LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó, yêu cầu óc quan sát, linh cảm thực tế và sức sáng tạo của người giải không gánh nặng lắm về lượng kiến thức.Chính vì thế hầu hết các kì t
Trang 1
Chuyên đề về bất đẳng thức cổ điển
Lương Hải Đăng 10T2 Trường THPT chuyên ĐHSPHN
I LỜI NÓI ĐẦU
Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó, yêu cầu óc quan sát, linh cảm thực tế và sức sáng tạo của người giải không gánh nặng lắm về lượng kiến thức.Chính vì thế hầu hết các kì thi HSG thường có ít nhất 1 bài bất đẳng thức Có thể nói hiện nay có rất nhiều phương pháp hiện đại chẳng hạn như SOS;… mà do chính người VN ta tìm ra Để chứng minh bất đẳng thức nếu sử dụng chúng thì hầu như bài nào cũng giải được Nhưng liệu khi đi thi chúng ta có đủ thời gian để sử dụng chúng không? Nên việc tìm ra lời giải bằng các đẳng thức cổ điển luôn được đánh giá cao đặc biệt là đối với những người yêu bất đẳng thức Trong bài viết này tôi sẽ chỉ nói về hai bất đẳng thức quen thuộc: côsi (AM-GM) bunhia (Cauchy – Schwarz) trong giải các bài bất đẳng thức đại số Hai bất đẳng thức này tuy nhiều ứng dụng nhưng để tìm ra chúng không phải dễ dàng Tất cả được chỉ ra qua một lượng đáng kể những ví dụ đa dạng, từ nhiều nguồn khác nhau, đặc biệt là những kì thi Olympic toán hoặc trên những trang web làm cho bài viết trở nên vô cùng sinh động
II HAI BẤT ĐẲNG THỨC: AM–GM; CAUCHY- SCHWARZ VÀ ỨNG DỤNG
a1 2 -1Dấu “=” Û a1 = a2 = … = an
Chứng minh bất đẳng thức này có khoảng hơn 40 cách nên xin dành lại cho bạn đọc
Trang 2* Bất đẳng thức này rất quen thuộc và ứng dụng lớn nên nó sẽ là bất đẳng thức đầu tiên mà các bạn cần nhớ và chú ý là dấu “=” xảy ra khi :
n
a a a x
a x
a
x
a
++
++
³+++
)
(
2 1
2 2
1 2 2
2
1
2
1 (Với x i> 0 , v = 1,n)
Bất đẳng thức này còn có tên gọi là Engel hay Schwarz
Chứng minh bất đẳng thức (*) có nhiều cách nhưng có một cách này các bạn nên nhớ:
2 2
++
+
c a c
b c
b
a
(*)(BĐT Nesbit) Cách 1:
Ta còn có thể sử dụng bất đẳng thức Am-Gm để làm chặt.Với cùng điều kiện trên
ta có bất đẳng thức khoẻ hơn sau:
Trang 32 3
2
)
ca bc ab
c b a
++
)2
1
-+ c b
a
³ 0
Þ
c b
++
+
-c b a c b
a
=
)(
4
8
c b a
c b a
++
-
-b a
c a c
b c
b
a
+
++
+
3)
(4
)8
()8
()8
++
-+ +
-c b a
b a c a c b c b a
ÞĐpcm
Ngoài cách giải trên ta còn có khoảng hơn 30 cách nữa để chứng minh bất đẳng thức Nesbit này.Lời giải bằng CS rất hiệu quả trong việc chứng minh bất đẳng thức 3 biến đối xứng J
Bài toán 2: Cho a, b, c > 0 CMR:
a
c c
Trang 4*Nhận thấy dấu ‘=’ ó a=b=c
Đối với những bất đẳng thức hoan’ vị:
a
c c
b b
a
++ thì ta cần phải sử dụng bất đẳng thức phụ để đưa về đối xứng thì việc giải quyết sẽ dễ dàng hơn J
*Dự đoán.Nếu có:
a
c c
b b
a
++
3
a b c abc
a+ + +
c b a
abc
++
3
9 ³ 6
Thì bài toán được chứng minh J
Bây giờ ta sẽ kiểm chứng ‘dự đoán’ trên xem bất đẳng thức có đúng không ? Với
x, y, z > 0 ta có: x y z
y+ +z x ³
3
)(
xyz
z y
z x
y y
1)(
1
(
x
z z
y y
x
++
3
)(
2
xyz
z y
y z
2
xyz
z y
x+ +
Đến đấy nhìn rất quen thuộc so với bài toán 3
Trang 6Đến đây liệu phân tích SOS còn được nữa không? Nhưng chỉ với chú ý nhỏ là:
Qua mấy bài trên phần nào chúng ta cũng đã thấy được sự lợi hại của nó trong việc chứng minh bất đẳng thức
Bài toán 4: Cho a, b, c > 0 CMR:
å å å thì lại không đúng nên ta sẽ phải tìm cách khéo
léo hơn để sử dụng được CS
a
b a
b
c b
c
a c
Nếu đổi biến 1 lần nữa cho: x= yz2;y zx2;z xy2
x = y = z để xem dung CS dạng Engel còn được nữa không
Trang 7(2
1
x z y z y x y x
Phép chứng minh hoàn tất
Bài toán trên là bài toán khó.Việc tìm ra lời giải bằng CS là không phải dễ !
