Siêu nón và siêu trụ trong không gian afin

Trong chơng trình toán phổthông, học sinh đợc học ba đờng cônic, đó là các đờng bậc hai đợc sinh ra khicắt một mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng.. Khi đó f đợc gọi là nền của f và phé

Lời nói đầu

Khi nghiên cứu hình học afin chúng ta gặp khái niệm siêu nón và siêutrụ, đây là các loại siêu mặt bậc hai quan trọng Trong chơng trình toán phổthông, học sinh đợc học ba đờng cônic, đó là các đờng bậc hai đợc sinh ra khicắt một mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng Nhìn chung vì những lý do nào

đó hai khái niệm trên cha đợc đề cập nhiều trong các giáo trình toán ở Đạihọc Vì tầm quan trọng đó nên chúng tôi chọn đề tài luận văn tốt nghiệp là:

"Siêu nón và siêu trụ trong không gian afin" nhằm mục đích hệ thống hoá

các khái niệm cơ bản và các tính chất của siêu nón và siêu trụ

Khoá luận này gồm 2 mục chính:

Trong mục này chúng tôi trình bày hai phần

I Phép biến đổi afin - bất biến afin

II Siêu mặt bậc hai trong không gian afin

Trong mục này cũng bao gồm 2 phần:

I Siêu nón

II Siêu trụ

Luận văn này đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh dới

sự hớng dẫn của thầy giáo TS.Phạm Ngọc Bội Nhân dịp này tôi xin đợc bày tỏlòng biết ơn chân thành đến thầy Đồng thời cảm ơn các thầy, cô giáo trongkhoa Toán - trờng, các bạn lớp 40A1 - Toán đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận vănnày và trong suốt quá trình học tập

Do sự hạn chế về thời gian cũng nh năng lực của bản thân nên luận vănnày không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong đợc sự đánh giá phê bình vàgóp ý của các thầy cô giáo và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh 16 tháng 4 năm 2003.

Sinh viên

Trần Thị Thuỷ.

Đ1 Một số kiến thức cơ bản

I Phép biến đổi Afin - bất biến Afin.

1.1 Định nghĩa Cho không gian afin An có không gian vectơ liên kết An,

ánh xạ f: An → An đợc gọi là phép biến đổi afin nếu tồn tại phép biến đổi tuyếntính f: An → An sao cho với mọi cặp điểm M,N ∈ An và ảnh M' = f(M), N' =f(N) ta có M ' N' = f (MN) Khi đó f đợc gọi là nền của f và phép afin f đợcgọi là liên kết với phép biến đổi tuyến tính f

1.2 Tính chất.

a Cho không gian afin An có không gian vectơ liên kết là An khi đó đốivới mỗi phép biến đổi tuyến tính f: An→An và mỗi cặp điểm M, M' ∈ An , cómột phép afin f: An → An nhận f làm nền và f(M) = M'

b Cho { }n

i i

M =1 và { }n

i i

M' =1là hai hệ n + 1 điểm độc lập của không gianafin n chiều An, khi đó có một phép afin duy nhất f: An → An sao cho

f(Mi) = M'i; i = 1, 2, …n

c Tích của hai phép afin là một phép afin có nền là tích các nền của haiphép afin đã cho Nghịch đảo của một phép afin là một phép afin với nền lànghịch đảo nền của phép afin đã cho

1.3 Phơng trình của phép biến đổi afin.

Cho phép afin f: An → An của không gian afin An, ta chọn mục tiêu {O;

1

e ,…, en}(*) trong đó {e1 ,e2,…, en} là một cơ sở của An Với mỗi điểm

X, gọi (x1,…,xn) là toạ độ của điểm X, (x'1,…,x'n) là toạ độ của điểm X' = f(X);(b1,…, bn) là toạ độ của điểm O' = f(O) đối với mục tiêu (*); B = (bij) là ma trận

mà cột thứ j là toạ độ của vectơ f(ej) đối với cơ sở {e1 ,…, en}

Ký hiệu: [x] = [x1,…, xn]*, [x'] = [x1,…, xn]* khi đó biểu thức toạ độ đối vớimục tiêu đã chọn là [x'] = B[x] + [b] (1)

