Siêu cầu trong không gian EUCLIDE

Siêu cầu thực chất là chất một siêu mặt bậc hai đặc biệt trong không gian afin, vìvậy, nó có các khái niệm cũng nh các tính chất của siêu mặt bậc II, nếu trang bị thêmtích vô hớng để khô

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Khoa toán

Luận văn tốt nghiệp Đề tài :

Ngành: Toán Chuyên ngành: Hình học

Vinh 2002

Lời nói đầu

Siêu cầu là một nội dung quan trọng của chuyên đề hình học Nó đợc xây dựngcách đây khá lâu Trong khoảng thời gian đó đã có nhiều nhà toán học quan tâm vànghiên cứu đem lại nhiều kết quả khả quan

Siêu cầu thực chất là chất một siêu mặt bậc hai đặc biệt trong không gian afin, vìvậy, nó có các khái niệm cũng nh các tính chất của siêu mặt bậc II, nếu trang bị thêmtích vô hớng để không gian afin trở thành không gian Euclide thì có các tính toán về l-ợng trên siêu cầu Nội dung này đã đợc các nhà toán học nghiên cứu một cách khá đầy

đủ ở đây tôi chỉ hệ thống lại, làm rõ một số khái niệm và chứng minh một số tính chất Các phép biến hình trong mặt phẳng E ² đều có tính chất biến đờng thẳng thành

đờng thẳng, đờng tròn thành đờng tròn Tuy nhiên đối với phép nghịch đảo thì điều đó không còn đúng nữa Từ những kết quả quen thuộc trong E ² đối với đờng tròn tôi mở rộng trong không gian E n với siêu cầu S n- 1

Có thể nhìn nhận siêu cầu là một đa tạp khả vi từ đó nghiên cứu cấu trúc hình học

vi phân của siêu cầu

Luận văn đợc trình bày thành 4 phần :

Phần I ( Đ1) : “Định nghĩa và sự xác định siêu cầu”

Phần này đa ra khái niệm siêu cầu (thực) và siêu cầu tổng quát Sau đó đa ra điềukiện để n+2 điểm thuộc một siêu cầu Từ điều kiện đó mà suy ra sự xác định siêu cầu.

Phần II ( Đ2): “Siêu mặt bậc hai và hình học Euclide của nó”

Phần này nghiên cứu siêu cầu với quan niệm là một siêu mặt bậc hai đặc biệttrong không gian afin, chỉ rõ tâm, phơng chính, siêu mặt kính chính sau đó xét sự tơngquan giữa các hình, phơng tích của một điểm đối với siêu cầu

Phần III ( Đ3): “ Phép nghịch đảo đối với siêu cầu”

Phần này đa ra khái niệm phép nghịch đảo trong không gian E n U { ∞ } Sau đó đa

ra một số tính chất và nghiên cứu hình mới của siêu cầu qua phép nghịch đảo

Phần IV ( Đ3): “Cấu trúc hình học vi phân của siêu cầu”

Phần này đa ra một số tính chất tô pô của siêu cầu, chứng minh siêu cầu là đa tạpn-1 chiều trong E n , sau đó mở rộng khái niệm n-1 mặt trong E n, ánh xạ Vaigactentrong E n, các đờng đặc biệt trên n-1 mặt

Luận văn này đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh Nhân dịp nàytôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo Nguyễn Duy Bình, ngời đã đặtvấn đề và trực tiếp, nhiệt tình hớng dẫn cho tôi hoàn thành luận văn

Đồng thời cho tôi có lời cảm ơn tới các thầy giáo trong khoa đã cung cấp nhữngkiến thức cần thiết trong suốt thời gian học tập tại khoa Toán để sử dụng vào luận văn,các thầy giáo trong tổ hình học đã tham khảo và đóng góp ý kiến

Bớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học còn nhiều bỡ ngỡ và không tránhkhỏi thiếu sót, tôi mong các thầy giáo chỉ bảo về những thiếu sót của bài viết, giúp tôirút kinh nghiệm và vững vàng hơn trong những bớc đi sau này

Vinh, tháng 5 năm 2002

Đ1 Định nghĩa và sự xác định siêu cầu

1.1 Định nghĩa

1.1.1 Siêu cầu (thực).

Cho điểm I trong không gian Euclide E n và số thực r > 0 tập hợp

S (I, r) = {M ∈E n:d(I,M) = r} gọi là siêu cầu ( thực) tâm I, bán kính r

Đối với mục tiêu trực chuẩn, nếu I = (a1, a2 , , an ) thì phơng trình của siêu cầu S(I, r) là:

