Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 8
Bài tập 1: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng M = N = P với:
.M = a ( a + b ) ( a + c ); N = b ( b + c ) ( b + a ); P = c ( c + a ) ( c + b )
Bài tập 2 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) ( x + a ) ( x + b ) = x2 + ( a + b ) x + ab;
b) ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) = x3 + ( a + b + c ) x2 + (ab + bc + ca) x + abc
Bài tập 3: Cho a + b + c = 2p
Chứng minh đẳng thức: 2bc + b2 + c2– a2 = 4p ( p – q )
Bài tập 4:
Cho biểu thức: M = ( x - a ) ( x - b ) + ( x - b ) ( x - c ) + ( x - c ) ( x - a ) + x2
Tính M theo a,b,c biết rằng x =
2
1
a + 2
1
b + 2
1 c
Bài tập 5 Cho x + y + z = 0, xy + yz + zx = 0; Chứng minh rằng: x =y = z
Bài tập 6 Cho x + y = a + b, x2 + y2 = a2 + b2;
Chứng minh rằng: x3 + y3 = a3 + b3
Bài tập 7 Cho a + b = m, a – b = n ; Tính ab và a3 - b3 theo m và n
Bài tập 8 Cho x+ y = 3
Tính giá trị của biểu thức: A = x2 + 2xy + y2 -4x - 4y + 1
Bài tập 9 Cho a2 + b2 + c2 = m Tính giá trị của biểu thức sau theo m:
A = ( 2a + 2b - c )2 + ( 2b + 2c - a )2 + ( 2c + 2a - b )2
Bài tập10 Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
a) ( a + b + c )2 + a2 + b2 + c2 = ( a + b)2 + ( b + c)2 + ( c + a)2;
b) x4 + y4 + ( x + y )4 = 2 ( x2 +_xy + y2 )2
Bài tập 11
Cho a2 - b2 = 4c Chứng minh hằng đẳng thức
( 5a – 3b + 8c ) ( 5a – 3b – 8c ) = ( 3a – 5b )2
Bài tập 12 Chứng minh rằng nếu: ( a2 + b2) ( x2 + y2) = ( a x + by )2
Với x,y khác 0 thì
x
a
=
y b
Bài tập 13
Chứng minh rằng nếu: ( a2 + b2 + c2) ( x2 + y2 + z2) = ( a x + by + cz )2
Với x,y,z khác 0 thì
x
a
=
y
b
=
z c
Bài tập 14 Cho ( a + b )2 = 2( a2 + b2 ) Chứng minh rằng: a = b
Bài tập 15 Chứng minh rằng a = b = c nếu có một trong các điều kiện sau:
a) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca; b) ( a + b + c )2 = 3 ( a2 + b2 + c2 );
c) ( a + b + c )2 = 3 (ab + bc + ca )
Bài tập 16 Tính giá trị biểu thức: a4 + b4+ c4, biết rằng a + b + c = 0 và:
a) a2 + b2 + c2 = 2 ; b) a2 + b2 + c2 =1
Bài tập 17 Cho a + b + c = 0 Chứng minh a4 + b4+ c4 bằng mỗi biểu thức:
a)2 ( a2b2 + b2c2 + c2a2 ); b) 2(ab + bc + ca )2; c)
2
) (a2 b2 c2 2
Bài tập 18.Chứng minh các hằng đẳng thức:
a)abc3 a3 b3 c3 3abbcca;
b) a3b3c3 3abcabc a2 b2c2 ab bc ca;
Bài tập 19 Cho a + b + c = 0 chứng minh rằng a3 b3 c3 3abc
Trang 2Bài tập 20 Cho x + y = 0, x y = b tính giá trị của biểu thức sau theo a, b.
