CHUYÊN đề áp DỤNG bất ĐẲNG THỨC cô SI và BUNHACỐPSKI để tìm GTLN, GTNN ở cấp THCS

CHUYÊN ĐỀ :ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BUNHACOPSKI ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A.

CHUYÊN ĐỀ :

ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BUNHACOPSKI ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ

LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A LÍ THUYẾT CƠ BẢN

I/ Bất đẳng thức Cô -si ( cauchy):

Với 2 số không âm a;b

2 2 2

a b  ab ( vì (a b ) 2   0 a2  2ab b 2   0 a2 b2  2ab )

a+b 2 ab ( tương tự )

+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1)

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b

Từ đẳng thức (1) ta suy ra:

+ Nếu a.b =k ( không đổi) thì min (a +b) = 2 k  a = b

+ Nếu a +b = k (không đổi ) thì max( a.b) =

4

2

k

 a = b

+ Với a1, a2, a3, …., an ≥ 0 thì a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ nn

n

a a a

a1. 2. 3 ( 2) Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = … = an

Từ đẳng thức (2) ta suy ra:

+ Nếu a1.a2.a3 … an = k (không đổi ) thì min(a1+ a2 + a3 + ….+ an ) = nn k

 a1 = a2 = a3 = … = an + Nếu a1+ a2 + a3 + ….+ an = k (không đổi ) thì m

+ Mở rộng của BĐT Cô- si

1 Với 3 số a, b, c không âm

a+b+c3 abc3

Dấu “=” xảy ra  abc

2 Với 4 số a, b, c ,d không âm

1

a+b+c+d4 abcd4

Dấu “=” xảy ra  abcd

3 Đối với n số không âm: a1,a2,a3, ,a n  0

n

a a

a

a1  2  3   1 2 3

Dấu “=” xảy ra  a1 a2 a3  a n

+ Biến dạng :

2

(a b )  4ab

a b a b

 

  với x;y;z >0

II/ Bất đẳng thức Bunhiakopski

+Với 4 số a;b;c;d ta có : 2 2 2 2 2

(ac bd )  (a b c)( d )

Dấu ‘ =’ xảy ra khi a b

c d

+Tổng quát : Cho hai bộ x x1, , ,2 x n  y y1, , ,2 y n

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

x y x y  x y  x x  x y  y   y

Dấu bằng xảy ra 1 2

1 2

n n

2

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 : Cho a;b;c >0 và 3

2

a b c   Tìm GTNN của 2 2 2

Bài giải :

( Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky)

2

17

Tương tự:

17 a b c a b c

dụng BĐT Cô si )

Suy ra : 1 51. 51

2

=> 51

2 17

Min

S  khi

4 16 4 16 4 16

3 2

a a b b c c

a b c

a b c





















  











a= b= c =1

2

Bài 2:

Cho a;b;c là các số dương thỏa mãn a+b+c12

Tìm GTNN của P a b c

3

Bài giải

Ta có :

2 2 2

2 ( a b c ) 2 a b c 2(a b b c c a)

P

b c a

Áp dụng BDT Cô si cho 4 số dương :

Ta có : a2 a b a b c 4a

b  c  c  

2

4

b b c b c

a b

c  a  a  

c2 c a c a b 4c

a  b  b  

=>P2 (a2 a b a b c) (b2 b c b c a) (c2 c a c a b) (a b c)

 3.12 =36

Vì P>0 => P  6

6

Min

P  Khi a =b =c = 4

Bài 3

Tìm GTNN của : A x 2  y 3 biết x+y = 6

Áp dụng BĐT Bunhiacosky ( A0)

A  x  y   x  y   

=>A 2

2

Min

A  khi

5

2

x

x y

y











Bài 4

4

Tìm GTNN của

1 2 2017

1 2 3 2017

M



Bài giải:

1 2 3 2017

2016

M



1 2 3 2017

1 2 3 2017

M

2

2016

M 

2

2016

Min

2 3 2017

2016

x

Bài 5

Cho a3 b3  2 ;a >0; b >0 Tìm GTLN của N= a + b

Bài giải

+ Chứng minh BĐT : a3 b3 ab a b(  ) ;

a b  a b a b  ab  a b ab ab ab a b

+ a3 b3 ab a b(  ) => 3(a3 b3 ) 3 (  ab a b )  4(a3 b3 ) a3 b3  3 (ab a b ) (a b)   3 Nên 3 3

2  (a b )  N   a b 2

Max 2

N  khi a = b = 1

Bài 6

Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 Tìm GTLN của :

P

a b ab b c bc c a ca

Bài giải

+ Ta chứng minh BĐT : a 5 b5 a b3 2 a b2 3 a b a b2 2 (  )

