Phép co rút biến dạng và nhóm cơ bản của không gian tôpô

Tuy nhiên nhờ có Tôpô đại số cụ thể bằng cách chỉ ra các nhóm cơ bản của chúng không đẳng cấu chúng ta có thể giải quyết vấn đềnày một cách khá đơn giản.. Đề tài luận văn đã tập trung ng

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGÀNH CỬ NHÂN KHOA HỌC TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN DUY BÌNH SINH VIÊN THỰC HIỆN: PHẠM THI THANH HOA

LỚP: 47B - TOÁN

VINH Á 2010

MỤC LỤC

Lời nói đầu

Tôpô đại số ra là bộ môn liên quan chặt chẽ đến hai lĩnh vực quan trọng củatoán học đó là Đại số hiện đại và Tôpô Bộ môn này vừa đợc nghiên cứu nh mộtngành độc lập vừa đợc xem nh là công cụ để giải quyết nhiều vấn đề của toán họchiện đại Vì vậy Tôpô đại số mang lại rất nhiều lợi ích trong toán học Chẳng hạnviệc chứng minh hai không gian không đồng phôi điều này quả không dễ dàng nếuchúng ta chứng minh trực tiếp Tuy nhiên nhờ có Tôpô đại số cụ thể bằng cách chỉ

ra các nhóm cơ bản của chúng không đẳng cấu chúng ta có thể giải quyết vấn đềnày một cách khá đơn giản Nhiều ví dụ tính nhóm cơ bản của các không gian tôpôriêng lẻ và tính nhóm cơ bản của các không gian có mối quan hệ đặc biệt với nhau,

để khi biết dợc nhóm cơ bản của không gian này thì ta có thể suy ra nhóm cơ bảncủa không gian kia Đề tài luận văn đã tập trung nghiên cứu một cách có hệ thốngcái co rút biến dạng và nhóm cơ bản của không gian tôpô

Luận văn đựoc chia làm 3 phần:

Đ 1: Nêu lên các khái niệm cơ bản về đồng luân, ánh xạ đồng luân, hai

không gian tơng đơng đồng luân, không gian co rút đợc và một số ví dụ , tính chấtcủa chúng

Đ 2: Nêu lên đợc khái niệm ánh xạ co rút, phép co rút, phép co rút biến

dạng, cái co rút và cái co rút biến dạng của không gian tôpô

Đ 3: Xây dựng nhóm cơ bản của một không gian, và tính nhóm cơ bản của

một số không gian có quan hệ đặc biệt với nhau(không gian co rút đợc, cái co rútbiến dạng của một không gian )

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại Học Vinh

d-ới sự hớng dẫn của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này tôi xin bày

tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, cảm ơn các thầy cô trong tổ hình đã giảng dạy

và chỉ dẫn các vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm

ơn tới các thầy cô giảng dạy tại khoa Toán, Ban Giám Hiệu trờng Đại Học Vinh.Bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Mặc dầu đã có nhiều cố gắng trong học tập, trình bày và in ấn nhng chắcchắn khoá luận không thể tránh khỏi những sai sót Tác giả rất mong nhận đợc sựgóp ý chỉ bảo của thầy cô và bạn bè.

Vinh, ngày tháng năm 2010

Giả sử f ~ g bởi phép đồng luân F, ta có g ~ f bởi phép đồng luân E xác

Giả sử f ~ g bởi phép đồng luân F và g ~ f bởi phép đồng luân E Khi đó ta

có f ~ h bởi phép đồng luân H xác định bởi:

1 ), 1 2 , (

2

1 0

), 2 , (

t t

x E

t t x F

Cho ánh xạ liên tục f : X → Y f đợc gọi là tơng đơng đồng luân nếu tồn tại

ánh xạ liên tục g : Y → X sao cho gf ~1x và fg ~ 1y khi đó g đợc gọi là ánh xạ

ng-ợc đồng luân của f

Nếu tồn tại tơng đơng đồng luân f : X → Y thì không gian X và không gian

Y đợc gọi là tơng đơng đồng luân hay X và Y có cùng kiểu đồng luân

ánh xạ f : X → Y là tơng đơng đồng luân và f′ đồng luân với f thì f′ làtơng đơng đồng luân.