Vậy siêu cầu thực là một siêu mặt bậc hai afin

1.1.2 Siêu cầu tổng quát

Trong không gian Euclide En với mục tiêu trực chuẩn một siêu mặt bậc hai (S)gọi là siêu cầu tổng quát , nếu nó xác định bởi phơng trình dạng:

n n

∑ xi2 + 2 ∑ ai xi + ao = 0 (2)

i =1 i =1

Ta biến đổi (2) về dạng :

n n

∑ ( xi + ai) 2 = ∑ ai2 - ao (2’)

i =1 i =1 •Nếu n ∑ ai2 - ao > 0 thì (2’) là một siêu cầu (thực) với tâm I (-a1,-a2 -an) i =1 n bán kính r = ∑ ai2 - ao

i =1 •Nếu n ∑ ai2 - ao = 0 , siêu cầu tổng quát (S) còn gọi là siêu cầu tâm I, bán i =1

kính 0 •Nếu n ∑ ai2 - ao < 0 , siêu cầu tổng quá (S) còn gọi là siêu cầu ảo, tâm I i =1

Nó không chứa điểm thực nào 1.2 Sự xác định siêu cầu. 1.2.1 Điều kiện để n+2 điểm thuộc một siêu cầu trong E n Với hệ m điểm M1, M2, ,Mm trong En , đặt dij = d (Mi, Mj ) ( i,j =1,2, ,m ) và xét ma trận 0 d212 d21m

d221 0 d22m Γ (M1, M2, ,Mm ) =

d21m d22m 0

Khi đó điều kiện cần và đủ để n+2 điểm M1, M2, ,Mn+2 trong En cùng thuộc một siêu cầu ( thực) hay một siêu phẳng là det Γ(M1, M2, ,Mn+2)= 0

Chứng minh Xem quyển (1) trang 175,176

Nhận xét n+1 điểm trong En luôn thuộc một siêu cầu hay một siêu phẳng vì lấy

Mn+2= Mn+1thì ma trận Γ(M1, M2, ,Mn+2) có hai cột giống nhau

Ví dụ : n=2, đặt λ = d12d34; μ = d13d24; γ = d14 d23thì tính đợc

det Γ(M1, M2 ,M3,M4)= - ( λ + μ + γ) (λ + μ - γ) ( λ - μ + γ) (-λ + μ + γ)

Từ đó suy ra định lý Ptôlêmê về tứ giác nội tiếp (trong mặt phẳng Euclide)

1.2.2 Chú ý : Cho m+1 điểm M0,M1, M2, ,Mm trong En , đặt

Thực vậy có thể coi M1, M2, ,Mmnằm trong một không gian Euclide m chiều và

đặt m = n rồi xét một mục tiêu Euclide ( I, e1, en ) của không gian đó, gọi (x jα) làtoạ độ của điểm Mα ( j = 1,2, n ; α =0,1, n) gọi δ là định thức của hệ véc tơ {M0

M1, M0 M2 , , M0 Mn}đối với cơ sở trực chuẩn ε = (e1, e2 , , en)

của En thì det Gr (M0 M1, M0 M2 , , M0 Mm) = δ 2 và

x11 – x10 xn1 – xn0 1 0 0 0 0

x12 – x10 xn2 – xn0 0 1 x10 x20 xn0

δ = = 0 1 x11 x21 xn1

.

x1n – x10 xnn – xn0 0 1 x1n x2n xnn

0 1 0 0 1 0 0 0

1 0 x10 xn0 0 1 1 1 = 1 0 x11 xn1 = 0 x10 x11 x1n

Víi mçi i ≥ 2, céng thªm vµo cét thø i cét ®Çu nh©n víi - 1/2 ∑ x2j, i-2

M2 b M1

nên det Gr (M0 M1, M0 M2)

= 1/4 (a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) ( đây chính là công thức Hêrông về diện tích tam giác) 1.2.3 Hệ quả: M1 ,M2, , Mn+1là n+1 điểm độc lập afin trong En thì có một chỉ một siêu cầu S (J, R) đi qua các điểm đó và