Nh vậy đối với mục tiêu đã chọn mọi phép biến đổi afin đều có phơngtrình dạng (1) trong đó det(B) ≠ 0 Ngợc lại đối với mục tiêu đã chọn mỗi ph-

ơng trình dạng (1) với điều kiện det B ≠ 0 đều là phơng trình của một phépbiến đổi afin

1.4 Bất biến afin.

a Định nghĩa Một tính chất α nào đó của hình H đợc gọi là tính chấtafin nếu f(H) cũng có tính chất α, với mọi f thuộc tập các phép biến đổi afinAf(An)

II Siêu mặt bậc hai trong không gian Afin.

1.1 Định nghĩa siêu mặt bậc hai.

Trong không gian afin n chiều An trên trờng số thực chọn mục tiêu afin{e1 ,e2,…, en} Cho phơng trình bậc hai:

∑

=

n j

x x a

1

=

n j

x a

1

Trong đó các hệ số aij, ai, a0 đều là số thực, các aij không đồng thời bằng 0 và

aij = aij ;

Tập hợp tất cả những điểm X thuộc An sao cho toạ độ (x1, x2, …, xn) của

nó thoả mãn phơng trình (2) gọi là một siêu mặt bậc hai xác định bởi phơngtrình đó

Nếu (S) là siêu mặt bậc hai xác định bởi phơng trình (2) thì (2) đợc gọi

là phơng trình của (S)

1.2 Chú ý

Ký hiệu

n n

a a a

a a a

a a a

2 22 21

1 12 11

1

1 1 11

a a a

a a a

n

n nn n

Chứng minh Giả sử một siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình (3) và một

phép biến đổi afin có phơng trình:

[x] = B[x'] + [b] (det B ≠ 0) (4)Thay (4) vào (3) ta có:

(B[x'] + [b])*A0(B[x'] + [b]) + 2.[a]*(B[x'] +[b]) + a0 = 0Khai triển phơng trình trên với chú ý:

[x']*B*A0[b] = [b]*A0B[x']

Ta sẽ có [x']*A'0[x'] + 2.[a'][x'] + a'0 = 0 (5)

Trong đó A'0 = B*A0 B; [a'] = B*(A0[b] + [a])

a'0 = [b]* A0 [b] +2.[a]*[b] + a0

Rõ ràng A' = [A']* và rank A' = rank B*A0 B = rank A0≥ 1 (do det B ≠ 0)

Vì vậy (5) là phơng trình của siêu mặt bậc hai (S') đó chính là ảnh của(S) qua phép biến đổi afin đã cho

1.4 Nhận xét.

Qua một phép đổi toạ độ thì một phơng trình dạng (3) lại chuyển thànhmột phơng trình dạng (3) với ma trận bé đối xứng và khác 0 Nh vậy khái niệmsiêu mặt bậc hai không phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ Cũng qua phépbiến đổi toạ độ thì hạng của ma trận bé và hạng của ma trận lớn không thay

đổi ta gọi chúng tơng ứng là hạng bé và hạng lớn của siêu mặt bậc hai

Một siêu mặt bậc hai gọi là không suy biến nếu hạng lớn bằng n + 1(Tức là A ≠ 0) Nếu hạng lớn nhỏ hơn n +1 (tức là A = 0) thì ta gọi siêumặt bậc hai đã cho là siêu mặt bậc hai suy biến

1.5 Giao của một siêu mặt bậc hai và một đờng thẳng.

Giả sử ta có một đờng thẳng đi qua điểm B = (b1, b2,…, bn) và có phơng

là vec tơ c= (c1, c2, …, cn)

Khi đó phơng trình tham biến của đờng thẳng đó là:

xi = bi + cit i = 1, 2, …n

hay viết dới dạng ma trận [x] = [b] + [c]t (6)