thật vậy vì f : X → Y là tơng đơng đồng luân nên tồn tại ánh xạ liên tục

- f : X → Y là một tơng đơng đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ

g, h : Y→X sao cho fg ~ 1 và hf ~ 1 Thật vậy ta có fg ~ 1x ⇒ hfg ~h

và hf ~ 1y ⇒ hfg ~ g

nên g ~ h ⇒ fg ~ fh ~ 1x mà hf ~1y

vậy f là tơng đơng đồng luân

- f là tơng đơng đồng luân nếu fg và hf là tơng đơng đồng luân

vì fg là tơng đơng đồng luân từ Y → Y ⇒ ∃ p : Y → Y sao cho

Do đó X là không gian co rút đợc về một điểm x0 thuộc X.

1.3.3 Định lý ( tiêu chuẩn không gian co rút đợc ).

Không gian tôpô X đợc gọi là co rút đợc khi và chỉ khi X có kiểu đồng luân

của không gian một điểm.

X tơng đơng đồng luân với không gian một điểm thì X co rút đợc Thật vậy

X có kiểu đồng luân của không gian một điểm tức là tồn tại ánh xạ

f : X →{a} và g : {a} → X sao cho gf ~ 1x và fg ~ 1{ }a Đặt g(a) = x0 , x0 ∈ X ta

2 F(x,t)=

1 E(g(x),2 - 2t) t 1

Vậy X là cái co rút được

+ (⇒) X là cái co rút được ⇒∀ f : X → Y, Y tuỳ ý là đồng luân 0, ta có

H(x, 0) = f(F(x, 0)) = f(x)

H(x, 1) = f(F(x, 1)) = f(xo) = εy0 ( )x

- X là cỏi co rỳt được khi và chỉ khi với mỗi ỏnh xạ f: Y → X là đồng luõn 0.(⇐) Y tuỳ ý, lấy f = i : X → X

⇒ 1X : εx ovậy X là cỏi co rỳt được

(⇒) X là cỏi co rỳt được → ∃ f : Y → X là đồng luõn ỏnh xạ hằng (tương tự mệnh đề 1.3.4).

⇒ f ~ h(áp dụng 1.3.4)

Vậy h là tơng đơng đồng luân(áp dụng 1.2.4)

Đ 2: PHẫP CO RÚT BIẾN DẠNG

2.1 Ánh xạ co rỳt

2.1.1 Định nghĩa

Cho khụng gian X và A ⊂ X Ánh xạ liờn tục r : X → A sao cho r(a) = a

∀ a ∈A được gọi là ỏnh xạ co rỳt X về A và A được gọi là cỏi co rỳt của X

Ta cú ỏnh xạ liờn tục r : X → A là ỏnh xạ co rỳt ⇔ r.i = 1A (i: A → X là

ỏnh xạ bao hàm tức là biến mọi điểm thành chớnh nú) Khi r.i : 1A thỡ ỏnh xạ

r : X → A được gọi là ỏnh xạ co rỳt yếu

2.1.2 Vớ dụ

2.1.2.1 Xột X là khụng gian Ơclit 2 chiều và A là 1 đường thẳng trong X Khi

đú phộp chiếu vuụng gúc r từ X lờn A là ỏnh xạ co rỳt

2.1.2.2 Cho X = {(x, y), 0 ≤ x ≤ 1; 0≤ ≤y 1}

Y = {(x, y), x = 0; 1

2; 1; 0 ≤ y ≤ 1} → { y = 0; 0 ≤ ≤x 1}

∃ r : X → Y là co rỳt yếu ⇒ Y là tập co rỳt yếu của X.

