81 cau bat dang thuc 2 so QC

BẤT ĐẲNG THỨC HAI SỐBài 1.. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.. Tìm giá trị lớn nhất của P... Tìm giá trị lớn nhất của x2+y2.

BẤT ĐẲNG THỨC HAI SỐ

Bài 1 Với mọi a b, ta có: a2 +b2 � 2ab; a2 +b2 �- 2ab

Bài 2 Cho a b, >0 Chứng minh rằng

a b a b

1+ �1 4

+

Bài 3 Cho các số thực dương a b, thỏa mãn ab 1=

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (a b ) (a b)

a b

2 2 1 1

+

Bài 4 Cho x> >y 0,xy=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A x y

x y

2+ 2

=

Bài 5 Cho x y, >0 và x3+y3+6xy�8 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

x y

Bài 6 Cho a b, �0 thỏa mãn a b 1+ � Chứng minh rằng a b a2 2( 2 b2) 1

32

Bài 7 Cho biểu thức P =a4+b4- ab Với a b, thỏa mãn a2+b2+ab=3

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P

Bài 8 Cho x y, �0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y (x )(y )

Bài 9 Cho a �� Chứng minh rằng (a ) (a )

2

Bài 10 Cho a b, �0,a b+ =1

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = 7a+ +9 7b+9

Bài 11 Cho a+ b= 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của P =(a- 1) (2+ -b 1)2

Bài 12 Cho x y, >0,x y+ �1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A xy

xy

x2 y2

4

Bài 13 Cho x y, >0 thỏa mãn x

y

8 2

2+ � Tìm giá trị nhỏ nhất của K x y

y x

2

Bài 14 Cho a b, >0,( a+1)( b+ =1) 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của M a b

b a

2 2

Bài 15 Cho a b, �0,a2+b2=2 Chứng minh rằng a b3 + +1 b a3 + +1 3a+2 3b+ �2 9

Bài 16 Cho x y, �0 và x2+y2�2

Tìm giá trị lớn nhất của P = x(14x+10y) + y(14y+10x)

Bài 17 Cho x y, thỏa mãn 0< < �y x 4,x y+ �7 Tìm giá trị lớn nhất của M =x2+y2

Bài 18 Cho x y, thỏa mãn x2+y2- xy=4

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P =x2+y2

Bài 19 Cho a b, >0 thỏa mãn

1 + 1 =2

Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 20 Cho a b, >0 Chứng minh rằng a b b

2 2

2

+ ���+ ��+

�

Bài 21 Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a2+b2=2a b+

Tìm giá trị lớn nhất của P = -a b ab+

Bài 22 Cho a b, >0 Chứng minh rằng a b

a3 b2 b3 a2 a2 b2

Bài 23 Cho 0<a b, <3 Chứng minh rằng a���1+(3- a b- )(1+b)����4

Bài 24 Cho a b, �0 Chứng minh a b+ +2 b a b( + ) � 2 2( a b+ )2+8b2

Bài 25 Cho a b, �0,a b+ =1 Chứng minh rằng 5a+ +4 5b+ �4 5

Bài 26 Cho a b, >0,a b ab+ = Chứng minh rằng ( a )( b )

4

Bài 27 Cho a b, >0,ab=2 Chứng minh rằng

a2 b2

Bài 28 Cho a b, >0 thỏa mãn (a b+ )3+ 4ab� 12

Bài 29 Cho a b, là các số dương thỏa mãn ab=4

Tìm giá trị nhỏ nhất của (a b ) (a b )

P

a b

2 2 2

=

Bài 30 Cho x y, là các số tự nhiên thỏa mãn x y+ =99

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x+ + 1 y+ 1

Bài 31 Cho x y, là các số thực thỏa mãn x2+2y2+2xy=24 5- x- 5y

Tìm giá trị lớn nhất của P =x2+y2- x y- +2xy- 2

Bài 32 Cho a b, >0,ab=1 Chứng minh rằng

( a)2 ( b)2

2

1+ + 1+ �

Bài 33 Cho a b, �0,ab=1 Chứng minh rằng 2(a2+1) + 2(b2+1) �2(a b+ )

Bài 34 Cho a b, >0 và ab 1= Tìm giá trị lớn nhất của P a b

a4 3 b4 3

Bài 35 Cho a b, là các số thực thỏa mãn a2- ab b+ 2= +a b

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = 2020(a b+ )

Bài 36 Cho x y, >1 thỏa mãn x y+ =xy Tìm giá trị nhỏ nhất của P y x

x2 y2

Bài 37 Cho a b, �0 thỏa mãn a 2- b2+b 2- a2 =2

Tìm giá trị nhỏ nhất của P a b

1 1

= + - -

Bài 38 Cho x2+y2= +1 xy x y; , ��

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P =x4+y4- x y2 2.

