Đối tượng phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: tôpô Zariski và các tập bất khả quy trên n
- Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu tập bất khả quy và không gian bất khả quy trên n
Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu những tính chất cơ bản của tập bất khả quy và không gian bất
- Nghiên cứu một số ứng dụng của tập bất khả quy và không gian bất khả quy đối với tôpô Zariski.
Phương pháp nghiên cứu
- Công cụ của đại số như nhóm, vành, iđêan
Dự kiến đóng góp
- Trình bày hệ thống các vấn đề nói trên chú trọng đến các tính chất, ví dụ bài toán trên không gian tôpô bất khả quy
Bài viết này tập trung vào việc mở rộng và khái quát các kết quả cũng như tính chất mới liên quan đến không gian tôpô Zariski, tập đại số bất khả quy và không gian tôpô bất khả quy Những nghiên cứu này nhằm làm sáng tỏ mối liên hệ giữa các khái niệm này, đồng thời cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấu trúc và đặc điểm của các không gian tôpô trong lý thuyết đại số.
Kết cấu luận văn
Tên đề tài: “ Không gian tôpô bất khả quy”
Luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Nội dung chương này trình bày hệ thống định nghĩa, tính chất, ví dụ về iđêan nguyên tố, iđêan căn, tập đại số và iđêan của tập đại số
Chương 2: Không gian tôpô bất khả quy
Chương này trình bày nội dung chính của luận văn, bao gồm định nghĩa và khái niệm về không gian tôpô Zariski, cũng như các tính chất của tập đại số bất khả quy và không gian tôpô bất khả quy.
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Iđêan nguyên tố của A
Iđêan I của vành A gọi là iđêan nguyên tố nếu fg I thì hoặc f I hoặc g I
1/ Iđêan 0 của vành đa thức X trên trường là iđêan nguyên tố;
2/ I x A x là một iđêan nguyên tố của A ; ( I x là iđêan sinh bởi x) Thật vậy: f g I với f g , x Khi đó, f hoặc g chia hết cho x nên f I hoặc g I
1.1.3 Mệnh đề [2] i/ f A f , bất khả quy Khi đó I f , I là iđêan nguyên tố; ii/ I là iđêan nguyên tố trong A X Khi đó, I là iđêan cực đại
(iđêan I được gọi là cực đại nếu I không bị chứa trong một iđêan thực nào
Chứng minh i/ Giả sử ,g hA và g hI Ta có g h chia hết cho f
Do f bất khả quy nên gchia hết cho f hoặc h chia hết cho f Vậy gI hoặc h I ii/ Để chứng minh (ii) ta cần sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề: Giả sử Ilà iđêan trong A x Khi đó I f , f A
Thật vậy: Ta xét f là đa thức bậc bé nhất trong I
Khi đó: g I g f h r , deg r deg f r g fh I
Do f bậc bé nhất nên r0 Do đó g f h
Bây giờ: Ta sử dụng bổ đề trên để chứng minh (ii)
Giả sử có iđêan J trong Avới J I I, J
Vậy Ilà iđêan cực đại
Giả sử I là iđêan trong A x 1, , x n
Ta kí hiệu V I P P | iđêan thực sự nguyên tố chứa I ;
V I S P A j là tập chỉ số bất kì
Giả sử I 1 P và I 2 P Khi đó f I f 1 ; P và gI g 2 , P Nhưng f g I I 1 2
f P hoặc gP (Do Pnguyên tố), (Điều này mâu thuẫn) Vậy P chứa I 1 hoặc I 2 Do đó P V I 1 V I 2 ii/ Ta đặt j j
I Khi đó là iđêan trong A
Giả sử I là iđêan cực đại của A Khi đó Ilà iđêan nguyên tố
Giả sử f g, I Ta xét iđêan J I f,
Vậy f I hoặc gI nên là I iđêan nguyên tố
1.1.6 Nhận xét i/ Nếu I 0 thì V I S P A , (vì mọi iđêan nguyên tố đều chứa 0); ii/ Nếu Ilà iđêan cực đại trong A thì V I I
Iđêan cực đại được định nghĩa là iđêan nguyên tố Nếu I = A, thì V(I) = ∅ vì không tồn tại iđêan thực sự nào chứa A, và không có iđêan nguyên tố nào lớn hơn chứa nó vì I = J Giả sử I₁ và I₂ là hai iđêan trong A với I₁ ⊆ I₂, thì V(I₁) ⊇ V(I₂).