Ta sẽ tìm giao điểm của đờng thẳng này với siêu mặt bậc hai có phơngtrình (3)

Các giao điểm sẽ có toạ độ thoả mãn (6) và (3) Nên để tìm ta phải giảihai phơng trình (6) và (3) Thay (6) vào (3) ta đợc :

([c]*t + [b]*) A0([c] t + [b]) + 2 [a]* ([c]t + [b]) + a0 = 0

Khai triển đẳng thức này ta sẽ có:

[c]*A0[c]t2+ 2Pt + Q = 0 (7)

trong đó P = [b]*A0[c]+ [a]* [c] (8)

Q = f([b]) = [b]* A0[b] + 2[a]* [b] + a0 (9)Nếu t là nghiệm của (7) thì bằng cách thay t vào (6) ta tìm đợc toạ độgiao điểm Ta có các trờng hợp sau:

- Nếu [c]*A0[c] ≠ 0 thì (7) là một phơng trình bậc hai ẩn t, bởi vậy nó

có thể có hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép hoặc vô nghiệm Nh vậy đờngthẳng cắt siêu mặt bậc hai tại hai điểm phân biệt, một điểm hoặc không cắt

- Nếu [c]*A0[c] = 0 và P ≠ 0 thì (7) có nghiệm duy nhất, tức là đờngthẳng cắt siêu mặt bậc hai tại một điểm

- Nếu [c]*A0[c] = 0 và P = 0 và Q ≠ 0 thì phơng trình (7) vô nghiệm đờngthẳng không cắt siêu mặt bậc hai

- Nếu [c]*A0[c] = P = Q = 0 thì mọi giá trị của t đều là nghiệm của (7) Do đótoàn bộ đờng thẳng nằm trên siêu mặt bậc hai

1.6 Định lý.

Trong không gian afin An cho m- phẳng α và siêu mặt bậc hai(S) cắtnhau Khi đó giao β của α và (S)

a) Hoặc là siêu mặt bậc hai trong α

b) Hoặc là siêu phẳng trong α

n j

a x a y

x a

1 1

,

0

2 (aij = aji; rank (aij) > 0)

Trong An thì điểm M có toạ độ (x1, …, xn) đối với (*) thuộc α

khi và chỉ khi xm+1= …= xn= 0 ⇔ M có toạ độ (x1,…, xm) đối với (**)

n

n A x x

+

0

0 2

1

1

n m

n

j i

n

k k k j

i ij

x x

a x a x

x a

m

j i

Suy ra: β là siêu mặt bậc hai trong α

b) aij (i,j = 1 …m)= 0 ; ak(k = 1…m) không đồng thời bằng 0 Suy ra β làsiêu phẳng trong α tức là (m-1)- phẳng trong An

c) aij (i,j = 1…m)= 0; ak(k = 1…m)= 0

⇒ a = 0 vì S ∩ α ≠Φ Hệ (10) tơng đơng với xm+1= xm+2= ….= xn = 0 Vậy β≡

α Định lý đã đợc chứng minh

1.7 Siêu mặt bậc hai và bất biến afin.

Cho siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình: [x]A0[x] + 2[a]*[x] + a0 = 0 và phépafin f có phơng trình: [x]= B[x'] + [b]

Định lý Cho siêu mặt bậc hai (S) và đờng thẳng d Gọi (S') và d' lần lợt

là ảnh của (S) và d qua phép afin f

• Nếu d nằm trên (S) thì d' nằm trên (S')

• Nếu d cắt (S) tại 1 (hoặc 2) điểm thì d' cắt (S') tại 1 (hoặc 2) điểm

• Nếu d không cắt (S) thì d' cũng không cắt (S')

Chứng minh.