Bài 39 Cho x y, �� thỏa mãn (x2+y2)3+4x2+y2+6x+ =1 0

Tìm giá trị lớn nhất của x2+y2

Bài 40 Cho x y, �� thỏa mãn x2+xy y- 2=3

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A =x2- xy y+ 2

Bài 41 Cho x y, là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện x y+ =2020

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =x x( 2+y)+y y( 2+x)

Bài 42 Cho x y, �� thỏa mãn x2+y2=1

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của M =y2 + 3xy

Bài 43 Cho x y, �� thỏa mãn x2+y2- xy=4

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A =x2+y2

Bài 44 Cho các số thực x y, thỏa mãn xy x y+ + =15

Tìm giá trị nhỏ nhất của A =x2+y2

Bài 45 Cho các số thực x y, thỏa mãn x y+ + =4 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =2(x3+y3) (+3 x2+y2) +10xy

Bài 46 Cho x y, >0,xy=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x y

x y

1

+ +

Bài 47 Cho hai số thực x y, thỏa mãn x2+y2=xy x y+ +

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = +x y

Bài 48 Chứng minh rằng với mọi a b, ta có: a2 b2 ab 2020(a b)2

2 2021

Bài 49 Cho a>1,b>1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P a b

Bài 50 Cho a b, >0 Chứng minh rằng 2021(b2+2020a2) � +(b 2020a)2

Bài 51 Cho a b, >0,ab=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của (a b ) (a b )

P

a b

2 2 1

=

Bài 52 Cho a b, >0 thỏa mãn a+ +1 b+ =1 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a2 +ab b+ 2

Bài 53 Cho x y, thỏa mãn x y+ =2 Tìm giá trị lớn nhất của P =x y xy3 + 3

Bài 54 Cho x y, là hai số thực thỏa mãn điều kiện (x+ x2+9)(y+ y2+9) =9 Tìm giá trị nhỏ nhất của P =2x4- y4+6xy+8y2- 10x- 2y+2024

Bài 55 Cho các số không âm x y, thỏa mãn x2+y2=2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P xy

x y

1

+

Bài 56 Cho hai số dương x y, thay đổi thỏa mãn x y- �1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

x y

Bài 57 Cho hai số thực không âm thỏa mãn 2ab+ �1 2a

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b

a2 b2

+

=

Bài 58 Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2a+ 2b ab+ = 12

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =a2+b2

Bài 59 Cho các số thực không âm a b, thỏa mãn a b 1

2 + = Tìm giá trị lớn nhất của P =a3+ -b3 a4- b4

Bài 60 Cho x y, �� thỏa mãn x2 +y2 = 1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức x x( y)

P

xy y2

1 2 2

+

=

Bài 61 Cho 1 x y, 2

4� � và x y+ =4xy Tìm giá trị lớn nhất của P =(x y- )2- 2(x+y)

Bài 62 Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x+ =y 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x y

=��+ �+��+ �

Bài 63 Cho các số thực x y, thay đổi thỏa mãn điều kiện 1 � � �x y 5

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P =2(x2+y2) +4(x y xy- - )+7

Bài 64 Cho a b, >0 thỏa mãn a b 6+ � Tìm giá trị nhỏ nhất của P a b

Bài 65 Cho x y, >0,x y+ =4 Tìm giá trị nhỏ nhất của A xy

xy

20

Bài 66 Cho a b, >0,a b+ =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

ab a2 ab b2

Bài 67 Cho x y, >0,xy=12 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

x y x y

3

= + +

+

Bài 68 Cho x y, >0 thỏa mãn 4x2+4y2+17xy+5x+5y�1

Tìm giá trị nhỏ nhất của P =17x2+17y2+16xy

(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 2019 - 2020)

Bài 69 Cho a b, >0 thỏa mãn 2 2� a+3b�5 và 8a+12b�2a2+3b2+5ab+10

Chứng minh rằng 3a2+8b2+10ab�21

(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 2020 - 2021)

Bài 70 Cho x y, �� thỏa mãn x�3,x y+ �5 Tìm giá trị nhỏ nhất của P =x2+y2

Bài 71 Cho x y, >0,xy+ �1 x Tìm giá trị lớn nhất của Q x y

x2 xy y2 3

+

=

Bài 72 Cho x y, �� thỏa mãn x y

x

2 2

2

1

4

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P =xy

(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2020 - 2021)

Bài 73 Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x+ �y 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x y x y

x y

2

(ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Quảng Ninh, năm học 2020 - 2021)

Bài 74 Cho x y, >0 thỏa mãn

1

4 +2+2 +1� Tìm giá trị nhỏ nhất của T

Bài 75 Cho x y, >0,x y+ = 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của A =(x4+1)(y4+1)

(ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Bình Định, năm học 2020 - 2021)

Bài 76 Cho x y, >0 và x y 7

2

+ � Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y

x y

(ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Khánh Hòa, năm học 2020 - 2021)

Bài 77 Cho a b, >0 thỏa mãn a a( - 1)+b b( - 1) =ab

Tìm giá trị nhỏ nhất của F a b

3+2020 3+2020

Bài 78 Cho a b, >0 thỏa mãn a b+ �3 Tìm giá trị nhỏ nhất của Q b a

a b

20 7

(ĐTTS vào lớp 10 THPT TP Hồ Chí Minh, năm học 2020 - 2021)

Bài 79 Cho x y, >0,x y+ =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y

6

=��� + ��� + ��

(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Cao Bằng, năm học 2020 - 2021)

Bài 80 Cho a b, >0,2a+3b=4 Tìm giá trị nhỏ nhất của Q a b

2002 2017 2996 5501

(ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Điện Biên, năm học 2020 - 2021)

Bài 81 Cho các số thực dương a b, sao cho ab �1 b Tìm GTNN của 2

2

    .