Giả sử I x 4 1 x Khi đó, nếu P V I thì P g , x 4 1 chia hết cho g Do đó: V I P 1 x 2 1 ; P 2 x 1 ; P 3 x 1
Khi đó Ilà iđêan nguyên tố khi và chỉ khi f bất khả quy
Điều kiện cần: Giả thiết I f là một iđêan nguyên tố và giả sử f không bất khả quy thì f f f f f 1 ; , 2 1 2 A và deg f 1 < deg f 2
Điều kiện đủ: Giả thiết f bất khả quy và I f
Khi đó: g g 1 2 f h g g 1 2 chia hết cho f Do f bất khả quy nên g 1 chia hết cho f hoặc g 2 chia hết cho f Vậy I là iđêan nguyên tố.
Iđêan căn của A
1.2.1 Định nghĩa i Giả sử I là iđêan của A Tập hợp I f A | m f , m I được gọi là iđêan căn của I; ii Nếu I I thì Iđược gọi là iđêan căn
1.2.3 Nhận xét [2] i/ I I ii/ I 1 I 2 thì I 1 I 2 iii/ I I
Từ nhận xét (i) ta có I I
Giả sử I là iđêan của A Khi đó: i/ I là iđêan của A ii/ Nếu I là iđêan nguyên tố thì I là iđêan căn
Vậy I là iđêan của A ii/ Giả sử Ilà iđêan nguyên tố Ta chứng minh I I
Tiếp tục như vậy m-1 lần ta được xI (mâu thuẫn)
Vậy Ilà iđêan nguyên tố thì Ilà iđêan căn
Giả sử I J là các iđêan trong , A Khi đó: i/ IJ I J ; ii/ I J I J
x IJ số tự nhiên m1sao cho x m IJ
hai số tự nhiên m 1 1 và m 2 1 sao cho
Từ (1) và (2), ta suy ra IJ I J
I là iđêan căn Khi đó, I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I không phân tích được thành giao của hai iđêan căn thực sự lớn hơn I
Điều kiện cần: I là iđêan nguyên tố và I J 1 J 2
Mặt khác, do Ilà iđêan nguyên tố, nên J 1 I(hoặc J 2 I )
Như vậy Ikhông là giao của hai iđêan căn thực sự lớn hơn I
Điều kiện đủ: Giả thiết Ilà iđêan căn nhưng không phải là iđêan nguyên tố
Mặt khác, theo giả thiết Ilà iđêan căn
Tập đại số trong n
Một tập con V n gọi là tập đại số nếu V là nghiệm của một hệ S các đa thức trong x
Ta kí hiệu tập nghiệm của đa thức f là V Z S a n f a 0, f S
1) Với f a a; R a; 0 Ta suy ra phương trình f 0
Do đó Z f Vậy là tập đại số
2) Với f 0có nghiệm với a n , nên Z f n Vậy n là tập đại số
Ta suy ra a 2; 1;6 là tập đại số
Tổng quát: Hệ phương trình
Vậy tập 1 điểm a a a 1, 2, ,a n là một tập đại số n
4) Ta xét hệ phương trình tuyến tính:
Vậy V Z S là tập đại số ( V là nghiệm của hệ phương trình (*))
Nó là một parabol trong 2
Vậy parabol trong 2 là một tập đại số
1.3.3 Nhận xét [2] i/ Nếu S S 1, 2 x mà S 1 S 2 thì Z S 2 Z S 1
Tập A của tập số thực được coi là một tập đại số khi và chỉ khi nó rỗng, chứa toàn bộ các số thực, hoặc là một tập hữu hạn các phần tử.