1 det Γ(M1 ,M2, , Mn+1 ) r2 = - 2 det Δ (M1 ,M2, , Mn+1 ) Thật vậy, có và duy nhất của S (J,R) do tâm J phải nằm trên các siêu phẳng trực giao với M1Mj (j = 2,3, , n+1) tại trung điểm của nó mà n siêu phẳng này có n véc tơ pháp tuyến độc lập tuyến tính (M 1 M 2 , M 1 M n+1 ) nên chúng cắt nhau tại một và chỉ một điểm Đặt J= Mo thì hệ điểm { M0, M1 , , Mn+1 }không độc lập afin nên det Gr (M 0 M 1 , M 0 M n+1) = 0, do đó det Δ (M0, M1 , , Mn+1) = 0, nhng d α 0 = d ( Mo , Mα) = d (I, Mα) = r (α =1,2, n+1) nên viết tắt Γ = Γ(M0, M1 , , Mn+1) thì 0 1 1 1 0 1 1 1

1 0 r2 r2 1 - r2 r2 r2 det Δ (J,M1 , , Mn+1) = 1 r2 = 1 0

1 r2 1 0

0 1 1 1 r2 r2 0 r2 r2 - r2 1 = 0 - 1

1 Γ

tiếp tam giác đó là :

§2: siªu CÇu vµ h×nh häc eclide cña nã

t Ac a c c c

1 ,

0

- VÐc t¬ c≠o lµ ph¬ng chÝnh cña (S) nÕu c lµ vÐc t¬ riªng cña ma trËn A

- Khi phơng <v> không phải là phơng tiệm cận của (S) thì có một và chỉ một siêuphẳng α để phép đối xứng xiên quaα theo phơng <v> giữ (S) không thay đổi, siêuphẳng đó gọi là siêu phẳng kính của (S) liên hợp với phơng<v>.

Siêu phẳng kính liên hợp với một phơng chính gọi là siêu phẳng kính chính

2.1.2 Mệnh đề.

Đối với siêu cầu tổng quát, mọi véc tơ c≠o(thực) không phải là phơng tiệm cận và luôn luôn là phơng chính Mọi siêu phẳng đi qua tâm là siêu phẳng kính chính Chứng minh.

c <=> ci=0 ∀i = 1 ,n

=> c=0 (mâu thuẫn) Vậy ∀c≠ 0 đều không là phơng tiệm cận

• Vì A là ma trận đơn vị => Ac=c => c là véc tơ riêng của A

.2)

(

' 2

2 '

2 2 2 2

' 2

' 2

' 2 2 ' 2

'

S M R

IM

R IM PM IP PM IP

PM IP PM

IP PM

IP IM

=+

=

++

=+

- Vậy phép đối xứng qua (α) theo phơng biến S thành chính nó, hơn nữa c là

ph-ơng chính Suy ra (α) là siêu phẳng kính chính.

2.2.1 Định nghĩa.

• Điểm B ∈S gọi là điểm kì dị nếu B là tâm của S

• Cho siêu mặt bậc hai (S) Nếu M0∈(S) và M0 không là điểm kì dị thì các tiếp tuyến tại M0 của (S) tạo thành một siêu phẳng.Siêu phẳng đó gọi là siêu tiếp diện

Vậy (α) là siêu phẳng qua M0 và trực giao với dờng thẳng IM0.

2.3 Phơng tích của một điểm đối với siêu cầu.

2.3.1 Định nghĩa.

Cho siêu cầu (S) có phơng trình trong một mục tiêu trực chuẩn là:

2 0

1 1

x n

i i i n

i

i và M0(xi0) Phơng tích của M0 đối với (S) ký hiệu P M0/(S) đợc xác định:

P M0/(S) = F(xi0) = x n a x a

i i i n

2.3.3 Siêu phẳng đẳng phơng của hai siêu cầu tổng quát.

Cho hai siêu cầu tổng quát (S) và (S1) lần lợt có phơng trình :

2.4 Sự tơng giao giữa các hình.

2.4.1 Mệnh đề Giao của siêu cầu tổng quát (S) trong E n với các m-phẳng (α) là

Chứng minh Trong En chọn mục tiêu{0 ;e1,e2, ,en} trong đó

{0 ;e1,e2, ,em}⊂ α

và  +1,  +2, ,  ∈ Ε n\ < α  >

n m

x n

i i i n

i i

thì giao của m-phẳng (α) với siêu cầu có phơng trình:

2 0 0

1 1

x n

i i i n

1

)

i i i

1

2 1

2 '

0 1

2 2

' 1

1

2 '