Thật vậy X là tập lồi trong không gian ơclit nên X là không gian co rỳt được.xột ỏnh xạ h : X → Y là tương đương đồng luõn

ta cú 1Y : h(x) bởi F1 = (1 – t)x + t h(x)

h(x) : εxo bởi F2 = (1 – t)h(x) + t h(xo) ⇒ 1Y : εx0

⇒ Y là không gian co rút đợc

⇒ X, Y là không gian co rút đợc

ánh xạ i : Y → X là tương đương đồng luõn (áp dụng 1.3.6)

ánh xạ liờn tục r : X → Y là ngợc đồng luân của i thỏa mãn roi : 1Y

⇒ r là ỏnh xạ co rỳt yếu ⇒ Y là tập co rỳt yếu của X.

2.1.3 Nhận xột

Một ỏnh xạ là ỏnh xạ co rỳt thỡ ta suy ra nú là ỏnh xạ co rỳt yếu nhưng điều ngược lại khụng đỳng tức là ỏnh xạ co rỳt yếu chưa chắc đó là ỏnh xạ co rỳt.

Chẳng hạn ta xét A là tập con lồi trong không gian Rn nhiÒu h¬n 1 phÇn tö

2.2.2.1 Mỗi không gian X là cái co rút của chính nó và phép co rút ở đây là

phép đồng nhất trên không gian X

2.2.2.2.Nếu A = {a} thì phép co rút từ X lên A là ánh xạ r : X → A tháa mãnr(x) = a, ∀ x ∈ X do đó không gian chỉ 1 điểm của X là cái co rút của X

2.2.2.3 Giả sử Sn-1 là mặt cầu đơn vị n - chiều trong không gian Ơclit n - chiều

En Gọi X là không gian nhận được từ En bằng cách bỏ đi 1 điểm trong KhôngmÊt tính tổng quát, ta giả sử bỏ đi điểm gốc O, khi đó Sn-1 là cái co rút của X.Thật vậy, phép Co rút từ X lên Sn-1 được xác định bởi công thức

2.2.3 Mệnh đề:

Cỏi co rỳt yếu của một khụng gian co rỳt được là khụng gian co rỳt được.

Chứng minh:

Cho khụng gian tụpụ X và A ⊂ X Ánh xạ liờn tục r: X → A sao cho

roi ~ 1A( i : A → X là ánh xạ bao hàm tức là biến mọi điểm thành chính nó) đợcgọi là ánh xạ co rút yếu và A là cái co rút yếu của X Ta chứng minh A là khụnggian co rỳt được

thật vậy theo giả thiết X là khụng gian co rỳt được ⇒ 1X : εx o

A là cái co rút yếu của X thì roi ~ 1A

r được xỏc định như ở trờn (r(x) = F(x, 1)) là ỏnh xạ co rỳt thỡ F được gọi là phộp

co rỳt biến dạng tức F là phộp đồng luõn nối ỏnh xạ 1X với ỏnh xạ co rỳt

r : X → A và A được gọi là cỏi co rỳt biến dạng của X

Nếu phộp biến dạng F sao cho r(x) = F(x, 1) là ỏnh xạ co rỳt yếu thỡ Ađược gọi là cỏi co rỳt biến dạng yếu của X

Nếu phộp biến dạng F sao cho F(x, t) = x với mọi x ∈A, ∀ t ∈I thỡ A đượcgọi là cỏi co rỳt biến dạng mạnh của X và F đợc gọi là phộp biến dạng mạnh

ta cã : r.i ~ 1A vµ i.r(x) = i(r(x)) = r(x) = F(x,1) ∀ x ∈X

⇒ i.r : 1X ⇒ r là tương đương đồng luân.