Bài tập 21
a)Cho x + y = 1 Tính giá trị của biểu thức: x3 + y3 +3xy;
b)Cho x - y = 1 Tính giá trị của biểu thức: x3 - y3 -3xy;
c)Cho x + y = 2 và x2 + y2 = 10 Tính giá trị của biểu thức: x3 + y3 ;
d) Cho x + y = a và x2 + y2 = b Tính giá trị của biểu thức: x3 + y3 theo a, b
Bài tập 22 Cho a + b = 1 Tính giá trị của biểu thức: A = a3 + b3 +3ab(a2 + b2) + 6 a2b2 (a + b)
Bài tập 23 Cho a + b + c = 0 Tính giá trị của biểu thức: B= a3 + b3 + c(a2 + b2) - abc
Bài tập 24 Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau nếu;
2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
b a c a c b c b
Bài tập 25 Chứng minh rằng nếu a2 + b2 = 2ab thì a = b
Bài tập 25 Chứng minh rằng nếu a2 + b2 = 2ab thì a = b
Bài tập 26 Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c là các số dơng thì a = b = c
Bài tập 27 Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dơng thì a = b = c = d
) ( ) ( ) ( ) )(
)(
Bài tập 29 Cho a2 b2 1, c2 d2 1,acbd 0, chứng minh rằng: abcd 0
Bài tập 30 Cho biết x, y, z # 0, và 2 2 2
2 2 2
2
c b a z y x
cz by ax
.Chứng minh rằng:
z
c y
b x
a
Bài tập 31 Cho biết axbycz 0 tính 2 2 2
2 2
) (
cz by ax
y x ab x
z ca z y bc A
Bài tập 32 Cho biết abc 0, a, b, c # 0 Tính 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b a c
ca a
c b
bc c
b a
ab B
Bài tập 33 Cho biết 1 112; 12 12 12 2
c b a c b
Bài tập 34 Cho biết 0
c
z b
y a
x
z
c y
b x
a
Tính giá trị biểu thức: 2
2 2 2 2 2
z
c y
b x
a
Bài tập 35 Cho (abc) 2 a2 b2 c2 và a, b, c # 0 Chứng minh rằng:
abc c
b a
3 1 1 1
3 3
Bài tập 36 Cho
b
c c
a a
b a
c c
b b
a
chứng minh trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau
Bài tập 37 Cho a, b, c khác nhau đôi một và 111 0
c b
a Rút gọn các biểu thức sau:
a)
ab c
ac b bc
a
M
2
1 2
1 2
1
2 2
2
b)
ab c
ab ac
b
ca bc
a
bc
M
2 2
2
Trang 3c)
ab c
c ac b
b bc
a
a
M
2 2
2 2
2
Bài tập 38 Cho a, b, c là các số đôi một khác nhau và
b
a c a
c b c
b
a
c c
b b
a
1 1
Bài tập 39.Cho a.b c = 1, và
c b a c b
a 1 11.Chứng minh rằng trong ba số a,b,c tồn tại một số bằng 1 Bài tập 40 Chứng minh rằng nếu xyzavà
a z y x
1 1 1 1
thì tồn tại một trong ba số x, y, z bằng a Bài tập 41 Các biểu thức xyzvà
z y x
1 1 1
có thể cùng giá trị bằng 0 đợc hay không
Bài tập 42 Tính giá trị của biểu thức
2
1 2
1 2
1
z y x
Biết rằng: 2abycz, 2baxcz, 2caxby và abc 0
Bài tập 43 a) cho a.b.c = 2 Rút gọn biểu thức:
2 2
2 1
2
c ac
c b
bc
b a
ab
a
b) cho a.b.c = 1 Rút gọn biểu thức:
1 1
1
c ac
c b
bc
b a
ab
a
Bài tập 44 Cho
c b
b a c
a
, a # 0, b # 0, a - b # 0, b - c # 0 Chứng minh rằng:
c c b b a a
1 1 1
1
Bài tập 45 Cho, a # 0, b # 0, c # 0 Rút gọn các biểu thức sau:
a)
ab
c ca
b
bc
a
A
2 2
2
b)
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
b a c
c a
c b
b c
b a
a B
Bài tập 46 Tính giá trị biểu thức sau, biết rằng abc 0
a c
b c b
a b a
c b
a c a
c b c
b
a
Bài tập 47 Chứng minh rằng nếu (a2 bc)(b abc) (b2 ac)(a abc) và các số a, b, c và a – b khác 0 thì
c b a c
b
a 1 11
Bài tập 48 Cho 0 , 0 , 0
z
c y
b x
a z y x c b
Bài tập 49 Cho
x
xz z
yz y
Chứng minh rằng: x = y = z hoặc x2y2z2 = 1
b a
c a c
b c b
a
2 2 2
b a
c a c
b c b
a
b a
c a c
b c b
a
) ( ) ( )
2 2
2 2
2
b a
c a
c
b c
b
a
Bài tập 52 Cho a
x
x 1
.Tính giá trị các biểu thức sau theo a:
a) 2 12
x
x ; b) 3 13
x
x ; c) 4 14
x
x ; d) 5 15
x
Bài tập 53 Cho a, b, c thoả mãn a, b, c # 0, và abbcca 0 Tính
abc
a c c b b a
P( )( )( )
Trang 4Bµi tËp 54 Cho a, b, c tho¶ m·n (ab)(bc)(ca) # 0 vµ
b a
c a c
b c b
a a c
c c b
b b a
a
2 2 2 2 2 2
Chøng minh r»ng: a = b = c
Bµi tËp 55 Cho x, y, z # 0, vµ xyzxyz vµ 1 1 1 3
z y
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 12 12 12
z y x
Bµi tËp 56.Rót gän biÓu thøc
a)
) )(
(
1 )
)(
(
1 )
)(
(
1
b c a c c b a b c a b
a
A
b)
) )(
(
1 )
)(
(
1 )
)(
(
1
b c a c c c b a b b c a b
a
a
B
c)
) )(
( ) )(
( ) )(
ab c
b a b
ac c
a b
a
bc
C
d)
) )(
( ) )(
( ) )(
(
2 2
2
b c a c
c c
b a b
b c
a b
a
a
D