Thật vậy: Vì tập nghiệm của 1 đa thức một biến f x sẽ là một trong ba loại:
1.3.4 Mệnh đề [7] i/ Hợp của 2 tập đại số là một tập đại số ii/ Giao của 2 tập đại số là một tập đại số
Giả sử A và B là tập đại số trong n
Khi đó có tập S S 1 , 2 trong x 1, ,x n sao cho A Z S 1 ;B Z S 2 i/ Ta có: A B Z S , với S f g f S g 1, S 2
x A B Z S A B ii/ Ta cần chứng minh A B Z S 1S 2
Cho S là một hệ đa thức trong X và I là iđêan của X sinh bởi đa thức S Khi đó Z I Z S
Iđêan của tập đại số
Giả sử V là một tập đại số n
Khi đó I V f X | f a 0, a V được gọi là iđêan của tập đại số
Khi đó: I V f x ( ) x 1 là iđêan của V
1.4.3 Mệnh đề [2] i/ Giả sử V là một tập đại số trong n thì I V là một iđêan lớn nhất nhận V làm nghiệm ii/ I V là iđêan căn
Giả sử có iđêan Jtrong X nhận V làm nghiệm
Vậy I V là một iđêan lớn nhất nhận V làm nghiệm ii/ Ta cần chứng minh I v I v
Thật vậy, ta luôn có I v I v
Lấy phần tử bất kỳ f I v thì f m I v với m 0 nào đó Ta suy ra: f m ( ) a 0 với a V m , 0 f a ( ) 0 với a V
Cho V, W là tập đại số của R n Khi đó:
1/ I w I v : Lấy phần tử bất kỳ f I w thì f a ( ) 0 với a W
2/ Để chứng minh I v I w I v w ta sẽ chứng minh I v I w I v w và I v I w I v w
Ta có: V V W và W V W Do đó I v I v w và I w I v w
Nếu V W , Lấy phần tử bất kỳ f I v I w thì f g h với g I h v , I w
KHÔNG GIAN TÔ PÔ BẤT KHẢ QUY
Chương này trình bày nội dung chính của luận văn, bao gồm định nghĩa và khái niệm về không gian tôpô Zariski, cũng như các tính chất của tập đại số bất khả quy và không gian tôpô bất khả quy.
2.1 Không gian Tô Pô Zariski trên n
Trong mục này, ta ký hiệu: T Z U k A A n là tập đại số n
2.1.1 Mệnh đề [4] T Z là một Tôpô trên n
Vì ∅ ; n là các tập đại số trên n nên U n \ n T z và
Giả sử U i n \ A i với A i i , I là các tập đại số trên n
là một tập đại số nên z i I
Gỉả sử U U 1 , 2 T U z ; 1 n A U 1 , 2 n A 2 Trong đó A A 1 , 2 là các tập đại số trên n Ta có:
Do A A 1 , 2 là các tập đại số trên n nên A 1 A 2 là tập đại số trên n
Tôpô Zariski trên n, ký hiệu là T z, cùng với Tôpô Zariski T z, tạo thành không gian Tôpô Zariski n Trong không gian này, tập U i thuộc T Z được định nghĩa là một tập mở Zariski, trong khi mỗi tập đại số A i được xem là một tập đóng Zariski.