VËy X tương đương đồng luân với A

(Khi ta thay A là cái co rút biến dạng thì hiÓn nhiªn X : A)

Nếu α là một đờng trong X và α có 2 đầu mút trùng nhau thì α đợc gọi

là khuyên tại x0 và x0 gọi là điểm đánh dấu

3.1.2 Định nghĩa

Cho α là đờng đi trong X từ x0 đến x1 khi đó α xác định bởi công thức

α(t) = α (t-1) là đờng đi trong X từ x1 đến x0 ta gọi α là đờng đi ngợc của α

3.1.3 Hợp thành của các đờng trong không gian

Cho α là đờng nối x0 với x1, β là đờng nối x1 với x2 Hợp thành của α và β

ký hiệu là α β và là đờng nối x0 với x1 xác định nh sau:

1 ), 1 2 (

2

1 0

), 2 (

t t

t t

β α

3.2 Quan hệ đồng luân giữa các đờng.

3.2.1 Định nghĩa

Hai đờng α : I → X và β : I → X thỏa mãn α (0) = β(0) và α (1) = β

(1) gọi là đồng luân nếu tồn tại phép đông luân F : I ì I → X nối α và β saocho :

F(0,t) = α (0) = β(0) và F(1,t) = α (1) = β(1)

3.2.2 Nhận xét.

3.2.2.1 Đồng luân giữa các đờng cong cũng giống nh đồng luân theo nghĩa

thông thờng tuy nhiên ở đây yêu cầu thêm là điểm gốc và điểm ngọn cố định qua phép đồng luân.

3.2.2.2 Quan hệ đồng luân giữa các đờng là quan hệ tuơng đơng (chứng minh

giống quan hệ đồng luân của hai ánh xạ, điều kiện khác là 2 đờng cong chung

1 ), 1 2 (

2

1 0

), , 2 (

t t

E

t s t

1 ), 0 , 1 2 (

2

1 0

), 0 , 2 (

t t

E

t t

1 , 1 2

2

1 0

, 2 1

1

t t

t t

β α

1 4

2 , 2

2

2 4

1 , 1 4

4

1 0 , 1 4

t

s s

s t

s t

s s

t

s t s t

γ β α

1 2

1 ,

2

1 0

, 1 2

s t s

2 ,

2

2 2

1 , 2 2

2

1 2

, 2

2 0

s t

s t

t

s s t

s t x

αα

Không gian tôpô X đợc gọi là liên thông đờng nếu mọi x, y thuộc X tồn tại

đờng cong trong không gian X nối x với y tức là tồn tại ánh xạ

f : [0,1] → X liên tục sao cho x = f(0), y = f(1)

Ta có ảnh qua ánh xạ liên tục của không gian liên thông đờng là khônggian liên thông đờng

3.3.5 Định lý.

Giả sử x0 và x 1 là các điểm đánh dấu của X và α là một đờng đi trong X từ

x 0 đến x 1 Khi đó ánh xạ f : π(X , x0) → π(X , x1) xác định bởi f([ ]ϕ ) = αϕα là một đẳng cấu nhóm.(trong đó α là đờng đi ngợc của α ).

Chứng minh

_ f xác định không phụ thuộc vào phần tử đại diện của ([ ]ϕ )

Thật vậy giả sử ϕ ~ ψ ⇒ αϕα ~ α ψα tức là [ ]ϕ = [ ]ψ ⇒ f([ ]ϕ ) =f([ ]ψ ) _ f đồng cấu : f([ ]ϕ [ ]ψ ) = f([ ]ϕψ ) = α ϕψ α ( ) 

= αϕ αα ψα ( ) 

= ( αϕα αψα )( ) 

Xét X là tập lồi trong không gian Rn thì X là không gian đơn liên.

Thật vậy ta xác định hai đờng α : t → α(t) = (1-t)x + ty ∈ X , α ( 0 ) = x,

)

1

(

α = y đây chính là đơng trong X nên X là liên thông đờng.

Mặt khác ta có π(X , x0) = 0 vì giả sử α vàβ là hai khuyên tại x0

α , β : [0,1] → X ta có α ~β bởi :

Không gian tôpô X là đơn liên khi và chỉ khi có duy nhất lớp đông luân nối

2 điểm bất kỳ trong X.