5

+Ta có

a b ab a b a b ab a b a b (  ) ab ab[ab(a b) 1] ab[ab(a b)       abc] a  b a b c(   )

.abc a b c .a b c

Vậy a 5 b5 ab ab.a b c

c

 

a b aba b c  (1) Tương tự : 5 5

b c bc a b c  (2)

5 5

a c ac a b c  (3)

Từ (1)(2)(3) Suy ra :

5 ab5 5 bc5 5 ca5 a b c 1

P

a b ab b c bc c a ca a b c

 

1

Max

P  khi a= b= c=1

Bài 7

Cho a;b >0 ; a+b  1 Tìm GTNN của :

2 2

A a b

a b

Bài giải

4

a b ab ab

A a b

16 ab

3 3 15 2

1

4 4 16

4

9

Min

A  Khi a =b= 1

2

6

Bài 8

Cho xy =1 và x;y >0 Tìm GTLN của :

2 4 4 2

A

x y x y

Bài giải

A

Max 1

A  khi t = 1 => x =y = 1

Bài 9

Cho x;y;z >0 thỏa mãn xyz =1 Tìm GTLN của :

A

Bài giải

+ ta có : x3 y3 xy x y(  ) =>x3 y3   1 xy x y(  ) xyz xy(x y z)    

A

xy x y z yz x y z xz x y z xyz x y z yzx x y z xzy x y z

1

x y z

x y z

 



 

Max 1

A  khi x =y = z= 1

Bài 10

Cho a;b;c >0 và a+b+c =2016 Tìm GTNN của :

7

2 2 2 2 2 2

M  a  ab b  b  bc c  c  ca a

Bài giải

2 a  ab b  3(a b )  (a b)   a b

Tương tự 2 b2  bc c 2  b+c

2 c2  ca a 2  c+a

Nên suy ra

2M2 (a+b+c) =2 2016

=>M 2016

=>A Min  2016 khi a =b =c = 2016:3 =672

Bài 11

Cho x;y;z>0 Tìm GTNN của :

x y y z z x

A

Bài giải

+Ta chứng minh 2(a b )  a b

+Ta có 2 A 2(x y) 2(y z) 2(z x)

2 2 2 6

   

+ Suy ra A 3 2

3 2

Min

A  Khi x =y =z

Bài 12

8

Cho a;b;c >0 và a+b+c =3 Tìm GTNN của :

A

Bài giải

+ Chứng minh BĐT :

 

  với x;y;z >0

+Ta có : 2 2 2 2 2 2

A

2

a b c

 

1

a b c

 

1

Min

A  Khi a=b=c = 1

Bài 13

Cho x;y >0 và x+y+xy =8 Tìm GTNN của : 2 2

A x y

Bài giải

+Ta có x +y 2 xy

=>xy + 2 xy  8 hay  xy 12 9

=> xy  1 3

=>xy  4

+ Ta có 9  xy2  (x y  1) 2 x2 y2   1 2(x y xy  ) x2 y2  17

Vì xy  4 => 9 –xy  5 =>  2 2 2

Suy ra A 8

Vậy A Min  8 khi x = y =2

9

Bài 14

Cho x;y;z >0 và xyz =1 Tìm GTNN của :

A

Bài giải

+ Áp dụng BĐT cô si với 3 số không âm ta có :

3 2

3

x



=> 2

x x



 

 Dấu “ =” xảy ra khi x =1

Tương tự đối với y ; z

A

3

3.

xyz

x y z   

Bài 15

Cho a  10; b100 ; c1000 Tìm GTNN của :

1 1 1

A a b c

a b c

Bài giải

Ta có : A a b c 1 1 1

a b c

Vậy A Min  1110.111 khi a =10 ; b = 100; c =1000

Bài 16

10

Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+y +z  20

11 Tìm GTNN của

1 1 1

A x y z

x y z

Bài giải

Ta có A x y z 1 1 1

x y z

Vậy 1489

220

Min

A  khi x = y =z = 20

33

Bài 17

Cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn a+b+c =2 Tìm GTLN của:

A

c ab a bc b ac

Bài giải

2

b c c a

c ab a b c c ab b c c a

+ tương tự đối với 2 hạng tử còn lại

2

A

b c c a b a a c c b b a

c ab a bc b ac

ab ca ab bc bc ca

a b c

1

A  => AMax  1 Khi a =b=c = 2

3

Bài 18

Cho a;b>0 và a+b 1 Tìm GTNN của :

11

2 2

2 2

A a b ab

a b

Bài giải

ab

ab ab

ab

ab a b



=1+1 29 35

A 35

4 => 35

4

Min

A  Khi a =b = 1

2

Bài 19

Cho x;y;z >0 và x+y+z =2 Tìm GTNN của :