1 Tôpô Zariski T z trên gồm các tập hợp có dạng U \ ; A
Trong đó A ; A hay A là tập hữu hạn điểm
2 Tập hợp U 2 / A , với A ( , x x 2 ) x , là tập mở trong không gian tôpô
Cho không gian Tôpô ( 2 , T z ) Ta ký hiệu:
Khi đó: D f ( ) f X là cơ sở của T z trên n
Với f 1 thì Z f ( ) , Do đó D f ( ) n Vì vậy
Giả sử U T z , thế thì U có dạng U R n \ ( ); Z S Trong đó S là hệ đa thức trong X Vì vành đa thức X là vành Noether nên iđêan S là iđêan hữu hạn sinh
Giả sử f 1 , , f m là hệ sinh hữu hạn của iđêan S Ta có:
Như vậy, mỗi tập mở U theo Tôpô Zariski T z trong n là hợp (hữu hạn) các tập trong
Giả sử f g , 0là các đa thức trong x Ta có Z f ( ) Z g ( ) Z f g ( ) n
Do f g 0 Từ đó suy ra
2.1.6 Nhận xét i/ n ; T z là không gian liên thông ( vì theo mệnh đề (2.1.5) thì n không thể phân tách được thành hợp của hai tập mở rời nhau) ii/ Với tập U là tập mở trong n theo Tôpô Zariski T z thì U trù mật trong n (vì với ∀x ∈ n , ta luôn có U x ∩ U = ∅ )
Mọi tập con trong không gian Tôpô Zariski ( n ;T Z ) đều là tập compact
Giả sử A là một tập con của không gian Tôpô ( n ; TZ) và họ {Ui= D(fi)}i∈M
(M là tập chỉ số) phủ A ta có :
Gọi I là iđêan trong R[x] sinh bởi {fi}i∈M Do vành đa thức R[x] là vành Noether nên iđêan hữu hạn sinh Không mất tính tổng quát, ta giả sử I f 1 , , f h Khi đó ta có:
Như vậy trong phủ {Ui}i∈M có phủ hữu hạn {U 1,…., U h } phủ
Cho V ≠ ∅ là một tập con của không gian Tôpô ( n , T z ) Khi đó: i/ V Z I ( ) v ii/ I V I v
Chứng minh: i/ Ta có Z( I V ) ={a ∈ n | f(a) = 0 ; với mọi f ∈ I V }
Ngược lại, giả sử V Z s ( ), thế thì với mọi f ∈ s ta có f a ( ) 0với mọi a V
Từ đó suy ra với mọi f ∈ S ta có f a ( ) 0 với mọi a ∈ V Điều đó có nghĩa là S I V
Do đó, V Z S ( ) Z I ( ) v ii/ Do V V nên ta có I V I V
Ngược lại, giả sử f ∈ I V ; Thế thì từ V Z I ( ) v ta có f a ( ) 0với mọi a V
2.1.9 Nhận xét i/ Không gian Tôpô Zariski ( n , T Z )là T 1 không gian
Giả sử a ( , , a 1 a 2 ) R n Khi đó a là nghiệm của hệ đa thức
Do đó tập a là tập đóng trong n Vậy ( n ; TZ) là T1 _ không gian ii/ Không gian Tôpô Zanski ( n , TZ ) không là T2_ không gian
Giả sử Y là tập con bất kỳ trong n Khi đó Z(I Y ) = Y
Rõ ràng Y Z( IY) , do đó Vì vậy Y Z I ( ) Y
Ngược lại, giả sử Y đóng chứa Y Thế thì Y Z I ( ) với I là iđêan nào đó trong [X]
Như vậy Z I ( ) Y Do đó I Z I ( ) I Y , suy ra I I Y do I I Z I ( )
2.2 Tập đại số bất khả quy
Tập đại số V trong n được gọi là tập đại số bất khả quy nếu không thể phân tích nó thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thực sự.
, với V V 1 , 2 là các tập đại số
V là tập nghiệm của họ n đa thức { f 1 x 1 a f 1 ; 2 x 2 a 2 ; ; f n x n a n } nên V là tập đại số
Vậy tập 1 điểm là tập đại số bất khả quy
Mặt khác không có f 1 , f 2 để f 1 f 2 = f ( vì f là đa thức bậc nhất)
Vậy đường thẳng là tập đại số bất khả quy
3 Toàn bộ R n là tập đại số bất khả quy
Suy ra Z (f ) 1 không là con đóng thực sự của Z (f), Z (f ) 2 không là con đóng thực sự của Z (f)
4 Ta xét trong R 2 và Z f ( xy ) Suy ra: Z Z f 1 ( 1 x ) Z f ( 2 y )
Vậy Z là tập đại số không bất khả quy
Tập đại số V là bất khả quy khi và chỉ khi I V là iđêan nguyên tố
Chứng minh Nếu V bất khả quy mà IV không nguyên tố thì I v I 1 I 2 với I1 và I2 là 2 iđêan thực sự lớn hơn I Khi đó V Z I ( ) v Z I ( 1 I 2 ) Z I ( ) 1 Z I ( ) 2 Vì vậy
, mâu thuẩn Đảo lại, giả sử V không bất khả quy thì V = V1 V2 với V1 , V2 là 2 tập đại số thực sự bé hơn V
Khi IV1 và IV2 là hai iđêan lớn hơn IV, tồn tại các phần tử f thuộc IV1 nhưng không thuộc IV, và g thuộc IV2 nhưng không thuộc IV Do đó, tích fg thuộc IV1 và IV2, dẫn đến IV không thể là iđêan nguyên tố.