Giả sử S có phơng trình (3); đờng thẳng d có phơng trình

[x] = t[c]+ [d]; c là phơng của d; c = [c1,…, cn]* khi đó giao điểm của (S) và d là

số nghiệm của phơng trình

([c]*A0[c])t2 +2Pt + Q = 0

Với P = [d]*A0[c] + [a]*[c]; Q = [d]*A0[d] + 2[a]*[d] + a0

Giả sử phép afin có phơng trình [x] = B [x'] + [b] Khi đó (S') có phơngtrình [x']*A'0[x'] + 2[a']*[x'] + a'0 = 0

= ([d]* - [b]*)(B-1)*.B*A0BB-1 [c] + ([b]*A + [a]*)BB-1[c]

= ([b]* - [b]*)A0[c] + ([b]*A + [a]*)[c]

= [d]*A0[c] + [a]*[c] = P

c) Q' = [d']*A'0 [d'] + 2[a']*[d'] + a'0

= ([d]* - [b]*)(.B-1)*B*A0BB-1 ([d] - [b]) +2([b]*A0 +

+ [a]*)BB-1([d]-[b]) + [b]*A0[b] + 2[a]*[b] + a0

= ([d]* - [b]*)A0 ([d] - [b]) + 2([b]*A0 + [a]*)([d] - [b]) +

+ [b]*A0 [b] + [a]*A0b + a0 = [d]* A0[d] + 2[a]* [d] + a0 = Q

Mặt khác ta thấy

• Đờng thẳng d nằm trên (S) khi và chỉ khi:

0]' [*

]'[

0 0

0][

Q P

cA c Q

P

cA c

cA

c

⇔ d' giao (S') tại một điểm

• d giao với (S) tại hai điểm thì P2 - [c]*A0[c].Q > 0

⇔ P'2 - [c']*A'0[c'] Q' > 0 hay d' giao (S') tại hai điểm

*][

0

0

Q

c A c P

0]'['

*]'[

0'

0

Q

c A c P

Nghĩa là d' giao (S') là tập rỗng

Định lý đã đợc chứng minh

1.8 Một số khái niệm liên quan đến siêu mặt bậc hai 1.8.1 Tâm của siêu mặt bậc hai.

a Định nghĩa Tâm của siêu mặt bậc hai (S) là điểm mà khi ta chọn nó

làm gốc mục tiêu thì phơng trình của (S) có dạng [x]*A0[x] + [a] = 0 với A0 =(aij)

b Nhận xét Từ định nghĩa trên ta suy ra nếu điểm M thuộc siêu mặt bậc

hai (S) và (S') có tâm I thì điểm M' đối xứng với M qua I cũng thuộc (S) Vậynếu (S) ≠ φ thì tâm của nó chính là tâm đối xứng của (S) và tâm này là một

Trong đó A0 là ma trận vuông cấp n với A0 = (aij) và [a] là ma trận cột toạ

độ có trong phơng trình của (S) Ta suy ra

- Nếu det A0 ≠ 0 hệ phơng trình (11) nói trên có nghiệm duy nhất tức là(S) có tâm duy nhất.

- Nếu det A0 = 0 hệ phơng trình (12) vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tức(S) không có tâm Nếu rankA0 = r thì tất cả nghiệm của (12) nếu có là các điểmthuộc một m- phẳng với m = n - r Đây cũng là trờng hợp phơng trình (12) có vô

số nghiệm, nghĩa (S) không có tâm Định lý đã đợc chứng minh

d Hệ quả Siêu mặt bậc hai có tâm và tâm là bất biến afin.

