Chuyen de 2 bat dang thuc l8 ng 26 01 2021

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨCI.LÝ THUYẾT 1... Dạng 2: Dùng các phép biến đổi tương đươngTa biến đổi các bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh là đún

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

I.LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa:

Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A < B ” được gọi là bất đẳng thức (BĐT)

Các mệnh đề: “ A B ” hoặc “ A B “ được gọi là các bất đẳng thức suy rộng

2 Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:

Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả của BĐT A > B kí hiệu A > B => C > D

Nếu BĐT A>B là hệ quả của BĐT C>D và C>D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A>B thì ta nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A>B <=> C>D

A B  A B A (Khai căn hai vế của một BĐT)

a b  a b a b (Tính chất giá trị tuyệt đối)

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì x2y2z2 2xy2yz 2zx

HD:

Xét hiệu ta có:x2 y2 z2  2xy 2yz 2zx  0 x y z  2  0

Dấu bằng xảy ra khi x+z=y

Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì x2y2z2 3 2x y z  

HD:

Xét hiệu ta có:x 12y 12z 12  0, Dấu bằng khi x=y=z=1

Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có :

       , Dấu bằng khi a=- b

Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có :

Bài 7: Cho a,b,c là các số thực CMR: 2 2

Bài 8: Cho a,b,c là các số thực CMR: 2 2

1

a b  ab a b HD:

Bài 9: Cho a,b,c,d là các số thực CMR : a2 b2c2d2e2 a b c d e    

Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e

Bài 10: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0.CMR: 1 1 1 1 9

Dấu bằng khi a=b hoặc ab=1

Bài 14: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có : x2y2z2t2 x y z t   

Bài 26: Cho a,b,c > 0, CMR: a3b3abc ab a b c    

HD:

Ta có:a3 b3 abc a b ab 2  2 abc

a3  a b b2  3  ab2   0 a a b2  b b a2  0a b  2 a b   0Bài 30: CMR: a2b22 ab a b  2

Bài 36: CMR: 4 1

02

3a b b c c a        24abc

Vì

222

, Nhân theo vế ta được ĐPCM

Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có:

x y

x y    xy

Dấu bằng khi a=b=c=0

Bài 54: Cho x,y,z R, CMR :  2  2  2  2 2 2

2 0

Bài 62: Cho a,b dương có tổng 1, CMR : 1 1 4

Ta có: 5  5  5     5 5    5 5

0

a a b b b c c c a  a b a  b  c a c  b Giả sử : 5 5 0

Giả sử a b c  => Các ngoặc đều dương => ĐPCM

Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR : a b a   3 b3 2a4 b4

Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a+b+c=3, CMR : 4 4 4 3 3 3

Dấu bằng xảy ra khi: x y 1

Bài 90: Chứng minh BĐT sau: x2 y2  xy x y   1

Dạng 2: Dùng các phép biến đổi tương đương

Ta biến đổi các bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh là đúng

Nếu A B C D , với C < D luôn đúng

b Giả sử tồn tại cả ba số a, b, c lớn hơn 1 abc1 ( mâu thuẫn với giả thiết )Vậy luôn tồn tại 1 số nhỏ hơn 1.

Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: (a10b10)(a2b2) ( a8b a8)( 4b4)(1)

2 2

2 2

Bài 9: Cho hai số thực

2 2

2 2 4

0 2( ) 2

 HD:

Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh

Bài 8: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 7 4 7 9( 1 2 3 )

a b c   a b b  c c  a

4 4 2 2

12

Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR : 3 13 3 31 3 13 1

a b abc b c abc c a abcabc

2 2 2

2 2

2 2

a b VT

Bài 11: Cho a b c , , 1 Chứng minh rằng: 2 2 2

1 a 1 b 1 ab1 abc 1 b 1 c 1 abc 1 c 1 a 1 abc

Cộng vế các bất đẳng thức thức ta được điều phải chứng minh

Bài 12: Cho x y z, ,  0;x y z   1 Tìm GTNN:

x y z y z x z x y A

2 2 2 2 2 2 2

Dạng 5: SẮP XẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC:

Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a b c 2

b c c a a b     

HD :

Ta có :

21

Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh

Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c chu vi là 2p, CMR:

Nhân theo vế ta được : abc 8 p a p b p c       

Bài 11: CMR: Nếu a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác thì:

Ta có :

2 2 2

Nhân theo vế ta được ĐPCM

Bài 13: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:

Tương tự ta có : 2c2 b c a c a b       và 2a2 a b c c a b      

Nhân theo vế ta được ĐPCM

Bài 22: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR :

Mà 2(a2b2) 4( , ) do gt  (a b ) 24

Điều này mâu thuẫn với (1) nên  a b 2

Bài 2: Với mọi số thực a, b, c hãy chứng tỏ: 2 2 2 ( ) ( )

2 a 0 0a.(2 a) 1 (  a1) 1 Tương tự: 0 b.(2  b) 1;0  c(2  c) 1 

Do đó: a(2  a b) (2  b c) (2  c) 1  ( mâu thuẫn ) Vậy ta có đpcm

Bài 5: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a2 b2 ab bc ca   0.CMR a: 2 b2 c2

Vì thế abc < 0 ( mâu thuẫn ) Đpcm

Bài 7: Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau CMR: Tồn tại một trong các số 9ab, 9bc, 9canhỏ hơn (a b c  )2

Từ (1)(2) ta thấy mâu thuẫn nên đpcm

Bài 8:Cho hai số dương x, y thỏa mãn: 3 3 2 2

Nếu 1 trong ba số bằng 0 thì bất đẳng thức được chứng minh

Từ (1)(2)  abc a b c   ( mâu thuẫn với giả thiết ) nên điều giả sử là sai

Bài 11: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c abc   Chứng minh rằng có ít nhất hai trong số các bất đẳng thức sau đúng: 2 3 6 6;2 3 6 6;2 3 6 6

a b c   b c a   c a b   HD:

Giả sử hai bđt trên đều đúng 2 2