Không phải iđêan nguyên tố nào trong R[x] cũng là iđêan của một tập đại số bất khả quy
Thật vây: Iđêan I nguyên tố chứa f x 2 1 thì Z I
Mọi tập đại số V có thể được phân tích thành hợp của một số hữu hạn các tập bất khả quy không bao hàm nhau Các tập bất khả quy này được xác định một cách duy nhất và chính là các tập bất khả quy tối đại trong V.
Do V là tập đại số nên iđêan I V là iđêan căn của vành đa thức R[x]
Trong đó I 1 , I 2 , …., I r là các iđêan nguyên tố tối tiêu chuẩn chưa I V không bao hàm nhau Đặt V j Z I ( ); j j 1, , k
Thì V j là các tập đại số Với tập đại số V ta có:
Vì I I V 1 V 2 I Vr I 1 nên tồn tại iđêan I V 1 I 1
Tính cực tiểu của iđêan nguyển tố I 1 dẫn đến j=1 và I V 1 I 1
Tương tự ta có I Vj I j với mọi j=2, … ,k
Vậy V 1 , V 2 , … , V k là các tập bất khả quy Vì các iđêan I 1 , I 2 , …, I k không bao hàm nhau và là các iđêan nguyên tố cực tiểu của I V nên các tập V 1 , V 2 , …, V k không bao hàm nhau và là các tập bất khả quy tối đại trong V
Tính duy nhất của sự phân tích
Giả sử V có sự phân tích khác thành hợp của hữu hạn các tập bất khả quy không bao hàm nhau
Trong đó U 1 , U 2 , … , U s là các tập đại số bất khả quy, tới đại, không bao hàm nhau Khi đó:
Do các U i bất khả quy nên các iđêan I U i là các iđêan nguyên tố Vì vậy:
Là sự phân tích iđêan căn I V thành giao của các iđêan nguyên tố không bao hàm nhau
Ta có các iđêan nguyên tố I 1 , I 2 , …, I k và tập bất khả quy U 1 , U 2 , …, U k phải là V 1 , V 2 , …, V k
Các tập bất khả quy tối đại trong tập đại số V được gọi là thành phần bất khả quy của V
2.3 Không gian tô pô bất khả quy
Trong bài viết này, chúng ta sẽ ký hiệu M là một không gian tôpô tùy ý và n là không gian tôpô Zariski Các không gian con trong M (hoặc trong n) đều mang tôpô cảm sinh từ tôpô của M (hoặc từ tôpô Zariski T_Z).
Giả sử Y là một tập con khác rỗng của không gian tôpô M Tập Y được gọi là bất khả quy nếu không thể biểu diễn Y dưới dạng hợp của hai tập con thực sự đóng trong chính Y.