* BĐT trên còn có thể phát biểu dưới dạng
z
³ 1 Cùng với cách tương tự trên ta có với x, y, z > 0, xyz = 1
2
b ca
c ab
+ + +
2
c ab
a bc
+ + ³ 3 (*)
Trang 8c ab
a bc
+ + ³
abc= a- b- c- suy ra được a b c+ + -ab bc ca- - =1
Mà bài toán bây giờ trở thành chứng minh:
a
- + 2
2
) ( b c
b
- + 2
2
) ( c a
)()()(a c b b a c c b
Trang 9-Đặt m = (a-b) (a-c); n (b-c) (b-a); p = (c – a) (c-b)
Hiển nhiên Þ mn + np + mp = 0
Dễ dàng chứng minh được:
)()(a-b a-c = (m + n + p)2 (1)
Lại có m + n + p = å(a-b)(a-c)=a(a-c)+b(b-a)+c(c-b)
(m n+ + p) =[a(a-c)+b(b-a)+c(c-b)] ]2 (2)
Từ (1) và (2) bài toán được giải quyết
Lại 1 lần nữa đã cho ta thấy được sức mạnh khi dung bđt cổ điển J
Bài toán 7: Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác.CMR:
52
Trang 10-Bài toán giải quyết trọn vẹn
*Lời giải bằng SOS khá cồng kềnh và phức tạp.Nhưng liệu bất đẳng thức cổ điển
có giải được bài toán này không?.Câu trả lời có :)
* Lời giải vô cùng đẹp nhưng để tìm ra nó thì không phải dễ J
Bài toán 8: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác
CMR:
Trang 11bc a c
(chọn đội dự tuyển sư phạm 2009)
Trong quá trình làm bài tập tôi đã gặp bài này và lời giải đầu tiền cho nó là
(
2x x y x z
z y
+++
y )( +
å
Theo AM – GM:
x
yz z
(x+y x+z ³ 2 (x + y + z) + 2å y+x z ³ 4 (x + y + z)
Þ Điều phải chứng minh
Trang 12Lời giải trên đơn thuần chỉ dùng 2 bđt cổ điển thong qua cách 1 ta thấy được sự
ưu việt của việc sử dụng chúng J
Nhưng tôi tự đặt ra câu hỏi liệu thay vế phải bằng 1 biểu thức khỏe hơn a+b+c liệu còn đúng ko ??
Tta cũng có bài toán chặt hơn sau:
Tiếp theo chúng ta sẽ đến bài toán từ mathlinks.ro đã thể hiện sự nghệ thuật khi
Trang 13đây là 1 điều huyền bí chăng ? Nhưng chẳng có gì sự “huyền bí” gì ở đây cả vì ta thấy vế trái
Các bài thử chứng minh xem sao nhé !