Chứng minh Giả sử (S) có phơng trình (3) qua phép afin f có phơng trình

(1) thì ảnh của (S') của (S) có phơng trình (5) Nếu (3) là siêu mặt bậc hai cótâm thì hệ sau có nghiệm duy nhất A0 [x] + a = 0 (*)

Qua f, (S) trở thành (S') có phơng trình (5) Ta chứng minh (S') có tâm

Thật vậy: vì (*) có nghiệm duy nhất nên det A0≠ 0

Suy ra: det A'0 = det (B*A0B) ≠ 0 (Vì det B ≠ 0 ) Hay hệ : A'0 [x'] + a' = 0 (**)

có nghiệm duy nhất

Mặt khác nếu x0 là nghiệm của (*) thì x'0 = B-1 (x0 - b) cũng là nghiệmcủa (**) (Vì A'0[x'0]) + [a'] = B*A0BB-1( 1

0 −

A [a] - [b]) + B*(A0[b] + [a]) = = - B*[a] - B*A0 [b] + B*A0 [b] + B*[a] = 0

Hệ quả đã đợc chứng minh

1.8.2 Điểm kỳ dị của siêu mặt bậc hai.

a Định nghĩa Một điểm I gọi là điểm kỳ dị của siêu mặt bậc hai (S)

= + +

0 ] [ ] [

0 ]

[

* ] [ 2 ] [

* ] [

0

00

a x A

a x a x A x

c Ví dụ Trong A3 mặt nón tròn xoay là một mặt bậc hai có điểm kỳ dị là

= +

0 ]

[

* ] [

0 ] [ ] [

0

0

a x a

a x A

Khi đó rank A1 = rank A2

a a

a a

a a

a a

221

111

1

1 1 11

a a a

a a a

a a a

n

n nn n

n

Mà ta có rankA1≤ n ⇒ rankA2 < n + 1 Vậy det A = det A2 = 0 (đpcm)

1.8.3 Phơng tiệm cận, đờng tiệm cận, siêu phẳng kính của siêu mặt bậc hai.

a Định nghĩa Vectơ c = (c1 … cn) gọi là phơng tiệm cận của siêu mặtbậc hai (S) với phơng trình (3) Nếu c ≠ 0 và :

điểm M, N Quỹ tích của Q là một siêu phẳng xác định bởi phơng trình

[c]*(A0[x] + [a]) = 0 (13)

Ta gọi siêu phẳng đó là siêu phẳng kính liên hợp với phơng c đã cho

b.Nhận xét Nếu siêu mặt bậc hai có tâm thì siêu phẳng kính liên hợp với

phơng c nào đó sẽ đi qua tâm của siêu mặt bậc hai đó

c Hệ quả Phơng tiệm cận, đờng tiệm cận của siêu mặt bậc hai là những

khái niệm afin

e Định lý Siêu phẳng kính liên hợp của siêu mặt bậc hai là bất biến afin

Chứng minh Giả sử (S) là siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình (3),

c ≠ 0, c không phải là phơng tiệm cận của (S) Khi đó siêu phẳng kính liênhợp với phơng c của (S) có phơng trình: [c]*(A0[x] + [a] = 0 (P)

Qua phép biến đổi afin f có phơng trình [x] = B[x'] + b ảnh (S') của (S) cóphơng trình (4) Phơng c biến thành c' = B-1 c, (P) biến thành (P') có phơngtrình: [c]*[A0[B [x'] + b)] = 0 (P')

Ta chứng minh (P') là siêu phẳng kính liên hợp với phơng c' của (S')

Thật vậy:

Vì c không phải là phơng tiệm cận của (S) nên c' không phải là phơngtiệm cận của (S')

Mặt khác: [c]*[A0 (B[x'] + b) + [a]] = 0

⇔ (B[c'])*(A0B[x'] + A0b + a] = 0

⇔ [c']* (B*A0B[x'] + B*A0[b] + B* [a]) = 0

⇔ [c']* (A0'[x'] + a') = 0

Mà [c']*(A0'[x] + a') = 0 là siêu phẳng kính liên hợp với phơng c' của (S')

Do đó ta có (P') là siêu phẳng kính liên hợp với phơng c' của (S')

Hệ quả: Đờng kính liên hợp của đờng bậc hai trong A2 là bất biến afin

1.8.4 Tiếp tuyến và siêu tiếp diện của siêu mặt bậc hai.

a Định nghĩa Đờng thẳng d gọi là tiếp tuyến của siêu mặt bậc hai (S)

nên: Hoặc phơng của d không phải là phơng tiệm cận của S và d cắt (S) tại đúngmột điểm Hoặc đờng thẳng d nằm trên (S)