A

y z z x x y

Bài giải

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số dương:

2 ( ) 2 ( 2 ) 2

y z    y z   ;(k>0) với Điểm rơi 2

3

x  y z

=> 2 1

4

k 

+Ta có

A

y z z x x y

2 x y z 

1

2 x y z 

12

=(x+y+z)- 1( )

2 x y z  =1( )

2 x y z  =1

Suy ra Min A= 1 khi 2

3

x  y z

Bài 20

Cho các số x;y;z không âm, không đồng thời bằng 0; thỏa mãn

1

x  y z 

Tìm GTNN của : A x y z 1

x y z

   

 

(Áp dụng BĐT :

 

  với x;y;z >0) + Áp dụng BĐT cô si :

A

Vậy Min A = 10

3 Khi x+y+z =3;( x;y;z không âm, không đồng thời bằng 0)

Bài 21

Cho xyz =1 ; x +y +z = 3 Tìm GTNN của :

16 16 16

P x y z

Bài giải

+ Áp dụng BĐT:

 

  với x;y;z >0; một cách liên tục

13

Ta có : P x 16 y16 z16

2

4 4 4 2

3

3

x y z

 

2 2 2 8

3

x y z

Suy ra Min P = 3 khi x =y =z = 1

Bài 22

Cho a;b;c > 0 thỏa mãn a+b +c = 3 Tìm GTNN của:

A

Bài giải

+ Ta có :

2

a a



Tương tự ta có : 2

2 2

2

2 2

A

    2-a + 2- b + 2 – c = 6 – (a+b+c) =6 -3 =3 Min A = 3 khi a = b= c = 1

Bài 23.

Cho x>0;y>0 và x + y = 1 Tìm GTNN của :

A

Bài giải

14

Ta có : 2 2

A

   .(x1)(xy y1)

= 1 1 1 1

=1 1 1 1 1 1 x y 1 1 1 1 2

Mặt khác Áp dụng BĐT : ( )2 1

x y

xy  

=>A

2

1

4

Vậy Min A = 9 Khi x = y =1

2

Bài 24

Cho x;y;z >0 thỏa mãn xy + yz + zx  3 Tìm GTNN của :

A

y z z x x y

Bài giải

+ Ta chứng minh : (x y z  ) 2  3(xy yz zx) 9   

Hay x y z   3

+ Áp dụng BĐT cô si cho 4 số dương ta có :

4

x

Nên :

y z

Tương tự : 4 3 1

y

z x





15

z

x y





Suy ra

A

y z z x x y

Vậy Min A =3

4 Khi x =y =z = 1

Bài 25

Cho x;y;z >0 thỏa mãn x +y +z = 1 Tìm GTNN của :

A x xy y  y yz z  z zx x

Bài giải

x xy y  x y  xy x y    

( Áp dụng BĐT : (a b ) 2  4ab )

Nên suy ra : 2 2 3( )

2

x y

x xy y  

+ Tương tự : 2 2 3(y )

2

z

y yz z  

2 2 3(z )

2

x

z zx x  

Vậy A x2 xy y 2  y2 yz z 2  z2 zx x 2

x y z

=>Min A = 3 Khi x =y =z =1

3

Bài 26

16

Cho x;y;z>0 thỏa mãn 1 1 1 3

x y z  Tìm GTNN của :

A

Bài giải

+ Áp dụng BĐT Bunhicosky

2

(2x y )( 2  1 ) ( 2 2  x y 1)  (2x y )

x y

x y

Tương tự ta có : 2 2 2 1 2 1

3

y z

2 2 2 1 2 1

3

z x

Do đó : A 2x2 y2 2y2 z2 2z2 x2

Vậy Min A = 3 Khi x = y= z = 3

Bài 27

Cho a;b;c > 0 thỏa mãn abc =1 Tìm GTNN của :

A

Bài giải

+Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương :

3

a

17

Tương tự :

b

c

Ta có :

a b c

3

Vậy Min A =3

4 , Khi a = =b = c= 1

C BÀI TẬP :

1 Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1

Tìm GTNN của A = (1+a1 ) (1+b1 ) (1+1c )

2 Cho a,b, > 0 và a + b = 1

Tìm GTNN của B = 2 2

3 2

b a

3 Cho a,b,c > 0

a) Tìm GTNN của C = b a c c b a a c b









 b) Tìm GTNN của D = b a c c b a a c bb ac cb a ac b











4 Cho x,y,z   43 và x + y + z = 1

Tìm GTLN E = 4x 3  4y 3  4z 3

18

5 Cho a,b,c  0 và a + b + c = 1

Tìm GTLN của F = ab ac bc

19