0 1

2 2

' '

1

) (

) (

) ( )

(

)]

( ) [(

a a a a

a x

a a a

a a

x

a a a

a a x

i n

i i n

i i n

i

i i

n

i i i

i i n

i i

−

−

−

= +

−

=

− +

+

−

=

− + +

ΙΧ−→ −→ )

Từ phơng trình trên suy ra điểm I’ = (-a1’, ,-an’ ) là tâm của (S’)

2.4.2 Giao của siêu cầu với siêu cầu.

cùng phơng tích 0 đối với hai siêu cầu đó nên giao đó cũng là giao của siêu phẳng

đẳng phơng với một trong hai siêu cầu Vậy nếu giao đó có hơn một điểm thì nó là một siêu cầu trong siêu phẳng đẳng phơng.

Đ3: phép nghịch đảo đối với siêu cầu

3.1 Định nghĩa Bổ sung thêm vào không gian Euclide n chiều En một điểm, kí hiệu

là ∞ và gọi là điểm vô tận, rồi với mỗi siêu phẳng α⊂ En , kí hiệu α∪∞ là α’ và gọi là một siêu phẳng bổ sung

Với mỗi điểm O ∈ En , với mỗi số thực k ≠ 0, gọi phép nghịch đảo tâm O, phơng tích nghịch đảo k, kí hiệu In0 là biến đổi

Ink0 : En ∪{∞}→ En∪{∞}

∞  O

O  ∞

M ∈ En\{0}  M’ ∈ En\ {0} sao cho 0, M , M’ thẳng hàng và OM.OM’ = k

3.2 Các tính chất của phép nghịch đảo.

3.2.1 Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp

Tích hai phép nghịch đảo cùng tâm là một vị tự với tâm đó

Tích một phép nghịch đảo tâm O với một vị tự tâm O là một phép nghịch đảo tâmO

⇒ OM.OM’ – OM’.OM” = 0 ⇔ (OM – OM”)OM’ = 0

Do M ≠∞⇒ M’ ≠ 0 ⇒ OM’ ≠ 0, mặt khác 0, M, M’, M” thẳng hàng nên từ hệ thức (*) suy ra M”M = 0 ⇔ M” ≡ M

Vậy phép nghịch đảo có tính chất đối hợp

Giả sử Ink và Ink’0 là 2 phép nghịch đảo cùng tâm 0 Ta chứng minh

Ink oInk’0 là vị tự tâm 0 Thật vậy, với M bất kì, giả sử :

từ (1), (2), (3) suy ra Vok’/k: M→M”

i Siêu phẳng bổ sung qua 0 thành chính nó.

ii Siêu phẳng bổ sung không qua 0 thành một siêu cầu qua 0 ( tâm thuộc đờng thẳng qua 0 trực giao với siêu phẳng)

iii Siêu cầu qua 0 thành siêu phẳng bổ sung không qua 0

iV. Siêu cầu không qua0 thành siêu cầu không qua 0 và 0 với tâm 2 siêu cầu đó luônthẳng hàng

Chứng minh.

i, Giả sử α’ là siêu phẳng bổ sung qua 0 Lấy M ∈α’

- Nếu M = 0 ⇒ M’ =∞∈α’

ii, Gọi A là giao của (α) và đờng thẳng qua 0 trực giao với (α), A’ là ảnh của A Lấy I là trung điểm của 0A’.

Với điểm M bất kì thuộc , M’ là ảnh của M, thì:

N’ α

⇔ A’M’.OM = - OA’.AM – OA’.MO = 0 N

⇔ A’M’.OM’ = 0

⇒ M’ ∈ ( I, OA’/2)

Ngợc lại, lấy N’ ∈ ( I, OA’/2) Kéo dài ON’ cắt α ở N Ta có:

ON’.ON = (OA’ + A’N’)ON = OA’.ON +A’N’.ON = OA’.ON

= OA’.(OA+AN) = OA’.OA + OA’.AN = OA’.OA = k

⇒ ON’.ON =k

Vậy phép nghịch đảo bổ sung không qua 0 thành siêu cầu qua 0

iii, Theo tính chất đối hợp từ chứng minh ii, suy ra phép nghịch đảo biến siêu phẳng bổ sung không qua 0 thành siêu cầu qua 0

iV, Giả sử S( I, r ) là siêu cầu bất kì không qua 0

Đờng thẳng OI cắt siêu cầu tại A, B Gọi A’, B’ là ảnh của A, B qua In0

k Với M bất kì thuộc S, M’ là ảnh của M, ta có:

