2

2

= r2.Đây là điều kiện cần và đủ để đường cong α nằm trên mặt cầu S2 có bán kính r,khi đó α cũng nằm trên siêu cầu S3 có bán kính r Do đó, ta chỉ xét trường hợp

hα(s)− m, α(s)− mi=r2, ∀s ∈ I (1.3.1)Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên, ta được

k12

⇒ h−k1T +k2B1, α − mi+hN, T i= k

0 1

k21

⇒ − k1hT, α − mi+k2hB1, α − mi= k

0 1

k21

⇒ hB1, α − mi= k

0 1

Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên, ta được

Khi đó

m0 =T − k

0 1

k2 1

N + 1

k1(−k1T +k2B1)− k

0 1

Trong mục này, chúng tôi tổng quan một số đường đặc biệt trong không gian R4

có các tính chất tương tự như trong không gian R3, đó là đường chỉnh lưu, đườngxoắn xiên, đường B2-xoắn xiên

α(s) =λ(s)T(s) +µ(s)B(s),với λ(s) và µ(s) là các hàm khả vi tùy ý xác định trên I

Tương tự như trong R3, Kazim ˙Ilarslan và Emilija Neˇsovi´cđưa ra khái niệm đườngchỉnh lưu α trong không gian R4 (2008), đó là đường cong có vector −−−→

Oα(s) luônnằm trong không gian bù trực giao của trường vector pháp chính N [16]

Định nghĩa 1.4.1 Cho α :I ⊂ R → R4 là một đường tham số độ dài cung trongkhông gian R4 Khi đó, α được gọi là đường chỉnh lưu nếu

hα(s), N(s)i = 0, ∀s ∈ I

Nhận xét 1.4.2 Xét {T, N, B1, B2} là trường mục tiêu Frenet dọc α, khi đó đườngchỉnh lưu α có vector −−−→

Oα(s) nằm trong không gian con 3 chiều N⊥ = {W ∈ R4 |

hW, N i= 0}, sinh bởi các trường vector T, B1, B2 Do đó

α(s) =λ(s)T(s) +µ(s)B1(s) +ν(s)B2(s), (1.4.1)với λ(s), µ(s), ν(s)là các hàm số khả vi tùy ý xác định trên I

Định lý sau mô tả đường chỉnh lưu α qua các hàm độ cong k1(s), k2(s), k3(s) vàđưa ra điều kiện cần và đủ để một đường bất kỳ trong không gian R4 là đườngchỉnh lưu.

Định lí 1.4.3 ([16, p 24]) Cho α : I ⊂ R → R4 là một đường tham số độ dàicung trong không gian R4 với các độ cong k1(s), k2(s), k3(s) khác không tại mọi s.Khi đó, α là một đường chỉnh lưu nếu và chỉ nếu

thỏa mãn phương trình trên Xét vector X trong không gian R4 cho bởi

Khi đó α là một điểm, mâu thuẫn.

Nếu hai trong ba độ cong là hằng số thì điều kiện của độ cong còn lại là gì để thuđược đường chỉnh lưu? Đó chính là nội dung của mệnh đề sau

Mệnh đề 1.4.5 Cho α: I → R4 là một đường tham số độ dài cung trong khônggian R4 với các độ cong k1, k2, k3 Khi đó α là đường chỉnh lưu nếu một trong cácđiều kiện sau thỏa mãn:

(a) k1(s) = const >0, k2(s) = const >0 và

k32(s) = 0

⇔ k30(s)− k33(s) (s+c) = 0.Giải phương trình trên ta được

k1(s)(s+c) =c1sin|k3| s+c2cos|k3| x; c1, c2 là hằng sốhay

k1(s) = cos(|k3| s − c0)

s+c ; c0, c là hằng số

(c) Giả sử k1(s) = const > 0, k3(s) = k3 = const 6= 0, k2(s) khác hằng số.Theo Định lý 1.4.3 ta có

Nhận xét 1.4.6 Trong [16, p 25], K ˙Ilarslan,E.Neˇsovi´c đưa ra Định lý tương

tự như Mệnh đề trên Tuy nhiên, các tính toán của ông chưa chính xác Trongtrường hợp b) và c), các ông dẫn tới các phương trình

Dưới đây là các điều kiện cần và đủ để một đường cong trong không gian R4 làđường chỉnh lưu

Mệnh đề 1.4.7 ([16, p 25]) Cho α : I → R4 là một đường tham số độ dài cungtrong không gian R4 với các độ cong k1, k2, k3 khác không tại mọi s Khi đó, α làmột đường chỉnh lưu nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

Chứng minh (i) Giả sử α là một đường chỉnh lưu Khi đó, α(s) thỏa mãn đẳngthức (1.4.1) và (1.4.2) Nhân phương trình thứ ba trong (1.4.2) với −ν0(s)

và phương trình cuối cùng trong (1.4.2) với µ0(s), sau đó cộng vế theo vế tađược

k3(s) [µ(s)µ0(s) +ν(s)ν0(s)] = 0

⇒ µ(s)µ0(s) +ν(s)ν0(s) = 0

⇒ µ2(s) +ν2(s) =a2, a ∈ R+o (1.4.7)

Từ (1.4.1) ta có hα(s), α(s)i = λ2(s) +µ2(s) + ν2(s) Sử dụng (1.4.3) và(1.4.7), ta được

hα(s), α(s)i = (s+c)2+a2

⇒ kα(s)k2= s2+c1s+c2, c1 ∈ R, c2 ∈ R0.Ngược lại, giả sử hα(s), α(s)i= s2+c1s+c2, c1 ∈ R, c2 ∈ R0 Khi đó

Trong định lý tiếp theo, chúng ta tìm điều kiện của một đường có tính chất đặcbiệt để nó là một đường chỉnh lưu.