Nếu Y = ∅ , ta quy ước Y bất khả quy
Khái niệm tập bất khả quy là sự mở rộng của khái niệm tập đại số bất khả quy
1 Trong không gian tôpô với tôpô tự nhiên thì tập con Y = [a, b], với a ≠ b, không là tập bất khả quy ( vì a b , a c , c b , ; a c b )
2 Trong không gian tôpô với tôpô Zariski T Z thì tập con Y = {1,2,3} không là tập bất khả quy ( vì Y 1 2 3 )
3 Tập con thực sự bất khả quy trong không gian tôpô Zariski ( , T Z ) là những tập chỉ gồm một điểm
4 Tập n là tập bất khả quy Thật vậy, giả sử n không bất khả quy, thế thì n Y 1 Y 2 , trong đó
Do I I 1 2 ≠ {0} nên Z(I 1 I 2) ≠ n , điều này mâu thuẫn Vậy n bất khả quy
Không gian Tôpô M được gọi là không gian Noether nếu mọi dãy các tập đóng lồng nhau: Y 1 Y 2 Y r , đều dừng, nghĩa là tồn tại i để Y i = Y i+1 = …
Không gian tôpô n là không gian Noether Thật vậy, giả sử ta có dãy các tập đóng bằng nhau
Trong đó Y j = Z(I j ) Thế thì ta có dãy các tập đóng lồng nhau
Từ đó ta có dãy các iđêan trong R[x] :
Do R[x] là vành Noether nên dãy tang các iđêan này dừng, nghĩa là có i để
Giả sử M là không gian Tôpô Noether và Y là một tập đóng không rỗng trong M Khi đó, Y có thể được phân tích thành hợp của một số hữu hạn các tập đóng bất khả quy.
Nếu ta yêu cầu Y i Y j với i j thì sự phân tích đó là duy nhất
Trước hết ta chứng minh được của Y
Nếu Y bất khả quy thì Y=Y
Nếu Y không bất khả quy thì Y= Y 1 ∪ Y 2 , với Y 1 , Y 2 đóng trong Y và do đó
Do M là không gian tôpô Noether nên dãy này dừng ở I
Ta tiếp tục phân tích các tập đóng còn lại trong Y ( chỉ có hữu hạn tập đóng còn lại) Cuối cùng ta biểu diễn:
Trong đó Y j là các tập đóng bất khả quy trong Y
Bây giờ ta giả sử Y có sự phân tích thứ hai
Với Y i ≠Y j với ∀ i≠j ; Y m ' Y l ' với m≠l Ta có:
Do Y 1 ' bất khả quy nên có chỉ số j nào đó để Y 1 ' Y 1 ' Y j
Do đó Y 1 ' Y j Không mất tính tổng quát, giả sử j =1
Tiếp tục chứng minh giống như trên, ta cũng có Y 2 Y 2 ' , cuối cùng ta có r=s và Y i Y i ' với i 1, 2, , r
Giả sử U là tập mở khác rỗng trong n Khi đó U là tập bất khả quy trong n
Giả sử U không bất khả quy trong n Khi đó U= U 1 ∪ U 2 với U 1 , U 2 là các tập đóng trong U
Giả sử U 1 U 1 U , U 2 U 2 U , trong đó U 1 , U 2 là các tập đóng trong n và do đó U 1 U 2 là các tập đóng trong n
Từ đó suy ra n \ ( U 1 U 2 ) là tập mở không chứa U, ( do U U 1 U 2 )
Vì hai tập mở n \ ( U 1 U 2 ) và U có giao với nhau, điều này mâu thuẫn
Mỗi tập đóng không thể quy trong không gian tôpô n được gọi là đa tạp afin Đối với đa tạp afin với tôpô cảm sinh, một tập mở được gọi là đa tạp tựa afin.
Mỗi điểm x ( , T Z ), đường thẳng a ( 2 , T Z ) đều là đa tạp afin
Mọi phẳng trong n đều là đa tạp afin
Giả sử A là một phẳng trong n xác định bởi hệ phương trình tuyến tính trên
Ta đổi sang hệ tọa độ (y 1 , … , y n ) với
Khi đó A xác định bởi hệ phương trình
Tập A đóng vì A Z y ( 1 , , y m ) Z I ( ) với I y 1 , , y m Để chứng minh A bất khả quy ta cần chứng minh I là iđêan nguyên tố Thật vây, giả sử f.g∈ I, trong đó:
Suy ra fo(ym+1, …, yn) go(ym+1, … , yn) = 0, với mọi (y m+1 , … , y n )
Do đó f o g o = 0 Vì vậy f o = 0 hoặc g o = 0 Điều này có nghĩa là f ∈ I hoặc g ∈ I
Vậy I là iđêan nguyên tố, do A bất khả quy.