M’A’.M’B’ = (M’O + OA’)(M’O + OB’)

= M’O2+ M’O.OB’ + M’O.OA’ + OA’ OB’

k2 k2 k2 k2 M

= + cosϕ + .cosϕ + 0 A B B’

MO2 MO.MB MO.OA OA.OB

k2

= [ OA.OB + MO.OA.cosϕ + MO.OB cosϕ + MO2]

MO2.OA.OB <ϕ là góc giữa OM và OA>

Vậy phép nghịch đảo biến siêu cầu không qua 0 thành siêu cầu không qua 0

3.2.3 Coi k >0 ( nếu không dùng một vị tự tâm hệ số âm thì tích với một phép nghịch đảo

phơng tích âm sẽ đợc một phép nghịch đảo phơng tích dơng) thì tập các điểm bất động của Ink là siêu cầu tâm 0 bán kính √ k ; kí hiệu siêu cầu này là Ω Một siêu cầu Ω’ trựcgiao với Ω, In0

Gi¶ sö Ω’( I, R) trùc giao víi Ω, ta chøng minh In0 (Ω’) = Ω

Đ4: cấu trúc hình học vi phân của siêu cầu

4.1 Một số tính chất tô pô của siêu cầu.

Xét không gian Rn với tô pô thông thờng Siêu cầu S ⊂ Rn là không gian tô pô với tô pô cảm sinh từ Rn

4.1.1 Mệnh đề : Siêu cầu là tập compắc.

Từ (1), (2) suy ra siêu cầu là tập compắc trong Rn

4.1.2 Mệnh đề Siêu cầu là tập liên thông (S) M0

Chứng minh

Trên siêu cầu lấy M0 bất kì sau đó cố định M0 M‘

(P) là mặt phẳng bất kì không cắt siêu cầu

Xét ánh xạ f: (P) → (S)

M  M’ đợc xác định M

bằng giao của siêu cầu với đờng thẳng qua MM0

ánh xạ f liên tục, (P) liên thông nên : P

f(P) = S liên thông

Vậy siêu cầu là tập hợp liên thông

4.2.1 Định nghĩa M: không gian Haus.doff

Bằng một phép biến đổi toạ độ afin, ta luôn luôn đa siêu cầu về dạng Sn-1 : x12

+ + xn2 = R2 (1) ta chỉ cần chứng minh (1) là đa tạp khả vi Thật Vậy:

Dễ chứng minh ϕ1là song ánh.

ϕ1 liên tục vì các hàm toạ độ liên tục

4.3 Mở rộng khái niệm (n-1) mặt phẳng trong R n

4.3.1 Định nghĩa: M mặt trong R3 nếu M là đa tạp hai chiều liên thông và định hớng trong R3

Xét M là mặt đợc xác định bởi tham số hoá:

⇒phơng trình dạng ẩn F(x1, ,xn) = (x1-a1)2 + (x2-a2)2+ +(xn-an)2 -R2 =0 (1)pháp tuyến n (∂F/∂x1, , ∂F/∂xn) = (2(x1-a1), ,2(xn-an))

Theo mệnh đề 4.1.1 thì siêu cầu là tập liên thông

Theo mệnh đề 4.2.2 thì siêu cầu là đa tạp (n-1) chiều

Theo mệnh đề 4.3.4 thì siêu cầu là định hớng

Vậy siêu cầu là (n-1) mặt trong Rn

- 1/n vết hp: độ cong trung bình của S tại p Kí hiệu H(p)

4.4.2 Ví dụ Tìm độ cong chính, Gauxơ, trung bình của siêu cầu S trong En

Bài giải Giả sử S là siêu cầu bán kính R, n là trờng pháp tuyến đơn vị “hớng

ra ngoài” của S, với α∈Tp S \ {0} viết α = ζ’(to)

4.4.3 Mệnh đề Điểm p gọi là điểm cần nếu hp có n giá trị riêng trùng nhau khác 0

Chứng minh rằng: (n-1) mặt duy nhất mà mọi điểm đều là điểm cầu thì là siêu cầu hoặc một phần của siêu cầu.

Trong một tham số hoá địa phơng tuỳ ý

(u1,u2, ,un-1) > r(u1,u2, ,un-1) của n-1 mặt gọi n là trờng véc tơ pháp tuyến đơn