Chứng minh

- Giả sử X là không gian đơn liên khi đó X liên thông đờng và π( X)= 0

Lấy x0 ,x1 ∈ X Giả sử α vàβ là 2 đờng đi trong X đi từ x0 đến x1 ta chứng minh

α ~β

Gọi β là đờng đi ngợc củaβ Ta có α β là khuyên tại x0 và β β là khuyên tại x1

Ta có α β ~ εx0 và β β ~ εx1 do đó α ~ αεx1~ α β β ~ εx0β ~ β

Vậy lớp đồng luân các đơng đi từ x0 đến x1 là duy nhất

- Ngợc lại giả sử có duy nhất lớp đồng luân các đờng trong không gian Xnối 2 điểm bất kỳ Do đó X là liên thông đờng và nếu ta lấy 2 điểm trùng nhau x1 =

x2 thì có duy nhất lớp đồng luân các khuyên tại điểm x với mọi x thuộc X Tức là

1 ), 1 2 (

2

1 0

), 2 (

t t

t t

β α

1 ), 2 2 (

2

1 0

), 2 (

t t

t t

β α

1 ), 2 2 , (

2

1 0

), 2 , (

t t

x F

t t x F

⇒ X là liên thông đờng

Hơn nữa X là không gian co rút đợc ⇒ X ~ x0 (x0 ∈ X) mà π ({ }x0 ) = 0

⇒ π( X) = 0 Vậy X là không gian đơn liên

3.4.5 Hệ quả: Nếu X là không gian co rút đợc thì ta có π(X , x0) = 0

Nếu X ~ Y( tơng đơng đồng luân) thì π ( , )X x0 ≅ π ( , ( ))Y f x0 ∀ x Đặc biệt

khi X và Y liên thông đuờng và X ~ Y thì π ( )X ≅ π ( )Y

Vì vậy khi biết đợc mối quan hệ giữa các không gian tôpô và biết đợc nhómcơ bản của không gian này thì ta có thể suy ra nhóm cơ bản của không gian kia.Chẳng hạn theo ví dụ 2.3.3.2 ta có S1 là cái co rút biến dạng mạnh của X = R2 \(0,0) ⇒ S1 ~ R2 \(0,0)

Kết luận

Trong luận văn này chúng tôi đã cố gắng chọn lọc và trình bày một cách có

hệ thống các khái niệm và tính chất về quan hệ đồng luân , cái co rút biến dạng vànhóm cơ bản của không gian tôpô

Luận văn đã đạt dợc một số kết quả sau :

- Trình bày và chứng minh đợc một số tính chất của đồng luân nh : ánh xạ đồngluân, ánh xạ tơng đơng đồng luân, không gian tơng đơng đông luân

- Nêu lên đợc khái niệm không gian co rút đợc, một vài ví dụ và tính chất củachúng

- Trình bày khái niệm và một số tính chất về các phép co rút biến dạng củakhông gian từ đó nêu lên đợc cái co rút biến dạng, co rút biến dạng yếu, co rútbiến dạng mạnh, co rút biến dạng của không gian tôpô

- Xây dựng đợc nhóm cơ bản của không gian tôpô Nêu lên đợc mối liên hệ vềnhóm cơ bản giữa các không gian từ đó khi biết về nhóm cơ bản của không giannày thì ta suy ra đợc nhóm cơ bản của không gian kia

Tài liệu tham khảo

[1] Spainier , E.H , Algebraic Topo logy , Newyork , Mc Grawhill 1966

[2] Allen hatcher , Algebraic Topo logy , Cambridge university press 2002

[3] Hoàng Tuỵ, Nguyễn Xuân My, Hà Huy Khoái, Mở đầu một số lý thuyết hiện

đại của tôpô và đại số , NXB Đại học và THCN 1979.

[4] TS Nguyễn Duy Bình , Bài giảng tôpô đại số

[5] Nguyễn Tự Cờng , Đại số hiện đại

[6] Trần Thị Phơng Thuý , Nhóm cơ bản và không gian phủ, luận văn thạc sỹnăm 2007