Nếu B ∈ (S), B là điểm không kỳ dị thì các tiếp tuyến tại B của (S) tạo thànhmột siêu phẳng Ta gọi siêu phẳng này là siêu phẳng tiếp xúc hay siêu tiếp diệncủa (S) tại B

Nếu (S) có phơng trình (3) đối với hệ toạ độ {0,ei } B có toạ độ là ( 0 0

1 , ,x n

đối với hệ toạ độ đó Siêu tiếp diện của (S) tại B có phơng trình

([x] - [x0])* (A0 [x0] + [a]) = 0hay [x]*A0[x0 ] + [a]* ( [x] + [x0]) + a0 = 0

b Định lý Siêu tiếp diện của siêu mặt bậc hai là bất biến afin

Chứng minh Giả sử (S) là siêu mặt bậc hai có phơng trình (3) K= (k1 …

kn) thuộc (S), K là điểm không kỳ dị khi đó siêu tiết diện của (S) tại K có phơngtrình: ( [k]*A0 + [a]*) ( [x] - [k]) = 0 (14)

Trong đó [k] = [k1, …, kn]* qua phép biến đổi afin f có phơng trình (3) ảnh (S')của (S) có phơng trình (4) và (14) trở thành

c.Hệ quả Mặt phẳng tiếp xúc với mặt bậc hai trong A3 là khái niệm afin.

1.9 Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong A n

1.9.1 Nhận xét Trong không gian afin An với mục tiêu afin {0; e1 ,…,

x a

1 1

1 (n + 1) (n + 2) số Do đó việc nghiên cứu chúng sẽ gặp nhiều khó khăn

Để khắc phục khó khăn này ta sẽ chọn một mục tiêu thích hợp sao cho đối vớimục tiêu này phơng trình của siêu mặt đã cho có dạng đơn giản nhất

1.9.2 Định lý Bằng cách chọn mục tiêu thích hợp mọi siêu mặt bậc hai

(S) trong không gian An đều có phơng trình thuộc một trong 3 dạng sau đây:

=

r i

i

i x

1 2

ε = 2xr + 1 εi = ± 1, 1 ≤ r ≤ n - 1

Ba dạng trên gọi là phơng trình chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong An Chứng minh: (Xem tài liệu [1]).

Các dạng chuẩn tắc nêu trong định lí trên có thể viết cụ thể nh sau:

r

x x

x x

k 0 và với 1

1

22

21

0

22

21

r n

r

x x

x x

k 0 và với

−

−

2 1

1

2

2 2

2 1

r n

r

x x x

x x

k 0 và với

Cùng lý do tơng tự nh đối với phơng trình dạng II nên trong phơng trình dạng

III ta lấy 0 ≤ k ≤ 2 

r

Đ2 Siêu nón và siêu trụ

1 = 0 (aij = aji)

Từ đó ta có thể định nghĩa siêu mặt bậc hai theo cách khác nhau nh sau:

1.3 Định nghĩa

Siêu mặt bậc hai của không gian An gọi là siêu mặt bậc hai nếu có thể tìm

đợc một mục tiêu {E0; Ei}(i = 1 n) sao cho đối với nó phơng trình của S códạng [x]* A0 [x] = 0 (1)

Trong đó hạng ma trận A0 = (aij) là (0 ≤ r ≤ n) và A0 = A0*

Ví dụ Trong A3 mặt bậc hai (S): x2 + y2 - z2 = 0 là mặt nón với

rankA0 = rankA = 3

1.4 Đờng sinh của siêu nón.

1.4.1 Nhận xét Cho (S) là siêu nón có phơng trình (1) đối với mục tiêu

{E0; Ei}(i = 1 n) Nếu X ∈ (S) thì đờng thẳng E0X nằm hoàn toàn trên (S)