Định lí 1.4.8 ([16, p 27]) Cho α : I → R4 là một đường cong trong không gian

R4 cho bởi α(t) = ρ(t)y(t), với ρ(t) là hàm dương tùy ý và y(t) là đường tham số

độ dài cung nằm trong siêu cầu đơn vị S3 Khi đó, α là một đường chỉnh lưu nếu

Do đó, sau khi nhân cả hai vế của (1.4.10) với α, ta có hα, N i= 0 nếu và chỉ nếu

ρ0v

0

− ρ

v = 0

⇒ ρρ00−2ρ02− ρ2 = 0.Giải phương trình trên, ta được

ρ(t) = a

cos(t+t0), a ∈ R0, t0 ∈ R

Từ Định lý 1.4.8, ta có ví dụ minh họa sau

Ví dụ 1.4.9 Xét đường cong trong không gian R4 cho bởi

α(s) = √ a

2 cos(s+s0)(sins,coss,sins,coss), a ∈ R0, s0∈ R

Đường cong này có dạng

α(s) =ρ(s)y(s),với ρ(s) = √ a

2 cos(s+s0) và y(s) =

1

√

2(sins,coss,sins,coss) là đường cong

nằm trên siêu cầu S3

Do đó, α là đường chỉnh lưu trong không gian R4

1.4.2 Đường xoắn xiên

Đường xoắn ốc tổng quát (curves of constant slope, general helices hay inclinedcurves) được nghiên cứu nhiều trong không gian R3 Chúng được định nghĩa bởitính chất các tiếp tuyến của đường tạo một góc không đổi với một đường thẳng

cố định (gọi là trục của đường xoắn ốc tổng quát)

Gần đây, Izumiya và Takeuchi đã đưa ra khái niệm đường xoắn xiên (slant helix)trong không gian R3 được đặc trưng bởi trường vector pháp chính N tạo một góckhông đổi với một hướng cố định [17] Các ông đã tìm điều kiện cần và đủ để mộtđường tham số độ dài cung là một đường xoắn xiên, đó là

˙Ilarslan [18]; Babaarslan [4]

Trong mục này, ta sử dụng khái niệm độ cong điều hòa loại hai của đường để tìmđiều kiện cần và đủ để một đường là đường xoắn xiên trong không gian R4 nhờvào các hàm độ cong của đường

Định nghĩa 1.4.10 Cho α:I ⊂ R → R4là một đường tham số độ dài cung trongkhông gian R4với {T, N, B1, B2} là trường mục tiêu Frenet dọc theo α Đường cong

α được gọi là đường xoắn xiên nếu trường vector N hợp với một hướng cố địnhmột góc ϕ không đổi, tức là

Ngược lại, giả sử α là đường tham số độ dài cung với các hàm Gi thỏa mãn (1.4.11)

và (1.4.12) Xét vector đơn vị U cho bởi

U = cosθ[G1T +G2N +G3B1+G4B2],với θ là một góc không đổi thỏa mãn cosθ 6= 0 Khi đó

Định nghĩa 1.4.12 Cho α : I ⊂ R → R4 là một đường tham số độ dài cungtrong không gian R4 Các độ cong điều hòa loại hai của α là các hàm Gi : I →

G04(s) =−k3(s)G3(s).Định lí 1.4.14 ([3, p 331]) Cho α : I ⊂ R → R4 là một đường tham số độ dàicung trong không gian R4 Khi đó α là một đường xoắn xiên nếu và chỉ nếu điềukiện sau được thỏa mãn

Định lí 1.4.15 ([3, p 331]) Cho α : I ⊂ R → R4 là một đường tham số độ dàicung trong không gian R4 Nếu α là một đường xoắn xiên thì

G21+G22+G23+G24 =C,với C là hằng số khác 0

Mệnh đề 1.4.16 ([3, p 333]) Không tồn tại đường xoắn xiên với độ cong hằngtrong không gian R4

Mệnh đề 1.4.17 ([3, p 334]) Không tồn tại đường xoắn xiên với các tỷ số độcong bằng hằng số trong không gian R4

1.4.3 Đường B2-xoắn xiên

Năm 2008, O¨nder là người đầu tiên đưa ra khái niệm đường B2-xoắn xiên trong

không gian R4 [25] Đường B2-xoắn xiên được đặc trưng bởi trường vector B2 tạomột góc không đổi với một hướng cố định Năm 2009, G¨ok đã khảo sát đường

Vn-xoắn xiên (trong không gian Rn) bằng cách sử dụng độ cong điều hòa tựa B2

và khái niệm vector Darboux [13] Theo đó, với n= 4 thì ta thu được các kết quảcho đường B2-xoắn xiên

Định nghĩa 1.4.18 Cho α :I ⊂ R → R4 là một đường tham số độ dài cung vớicác hàm độ cong k1(s), k2(s), k3(s) khác không tại mọi s ∈ I và {T, N, B1, B2} làtrường mục tiêu Frenet dọc α Đường cong α được gọi là đường B2-xoắn xiên nếutrường vector B2 hợp với một hướng cố định X một góc ϕ không đổi (ϕ 6= π2), tứclà

H1, H2 là các hàm độ cong điều hòa tựa B2 của α Giả sử α : I → R4 là đường

B2-xoắn xiên có trục X, khi đó