Bài 10: Cho a;b;c là các số thực không âm thỏa mãn: 2 2 2
Trang 14Bài toán 11: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3
a (a-b) (a-c) + b(b-a) (b-c) + c(c-a) (c-b) 4 ( 2 2 2)
c b a
+
+ )( 3 3 -
a c
a c b
+
+ )( 3 3 -
b a
b a c
+
+ )( 3 3
=
c b
c a ac b
a
ab
+
+
+
a c
a b ba c
b bc
+
+
+
b a
b c bc a
c ca
+
+
=
))(
(
))(
a c
c
b
b a
+
))(
(
))(
b c a c
c b c b bc
++
+
+
))(
(
))(
c b b a
a c a c ca
++
+
-=
))(
)(
(
)(
)(
)
a c c b b a
a c ca c b bc b
a
ab
+++
+
+
-=
))(
)(
abc
++
b
a2 2)2( -
+
a
c
b2 2)2( -
+
b
a
c2 2)2( -
]
Trang 15+
b
a
c2 2)2( -
c b a
b a
++
là làm chặt bằng Am-Gm qua bài toán 1 J
NX: Bất đẳng thức này rất hay và khác hơn bất đẳng thức shur
*BĐT shur của chúng ta là:
a (a-b) (a-c) + b (b-a) (b-c) + c (c-a) (c-b) ³ 0
Bài toán 12: (Lương Hải Đăng)
Cho a, b, c > 0 a3b + b3c + c3a = 3 CMR:
c b a
a c c b b
a
++
++
(
)(
24
a c c b b
c
b
a
a c c
c b a
ca bc ab c b a
++
+++
(9
8
= 9
8(ab + bc + ca) Đến đây ta sẽ dùng Am-Gm để chế tiếp J.Nên chúng ta phải cộng thêm 1 lượng
*Lời giải:
Áp dụng CS ta có: (a3b + b3c + c3a) (ab + bc + ca) ³ (a2b + b2c + c2a)2
Trang 16Þ 2 2 2 2
)(
24
a c c b b
Ûab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) ³ 6abc
Ûc (a - b)2 + b (a - c)2 + a (b – c)2 ³ 0
Vậy
c b a
a c c b b a
++
++
(
³
c b a
ca bc ab c b a
++
+++
(9
8
= 9
8(ab + bc + ca)
Nên theo AM – GM:
9
8(ab + bc + ca) +
ca bc
c b a
a c c b b a
++
++
)(
9
)(
c b a
ca bc ab
++
a + + = 1 – 2x Þ 0 £ x £
31
Nên ta chỉ cần chứng minh:
2 2
)2
Trang 17Vậy: (3x – 1) (24x2 – 64x2 + 45x – 9) ³ 0
Þ Bài toán giải quyết
Mình nghĩ ra bài này cũng dựa trên:
(x + y) (y + z) (z + x) ³
9
8 (x + y + z) (xy + yz + zx) mà thôi rồi đưa về 1 biến để chứng minh J
Bài toán 14: (MIC vòng 1)
Cho a, b, c không âm và không có 2 số nào cùng bằng 0 CMR:
A = 2 2 2
c bc b
bc a
+-
+
a ca c
ca b
+-
+
b ab a
ab c
+-
+
³ 3 Nhận thấy dấu “=” ó có 1 số bằng 0 và 2 số còn lại bằng nhau J.Ta sẽ đi đến với lời giải sau J
Trang 18+-
2 2
+++-++-
-a
b b
a b
ab a
ab ab
b ab a
312
bc a
+-
+
a ca c
ca b
+-
+
b ab a
ab c
+-+
Trang 20+
a ca c
b
+
b ab a
c
+
)(
3
c b a
ca bc ab
++
++
b
+
2 +
a c
8 (Trần Quốc Luật) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 3 CMR:
8(2 - a) (2 - b) (2 - c) ³ (a + bc) (b + ca) (b + ca) (c + ab)
9 Cho a, b, c ³ 0 và a2 + b2 + c2 = 1 CMR
Trang 212 2
c bc
b
+
a ac c
b
+
d b a
c
+
c b a
d
+
d c b
a+ + +4
c b
+
+ +
1+
+
c
a c
b
+ +
b a
c
+ ³ 2
))(
)(
(
1
a c c b b a
abc
+++
)(
21
c b a
ca bc ab a
c c
b
b
a
++
+++
+
(Võ Quốc Bá Cẩn) 15.Cho a;b;c>0.CMR:
2 2 3
4
a b c abc a b c
a b abc
(Lương Hải Đăng)
Tài liệu tham khảo:
Những viên kim cương trong bất đẳng thức- Trần Phương
Trang 22Sáng tạo bất đẳng thức-Phạm Kim Hùng Bất đẳng thức và những lời giải hay-Trần Quốc Anh;Võ Quốc Bá Cẩn
Bất đẳng thức suy luận và khám phá- Phạm Văn Thuận;Lê Vĩ Ngoài ra còn 1 số bản điện tử ở trên mạng J